Cuerpos de forma óptima en vuelo hipersónico

FUSELAJE DE UN VEHICULO PLANEADOR DE GRAN

RADIO DE A C C I O N

Por JUAN R. SANMARTIN LOSADA

Institute Naeional de Tecnica Acroespacial Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Aeronautieos.

Se estudia la obtencion de la forma del fuselaje Optimo de u n vehiculo hipersonico, tipo planeador, de gran radio de accion, para el que es f u n d a m e n t a l conseguir u n valor alto de ( L / D ) inAx . Se utiliza la

teoria de NEWTON-BUSEMANN para el calculo de las caracteristicas aerodinamicas. Para la solucion del p t o b l e m a variacional, se consideran fijos ciertos •parametros (por ejemplo, el radio de curvatura en

el m o r r o ) que afectan directamente al calor recibido por el cuerpo y a las caracteristicas en vuelo subso-nico. C c m o ejemplo, se considera la solucion de un caso particular.

L a obtencion de formas con caracteristicas opti-mas ha sido estudiada repetsdas veces, desde SANGER en 1 9 4 3 , para el caso relativamente sencillo de vuelo hipersonico idealizado adecuadamente, P e r o la in-dole del p r o h l e m a y el i n s t r u m e n t o matematico empleado, Calculo de Variaciones clasico, prestan

u n a importancia dedsiva a los p a r a m e t r o s a d e p t a -dos y a las condiciones isoperimetricas en juego. Sin e m b a r g o , t a n t o con la formula de NEWTON, modificada mediante u n factor, c o m o con la NEW-TON-BUSEMANN que incluye u n termino' correctivo de fuerza centrifuga, estos p a r a m e t r o s son practi-camente los mismos. (HAYES; EGGER, RESNIKOFF

y D E N N I S ; C H E R N Y I y G O N O R ) .

P a r a idealizar la corriente h i p e r s o n k a , emplea-remos las hipotesis, de suponer M ^ m u y grande y y b a s t a n t e p r o x i m o a 1. E n rigor, la teoria n e w -toniana exigiria M ^ ^ - o o y y 4 i. A u n q u e en la capa fluida entre la o n d a de choque y el cuerpo, y <C 1,4, les valores observados n o permiten olvidar el caracter ideal del flu j o . C o n y < 1,1, la a p r o -x i m a c i o n resulta satisfactoria.

V a m o s a estudiar u n semicuerpo de revolucion del tipo " e x t r a d o s p i a n o " . U n cuerpo de revolucion completo, n o cortado p o r u n p i a n o meridiano, in-fluiria perniciosamente en las caracteristicas del

avion a traves de la m a g n i t u d " , de gi _jran

1m-p c r t a n c i a . P o r esta r a z o n , u n i d a a la de 1m-p e q u e n o a l a r g a m i e n t o del ala, el fuselaje debe c o n t r i b u i r a la sustentacion.

E n comparacion con el tipo "intrados p i a n o " , Sea, figura 2, O X el eje revolucion h a y que observar que la base plana de este n o per- Y O X , u n o m e r i d i a n o . I n t r o d u z c a m o s mite la optimizacion. C o m o se indica en la

referen-d a [ 1 ] , n o es posible la obtencion referen-de granreferen-des ( L / D )m 4 x con esta cotifiguracion. A d e m a s , el tipo

"extrados p i a n o " permite el uso de la parte supe-rior para mejorar las caracteristicas subsonicas. D a d o el pequefio alargamiento de la aeronave y elevado a n g u l o de ataque de su vuelo en este regimen, dicha parte superior resulta decisiva y ha sido utilizada c o m o variable de diseno para bajas velocidades [ 2 ] , Sin embargo, p o r encontrarse esta cara superior en la " s o m b r a aerodinamica" n o cambia las condicio-nes de regimen hipersonico. Basta que se m a n t e n g a inferior y lateralmente la forma estudiada, lo cual conduciria quiza, en u n estudio subsonico poste-rior, a u n a configuration ahuecada superiormente, c o m o de "canoa" (fig. 1 ) .

y el p i a n o

con HAYES

Figura h

Figura 2.

y PROBSTEIN [ 3 ] la funcion de corriente:

* = P» V0 r

Y l l a m a r e m o s ; V M , a la cantidad de movi-m i e n t o tangencial en la capa situada entre o n d a de choque y cuerpo. Entonces resulta: i

Vm rf M = cos a rf i . V„

d y

d x

I n m e d i a t a m e n t e detras de la onda de choque:

1 - _

Pues d a d o el espesor infinitesimal de la capa, Estas consideraciones facilitan el p r o b l e m a hi- l a s f c r m a s d e l a o n d a y d d c u e r p o c o i n c i d e n.

personico, pues 3a corriente mantiene su caracter axisimetrico. Para m a y o r sencillez, suponemos n u l o el a n g u l o de ataque del p i a n o superior respecto a la corriente. El que el cuerpo este situado bajo este p i a n o , posiblemente ahuecado, y el bajo valor de a, medido desde sustentacion nula, correspon-diente a la condicion de ( L / D ) m i x , a p r o x i m a esta

hipotesis a la realidad.

Sobre este:

1

— c. d (cos a)

d 4 M.

El u l t i m o t e r m i n o es la correccion de BUSEMANN que tiene en cuenta la curvatura, impuesta p o r la superficie, de las trayectorias de las particulas.

Este salto de presion finito en u n espesor infinite-simal, es posible p o r q u e p _> OT , en el fluido tras

la o n d a de cboque [ 4 ] .

Las fuerzas sobre el obstaculo valen:

<tV=-cpP*>V*a>ydOdy;

D

r

1

= irV<o — cpdif = 7cVro [ ^F- MFc o s oF] ;

Jo1

dh^~cp?a>V\dx.2y- L = 2 V0 0MFs e n oF;

Mp= C

cosed*/= ?« v

r

_yiy .

v n ^

MF es una m a g n i t u d f u n d a m e n t a l para obtencion

de altos ( L / D )m S j c . Su m a x i m i z a c i o n es necesaria,

pues a u m e n t a L y disminuye D . P o r el contrario, no parece conveniente que el a n g u l o de salida de la corriente, <TF, sea n u l o , pues es desventajoso para L.

Sin embargo, ocurre que un pequeno a u m e n t o de crF sobre el valor cero, varia m u c h o mas rapidamente

sen IT (sen 0- = w — — -j- ...) que cos 0- (cos <? —

3!

a-2 !

. . ) . P o r o t r o lado, la existencia de

r o z a m i e n t o en el caso real, que influye mas en el valor de D r o t a l que en L, y es d o m i n a n t e en la parte

posterior del cuerpo, d o n d e <j es pequeno, aconsejan valores de <JV bajos pero n o nulos.

El estudso ideal del p r o b l e m a hace o p o r t u n o considerar los p a r a m e t r o s que mas influyen en la transmision de calor, r o z a m i e n t o y caracteristicas en vuelo subsonico.

El m o r r o redondeado obliga a que 1/

El radio de curvatura en el m o r r o r0, y V2/3/S son

parametros fundamentales en el p r o b l e m a termico [ r ] ' [ 5 ] ' [ 6 ] . V2 /V S ha de ser p e q u e n o para el

vuelo subsonico [ 5 ] , [ 6 ] ; lo m i s m o que t/F con el

fin de reducir la resistencia de base. P e r o t/F y V

pierden importancia con el ahuecamiento superior que c o n t r i b u y e a disminuir V2 /V S . Sin embargo,

estas modificaciones n o dafian el valor de ( L / D )m i W

hipersonico [ 6 ] .

El p a r a m e t r o f u n d a m e n t a l para el calculo del flujo de calor y r o z a m i e n t o es Rg, y a traves de

el, s, el camino recorrido por la particula a lo largo del cuerpo. E n cambio, n o es logica la comparacion de dos cuerpcs de igual l o n g i t u d . Estas considera-ciones inducen a t o m a r como variable de integra-cion s en vez de x. La secintegra-cion meridiana se expre-sara c o m o : y = y (s).

D a d a la invariancia de la ecuacion de EULER del calculo variacional [ 7 ] , podemos transformar el problema a la vista de las igualdades siguientes:

dy d y d s , -1 j ~ ~ . ~z~

d x d s dx

~p-v?)

f

= / l

1 + J ,

7r=y

O b t e n i e n d o :

M _ rv y(x)dy

P.

v

i v .

./ 0

y(s)y's <s)j/l -y'](s) ds;

V = ^- y*(x)dx=±l [y(s)]* \ 1 -y'2s ds;

Jo

S = area de la forma plana ~

= j 2y(x)dx = j 2y{s)yi-y2sds.

C o m e s n o aparece en n i n g u n a de las integrales, la ecuacion de EULER se reduce a:

F-?Fv = c.

D o n d e :

F^yySyi-yl + Kytp-y'l^yp-y'l-'

yy

* + x,

'

}h~y-l ' 1 / 1 - / 2

Haciendo y's — z. Q u e d a :

y

- (Xs + z ' ) ± J/(XS + 28)8+ 4 c Xv/ ! -z-2X,

x= I dx(z) = I ' l Z' dy{z).

. L a integracion de d x ( 2 ) , proporciona el

cuer-p o de m a x i m o M , con sF, yF, V , S, y, p o r t a n t o ,

V2 / 3/ S , fijados, es decir, a igualdad de los p a r a

-metros mas i m p o r t a n t e s . Pero la dificultad de la integracion, la d i s m i n u i d a importancia de V y, so-bre t o d o , la imposibilidad de satisfacer las condi-ciones en el m o r r o , llevan al caso:

K = K =

Si Xv = ks = o, resulta:

y^c haciendo: v' = --,—-;

= ct\'t-l ; dy = cm±Z±

yx =

dy i

dx

y^yf

K* — 1 '

d x = c (3/2 * - I) d t; x = c {3/4 *a _ /) _j- Cl .

D e la relaclon entre y's ey'x o b t e n e m o s :

y '

=

> y '

=

t =

E n el m o r r o las condiciones s o n :

X—0, y = 0 , y'x — oo ;

t=\, y = Q, y'x = co ;

x ,= 1 = c ( 3 / 4 - l ) + ^ = 0 ;

c

x = c[l/4 + f (3/4 ^ — 1)].

El radio de curvatura en el p u n t o x = o, y — o es:

A> =

s i e n d o :

y A« =

* / ,

1 1 2 { f - l )3 /'2

d'f

d x c (3/2 t-\)dt

de d o n d e , finalmente, se obtiene:

ru = c.

L a forma de la linea meridiana del cuerpo esta dada p o r las expresiones:

y=r,t]IT^\;

x = r0[I/4 + / ( 3 / 4 f - l ) l ;

y — ra

1 +

r0

3}i3

-U<~

Es posible obtener expresiones mas sencillas utilizando' la variable z = t -— i :

y = r

(2+l)l/7;

s

= 4 - [1/7(^1) (1 +6f) + argch 1/7];

V = r»0 (36 i* — 3 /= — 2 i — 1) (/ — 1)»;

240

105

P a r a calcular M , lo m i s m o que para obtener s, utilizaremos el cambio de variable: t = ch2 w .

V o l v i e n d o de nuevo al p a r a m e t r o t:

M = J ^V m f*° [ ) / / ( / — l ) (8 /s - 1 0 f + 1 ) + argch V / ] j

16

L 2 V0

__D_

= M sen o ; sen a 1

V7

= <}J — M cos 3 ; cos a

V ^ '

^ - pmv0 r-n/Mf- 1!

E l m o m e n t o aerodinamico respecto al m o r r o vale:

M 0 =

f ^ / - . [ V T ^ T / A + « .

_ i Z 3 .

. +

2 [ \ 3 42 70

]

35

" B

i L

_ 3 / - l ) | .

70 3 5 / 4] / 7

Es interesante ccnsiderar si es en a l g u n p u n t o

cp ~ o, pues a p a r t i r de dicho p u n t o , al aparecer

u n a capa de fluido desprendido, la solucion n o es correcta:

1 „ d(cos a) ., 1 — cn = sen8 a — •— — M = —

2 p dW t

arg ch Vt 1

-*3- 1 0 * + 1

\tit~\\

3 2 / ( 3 / 2 * - 1 )

Expresion que es siempre positiva (f varia entre i e » ) , p u e s :

/3 — 10* + 1 arg ch]/*

1 >

6 ( 8 / a _ l o * + 14/30 ' '

( / -1 J~ , paratodo * > 1 .

D e r i v a n d o V2 / H/ S respecto a f, se comprueba

que n o b a y m a x i m o ni m i n i m o para t > i . Al crecer t, decrece c o n t i n u a m e n t e V2 / 3/ S .

E n cuantc a o-,,.: para t — 16, o-F = 14" 2 9 ' ,

cos trF = 0 , 9 6 8 ; para t =. 4 9 , cos a-,,. = 0 , 9 8 0 . Es

decir, que la variacion de f en u n intervalo relati-vamente grande, para valores normales de la tela-cion V/r3<>, afecta poco a la influencia de <rK,

H e m o s o b t e n i d o , p'ues, un cuerpo, m a x i m i z a n -do M , para iguales valores de s e y, con el m o r r o

redondeado ( 1 / , . z= co) y con la posibiiidad de modificar su radio de curvatura n,, con el fin de resolver el p r o b l e m a termico. C o m : , cu > o, n o se

presenta el p r o b l e m a de la capa desprendida, que invalidaria la solucion a p a r t i r del p u n t o de su apa-ricion. El cuerpo se va baciendo mas esbelto a me-dida que crece t. E n la tabla a d j u n t a se presentan las coordenadas de la linea meridiana.

t 1 2 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y\r» 0 2 10 30 56,10 87 122,25 161,40 204,05 245,60 293,35 350 */'» 0 1,25 14 65,20 154 280,25 ^444 642,75 883!; 1160,22 1474 1825,22

y

lx

1,6 0,71 0,46 0,36 0,31 0,27 0,25 0,23 0,21 0,19 0,19

O t r a s magnitudes del cuerpo v a l e n :

Area de la superficie lateral:

S = - A [*5J2(L5f- 1 4 ) - ] ] .

35

C e n t r o de gravedad (supuesta una densidad cons-tante en el v c l u m e n ) :

_ r 4

8 2 V

.[,(

27 , 29 ^ _{,3 + __. p} 48 40

1 1

32

3360

El centro de gravedad queda m u y retrasado, en comparacion con el centro de presion, lo que es u n inconveniente para la estabilidad l o n g i t u d i n a l . C o m o esi'o es debldo a las fuertes preslones en el m o r r c , la existencia de u n a sustentacion alar evita tal desventaja. D e todas f of mas, el ahuecamiento postero-superior del cuerpo, aparece aun mas acon-sejable, pues adelanta el centro.de gravedad.

T 1 - L

L a relacion vaie: D

1 1- \(8F~ 1 0 / + i; arg ch ]/ t

\'T

l*{t— !) — (/— 1 ) ( 8 /3- 1 0 f + l ) arg ch ]'' t

8/2—10f + l

\lt(t-\\

arg ch ]/ t

}it(t-\)

10i2~- U f - j - i - arg c\i]U

}<t{t-r

al no tener en cuenta la resistencia de r o z a m i e n t o , esta expresion crece c o n t i n u a m e n t e con t.

1. BERTRAM, M . H.; FELTERMAN Jr, D. E., y HEN-RY, J. R.; The Aerodynamics of Hypersonic

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7. COURANT, R., y HlLBERT, D.: Methods of

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