Comunicaciones digitales. Codificación de canal

Texto completo

(1)Universidad de Málaga Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Telecomunicación Departamento de Ingeniería de Comunicaciones. Máster en Ingeniería de Telecomunicación. Técnicas de tratamiento de señal y comunicaciones. 4 Codificación de canal. n=0. n=1. 0 0 E0. 2 0. 0/00 2. E0. 1/11 E1. n=2. 0/11. E1. 1/10. 0/01. dˆ1n. 3. 2. 3. 1. 1. 2. n=6. 1. 2. 1. 3. 0. 0. 1. 1. 2. 0. 2. 0. 0. 3. 2. 1. 1. 1. 1. 2 2. 0. E3. 1/01. cˆ1 , cˆ2 n. 1. 2. 0/10 E3. 0. E2. n=5. 1. 1. 1 E2. 1 3. 1. 0. n=4. 1. 2. 2 1/00. n=3. 00. 11. 01. 00. 01. 11. 0. 1. 0. 1. 0. 0. José Tomás Entrambasaguas 2018.

(2)

(3) Tema 4 Codificación de canal Conceptos Codificación de canal Distancia de Hamming Prestaciones Diseño del código Codificación bloque (1) Codificación bloque binaria lineal Decodificación. Comprobación de paridad Generalización a más errores Recuperación de bits borrados Codificación bloque (2) Códigos cíclicos Codificación/Decodificación Realización Códigos cíclicos no binarios Codificación bloque no binaria Códigos cíclicos no binarios. Códigos Reed-Solomon Códigos cíclicos no binarios Codificación bloque no binaria Códigos cíclicos no binarios. Códigos Reed-Solomon Codificación concatenada.

(4) Codificación convolucional Concepto Codificación de secuencias Codificación bloque y convolucional Codificación convolucional k = 1 y k > 1 Comportamiento del codificador Representación con diagrama de estados y rejilla Representación de la evolución del codificador Decodificación Decodificación de secuencias Distancia entre secuencias Decodificación ML El problema del camino más corto Decodificación con algoritmo de Viterbi Fundamento del algoritmo Ejemplo Decodificación de secuencias indefinidas Códigos perforados Decodificación blanda Conceptos Ejemplo: código de repetición. Prestaciones Eficacia. Ganancia de codificación Aplicación a codificación convolucional Algoritmo de Viterbi con entrada blanda Algoritmo de Viterbi con salida blanda Decodificación iterativa Codificación concatenada paralelo Decodificación iterativa.

(5) Codificación de canal. Conceptos Codificación bloque Codificación convolucional Decodificación blanda. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-1 e3. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-2 e3. Codificación de canal Conceptos Codificación de canal Distancia de Hamming Prestaciones Diseño del código Codificación bloque Codificación convolucional Decodificación blanda. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación.

(6) Codificación de canal 2k válidas 1. k. Cod kbomb. m. 1. error BSC p. 1. m. 2. k. m. Decod mbokb. ó. k. 1. x Bits se agrupan en “mensajes” de k bits x Cada mensaje se “codifica” con una “palabra-código” de m bits (aunque hay 2m posibles palabras-código sólo se usan 2k válidas) x Supone una pérdida de velocidad neta de información se transmite a k/m (tasa de codificación) por la velocidad binaria del canal (BSC) x A cambio el receptor puede detectar errores en las palabras-código recibidas incluso corregirlas (con lo que disminuye la BER entre extremos). x Capacidad de detección /correción aumenta con el núm. bits añadidos (m k) x si m = k no se pueden detectar errores ni corregir Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-4 e3. Codificador palabras-código. mensajes. 2m en total. 2k. 2k válidas ( ). correspondencia x Hay 2k posibles mensajes y 2m posibles palabras-código x Cada mensaje se “codifica” con una “palabra-código”. x Aunque hay 2m posibles palabras-código sólo se usan 2k válidas) x código: conjunto de palabras-código válidas (sólo 2k). no pertenece al código pertenece al código. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-5 e3.

(7) Codificación de canal. palabras-código. mensajes. 2m en total. ¿Cómo funciona? 2k. 2k válidas ( ). correspondencia. 2k válidas 1. k. Cod kbomb. m. 1. error BSC p. ML. 1. m. 2. k. m. Decod mbokb. ó. k. 1. x Al transmitir una palabra-código, los errores hacen que se reciba otra distinta x Si la palabra-código recibida es válida (aunque distinta a la transmitida) no se puede saber si ha habido errores o es que se transmitió esa palabra-código x Si la palabra-código recibida no es válida (no pertenece al código), se sabe que ha habido errores y en ese caso... x Se decide una de los 2k palabra-código válidas: la más “parecida” (ML) Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-6 e3. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-7 e3. Codificación de canal Conceptos Codificación de canal Distancia de Hamming Prestaciones Diseño del código. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación.

(8) Distancia de Hamming x Distancia de Hamming dH entre dos palabras-código: número de bits distintos Ejemplo 01100011 00111011 dH = 3 x Mide la semejanza: cuanto menor dH más se parecen x código: conjunto de palabras-código válidas (2k) x Distancia de Hamming dH de un código: la mínima entre sus palabras-código Código No codificación. Distancia de Hamming dH = 1. Repetición u 3. dH = 3. Repetición u N. dH = N. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-8 e3. JTEM. 4.1-9 e3. Representación de la Distancia de Hamming de un código ( ) m=1. m=1 0. 1. k=1 dH =1 sin codificar. m=2 11. 11. 10. m=2 00. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. k=2 dH =1 sin codificar 01. m=2. k=1 dH =2 repetición paridad par. 00. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal.

(9) Representación de la Distancia de Hamming de un código ( ) m=3 111. 110 100. 111. 110 101. 101 010. 011. 011. 001. 000. 000. 000. k=2 dH =2 paridad par. k=3 dH =1 sin codificar. k=1 dH =3 repetición. x Es complicada la representación para códigos de m > 3 bits. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-10 e3. Representación de la Distancia de Hamming de un código ( ). 00. 01. 00. 100. 101 010. 000. m=2. k=1 dH =2 repetición paridad par. 00. 01. 111. 110. m=3. k=2 dH =1 sin codificar. m=2. k=1 dH =1 sin codificar. 11. 11. 10. m=1. 111. 110 101. 011 001. k=3 dH =1 sin codificar. 011. 000. 000. k=2 dH =2 paridad par. k=1 dH =3 repetición. x Es complicada la representación para códigos de m > 3 bits Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-11 e3.

(10) Representación de la Distancia de Hamming de un código Para m > 3 x Se usará una representación en un plano x Poniendo más lejos las palabras-codigo que disten más en distancia de Hamming. dH entre dos palabras-código. x En 2D no se puede representar bien cuántas palabras-código están a cada distancia. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-12 e3. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-13 e3. Codificación de canal Conceptos Codificación de canal Distancia de Hamming Prestaciones Detección de errores Corrección de errores Recuperación de bits borrados Diseño del código. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación.

(11) Prestaciones. Detección de errores palabras-código. mensajes. 2m en total dH. 2k. 2k válidas ( ). dH = 1. x Distancia de Hamming dH de un código: la mínima entre sus palabras-código x Si hay errores pero menos de dH: la palabra recibida no es válida: se detecta error x dH errores pueden resultar en una palabra válida: no se detecta error. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-14 e3. Prestaciones. Corrección de errores palabras-código. mensajes. 2m en total. dH. 2k. 2k válidas ( ). dH = 1. x Distancia de Hamming dH de un código: la mínima entre sus palabras-código x Si la palabra recibida no es válida ... x Se decide la palabra-código válida más parecida (ML) a la recibida: la más cercana en distancia de Hamming la que difiere en menos bits (círculos de decisión en figura) x Si hay menos de dH/2 la palabra decidida será la correcta: se corrigen los errores x Si hay más de dH/2 la palabra decidida será incorrecta no se corrigen los errores Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-15 e3.

(12) Prestaciones. Recuperación de bit borrados Bit borrados x Se recibe una palabra código sin errores pero... ... con b bits borrados no se sabe si son '0' o '1' pero se sabe dónde están x Se prueba con las 2b combinaciones de los bits borrados y se elige la combinación que da una palabra-código válida x Las palabras código ensayadas estarán a distancias 0,1, 2... b de la correcta x Si dH t b +1 lá unica válida encontrada será la de distancia 0 x La capacidad de recuperar borrados (posición conocida) es mayor que la de corregir errores (sin saber dónde están). Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-16 e3. Prestaciones x Distancia de Hamming dH de un código: la mínima entre sus palabras-código x Para detectar. O errores:. dH t O +1. x Para corregir. t errores:. dH t 2t +1. x Para recuperar. b borrados: dH t b +1. Repetición (3, 1). Repetición (N, 1) Paridad (N, N +1). dH = 3. dH = N. dH = 1. detecta errores. O. 2. N1. 1. corrige errores. t. 1. E[(N – 1) /2]. 0. recupera borrados. b. 2. N–1. 1. x La capacidad de recuperar borrados es mayor que la de corregir errores x Si no se está seguro del valor de un bit es mejor borrarlo que intentar corregirlo Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-17 e3.

(13) Codificación de canal Conceptos Codificación de canal Distancia de Hamming Prestaciones Diseño del código. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-18 e3. Diseño del código Selección de las (2k) palabras-código válidas x Se eligen para maximizar la distancia mínima entre dos de ellas.. palabras-código 2m en total. dH 2k válidas ( ). dH. x la máxima distancia que se puede conseguir es m k +1 (equidistancia) x Los códigos de repetición son de máxima distancia dH = m k +1 x No es fácil encontrar códigos de máxima distancia. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-19 e3.

(14) Diseño del código Selección de las (2k) palabras-código válidas m = 2, k = 1 11. m=2. m=2. k=1 dH =2. 00. 00. k=1 dH =1 01. m = 3, k = 2 110. 110 101. k=2 dH =2. k=2 dH =1 011. 011 000. 000. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. 001. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-20 e3. Diseño del código Selección de las (2k) palabras-código válidas m = 3, k = 1. 111. 011 000. 000. k=1 dH =3. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. 000. k=1 dH =2. 001. k=1 dH =1. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-21 e3.

(15) Diseño del código Correspondencia mensaje o palabra-código. (función del codificador) palabras-código. mensajes. 2m en total. 1 dH. 2k. 2k válidas ( ). dH = 1. x Palábras-código contiguas (a distancia dH) se asignan a mensajes que difieren en un solo bit (a distancia 1) x Si no se corrige el error (número de erores > t = E[(dH – 1) /2]: - la palabra-código decidida es contigua y - sólo hay un bit erróneo en el mensaje decodificado x Igual que en codificación Gray de símbolos QAM. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-22 e3. Diseño del código Correspondencia mensaje o palabra-código. (función del codificador). Codificación sistemática mensaje. palabra-código. Paridad par k=3, m=4 (m,k) = (4,3). 000 001 010 011 100 101 110 111. 000-0 001-1 010-1 011-0 100-1 101-0 110-0 111-1. Repetición k=1, m=3 (m,k) = (3,1). 0 1. 0-00 1-11. d k. k k. cod. c. m-k. x Los primeros k bits de cada palabra-código son los mismos del mensaje asociado x Sólo hay que calcular m - k bits x Los códigos de paridad y repetición son. sistemáticos. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.1-23 e3.

(16) Codificación de canal Conceptos Codificación bloque Codificación convolucional Decodificación blanda. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-1 e4. JTEM. 4.2-2 e4. Codificación de canal Conceptos Codificación bloque (1) Codificación bloque binaria lineal Decodificación. Comprobación de paridad Generalización a más errores Recuperación de bits borrados Codificación bloque (2) Códigos cíclicos Codificación convolucional Decodificación blanda. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal.

(17) Realización de codificadores y decodificadores palabras-código. mensajes. 2m en total dH. 2k. 2k válidas ( ). dH = 1 ¿Cómo codificar y decodificar? Codificador. 2k. o. mensajes. Decodificador. 2k. 2m. palabras-código. palabra-código. o. 2k mensajes o detección de error. Opción 1: Tablas de correspondencia Opción 2: Algoritmos Opción 3: Fórmulas o ej: con operaciones binarias. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-3 e4. Realización de codificadores y decodificadores Codificación bloque binaria lineal x c = g (d) función lineal x con operaciones suma y multiplicación binaria “internas” (módulo 2: el resultado es 0 ó 1) a, b{0,1} a+b = (a+b)2. 0+0 = 0. 0+1 = 1+0 = 1. 1+1=0. aub = (aub)2. 0u0 = 0. 1u0 = 0u1 = 0. 1u1 =1. x La función lineal se puede definir con una matriz binaria c. G d. ci. ¦ Gij d j j. donde las sumas son internas (modulo 2) y Gij = 1 ó 0 x G matriz generadora (del código). Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-4 e4.

(18) Ejemplo Hamming (7,4) m=7, k=4, d =[d1 d2 d3 d4]T c=[c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7] T. 0 0 0 1 1 0º 1 0 0 0 1 1»» 0 1 0 1 1 1» » 0 0 1 1 0 1¼. ª1 «0 « «0 « ¬0. G. c = Gd. T. Ejemplo de codificación d =[1 0 0 1] T. d. ª1º «0 » « » «0 » « » ¬1¼. ª1 «0 « «0 « «0 «1 « «1 «0 ¬. G d. c. ª1 0 0 0 º «0 0 0 0 » « » «0 0 0 0 » « » « 0 0 0 1» «1 0 0 1 » « » «1 0 0 0 » « 0 0 0 1» ¬ ¼. 0 0 0º 1 0 0»» ª1º 0 1 0» « » » 0 0 0 1» « » «0 » 0 1 1» « » » ¬1¼ 1 1 0» 1 1 1»¼. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. ª1º «0 » « » «0 » « » «1» «0 » « » «1» «1» ¬ ¼. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-5 e4. Codificación bloque binaria lineal Codificación sistemática. G d. d. I k. k. P. k. k. c. k k. m-k. P. c. m-k. x los primeros k bits son los mismos del mensaje x los m - k bits restantes son combinaciones de los primeros (“paridades”). >c1 c1 ... ck @T. I d. >ck 1 ck 2 ... cm @T. P d. x P: matriz generadora de paridades G. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. ªI º «P » ¬ ¼. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-6 e4.

(19) Codificación bloque binaria lineal Codificación sistemática. G. ª1 «0 « «0 « «0 «1 « «1 «0 ¬. 0 0 0º 1 0 0»» 0 1 0» » 0 0 1» 0 1 1» » 1 1 0» 1 1 1»¼. Ejemplo Hamming (7,4). ª c1 º «c » « 2» « c3 » « » ¬c 4 ¼. ªI º «P » ¬ ¼. ª d1 º «d » I« 2» «d3 » « » ¬d 4 ¼. ª d1 º «d » « 2» «d3 » « » ¬d 4 ¼. ªc5 º «c » « 6» «¬c7 »¼. Matriz generadora de paridades ( genera m-k bits de paridad:. P. ª1 0 1 1º «1 1 1 0» » « «¬0 1 1 1»¼. c5 c6. d1 d3 d 4 d1 d 2 d3. c7. d 2 d3 d 4. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. d. ª d1 º «d » P« 2» «d3 » « » ¬d 4 ¼. c5 , c6 , c7 ) 4. 4 4. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. P. c. 3. JTEM. 4.2-7 e4. Codificación bloque binaria lineal Codificación sistemática. Realización con “circuitos” x Codificador: sólo hay que calcular los m k bits de paridad. d1 d2 d3 d4. Hamming (7,4). P. ª1 0 1 1 º «1 1 1 0 » » « «¬0 1 1 1»¼. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. c5. c5 c6. d1 d3 d 4 d1 d 2 d3. c6. c7. d 2 d3 d 4. c7. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-8 e4.

(20) Codificación de canal. Codificación bloque (1) Codificación bloque binaria lineal Decodificación. Comprobación de paridad Generalización a más errores Recuperación de bits borrados. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-9 e4. JTEM. 4.2-10 e4. Codificación bloque binaria lineal Decodificación x Matriz comprobadora de paridades. HT= [P | Im-k]. x Ejemplo Hamming (7,4) P. ª1 0 1 1 º «1 1 1 0 » » « «¬0 1 1 1»¼. HT. ª1 0 1 1 1 0 0 º «1 1 1 0 0 1 0 » » « «¬0 1 1 1 0 0 1»¼. x Propiedad: Aplicada a la matriz generadora da cero HT G. >P. ªI º I @ « » ¬P ¼. PI IP. PP. 0. x Aplicada a cualquier palabra del código c = Gd sale cero HT c Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. HT G d. HT G d. 0. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal.

(21) Codificación bloque binaria lineal Decodificación HT r. P. s. I. m-k. m. x Aplicando la matriz comprobadora al vector recibido:. s. HT r. x si no sale cero, r no es una palabra válida (del código): ha habido errores x "Síndrome" s (m-k bits) puede decir algo más, además de si ha habido o no errores. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-11 e4. Codificación bloque binaria lineal Decodificación. Realización con “circuitos” x Decodificador: sólo hay que calcular los m k bits del síndrome. Hamming (7,4) HT. ª1 0 1 1 1 0 0 º «1 1 1 0 0 1 0 » « » «¬0 1 1 1 0 0 1»¼. r1. r2. r3. r4. r5. r6. r7 s1. s1. r1 r3 r4 r5. s2. s2 s3. r1 r2 r3 r6 r2 r3 r4 r7. s3. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-12 e4.

(22) Codificación bloque binaria lineal Decodificación G d. I k. c. k k. P. m. m-k. . m. r. e. x Si ha habido errores el vector recibido es r = c + e = (Gd) + e x siendo e un vector con “1s” en las posiciones con error ( r tiene cambiados los bits donde e vale “1” ). c. 0 0 1 0 1 1 0. r. 0 1 1 0 0 1 0. e. 0 1 0 0 1 0 0. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-13 e4. Codificación bloque binaria lineal Decodificación G d. HT. I k. k k. P. m-k. c m. . m. r. P. s. I. m-k. e. x Aplicando a r la matriz comprobadora se obtiene un síndrome. s. HT r. HT c HT e. HT e. (recordar: HTc = 0). x El síndrome sólo depende de los errores s = HTe y es cero si no hay errores x A partir del síndrome se puede intentar averiguar el vector de errores ê. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-14 e4.

(23) Codificación bloque binaria lineal Codificación sistemática. Decodificación con síndrome G. d. r1..k. I k. c. k. P. k. m. m-k. m. r. e. k. HT m. s. I. P. m-k. x Sídrome s = HT r = [P | I] r conjunto de síntomas sobre errores producidos x 2m-k síndromes no pueden representar todas las posibles combinaciones de errores x Si se hacen hipótesis se puede reducir el número de combinaciones de error posibles x Si las combinaciones se reducen a < 2m-k se puede hacer un diagnósico s o ê x El diagnóstico permite hacer una corrección (tratamiento) r + ê Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-15 e4. Codificación bloque binaria lineal Codificación sistemática. Decodificación con síndrome G. d. r1..k. I k. k k. P. m-k. c. m. m. e. r. k. HT m. dˆ r eˆ. corrección. P. I. s. k. ê. tabla de síndromes error_ind m-k. x Sídrome s = HT r = [P | I] r conjunto de síntomas sobre errores producidos x Hípótesis reduce combinaciones de error (ejemplo: no hay más de un error) x Tabla de síndromes contiene los diagnósticos ê (dónde están los errores) para cada síndrome x Los diagnósticos ê permiten corregir los errores localizados (ei=1) Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-16 e4.

(24) Codificación bloque binaria lineal Decodificación con síndrome Hamming (7,4). Hipótesis: no hay más de un bit erróneo 8 patrones con uno o ninguno bits erróneos. bit erróneo Ninguno 1 2 3 4 5 6 7. o o o o o o o o. síndrome 000 110 011 111 101 100 010 001. HT ei. P. si. I. m-k. m. H. T. ª1 0 1 1 1 0 0º «1 1 1 0 0 1 0» « » «¬0 1 1 1 0 0 1»¼. distintos Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-17 e4. Codificación bloque binaria lineal Decodificación con síndrome Hamming (7,4) Tabla de síndromes síndrome bit erróneo 000 Ninguno o 001 7 o 010 6 o 011 2 o 100 5 o 101 4 o 110 1 o 111 3 o. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. m bit erróneo Ninguno 1 2 3 4 5 6 7. o o o o o o o o. síndrome 000 110 011 111 101 100 010 001. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-18 e4.

(25) Codificación bloque binaria lineal Decodificación con síndrome. Realización con “circuitos” Hamming (7,4). Corrección. Tabla de síndromes síndrome bit erróneo 000 Ninguno o 001 7 o 010 6 o 011 2 o 100 5 o 101 4 o 110 1 o 111 3 o. d̂1 d̂2 d̂3 d̂4. r1 r2 r3 r4 000 001 010 011 100 101 110 111. s1 s2 s3. ê. 1-8 decoder/demux Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-19 e4. Codificación sistemática G. d k. P. ª1 0 1 1 º «1 1 1 0 » « » «¬0 1 1 1»¼. H. T. c. k. P. k. Realización con “circuitos”. r1..k. I. m. m-k. Hamming (7,4). m. r. e. k. HT. d1 d3 d 4 d1 d 2 d3. k. tabla de síndromes error_ind. c6. c7. d 2 d3 d 4. c7. c5. r1 r2 r3 r1. r2. r3. r4. r5. r6. r7. 1-8 r4 demux. s1. r1 r3 r4 r5. s1. s2 s3. r1 r2 r3 r6 r2 r3 r4 r7. s2. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. m-k. ê. d1 d2 d3 d4. c5 c6. ª1 0 1 1 1 0 0º «1 1 1 0 0 1 0» « » «¬0 1 1 1 0 0 1»¼. s. I. P. m. d̂. corrección. s3. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. 000 001 010 011 100 101 110 111. JTEM. 4.2-20 e4.

(26) Codificación de canal. Codificación bloque (1) Codificación bloque binaria lineal Decodificación. Comprobación de paridad Generalización a más errores Recuperación de bits borrados. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-21 e4. Codificación bloque binaria lineal Codificación sistemática. Decodificación con síndrome G. d. r1..k. I k. k k. P. m-k. c. m. m. e. r. k. HT m. d̂. corrección. P. I. s. ê. k. tabla de síndromes error_ind m-k. x Sídrome s = HT r = [P | I] r conjunto de síntomas sobre errores producidos x Hípótesis reduce combinaciones de error (ejemplo: no hay más de un error) x Tabla de síndromes contiene los diagnósticos ê (dónde están los errores) para cada síndrome x Los diagnósticos ê permiten corregir los errores localizados (ei=1) Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-22 e4.

(27) Codificación bloque binaria lineal Generalización a más errores Para diseñar la tabla de síndromes hasta t errores: x Aplicar sucesivamente a HT todos los patrones de error a diagnosticar (de 1, 2, ... t errores) x Obtener el síndrome de cada uno:. HT ei o s i. ei. P. I. m. x Invertir la tabla. si m-k. s i o êi. x Hace falta que Los patrones de error produzcan síndromes distintos (elección adecuada de P) Haya suficientes síndromes para todos los patrones de error (¿cuántos?). Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-23 e4. Codificación bloque binaria lineal Generalización a más errores x El síndrome debe ser capaz de representar todos los patrones de error que se quiere poder diagnosticar x Si se quieren corregir hasta t errores en palabras de m bits, el número de patrones de error es: § m· § m· § m· § m· ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ / ¨¨ ¸¸ ©t¹ ©0¹ ©1¹ ©2¹. t. §m·. ¦ ¨¨ j ¸¸ j 0©. ¹. (patrones con 0 errores, con 1 error, con 2 errores , ... con t errores) x El síndrome (m-k bits) puede representar hasta 2m-k patrones de error Para que permita diagnosticar hasta t errores, (m-k) debe cumplir: 2. mk. §m· t ¦ ¨¨ ¸¸ j 0© j ¹ t. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. § t § m·· m k t log 2 ¨¨ ¦ ¨¨ ¸¸ ¸¸ número mínimo de paridades © j 0 © j ¹¹ Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-24 e4.

(28) Codificación bloque binaria lineal Generalización a más errores § t § m·· m k t log 2 ¨¨ ¦ ¨¨ ¸¸ ¸¸ número mínimo de paridades © j 0 © j ¹¹. t §m· 2 m k t ¦ ¨¨ ¸¸ j 0© j ¹. x No son códigos de "distancia máxima" x Si se conoce dH, la capacidad de corrección es t = E[(dH 1)/2] x Para corregir t errores hace falta dH 1 t 2 t x Si el código fuera de distancia máxima dH = m k + 1 ... ... para corregir t errores haría falta sólo m k t 2t. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-25 e4. Codificación bloque binaria lineal Generalización a más errores Ejemplos. § t § m·· m k t log 2 ¨¨ ¦ ¨¨ ¸¸ ¸¸ © j 0 © j ¹¹. t § m· 2 m k t ¦ ¨¨ ¸¸ j 0© j ¹. m k min. 2(m-k) (min). mk (min). (si dH max). 1+32 = 33. 64. 6. 2. 1. § 32 · § 32 · § 32 · ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ©0¹ ©1¹ ©2¹. 1+32+496 = 529. 1024. 10. 4. 2. § 32 · § 32 · § 32 · § 32 · ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ©0¹ ©1¹ ©2¹ ©3¹. 1+32+496+ +4960 = 5489. 8192. 13. 6. 3. JTEM. 4.2-27 e4. m. t. 32. 1. § 32 · § 32 · ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ©0¹ ©1¹. 32. 2. 32. 3. patrones de error. t. x No son de "distancia máxima" (dH = m k + 1). Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal.

(29) Codificación bloque binaria lineal Codificación sistemática Ejemplos de códigos posibles. § t § m·· m k t log 2 ¨¨ ¦ ¨¨ ¸¸ ¸¸ © j 0 © j ¹¹. t § m· 2 m k t ¦ ¨¨ ¸¸ j 0© j ¹. m palabra-código. t errores que corrige. m k (min) paridades. k mensaje. (m,k). k/m tasa cod.. 32 24 16 32 24 16 32 24 16. 1 1 1 2 2 2 3 3 3. 6 5 5 10 9 8 13 12 10. 26 19 11 22 15 8 19 12 6. (32,26) (24,19) (16,11) (32,22) (24,15) (16, 8) (32,19) (24,12) (16, 6). 0,81 0,79 0,69 0,69 0,62 0,50 0,59 0,50 0,37. No son de máxima distancia (dH < m k +1) Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. pero son de fácil realización. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-28 e4. JTEM. 4.2-29 e4. Codificación de canal. Codificación bloque (1) Codificación bloque binaria lineal Decodificación. Comprobación de paridad Generalización a más errores Recuperación de bits borrados. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal.

(30) Codificación bloque binaria lineal Codificación sistemática. Recuperación de bit perdidos (borrados) x Bit perdido o “borrado”: no se sabe su valor x Codificación de canal permite recuperar bits borrados de los que: (no hay errores en los no borrados) se sabe su posición pero no su valor ¿Cómo? x Se ponen en r los bit borrados (valor desconocido) a “0” x Si r = c + e, el vector de error e es “0” en los bit no borrados y “1” ó “0” en los borrados, según el valor transmitido (c). c c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 p borrado. c1 c2 No hay errores de transmisión Sólo hay bits borrados. c6 c7. r c1 c2 0 c4 0 c6 c7 e. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. c4. 0 0 c3 0 c5 0 0. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-30 e4. Codificación bloque binaria lineal Codificación sistemática. Recuperación de bit perdidos (borrados) x Se calcula el síndrome. x Si el síndrome es capaz de representar todos los posibles patrones de error se podrán recuperar los bits borrados x Para b bits borrados: el número de patrones de error distintos es 2q. ejemplo b = 2:. e. 0 0 e3 0 e5 0 0. x Para que el síndrome puede representar todos los posibles patrones de error: m-k t b. (se pueden recuperar tantos bits borrados como redundantes hay). (si no hay errores de transmisión): x Se pueden borrar m-k bits “sistemáticos” (los del mensaje c1...ck) y recuperarlos con los demás x y, naturalmente,... se pueden borrar los m-k bits “de paridad” Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-31 e4.

(31) Codificación bloque binaria lineal Codificación sistemática. Recuperación de bit perdidos (borrados) Ejemplo Hamming (7,4) puede recuperar hasta 3 bits borrados. 2 bits borrados (3 y 4). 3 bits borrados (3, 4 y 5). Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Patrones error (e) 0000000 0001000 0010000 0011000. síndromes s = HTe 000 010 001 011. Patrones error (e) [0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 1 0 0] [0 0 0 1 0 0 0] [0 0 0 1 1 0 0] [0 0 1 0 0 0 0] [0 0 1 0 1 0 0] [0 0 1 1 0 0 0] [0 0 1 1 1 0 0]. síndromes s = HTe 000 100 101 001 111 011 010 110. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.2-32 e4. JTEM. 4.2-33 e4. Codificación de canal Conceptos Codificación bloque (1) Codificación bloque binaria lineal Decodificación. Comprobación de paridad Generalización a más errores Recuperación de bits borrados Codificación bloque (2) Códigos cíclicos Codificación convolucional Decodificación blanda. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal.

(32) Codificación de canal Conceptos Codificación bloque (1) Codificación bloque binaria lineal Decodificación. Comprobación de paridad Capacidad de corrección de errores Codificación bloque (2) Códigos cíclicos. Codificación convolucional Decodificación blanda. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-1 e4. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-2 e4. Codificación bloque (2). Códigos cíclicos binarios Códigos cíclicos Codificación/Decodificación Realización Códigos cíclicos no binarios Codificación bloque no binaria Códigos cíclicos no binarios. Códigos Reed-Solomon Codificación concatenada. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación.

(33) Codificación bloque binaria lineal Codificación sistemática. Realización con “circuitos” x Codificador: sólo hay que calcular los m k bits de paridad x Decodificador: calcular los m k bits del síndrome Paridad (4,3) d1 d2 d3 d4. P. >1. 1 1 1@. c5. d1 d 2 d3 d 4. >1. HT. c5. 1 1 1 1@. r1. r2. r3. r4. r5. s1 r1 r2 r3 r4 r5. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. s1. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-3 e4. Codificación bloque binaria lineal Codificación sistemática. d1 d2 d3 d4. Realización con “circuitos” c5. Hamming (7,4). P. ª1 0 1 1 º «1 1 1 0 » » « «¬0 1 1 1»¼. HT. c5 c6. d1 d3 d 4 d1 d 2 d3. c7. d 2 d3 d 4. ª1 0 1 1 1 0 0 º «1 1 1 0 0 1 0 » « » «¬0 1 1 1 0 0 1»¼. s1. r1 r3 r4 r5. s2 s3. r1 r2 r3 r6 r2 r3 r4 r7. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. c6 c7. r1 r2 r3 r1. r2. r3. r4. r5. r6. r7. 1-8 r4 demux s1 s2 s3. 000 001 010 011 100 101 110 111. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-4 e4.

(34) Codificación lineal binaria Complejidad x Codificación:. calcular las paridades Pm-k, k dk. x Decodificación:. calcular el síndrome sm-k = HTm, m-k rm. Ejemplo (1000, 984) k = 984. bit de los mensajes. m = 1000. bits de las palabras-código. m - k = 16. bits de las paridades. x Codificación:. calcular las paridades P16, 984 d984. | 8.000 ex-or. x Decodificación:. calcular el síndrome HT1000, 16 c1000. | 8.000 ex-or. x Para códigos muy largos (m) la complejidad es muy grande x códigos cíclicos permiten el reducir la complejidad. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-5 e4. Códigos binarios cíclicos mensajes. palabras-código 2m en total. 2k correspondencia. 2k válidas ( ). Códigos cíclicos son los que cumplen esta propiedad: Si c=[c1 c2 ...cm-1 cm ] T pertenece al código (es una palabra válida) cualquier rotación [cp cp+1...cm c1...cp-1] T también pertenece al código. 0 1 1 0 1 0 0. x Permiten reducir mucho la complejidad de los codificadores y decodificadores. 0 0 0 1 1 0 1. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-6 e4.

(35) Códigos binarios cíclicos 11. 10. m=1 0. 1. m=2. k=1 dH =1 sin codificar. 00. 100. 101. m=3. 010. 000. k=2 dH =1 sin codificar. k=1 dH =2 repetición. m=2 00. 01. 111. 110. 11. 111. 110 101. 011. 011. 001. 000. 000. k=2 dH =2 paridad par. k=3 dH =1 sin codificar. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. k=1 dH =3 repetición. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-7 e4. JTEM. 4.3-8 e4. Códigos binarios no cíclicos 111. (2, 1) 00. (3, 2). 011. 01 000. 001. k=2 dH =1. (3, 1) 011 000. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. (3, 1) 000. 001. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal.

(36) Códigos binarios cíclicos Representación con polinomios x Se pueden representar las palabras-código binarias (y también los mensajes) ... ... como si fueran los coeficientes binarios de un polinomio de grado m 1 c X. cm1 X m 1 ... c1 X c0. }. c = [c0 c1 c3 } cm-1] T. vector. palabra-código cm-1. donde ci es binario (0 ó 1). cm1 X m 1 ... c1 X c0. polinomio c X. c2 c1 c0. Codificación/decodificación: x se puede hacer con operaciones con polinomios x suma, multiplicación (convolución), división, etc.. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-9 e4. JTEM. 4.3-10 e4. Códigos binarios cíclicos Representación con polinomios x Producto de polinomios c(X) = g(X) d(X) equivale a x Convolución de vectores c = g * d. y también a. x Producto de vector d por matriz de filas g repetidas cíclicamente c = Gd. G. ª g4 «0 « «0 « «0 «0 « «¬ 0. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. g3. g2. g1. g0. 0. 0. 0. 0. g4. g3. g2. g1. g0. 0. 0. 0. 0. g4. g3. g2. g1. g0. 0. 0. 0. 0. g4. g3. g2. g1. g0. 0. 0. 0. 0. g4. g3. g2. g1. g0. 0. 0. 0. 0. g4. g3. g2. g1. 0º 0 »» 0» » 0» 0» » g0 »¼. T. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal.

(37) Códigos binarios cíclicos Representación con polinomios Propiedad x Si un código formado por 2k palabras válidas de m bits es cíclico ... ... existe un único polinomio g(X), de grado m - k, tal que ... ... todos los polinomios del código son divisibles por él g X. g m k X m k g mk 1 X m k 1 ... g1 X g 0. g0 gm-k 1. x Si se conoce g(X) ... ... se puede saber si una palabra pertenece al código ... ... dividiendo su polinomio c(X) por g(X) y comprobando si el resto es cero. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-11 e4. JTEM. 4.3-12 e4. Codificación de canal - Códigos cíclicos. Códigos cíclicos binarios Códigos cíclicos Codificación/Decodificación Realización Códigos cíclicos no binarios Codificación bloque no binaria Códigos cíclicos no binarios. Códigos Reed-Solomon Codificación concatenada. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal.

(38) Códigos binarios cíclicos Codificación x Los mensajes y palabras-código se consideran: coeficientes binarios de polinomios de grado k – 1 y m – 1, respectivamente x g(X) (de grado m – k) se denomina polinomio generador del código x Multiplicando el polinomio de un mensaje (grado k – 1) ... ... por el polinomio generador (grado m-k) se obtiene un ... ... polinomio de grado m – k + k – 1 = m – 1 ... ... que pertenece al código al ser divisible por g(X) x Una forma de codificación (no sistemática) puede ser esa: El polinomio de la palabra-código se obtiene multiplicando el polinomio mensaje por el polinomio generador. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. Códigos binarios cíclicos.. JTEM. 4.3-13 e4. Codificación (no sistemática). x Un mensaje de k bits se representa con un polinomio de grado k-1: mensaje k 1 d X d k 1 X ... d1 X d 0 dk-1 } d2 d1 d0 x Su palabra-código asociada, de m bits, es la representada por el polinomio que se obtiene multiplicando por el polinomio generador: palabra-código m 1 c X g X d X cm1 X ... c1 X c0 cm-1 c2 c1 c0 } x En vez de la matriz generadora G se usa el polinomio generador mensajes d(X). palabras-código c(X) 2m en total. 2k c(X)= g(X) d(X). Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. 2k válidas ( ) divisibles por g(X). Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-14 e4.

(39) Códigos binarios cíclicos.. Codificación (no sistemática). x Codificar con c(X) = g(X) d(X) equivale a usar la siguiente x Matriz generadora G: todas sus filas iguales al vector de coeficientes del polinomio generador, con sucesivos desplazamientos: x Ejemplo: código (10,6) con polinomio generador g(X) de grado m – k = 4. G. ª g4 «0 « «0 « «0 «0 « ¬« 0. g3. g2. g1. g0. 0. 0. 0. 0. g4. g3. g2. g1. g0. 0. 0. 0. 0. g4. g3. g2. g1. g0. 0. 0. 0. 0. g4. g3. g2. g1. g0. 0. 0. 0. 0. g4. g3. g2. g1. g0. 0. 0. 0. 0. g4. g3. g2. g1. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. 0º 0 »» 0» » 0» 0» » g0 ¼». T. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-15 e4. Códigos binarios cíclicos. Codificación sistemática palabras-código c(X). mensajes d(X). 2m en total. 2k. 2k válidas ( ) divisibles por g(X). correspondencia. x Usar el código generado por g(X) pero ... ... cambiar la codificación para que sea sistemática x En vez de c(X) = g(X) d(X) usar otra correspondencia para que: c(X) tenga sus primeros k coeficientes iguales a los de d(X) ¿Cómo?. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-16 e4.

(40) Códigos binarios cíclicos Codificación sistemática x Formar un polinomio de grado m-1 con el mensaje desplazado m-k bits: m-k bits k bits d X X mk d k 1 X m 1 d k 2 X m 2 ... d 0 X m k. dk-1. }. d2 d1 d0 0 } 0 0. x Dividir por g(X) y obtener el resto d X X mk g( X ). q X . p X g X. d X X mk. g X q X p X. donde q(X) es el cociente entero y p(X) es el resto (grado < grado de g(X)) x Sumar p(X). (Nótese que p(X) + p(X) = 0). d X X mk p X. c X. g X q X p X p X. d X X mk p X. g X q X. - es divisible por g(X) pertenece al código. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-17 e4. Códigos binarios cíclicos Codificación sistemática d o c c X. d X X mk p X. - es divisible por g(X) pertenece al código. Si a un número se le resta (= suma) el resto de dividir por D ... ... el resultado es divisible por D ¿Cómo es ? d X X mk d k 1 X m 1 d k 2 X m 2 ... d 0 X m k. dk-1. }. } 0 0. d2 d1 d0 0. p X. m-k bits. p0 p1 X ... p m k 1 X m k 1. sumar equivale a concatenar:. m-k bits. k bits. pm-k-1. dk-1. }. } p1 p0. d2 d1 d0 pm-k-1 } p1 p0. x los primeros k bits son iguales a los del mensaje: codificación sistemática Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-19 e4.

(41) Códigos binarios cíclicos Codificación sistemática. d k. k. k. resto p y g(X) m-k. c. x Los bits de paridad se obtienen calculando el resto de dividir por g(X) x La palabra código se obtiene concatenando el mensaje con los m-k bits de paridad. Decodificación x El síndrome (m-k bits) se puede obtener mediante el resto de dividir el vector recibido por el polinomio generador g(X) x Si no hay errores, el vector recibido pertenece al código, es divisible por g(X) y el sindrome es cero x Si hay errores el síndrome puede permitir calcular algunos patrones de error. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-20 e4. Códigos binarios cíclicos Codificación sistemática d. r1..k k. 0. k. m-k. m. resto p y g(X) m-k. m. c m. Codificador: cálculo de la paridad (m-k) bits Decodificador cálculo del síndrome (m-k) bits. e. r. k. m. resto y g(X). d̂. corrección. s m-k. k. ê tabla de síndromes. error_ind. resto de dividir un polinomio de grado m-1 por el polinomio generador de grado m-k. x Resto de dividir: se puede realizar fácilmente con registros de desplazamiento. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-21 e4.

(42) Codificación de canal - Códigos cíclicos. Códigos cíclicos binarios Códigos cíclicos Codificación/Decodificación Realización Códigos cíclicos no binarios Codificación bloque no binaria Códigos cíclicos no binarios. Códigos Reed-Solomon Codificación concatenada. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-22 e4. Códigos binarios cíclicos x “Circuito” para realización del cálculo del resto de dividir por el polinomio g(X) x Registro de desplazamiento con EX-OR intercaladas. s0 g0 = 1. s1 g1. s3. … s m-k-2. g2. sm-k-1 gm-k-1. gm-k = 1. x El registro se inicializa a cero x Los m bits del dividendo entran en serie empezando por el coeficiente de X m-1 (al mismo tiempo se pueden ir transmitiendo y ya no es necesario guardarlos) x Al final se tienen en el registro los m-k bits del resto (paridades en el transmisor o síndrome en el receptor) x Se puede sacar el resto en serie desconectando la realimentación. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-23 e4.

(43) Códigos binarios cíclicos. Cálculo del resto. s0. s1. g0 = 1. … s m-k-2. s3. g1. sm-k-1. g2. gm-k-1. gm-k = 1. Al revés.... s m-k-1. s2. s m-k-2 …. s1 g2. g m-k-1. gm-k = 1. s0. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. g0 = 1. g1. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-24 e4. Códigos binarios cíclicos. Cálculo del resto s2. s3 g4 = 1. s1. g3. g2. s0 g1. g0 = 1. d. g u v x z a b c …. 1 g 3 g2 g1 g0 1 0 1 …. s3 s2 s1 s0 a. 1 g. 1 g3 g2 g1 g 0 0 s3 s2 s1 s0 b. 0 g. 0 0 0 0 0 0 s3 s2 s1 s0 c. 1 g. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. 1 g 3 g2 g1 g0. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-25 e4.

(44) Detección de error con códigos binarios cíclicos d. r1..k k. 0. c. k. m-k. m. resto p y g(X) m-k. m. s0 circuito resto y g(X). m. g0 = 1. g1. r. e. s1. s3. d̂ k. m. resto y g(X). … s m-k-2. g2. s m-k. sm-k-1 gm-k-1. gm-k = 1. x (Tx y Rx): el cociente no se necesita; sólo requiere memoria para almacenar el resto x (Tx y Rx): se puede realizar “en serie”: mientras se envían los bits del dividendo se van introduciendo en el divisor que al final contiene el resto x (Tx): al final se extrae y se transmite el resto en serie (paridades) x Se puede usar para cualquier longitud (k) de los mensajes (pueden ser ~1000) Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-26 e4. Códigos binarios cíclicos CRC: Cyclic Redundancy Check m-k. Polinomio generador. Sistema. x16 + x15 + x13 + x7 + x4 + x2 + 1 SDLC. CRC-16-IBM. 16. CRC-16-ANSI. 16. x16 + x15 + x2 + 1. USB. CRC-16-CCITT. 16. x16 + x12 + x5 + 1. X.25, Bluetooth. CRC-16-DECT. 16. x16 + x10 + x8 + x7 + x3 + 1. CRC-32-CCITT. 32. x32+x26+x23+x22+x16+x12+x11+ +x10+x8+x7+x5+x4+x2+x1+1. ITU-T I.432.1. 8. x8 + x2 + x + 1. GPRS. 12 8. DECT Ethernet, Serial ATA, MPEG-2, PNG ISDN-BB, GPON. x12 + x11 + x10 + x8+ x5 + x4 + 1 RLC - datos x8 + x6 + x3 + 1 RLC - cabecera. x La distancia de Hamming del código depende de (m k) y de la elección de g(X) x Longitud variable m x Los códigos se pueden acortar y alargar manteniendo (m k) Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-27 e4.

(45) Códigos binarios cíclicos CRC: Cyclic Redundancy Check s0. Ejemplos de divisores para cálculo de resto. g0 = 1. s1 g1. s3. … s m-k-2. sm-k-1. g2. gm-k-1. gm-k = 1. Cabecera RLC EDGE g(x)= x8 + x6 + x3 + 1. s0. s1. s2. s3. s4. s5. s6. s7. CRC-16-CCITT g(x)= x16 + x12 + x5 + 1. s0 s1 s2 s3 s4. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11. s12 s13 s14 s15. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-28 e4. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.3-29 e4. Codificación bloque (2). Códigos cíclicos binarios Códigos cíclicos Codificación/Decodificación Realización Códigos cíclicos no binarios Codificación bloque no binaria Códigos cíclicos no binarios. Códigos Reed-Solomon Codificación concatenada. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación.

(46) Codificación bloque (2). Códigos cíclicos binarios Códigos cíclicos Codificación/Decodificación Realización Códigos cíclicos no binarios Codificación bloque no binaria Códigos cíclicos no binarios. Códigos Reed-Solomon Codificación concatenada. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-1 e5. Codificación no binaria 2k válidas. bits. Binaria. 1. k. No binaria bits. 1. Cod kbomb. q. m. enteros. kE. Cod kEomE. 1. error BSC p. 1. 2 qk válidas. 1. m. Decod mbokb. decisión. k. 1. error ML. BSC mE. 2. m. k. 1. mE. qk k. 2q. mE. decisión. Decod mEokE. kE. q. 1. x Se agrupan q bits y se codifican con un número entero (de 0 a 2q-1) x Se forman mensajes de k enteros y se asocian a palabras-código de m enteros x El código tiene sólo 2qk palabras-código de enteros de las 2qm posibles Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-2 e5.

(47) Codificación de canal. palabras-código. mensajes. 2qm en total. ¿Cómo funciona? 2qk. 2qk válidas ( ). correspondencia. No binaria bits. 1. q. enteros. kE. Cod kEomE. 2 qk válidas. error ML. BSC mE. 1. 1. mE. qk k. 2q. mE. Decod mEokE. decisión. kE. q. 1. x Al transmitir una palabra-código, los errores hacen que se reciba otra distinta x Si la palabra-código recibida no es válida (no pertenece al código), se sabe que ha habido errores y en ese caso... x Se decide una de las 2qk palabra-código válidas: la más “parecida” (ML) Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-3 e5. Codificación no binaria Realización de codificadores y decodificadores x ¿Se puede hacer la codificación y decodificación con fórmulas c = g (d)? con d vector de k enteros (0 a 2q-1) (mensaje) c vector de m enteros (0 a 2q-1) (palabra-código) x ¿Se pueden representar las operaciones con productos de matrices c = Gd ? x Para asegurar que el resultado (c) sea un entero (0 a 2q-1) es necesario que … … todas las operaciones suma y multiplicación sean “internas”: resulten en un entero (0 a 2q-1) x Se utilizan cuerpos de Galois GF(M) que son conjuntos finitos de M = 2q enteros con operaciones + y u internas. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-4 e5.

(48) Codificación no binaria Codificación bloque entera no binaria c G d. ¦ Gij d j. ci. j. d (mensaje) c (palabra-código) G matriz generadora. vector de k enteros (0 a 2q-1) vector de m enteros (0 a 2q-1) muk enteros (0 a 2q-1). x Los elementos de d, c y G son de un cuerpo de Galois x Todas las operaciones suma y multiplicación son “internas”: resultan en un entero entero del conjunto (0 a 2q-1). codificación binaria. G sólo tiene “0” ó “1” o c es una suma de elementos de d (paridades). codificación no binaria. G tiene valores mayores de “1” o c se calcula con productos y sumas internos. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-5 e5. Codificación bloque no binaria Cuerpos de Galois x GF(M): conjunto finito de M enteros con operaciones + y u internas x Las operaciones suma y multiplicación resultan en un elemento del conjunto x Se usan con M = 2q que representan un “alfabeto” de palabras binarias de q bits. GF(22 = 4) 2 bits 0, 1, 2, 3 GF(21 = 2) 1 bit 0, 1 0+0=0 0+1=1. 0u0=0 0u1=0. 1+0=1 1+1=0. 1u0=0 1u1=1. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. 0+0=0 0+1=1 0+2=2 0+3=3. 2+0=2 2+1=3 2+2=0 2+3=1. 0u0=0 0u1=0 0u2=0 0u3=0. 2u0=0 2u1=2 2u2=3 2u3=1. 1+0=1 1+1=0 1+2=3 1+3=2. 3+0=3 3+1=2 3+2=1 3+3=0. 1u0=0 1u1=1 1u2=2 1u3=3. 3u0=0 3u1=3 3u2=1 3u3=2. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-6 e5.

(49) GF(23 = 8) 3 bits 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0+0=0 0+1=1 0+2=2 0+3=3 0+4=4 0+5=5 0+6=6 0+7=7. 2+0=2 2+1=3 2+2=0 2+3=1 2+4=6 2+5=7 2+6=4 2+7=5. 4+0=4 4+1=5 4+2=6 4+3=7 4+4=0 4+5=1 4+6=2 4+7=3. 6+0=6 6+1=7 6+2=4 6+3=5 6+4=2 6+5=3 6+6=0 6+7=1. 1+0=1 1+1=0 1+2=3 1+3=2 1+4=5 1+5=4 1+6=7 1+7=6. 3+0=3 3+1=2 3+2=1 3+3=0 3+4=7 3+5=6 3+6=5 3+7=4. 5+0=5 5+1=4 5+2=7 5+3=6 5+4=1 5+5=0 5+6=3 5+7=2. 7+0=7 7+1=6 7+2=5 7+3=4 7+4=3 7+5=2 7+6=1 7+7=0. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. 0u0=0 0u1=0 0u2=0 0u3=0 0u4=0 0u5=0 0u6=0 0u7=0 1u0=0 1u1=1 1u2=2 1u3=3 1u4=4 1u5=5 1u6=6 1u7=7. 2u0=0 2u1=2 2u2=4 2u3=6 2u4=3 2u5=1 2u6=7 2u7=5 3u0=0 3u1=3 3u2=6 3u3=5 3u4=7 3u5=4 3u6=1 3u7=2. 4u0=0 4u1=4 4u2=3 4u3=7 4u4=6 4u5=2 4u6=5 4u7=1 5u0=0 5u1=5 5u2=1 5u3=4 5u4=2 5u5=7 5u6=3 5u7=6. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. 6u0=0 6u1=6 6u2=7 6u3=1 6u4=5 6u5=3 6u6=2 6u7=4 7u0=0 7u1=7 7u2=5 7u3=2 7u4=1 7u5=6 7u6=4 7u7=3. JTEM. 4.4-7 e5. JTEM. 4.4-8 e5. Codificación de canal - Códigos cíclicos. Códigos cíclicos binarios Códigos cíclicos Codificación/Decodificación Realización Códigos cíclicos no binarios Codificación bloque no binaria Códigos cíclicos no binarios Códigos Reed-Solomon Codificación concatenada. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal.

(50) Codificación bloque no binaria Códigos cíclicos no binarios x Para reducir operaciones se pueden usar códigos cíclicos x El polinomio generador g(X) es de coeficientes enteros en GF(2q) Codificación/decodificación sistemática: x Igual que en caso binario pero números y con operaciones en GF(2q). d. r1..k k. 0. c. k. m-k. m. resto p y g(X) m-k. m. m. r. e. k. resto y g(X). m. d̂. corrección. s. k. ê tabla de. m-k síndromes. error_ind. x Diagnósticos (ê): localización y corrección. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-9 e5. Codificación bloque no binaria Códigos cíclicos no binarios Circuito para realización del cálculo del resto de dividir por el polinomio g(X). s0. s1. g0 = 1. g1. s3. … s m-k-2. sm-k-1. g2. gm-k-1. gm-k = 1. x Números y operaciones en GF(2q) x En el caso binario GF(21) las multiplicaciones son sólo conexiones que están o no están:. s0. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. s1. s2. s3. s4. s5. s6. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. s7. JTEM. 4.4-10 e5.

(51) Codificación de canal - Códigos cíclicos. Códigos cíclicos binarios Códigos cíclicos Codificación/Decodificación Realización Códigos cíclicos no binarios Codificación bloque no binaria Códigos cíclicos no binarios Códigos Reed-Solomon Codificación concatenada. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-11 e5. Códigos Reed-Solomon x Son códigos cíclicos no binarios con m = 2q 1 enteros. bits. 1. q. kE. Cod kEomE. 2 qk válidas. error ML. BSC mE. 1. 1. mE. x Óptimos: máxima distancia dH = m k +1. 2. qk. mE. Decod mEokE. decisión. kE. 1. q. (número de símbolos distintos) típico. Parámetros: q 2q m = 2 q 1 k (< m). número de bits de alfabeto de símbolos tamaño del alfabeto de símbolos enteros número de símbolos de las palabras-código. 8 256 255. número de símbolos de los mensajes (m k siempre par). Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-13 e5.

(52) Códigos Reed-Solomon Capacidad de detección y corrección x Máxima distancia dH = m k +1 x Puede corregir. (número de símbolos distintos). hasta t = (m k)/2 símbolos erróneos (no sabiendo dónde están). x Puede detectar hasta m k símbolo erróneos. (no sabiendo dónde están). x Puede recuperar hasta m k símbolos borrados. (sabiendo dónde están). Ejemplos. (255,223) (255,239) (255,251). corrección errores t. detección errores. recuperación borrados. m k. m k. tasa de codificación k/m. 16 8 2. 32 16 4. 32 16 4. 0,87 0,94 0,98. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-14 e5. Códigos Reed-Solomon Acortamiento x Si se necesita codificador con m y k más pequeños … … se puede “acortar” el de m = 255 x Acortar: quitar símbolos de entrada y de salida x Si se acortan por igual m y k: m k (número de “paridades”) no varía y se sigue teniendo la misma capacidad absoluta de corrección/detección/recuperación Ejemplos. ADSL TDT CD CD DVD DVD. Código madre (255, 223) (255, 239) (255,251) (255,251) (255,239) (255,239). Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Acortamiento (204,188) 51 (32,28) 223 (28,24) 227) (208,192) 47 (182,172) 67 y 6 perf. Acortado a. Bloque k 223 188 28 24 192 172. corrección detección t m k 16 32 8 16 2 4 2 4 8 16 5 10. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. tasa 0,87 0,92 7/8 6/7 0,92 0,94. 4.4-15 e5.

(53) Codificación de canal - Códigos cíclicos. Códigos cíclicos binarios Códigos cíclicos Codificación/Decodificación Realización Códigos cíclicos no binarios Codificación bloque no binaria Códigos cíclicos no binarios Códigos Reed-Solomon Codificación concatenada. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-16 e5. Codificación de secuencias Codificación (m, k) de una secuencia de bits (larga o indefinida). d[n]. 1. 2 qk válidas. c[n] k. Cod kbomb. m. 1. BSC p. ĉ>n@. error. r[n]. ML. 1. m. 2. qk. m. d̂>n@. Decod mbokb. k. decisión. 1. x Cada intervalo de codificación [n] se toman k nuevos bits de entrada x Se puede usar un codificador/decodificador bloque (Hamming, cíclico, etc.) c[n]= f(d[n]) la palabra código en [n] se calcula con el mensaje en [n] x El proceso puede ser indefinido. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-17 e5.

(54) Codificación bloque binaria lineal Mejora de la tasa de errores. Canal binario simétrico Ejemplo: Codificador (m,k) que corrige hasta t errores. k. cod. (m,k). m. BSC p. m. decod. (m,k). k. x Probabilidad de bloque no corregido (t +1 o más errores en bloque de m): § m · t 1 ¸¸ p 1 p ¨¨ 1 t ¹ ©. pB. m t 1. § m · t 2 ¸¸ p 1 p ¨¨ 2 t ¹ ©. m 21. § m · t 1 ¸¸ p | ¨¨ 1 t ¹ ©. /. x Probabilidad de error de bit de mensaje p B (caso peor: en bloque no corregido, todos los bits erróneos) Ejemplo:. m 32 t. § 32 · 3 p 10 3 o p B | ¨¨ ¸¸ p 4 ©4¹. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. 3,6 10 8. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-18 e5. Codificación de secuencias Codificación concatenada. con entrelazado de muchos bloques. Transmisor cod. exterior. entrelazado. Receptor cod. interior. decod. interior. desentrelazado. ráfagas de errores. decod. exterior. errores dispersos. x Dos codificaciones: interior y exterior + entrelazado (barajado) x El decodificador interior elimina los errores dispersos pero no las ráfagas x El desentrelazador dispersa los errores (no corregidos) de las ráfagas x El decodificador exterior elimina los errores ya dispersados. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-19 e5.

(55) Codificación concatenada Ejemplo Transmisor cod RS 24 (28, 24) 28. entrelazado. Receptor decod RS desentrecod RS decod RS canal p 32 (32, 28) 28 lazado 28 (28, 24) 24 28 (32, 28) 32 octetos. 109 u28. 109 u28. Compact Disk (Philips-Sony - 1982) dos Reed-Solomon (255,251) acortados codificador interior. RS (32,28). m k = 4. corrige 2 errores en bloque de 32. codificador exterior. RS (28,24). m k = 4. corrige 2 errores en bloque de 28. Entrelazado: 109 bloques de 28. Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-20 e5. Codificación concatenada Ejemplo (Compact Disk) Transmisor cod RS (32, 28) 32 28. Receptor canal p. decod RS 32 (32, 28) 28. x Tasa de errores de símbolo en el canal: p x Tasa de errores de símbolo a la salida: (m = 32, t = 2) § 32 · 3 p I | ¨¨ ¸¸ p 3 5 u 10 p ©3¹ Transmisor cod RS (28, 24). cod RS (32, 28) 32 28. Receptor canal p. decod RS 32 (32, 28) 28. decod RS (28, 24). x Si se pasan los bloque erróneos al decodificador exterior, tampoco puede corregirlos (tiene 3 o más errores) Universidad de Málaga E.T.S. Ingeniería de Telecomunicación. Departamento de Ingeniería de Comunicaciones MIT-TTSC – Codificación de canal. JTEM. 4.4-21 e5.