Cadet – 8vo a˜
no
1.R A G N
A K O O
Una sombrilla tiene la palabra KANGAROO escrita por arriba, como se muestra en la figura. ¿Cu´al de las siguientes figuras corresponde a dicha sombrilla?
(A)
N A
G
(B)
R
O
O
(C)
A
G
R
(D)
G N
A
(E)
O
O
K
Soluci´on: Las opciones A, C y D muestras letras en posiciones incorrectas. En B el orden es incorrecto. La opci´on correcta es la E.
2. Cuatro rect´angulos peque˜nos id´enticos se colocan juntos para formar un rect´angulo grande como se muestra. La longitud del lado m´as peque˜no del rect´angulo grande es de 10 cm. ¿Cu´al es la longitud del lado mayor del rect´angulo grande?
10 cm
(A) 10 cm (B) 20 cm (C) 30 cm (D) 40 cm
(E) 50 cm
Soluci´on: El lado m´as grande del rect´angulo peque˜no mide 10 cm, y dos lados peque˜nos del rect´angulo peque˜no miden igual que el lado grande del mismo. As´ı la longitud del lado mayor del rect´angulo grande es de 20 cm.
3. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros es el m´as cercano al n´umero 2,015×510,2?
(A) 0,1 (B) 1 (C) 10 (D) 100 (E) 1000
Soluci´on: Quitando los decimales, se puede aproximar mediante 2×500 = 1000.
4. La figura muestra las caras numeradas de un cubo desarmado. Silvia suma correctamente los n´umeros en caras opuestas del cubo. ¿Cu´ales son los totales que obtiene?
6
1
2
3
4
5
(A) 4,6,11 (B) 4,5,12 (C) 5,6,10 (D) 5,7,9 (E) 5,8,8
5. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros no corresponde a un entero?
(A) 2011
1 (B)
2012
2 (C)
2013
3 (D)
2014
4 (E)
2015 5
Soluci´on: 2014 no es m´ultiplo de 4, o ver r´apidamente que los otros numeradores s´ı son m´ultiplos de sus respectivos denominadores.
6. Un viaje de Koˇsice a Poprad (Eslovaquia) tarda 130 minutos. La parte del viaje de Koˇsice a Preˇsov dura 35 minutos. ¿Cu´anto tarda la parte del viaje de Preˇsov a Poprad?
(A) 95 minutos (B) 105 minutos (C) 115 minutos (D) 165 minutos (E) 175 minutos
Soluci´on: 130−35 = 95 minutos.
7. El diagrama muestra un prisma desarmado. ¿Cu´al arista coincide con la arista U V cuando se construye el prisma?
P Q
R
S T
U V
W X Y
(A)V W (B)XW (C)XY (D)QR (E)RS
Soluci´on: Observe que la arista XW coincide con la aristaV W, es decir el v´erticeX coincide con el v´ertice V y que el v´ertice Y coincide con el v´erticeU, as´ı la arista U V coincide con la arista Y X.
8. Un tri´angulo tiene lados de longitudes 6, 10 y 11. Un tri´angulo equil´atero tiene el mismo per´ımetro. ¿Cu´al es la medida de los lados del tri´angulo equil´atero?
(A) 18 (B) 11 (C) 10 (D) 9 (E) 6
Soluci´on: El per´ımetro es 6 + 10 + 11 = 27, por lo que los lados del tri´angulo equil´atero miden 27/3 = 9.
9. Cuando la ardilla Sim´on se desplaza por el suelo, nunca se aleja m´as de 5 m del tronco de su ´arbol. Adem´as, siempre se mantiene alejada por al menos 5 m de la casa del perro. ¿Cu´al de las siguientes figuras muestra mejor la forma de la regi´on del suelo por la cual se desplaza Sim´on?
(A) (B) (C) (D) (E)
10. Un ciclista maneja a 5 m por segundo. Las llantas de su bicicleta tienen una circunferencia de 125 cm. ¿Cu´antas vueltas completas da cada llanta en 5 segundos?
(A) 4 (B) 5 (C) 10 (D) 20 (E) 25
Soluci´on: Una vuelta de una llanta son 125 cm = 1,25 m. As´ı, en 5 metros la llanta da 5÷1,25 = 4 vueltas. Por lo que en 5 segundos, la llanta da 5×4 = 20 vueltas.
11. En cierta clase, no hay dos ni˜nos que hayan nacido el mismo d´ıa de la semana, ni dos ni˜nas que hayan nacido el mismo mes. Siempre que un ni˜no o ni˜na se unen a la clase, alguna de las condiciciones se deja de cumplir. ¿Cu´antos ni˜nos y ni˜nas hay en total?
(A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 24 (E) 25
Soluci´on: De la primera frase se concluye que el m´aximo n´umero posible de ni˜nos es 7, y el de ni˜nas es 12. De la segunda, que hay exactamente 7 ni˜nos y 12 ni˜nas, para un total de 19.
12. En el diagrama, el centro del cuadrado superior est´a directamente sobre el v´ertice com´un de los dos cuadrados inferiores. Cada cuadrado tiene lados de longitud 1. ¿Cu´al es el ´area de la regi´on sombreada?
(A) 3/4 (B) 7/8 (C) 1 (D) 11/4 (E) 11/2
Soluci´on: Seg´un la figura, observe que los tri´angulos ABC y ADE son congruentes, por lo que el ´area sombreada es de 1.
A B
C
D
E
13. Cada asterisco en la ecuaci´on 2∗0∗1∗5∗2∗0∗1∗5∗2∗0∗1∗5 = 0 debe ser reemplazado por + o por −de tal manera que la ecuaci´on sea correcta. ¿Cu´al es el menor n´umero de asteriscos que pueden ser reemplazados por +?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
Soluci´on: La suma de todos los n´umeros da 24, por lo que debe haber unos que sumen 12 y otros−12. Para disminuir el n´umero de s´ımbolos +, y dado que ya el 2 es positivo, entonces se coloca + adelante de dos 5’s.
14. Durante una tormenta caen 15 litros de agua por metro cuadrado. ¿Cu´anto aumenta el nivel de agua en una piscina al aire libre? (1 m3 = 1000 litros)
(A) 150 cm (B) 0,15 cm (C) 15 cm (D) 1,5 cm
(E) Depende del tama˜no de la piscina.
15. Un arbusto tiene 10 ramas. Cada rama tiene 5 hojas o 2 hojas y una flor. ¿Cu´al de los siguientes valores podr´ıa ser el n´umero total de hojas del arbusto?
(A) 45 (B) 39 (C) 37 (D) 31 (E) ninguna
Soluci´on: Se tiene que el n´umero de hojas est´a dado por 5x+ 2(10−x) = 3x+ 20, donde xes el n´umero de ramas con 5 hojas y 10−x el n´umero de ramas con 2 hojas. As´ı, cualquier valor posible cumple la condici´on que al restar 20, el n´umero resultante es m´ultiplo de 3, lo cual no se satisface en ninguno de los casos.
16. El promedio de notas de los estudiantes que tomaron una prueba de matem´atica fue de 6. Exactamente 60% de los estudiantes pasaron la prueba, y el promedio de sus notas fue de 8. ¿Cu´al es el promedio de notas de los estudiantes que fallaron la prueba?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
Soluci´on: 0,6·8 + 0,4x= 6, por lo tanto x= 3.
17. Una esquina de un cuadrado se dobla hacia su centro para formar un pent´agono irregular. Las ´areas del pent´agono y del cuadrado corresponden a enteros consecutivos. ¿Cu´al es el ´area del cuadrado?
(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16 (E) 32
Soluci´on: Sea x el ´area del cuadrado, por lo que x/8 es el ´area que se le quita. As´ı, x−x/8 = 7x/8 y x deben ser n´umeros consecutivos, es decir, 7x/8 + 1 =x de dondex= 8. Otra posibilidad es ver que 7x/8 debe ser entero, y verificando se observa quex= 8 satisface las condiciones del problema.
18. Raquel sum´o las longitudes de tres lados de un rect´angulo y obtuvo 44 cm. Elena sum´o las longitudes de tres lados del mismo rect´angulo y obtuvo 40 cm. ¿Cu´al es el per´ımetro del rect´angulo?
(A) 42 cm (B) 56 cm (C) 64 cm (D) 84 cm (E) 112 cm
Soluci´on: Seanxyylos lados del rect´angulo. As´ı 2x+y = 44 yx+2y= 40, de donde 2(2x+y)+2(x+2y) = 6x+ 6y= 88 + 80 = 168; as´ı 2x+ 2y = 168/3 = 56.
19. El diagrama indica los colores de algunos segmentos unitarios de un patr´on. Luis desea colorear cada segmento unitario restante de rojo, azul o verde. Cada tri´angulo debe tener un lado de cada color. ¿Qu´e color puede usar para el segmento marcado conx?
azul x azul
verde verde
(A) solo verde (B) solo rojo (C) solo azul (D) rojo o azul (E) es imposible
Soluci´on: Si se enumeran los segmentos como se muestra en la figura, la ´unica posibilidad para el 1 es verde, el 2 es rojo y el 3 azul; por otro lado la ´unica posibilidad para el 8 es azul, el 7 rojo y el 6 verde; finalmente, el 5 debe ser verde, el 4 rojo y la xazul.
azul x azul
verde verde
1 2 3 4
5
20. Irina pregunt´o a cada uno de sus cinco estudiantes cu´antos de ellos hab´ıan estudiado el d´ıa anterior. Pablo dijo que ninguno, Berta que uno, Olga que dos, Eugenio que tres y Gerardo que cuatro. Irina sab´ıa que aquellos estudiantes que no hab´ıan estudiado el d´ıa anterior no dec´ıan la verdad, pero que aquellos que s´ı hab´ıan estudiado dec´ıan la verdad. ¿Cu´antos de ellos estudiaron el d´ıa anterior?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Soluci´on: Dado que la respuesta de todos es diferente, solamente uno puede estar diciendo la verdad. Por lo que Berta fue la ´unica que estudi´o.
21. Rita desea escribir un n´umero en cada una de las siete regiones limitadas del diagrama. Las regiones se consideran vecinas si comparten parte de su l´ımite. El n´umero en cada regi´on es la suma de los n´umeros en todos sus vecinos. Rita ha escrito dos de los n´umeros, como se muestra. ¿Cu´al n´umero debe escribir en la regi´on central?
x 2 −4
?
(A) 1 (B)−2 (C) 6 (D)−4 (E) 0
Soluci´on: Observe que el 2 y el −4 tienen casi los mismos vecinos, a excepci´on de que el 2 tiene adem´as al ? como vecino, por lo que−4+? = 2, de donde ? = 6.
22. Cinco enteros positivos (no necesariamente diferentes) se escriben en cinco cartas. Pedro calcula la suma de los n´umeros tomando cada posible pareja de cartas. Obtiene solamente tres sumas diferentes: 57, 70 y 83. ¿Cu´al es el mayor entero escrito en alguna de las cartas?
(A) 35 (B) 42 (C) 48 (D) 53 (E) 82
Soluci´on: Pareciera que la ´unica posibilidad es que los valores de las cartas sean x−k, x, x, x, x+k, as´ı todas las posibles sumas de parejas dan 2x−k, 2x y 2x+k que corresponder´ıan respectivamente a 57, 70 y 83, por lo quex= 35 y k= 13, de donde el mayor valor ser´ıa 35 + 13 = 48.
23. Un cuadrado de ´area 30 se divide en dos por una diagonal y luego en tri´angulos, como se muestra. Las ´
areas de algunos de los tri´angulos se muestran en la figura. ¿Cu´al segmento de la diagonal es el m´as largo?
Soluci´on: Observe que todos los tri´angulos tienen la misma altura, por lo que el ´area es proporcional a cada uno de los segmentos, donde el ´area m´as grande le corresponde al tri´angulo que se forma con el segmento d.
2
3
1
5
4 a
b
c
d
e
24. En un grupo de canguros, los dos canguros m´as livianos pesan 25% del total del peso del grupo. Los tres canguros m´as pesados pesan el 60% del peso total. ¿Cu´antos canguros hay en el grupo?
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 15 (E) 20
Soluci´on: El resto del peso es de 15% que es menor que el peso de los dos canguros m´as livianos. Por lo tanto puede haber tan solo un canguro extra porque si hubiera dos o m´as pesar´ıan menos que los dos m´as livianos. As´ı, el n´umero total de canguros es 6.
25. Carlos tiene sietes piezas de alambre de longitudes de 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 cent´ımetros. ´El utiliza algunas de las piezas para construir un cubo de alambre cuyas aristas tienen 1 cm de longitud y sin traslapes. ¿Cu´al es el menor n´umero de piezas que puede utilizar?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
Soluci´on: El menor n´umero posible de piezas de alambre con las dimensiones dadas que Carlos puede utilizar es de 4. El cubo tiene 8 v´ertices, con 3 aristas que se encuentran en cada v´ertice. As´ı, en cada v´ertice debe de haber o una pieza o tres piezas de alambre con un extremo en dicho v´ertice. Dado que cada pieza tiene dos extremos, puede terminar en a lo sumo dos v´ertices distintos. El esqueleto de un cubo no se puede construir con una, dos o tres piezas de alambre dado que tendr´ıan a lo sumo dos, cuatro o seis v´ertices distintos, respectivamente. No solamente es cuatro el menor n´umero de piezas, es el ´unico n´umero de piezas que se podr´ıa utilizar. Luego, el problema consiste convierte en resolver la ecuaci´onx1+x2+x3+x4 = 12, donde cadaxise toma del conjunto de valores dados, lo cual solamente tiene dos soluciones: 1 + 2 + 4 + 5 = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
26. En el trapecio P QRS, los ladosP Q ySR son paralelos. ∠RSP = 120◦ yRS =SP =P Q/3. ¿De qu´e tama˜no es el ´angulo P QR?
Soluci´on: Sean RS = SP = x, P Q = 3x y ∠P QR = α. Se trazan las alturas SM y RN sobre P Q; ∠M SP = 30◦, por lo queP M =x/2,SM =RN =x√3/2,M N =x yN Q= 3x/2, por lo que tanα= 1/√3 de dondeα= 60◦.
P x
S x R
Q x
√ 3 2
M
x √
3 2
N
x/2 x 3x/2
α
27. Cinco puntos se encuentran sobre una l´ınea. Alejandro encuentra la distancia entre cada posible par de puntos. Obtiene, en orden creciente, 2,5,6,8,9, k,15,17,20 y 22. ¿Cu´al es el valor dek?
(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14
Soluci´on: La distancia entre los extremos debe ser de 22; as´ı, debe haber 3 casos donde la suma de las distancias sea 22; uno de ellos es 2 y 20, el otro es 5 y 17, as´ı que el otro debe ser 8 y k= 14; o 9 y k= 13. Dado que no hay dos distancias que sumen 13, la ´unica posibilidad es que k= 14.
28. Ayer escrib´ı el n´umero de tel´efono de mi amigo Elmer, y todos los d´ıgitos que escrib´ı eran distintos, pero olvid´e escribir uno de los 8 d´ıgitos. No tengo idea de cu´al d´ıgito olvid´e, o su posici´on en el n´umero; lo ´unico que s´e es que el primero de ellos es correcto, y que el d´ıgito faltante no tiene por qu´e ser diferente de los d´ıgitos que ya escrib´ı. ¿Cu´antos n´umeros diferentes posibles deber´ıa intentar como m´aximo si probara con todas las posibilidades?
(A) 55 (B) 60 (C) 64 (D) 70 (E) 80
Soluci´on: Son 7 posibilidades y 10 d´ıgitos, por lo que ser´ıan en total 70 posibilidades, sin embargo, digamos que se tiene el n´umero 80123456, entonces da lo mismo agregar, por ejemplo, un ˆ2 a la izquierda o a la derecha del d´ıgito 2, es decir, es lo mismo probar 801ˆ22345 que 8012ˆ2345. Como se tienen 6 d´ıgitos despu´es del primero (que se sabe que est´a bien) son en total 70−6 = 64 casos.
29. Mar´ıa divide 2015 por cada uno de los n´umeros del 1 al 1000, y escribe el residuo de cada divisi´on. ¿Cu´al es el mayor de los residuos?
(A) 15 (B) 215 (C) 671 (D) 1007 (E) Otro valor
Soluci´on: 2015 = 2·1007 + 1, por lo que no sirve porque el m´aximo n´umero por el que se divide es 1000. Luego, 2015 = 3·671 + 2, As´ı, 2015 = 2·672 + 671, de donde 671 es el m´aximo residuo posible.
30. Cada entero positivo se debe de colorear seg´un las siguientes tres reglas: 1. cada n´umero es rojo o verde; 2. la suma de cualesquiera dos n´umeros rojos diferentes es un n´umero rojo; 3. la suma de cualesquiera dos n´umeros verdes diferentes es un n´umero verde. ¿De cu´antas maneras distintas se puede lograr?
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) m´as de 6