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(1)

U N A-U CR-IT CR-U N ED-MEP-MICIT

PRIMERA ELIMINATORIA

NACIONAL

...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A B C P Q R

NIVEL A

(7

o

- 8

o

)

(2)

Estimado estudiante:

La Comisi´on de las Olimpiadas Costarricenses de Matem´ ati-ca 2011 le saluda y le da la m´as cordial bienvenida a la Pri-mera Eliminatoria Nacional, de estas justas acad´emicas y le desea los mayores ´exitos.

La prueba consta de un total de 25 preguntas de selecci´on ´

unica, ponderadas con un valor de 2 puntos cada respuesta correcta.

Para conocer del resultado de la prueba, puede consultar a partir del viernes 15 de julio de 2011, a la siguiente direcci´on electr´onica:

www.cidse.itcr.ac.cr/olimpiadas

INSTRUCCIONES GENERALES

• Debe trabajar en forma individual.

• Las respuestas a las preguntas que se le formulan, deben ser consignadas ´UNICAMENTE en la hoja de respuestas que se le ha entregado.

• Los dibujos que aparecen en la prueba no est´an hechos a escala.

• El formulario de preguntas es suyo, por lo que puede realizar en ´el todas las anotaciones, c´alculos o dibujos que le sean necesarios para resolver satisfactoriamente la prueba.

• No se permite el uso de hojas adicionales.

• Los ´unicos instrumentos cuyo uso se permite son los necesarios para escribir y dibujar. Se proh´ıbe el uso de libros, libretas de notas, tablas y calculadora.

• El examen tiene una duraci´on m´axima de tres horas.

• Escriba claramente los datos que se le solicitan en la hoja de respuestas.

SIMBOLOG´IA

AB segmento de extremosAyB ]ABC≈]DEF congruencia de ´angulos

AB medida del segmentoAB 4ABC∼=4DEF congruencia de tri´angulos

−−→

AB rayo de extremoAy que contiene aB ABC ↔DEF correspondencia respectiva entre puntos

←→

AB recta que contiene los puntosAyB 4ABC∼ 4DEF semejanza de tri´angulos

]ABC ´angulo de rayos−BA−→yBC−−→ AB∼=CD congruencia de segmentos

m]ABC medida del ´anguloABC AB÷ arco de extremosAyB

4ABC tri´angulo de v´erticesA,B,C m÷AB medida del arcoAB÷

ABCD cuadril´atero de v´erticesA,B,C,D (ABC) ´area del tri´anguloABC

k paralelismo (ABCD) ´area del cuadril´ateroABCD

(3)

1. Al trazar las dos diagonales de un rect´angulo, la mayor cantidad de tri´angulos que quedan de-terminados corresponde a

a) 4 b) 6 c) 8 d)10

Soluci´on:

Los tri´angulos determinados son 8:4ABE,4AED,4DEC,4CEB,4DBC,4ABC,4DAB

y4ADC.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . A B C D E

2. Si en un tri´angulo dado uno de sus ´angulos internos mide 42◦ y uno de sus ´angulos externos mide 84◦. Entonces dicho tri´angulo se clasifica de acuerdo con la medida de sus lados como

a) Escaleno b) Equil´atero c) Is´osceles d) Acut´angulo

Soluci´on:

Como la suma de las medidas de los ´angulos internos de un tri´angulo es 180◦ y adem´as un ´angulo interno y ´angulo externo en un v´ertice dado son suplementarios,tenemos que

180◦−84◦= 96◦ corresponde a la medida de un ´angulo interno. 42◦+ 96◦ = 138◦ es la suma de las medidas de dos ´angulos internos. 180◦−138◦= 42◦ es la medida del tercer ´angulo interno.

Entonces dicho tri´angulo se clasifica por la medida de sus lados como is´osceles.

3. En la figura,4ABC es equil´atero, 4CDE es rect´angulo enD yB−C−E.

(4)

Entonces, el ´angulo ∠DCE mide

a) 22,5◦ b) 30◦ c) 45◦ d) 60◦

Soluci´on:

4ABC equil´atero ⇒ BCA= 60◦ ⇒ CED = 60◦ pues son correspondientes entre paralelas. De donde∠DCE= 30◦, pues∠CED y∠DCE son complementarios

4. La cantidad de veces que aparece el n´umero 1 como d´ıgito en los n´umeros naturales menores que 100 corresponde a

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22

Soluci´on:

De 0 a 9 hay 1, de 10 a 20 hay 11, de 20 a 99 hay 8. Entonces hay un total de 1 + 11 + 8 = 20.

5. Si a un alambre de 90 cm se le realizan dos cortes de la siguiente forma:

• El primer corte se realiza de tal forma que resulten dos pedazos en donde uno es el doble de la longitud del otro.

• El segundo corte se le aplica al pedazo m´as largo de tal forma que resulten dos pedazos en donde uno es el doble del otro.

Entonces la medida del alambre de menor longitud corresponde a

a) 10cm

b) 15cm

c) 20cm

d) 30cm

Soluci´on:

En el primer corte resultan dos pedazos de 30cm y 60cm. En el segundo corte realizado al pedazo de 60cm resultan dos pedazos de 20cmy 40cm. Por lo que la longitud del alambre m´as corto es de 20cm.

(5)

ambos tri´angulos y la regi´on sombreada es un hex´agono regular de ´area 60. ... .. . ... .. . • A B C D E F O ... . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. ....

Entonces el ´area de4DEF es igual a

a) 80 b) 90 c) 100 d) 120

Soluci´on:

El hex´agono est´a compuesto por seis tri´angulos equil´ateros congruentes de ´area 10 y el tri´angulo est´a compuesto por 9 de los mismos tri´angulos, entonces el ´area de4DEF es 90.

7. La suma de cinco n´umeros entre 1 y 9, todos distintos, es 30. Entonces el menor de los cinco n´umeros es

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Soluci´on:

Una de las posibilidades de escoger cinco cifras con la condici´on es 1, 5, 7, 8, 9. Por lo tanto, la menor cifra que se puede tomar es 1.

8. Una baldosa cuadrada se une con cuatro baldosas rectangulares iguales de tal manera que se forma una baldosa cuadrada m´as grande que la original. Si el per´ımetro de cada baldosa rectan-gular es 14, entonces el ´area de la baldosa cuadrada grande es

(6)

Soluci´on:

La baldosa cuadrada grande es de tal forma que su lado es la suma del largo y ancho de cada baldosa rectangular. Como el per´ımetro de cada baldosa rectangular es 14, entonces la suma del largo y ancho es 7 . Por lo tanto, el ´area de la baldosa cuadrada grande es 49.

9. La cantidad de n´umeros primos menores que 100, cuyos d´ıgitos suman 5 corresponde a

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6

Soluci´on:

La lista de n´umeros menores que 100 cuya suma de d´ıgitos es 5 corresponde a 5, 14, 23, 32, 41, 50. De ah´ı, los n´umeros primos son 5, 23 y 41.

10. El ´area de un cuadrado es el doble del ´area de un tri´angulo y la base del tri´angulo mide el do-ble del lado del cuadrado. Entonces la raz´on entre el lado del cuadrado y la altura del tri´angulo es

a) 14 b) 12 c) 1 d) 2

Soluci´on:

Sealel lado del cuadrado,b,hla base y altura del tri´angulo respectivamente. Sabemosl2= 2·bh

2 yb= 2lentonces, sustituyendo, l2 = 2·l·h, de dondeh= 1

2·l. Por tanto, l

h = l

1 2·l

= 2.

11. De la lista de n´umeros 0, 1, 3, 8, 12 y 23 se toman 3 cualesquiera inclusive repetidos y se suman. Entonces, el menor n´umero que no se puede obtener de esa suma es

a) 18 b) 19 c) 22 d) 30

Soluci´on:

(7)

21 = 12 + 8 + 1, sin embargo, el 22 es el n´umero menor que no se puede obtener.

12. El ministerio de salud report´o hace un mes que 10 % de la poblaci´on padeci´o de una enferme-dad. En el trascurso de este mes, 20 % de las personas enfermas se curaron y un 10 % de las personas sanas se enfermaron. Entonces el porcentaje de la poblaci´on que goza de buena salud actualmente es

a) 82 b) 83 c) 90 d) 91

Soluci´on:

El n´umero de personas no es importante en el problema pero podemos suponer que son 100 para resolverlo. Como hace un mes 10 % estaban enfermos, entonces hab´ıa 10 personas enfermas y 90 saludables. En el transcurso del mes, un 20 % de las personas enfermas se curaron; es decir; 2 se recuperaron. El 10 % de las personas saludables; o sea, 9 se enfermaron. De ah´ı se sigue que hay 8 + 9 = 17 personas enfermas y 83 saludables que corresponde al 83 %.

13. Hab´ıa un pastor que s´olo sab´ıa contar hasta diez y que ten´ıa a su cargo un reba˜no numeroso. Para saber si no le faltaba ninguna oveja invent´o un sistema que pon´ıa en pr´actica todas las tardes. Agrupaba a las ovejas de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco y de seis en seis; en todos los casos le sobraban una oveja. Luego, las agrupaba de siete en sie-te sin que sobrara ninguna. Entonces, la suma de las cifras del menor n´umero posible de ovejas es

a) 4 b) 7 c) 9 d) 10

Soluci´on:

Si llamamosnal n´umero de ovejas,n−1 debe ser divisible entre 2, 3, 4, 5, 6 ynm´ultiplo de 7. Los n´umeros divisibles entre 2, 3, 4, 5, 6 son los m´ultiplos de 60, y al sumarle 1 debe ser divisible entre 7. Tenemos entonces

n−1 : 60,120,180,240,300

n : 61,121,181,241,301

Vemos que el menor n´umero posible es 301, y la suma de sus cifras es 4.

14. El ´angulo que recorre la aguja de las horas de un reloj en 75 minutos es

(8)

c) 35◦ d) 37,5◦

Soluci´on:

En 12 horas la aguja recorre un ´angulo de 360◦. Ahora 75 minutos corresponden a 11

4 horas. Por regla de tres, la aguja recorre un ´angulo de

11 4 ·360

12 = 5 4 ·360

12 = 75

2 = 37 1

2 = 37,5

15. Se triseca (divide en tres partes iguales) cada lado de un cuadrado y se forma otro cuadrado de tal manera que sus v´ertices son puntos de trisecci´on. Entonces la raz´on entre el ´area del cuadrado menor y el ´area del cuadrado mayor es

a)

3 3

b) 5 9

c) 2 3

d)

5 3

Soluci´on:

Supongamos que el cuadrado es de lado 3, entonces su ´area es 9. Cada uno de los cuatro tri´

angu-los rect´angulos que se forman tiene ´area 1·2

2 = 1 . As´ı, el ´area del cuadrado inscrito es igual al ´

area del cuadrado mayor menos la suma de las ´areas de los cuatro tri´angulos rect´angulos; o sea 9-4=5.

Por lo tanto la raz´on es 5 9 .

16. En un grupo hay 50 personas que hablan al menos uno de los idiomas espa˜nol, ingl´es y franc´es. Hay 5 que hablan los tres idiomas, 14 que hablan espa˜nol e ingl´es, 11 que hablan franc´es e ingl´es y 8 que hablan franc´es y espa˜nol. Entonces, la cantidad de personas que hablan s´olo uno de estos tres idiomas corresponde a

a) 17 b) 27 c) 32 d) 37

Soluci´on:

(9)

As´ı, hay 5 que hablan los tres idiomas y 9 + 3 + 6 = 18 que hablan dos idiomas. Entonces, los que hablan solo un idioma son 50−5−18 = 27

17. SeaABCDun rect´angulo tal queBC= 2AB,4BCE es un tri´angulo equil´atero cuyos lados intersecan aAD yM el punto medio deCE. Entonces la medida del ]CM D es

a) 60o b) 75o c) 80o d) 87o

Soluci´on:

Tenemos que EC = BC. Adem´as 2M C = EC = BC = 2AB ⇒ M C = AB = DC. As´ı, el

4CDM es is´osceles.

Ahora m]M CD = m]BCD−m]BCE

= 90o −60o = 30o

Por lo tanto, m]M CD+m]CM D+m]CDM = 180o

⇒30o + 2m]CM D = 180o

⇒m]CM D = 75o

18. En la siguiente secuencia XY Z55XY5XY Z55XY5XY Z55XY5, la letra o el n´umero que se encuentra en la posici´on 2011 corresponde a

a)X

b) Y

c)Z

d) 5

Soluci´on:

Se puede apreciar que en la secuencia dada existe un periodo de ocho elementos, por lo que realizamos la divisi´on de 2011 entre 8, tenemos 251 como cociente y 3 de residuo. As´ı, la letra que se encuentra en la posici´on 2011 esZ.

19. El n´umero de combinaciones posibles para tener 900 colones en 11 monedas de todas las deno-minaciones (c|5, c|10, c|25, c|50, c|100, c|500) es

(10)

Soluci´on:

Se debe tener al menos una moneda de cada denominaci´on, es decir 6 monedas distintas que suman c|690. Por lo tanto se debe tener c|210 en las restantes 5 monedas. Esto significa que no pueden haber m´as monedas de c|500 y a lo sumo una moneda de c|100. Las formas posibles son

# denominaci´on # denominaci´on # denominaci´on 1 100 colones 1 100 colones 4 50 colones 1 50 colones 2 50 colones 1 10 colones 2 25 colones 2 5 colones

1 10 colones

20. La cantidad de n´umeros enteros entre 100 y 500 que tienen exactamente 5 divisores es

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Soluci´on:

Si un n´umero tiene exactamente cinco divisores entonces es de la formaa4, dondeaes un n´umero primo. Tenemos que 34 = 81<100 y 54= 625>500, de este modo, no hay ning´un n´umero que cumpla la condici´on.

21. La cantidad de ceros al final del n´umero 158·210·105 corresponde a

a) 5 b) 8 c) 10 d) 13

Soluci´on:

158·210·105 = (3·5)8·210·(2·5)5= 38·58·210·25·55 = 38·22·213·513= 38·22·(2·5)13= 38·22·(10)13

As´ı, la cantidad de ceros es 13.

22. En la siguiente cuadr´ıcula de 4×4 deben colocarse los n´umeros 1, 2, 3, 4 de modo que la suma de los n´umeros de cada fila, columna, diagonal y subcuadr´ıcula de 2×2 resaltadas sea 10.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4 3 1

Entonces la suma de los n´umeros que deben colocarse en las casillas inferior izquierda y superior derecha de la cuadr´ıcula es

(11)

b) 5 c) 6 d) 7

Soluci´on:

La diagonal donde est´an el 3 y 4 solamente puede completarse con 2 y 1. El 1 no puede colocarse en la casilla inferior derecha (pues en esa subcuadr´ıcula faltar´ıa n´umero 5). Para completar la columna derecha deben colocarse el 4 y 3, en la casillas superior debe colocarse el 4 (si se coloca el 3 se llega nuevamente a necesitar un 5 en una casilla).

La ´unica forma posible es colocando los n´umeros como se muestra a continuaci´on, siendo 3+4 = 7 la suma pedida.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 4 3 3 4 2 1 2 1 3 4 4 3 1 2

23. La cantidad de n´umeros positivos de tres d´ıgitos que son divisibles por 11, tales que el d´ıgito de las centenas es la suma de los otros dos d´ıgitos, es

a) 8 b) 9 c) 10 d) 18

Soluci´on:

Seana, b, clos d´ıgitos de las centenas, decenas y unidades respectivamente. Para que el n´umeroabc sea divisible por 11, (a+c)−bdebe ser m´ultiplo de 11. Ahora, como a=b+c se sigue que (a+c)−b=b+c+c−b= 2c.

El ´unico valor posible para que 2csea m´ultiplo de 11 esc= 0 . Por lo tanto,a=by los n´umeros son 110,220,330,440,550,660,770,880,990, en total 9 n´umeros positivos.

24. La suma de los primeros 2011 n´umeros pares es p y la suma de los primeros 2011 n´umeros im-pares esq. Entonces la diferenciap−q es

a) 2010 b) −2010 c) 2011 d) −2011

(12)

p−q = (2 + 4 + 6 +...+ 4022)−(1 + 3 + 5 +...+ 4021) = (2−1) + (4−3) +...+ (4022−4021)

= 1 +| · · ·{z + 1}

2011veces

= 2011

25. Se tienen cinco medidores de agua A, B, C, D y E que corresponden a cada uno de cinco apar-tamentos 1, 2, 3, 4 y 5, no necesariamente en ese orden, situados cada uno en un piso distinto de un edificio. Ning´un apartamento tiene tanque auxiliar de agua. Quien instal´o los medidores olvid´o se˜nalar qu´e medidor corresponde a cada apartamento y ahora se ha presentado un da˜no que obliga a identificarlos correctamente. Se dispone de la siguiente informaci´on:

I) Solo el 2 y el 5 no est´an habitados.

II) Se cerraron todos los medidores, y posteriormente, al abrir a la vez el A y el B el inquilino del 4 report´o que ten´ıa agua.

III) Luego se cierra A y se abre C (B contin´ua abierto) y no se reporta cambios en la situaci´on de los apartamentos.

Entonces, la ´unica proposicic´on de las siguientes que es falsa es

a) El medidor E no corresponde al apartamento 5 b) El medidor C corresponde al apartamento 2 o al 5 c) El medidor A corresponde al apartamento 1 o al 3 d) El medidor B corresponde al apartamento 4

Soluci´on:

De II y III se infiere que el medidor B corresponde al apartamento 4. La afirmaci´on d) es verda-dera.

Como al abrir C no se reportan cambios entonces este medidor corresponde a uno de los apar-tamentos vac´ıos: 2 o 5. As´ı, b) es verdadera.

Cuando A estuvo abierto solo el 4 report´o que ten´ıa agua, pero esta proven´ıa del B (de acuerdo con II y III), entonces A corresponde a uno de los apartamento no habitados (el 2 o el 5). De este modo, c) es falsa.

Referencias

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