EJERCICIOS DE REPASO 2ª EVALUACIÓN PROPORCIONALIDAD
RAZÓN.-
Se llama razón de dos números al cociente indicado de dichos números.
Ej.
3
5
0 2
5
4
2 5
,
'
,
'
,...
etc
No hay que confundir razón con fracción. Si
a
b
es una fracción entonces a y b son números enteros con b 0, mientras que en la razóna
b
los números a y b pueden ser decimales.Los términos de una razón son el antecedente y el consecuente.
a
antededente
b
con
uente
sec
PROPORCIÓN.-
Proporción es la igualdad de dos razones.
Los números a, b y c, d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Es decir,
a
b
c
d
Se lee “a es a b como c es a d” En la proporción,
a
b
c
d
los números a y d se llaman extremos y los números b y c sellaman medios.
Ej. Dadas las razones
2
4
3
6
y
puesto que son iguales, ya que su cociente es el mismo, forman una proporción.PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES.-
Esta propiedad fundamental de las proporciones dice: En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
a
b
c
d
a · d = c · bEj. En la proporción anterior
2
4
3
6
2 · 6 = 3 · 4Por esta propiedad podemos calcular el término desconocido de una proporción.
Ej.
4
10
60
x
x
x
4 60
10
4 6
24
24
•
•
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.-
Antes de comenzar diremos, que magnitud es todo aquello que se puede medir. Si tenemos dos magnitudes metros de tela y precio, cuya relación viene dada por la siguiente tabla:
METROS DE TELA PRECIO
1 m 6 euros.
2 m 12 euros.
3 m 18 euros.
4 m 24 euros.
5 m 30 euros.
6 m 36 euros.
Se observan varias cosas:
1ª.- Que la razón de dos cantidades cualesquiera de la primera magnitud (metros) y la razón de las correspondientes cantidades de la siguiente magnitud (precio) forman una proporción.
36
18
6
3
;
24
12
4
2
...etc.
2ª.- Que los valores de una magnitud (precio) son proporcionales a los valores
correspondientes de la otra magnitud (metros), es decir, se forman una serie de razones iguales.
Precio
6
.
...
4
24
3
18
2
12
Metros
3ª.- Que a doble número de metros corresponde doble cantidad de Euros; a triple número de metros, triple cantidad de euros;...etc.
El doble de 2 metros es 4 metros. El precio de dos metros es 12 euros su doble es 24 euros. que es el precio que corresponde a los 4 metros.
2 m 12 euros
Doble metros Doble precio 4 m 24 euros
Por cumplirse estas condiciones se dice que las magnitudes “metros de tela” y “precio” son directamente proporcionales.
Si llamamos x al número de metros de tela y por y el valor en euros. se tiene la función lineal y = 6 · x
Dos magnitudes son proporcionales cuando la razón de dos cantidades cualesquiera de una de ellas y las correspondientes en la otra es una proporción.
Dos magnitudes son directamente proporcionales si se puede establecer en ellas una función lineal.
EJERCICIOS.-1.- Calcula el término desconocido: a)
9
12
12
x
b)
8
32
2
x
c)
5
3
21
x
2.- Escribe la proporción
3
8
6
16
de cuatro formas.3.- ¿Son directamente proporcionales las magnitudes:
a) Obreros de una fábrica y número de jersey realizados en la misma. b) Numero de bolsas de leche y su valor en euros.
c) La edad de una persona y su estatura. d) La edad de una persona y su peso.
4.- Resuelve escribiendo la función lineal que corresponda y la tabla con al menos cinco valores.
a) Un metro de cinta cuesta 20 euros. ¿Cuánto valen 50 metros.?
b) Por 5 kilos de arroz se pagan 400 euros. ¿Cuánto valen 13 kg. ?
En estos dos ejercicios son magnitudes directamente proporcionales. ¿Por qué?
APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA
1.- REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA.-
Una de las aplicaciones de la proporcionalidad la tenemos en la resolución de problemas en los que conocemos tres cantidades que pertenecen a dos magnitudes proporcionales y
debemos averiguar la cuarta. A este tipo de problemas se les llama de regla de tres simple directa.
Ahora veremos algunos ejemplos y como se resuelven:
Ej.- 1) Los 6 m de tubo de cobre valen 1.800 Euros. ¿Cuánto cuestan 9 m de tubo? En este problema intervienen dos magnitudes (metros y precio) que son directamente proporcionales. Se conocen tres cantidades, dos de ellas de una magnitud (metros de tubo) y la otra de la segunda magnitud (precio).
valen
Si 6 m 1.800 Euros. valdrán
9 m x
Al ser magnitudes proporcionales se puede escribir la proporción
6
9
1800
.
x
Y seguir resolviendo mediante la propiedad fundamental de las proporciones: 6 · x = 9 ·1.800
Despejando la x obtenemos:
x
9 1800
6
•
; x = 2.700 Euros.
También podemos resolver este problema mediante el método de reducción a la unidad. Si 6 m valen 1.800 Euros. Un metro vale 1.800 entre 6.
1
1800
6
300
m
.
Por lo tanto los 9 m valdrán 9 · 300 = 2.700 Euros.
Los problemas de regla de tres simple directa se pueden resolver también mediante funciones lineales.
Conociendo primero el valor de una unidad. En nuestro caso: y = 300 · x
Donde x son los metros e y el precio correspondiente.
EJERCICIOS APLICANDO LA REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA.
(Los ejercicios 1 y 2 resuélvelos también mediante reducción a la unidad. Y plantea la ecuación de la función lineal que resulte)
1.- Por hacer 7 metros de muro se han pagado 5.950 Euros. ¿Cuánto deberá pagarse por 13 metros de muro?
2.- Un motor extrae de una piscina 378 litros de agua en 9 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en extraer 2.100 litros.
3.- Diez toneles iguales contienen 800 litros de vino. ¿Cuántos toneles son necesarios para almacenar 32.000 litros de vino?
4.- En 17 cajas iguales hay 1.632 botones. ¿Cuántos botones habrá en 37 cajas como las anteriores?
2.- PROBLEMAS DE PORCENTAJE:
Otra de las aplicaciones de la proporcionalidad son los problemas de porcentajes. En los que el consecuente de una de las razones que forman la proporción es siempre 100, por eso se le llama también tanto por ciento.
Las rebajas de algunos artículos, los recargos por retraso de pago, etc. Se suelen expresar mediante un número que indica la rebaja o recargo que corresponde a 100 Euros
Si la rebaja en unas compras es del cinco por ciento 5 % =
5
100
, significa que de cada 100 Euros. te rebajan 5.Veremos algún ejemplo:
La cantidad que hay que pagar es proporcional al precio del libro. Estos problemas son un caso particular de regla de tres, en los que una de las cantidades es siempre 100.
Tenemos dos formas de resolverlo:
1º Calculando primero la rebaja: nos rebajan
Si de 100 Euros. 8
nos rebajarán
de 450 Euros. x
Si escribimos la proporción:
100
450
8
x
De donde
x
8 450
ptas
100
3 600
100
36
•
.
.
Euros es la rebaja. Para calcular lo que debo pagar tengo que restar 450 - 36 = 414 Euros.
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
MONOMIO.- Es una expresión algebraica en la que las letras están sometidas solamente a la operación producto (·) y potencia de exponente positivo.
Ej:
5
x
2, 3xy ,4
xz y
2 ,
x
x
2
5
2
5
,
x
x
2
1
;
3
POLINOMIO.-Es una expresión algebraica en la que las letras están sometidas a las
operaciones suma (+) y diferencia (-).También lo podemos definir como la suma y diferencia de varios monomios.
Ej:
5
x
2
3
x
x
3 ;3
xy
7
x
2
xy
SUMA Y RESTA DE MONOMIOS
Solo podemos sumar o restar cuando los monomios son semejantes (es decir, cuando tienen la misma incógnita elevada al mismo exponente)
Antes de ver los pasos parar sumar monomios debemos recordar sus términos:
Coeficiente Exponente
5
x
2 IncógnitaPasos:
1º- Al tener la misma base y el mismo exponente solo debemos sumar o restar los
coeficientes.
2º- Como la incógnita es la misma y el exponente también se dejan como están.
Ej:
7
x
4
2
x
4
9
x
4
7
x
4
2
x
4
5
x
4
7
x
4
2
x
4
9
x
4*No siempre el resultado es un monomio. Por ejemplo:
5
x
3
2
x
4
2
x
3
x
4
3 8
=5
x
3
2
x
3
2
x
4
x
4
3 8
7
x
3
3
x
4
5
5
7
3
4
3
x
x
MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE MONOMIOS
(
5
)
x
2•
2
x
•
(
8
)
80
x
3Ahora intenta hacer, los ejercicios que te doy en la otra hoja:
1º Señalar y separar los monomios semejantes
2º Operar los coeficientes de los semejantes
3º Ordenar el polinomio que se forma de mayor a menor exponente.
1º Multiplicar los coeficientes. Teniendo en cuenta los signos
2º Multiplicar los potencias que tienen la misma base. (Recuerda que para ella debes dejar la misma base y sumar los exponentes
1. ¡
Para recordar
! ¿Qué son monomios semejantes? ¿Qué condición
deben cumplir los monomios para poder sumarlos o restarlos? ¿Hace
falta esta misma condición para multiplicar o dividir? ¿Por qué?
2. Simplifica: ¡NO OLVIDES QUE SOLO PUEDES SUMAR LOS
MONOMIOS SEMEJANTES! ¡VALE!
a x
x
x
b x
x
x
x
c
x
x
x
x
d
x
x
x
)
)
)
)
3 2 3
4 5 5 4
2 3 2 3
3 2
2
2
5 7
5
6
2
3
5
6
8
3
8
3. Saca factor común:
a
x
x
x
b
x
x
x
c
x
x
x
d
x
x
x
)
)
)
)
2
4
6
15
20
30
9
6
3
2
3
3 2 4
5 3 4
2 4
7 6 5
4. Halla:
a x
x
b x
x
c x
x
d x
x
)
•
)
•
)
•
)
•
3 2 3 5 4 3 4 7e x
x
f x x
g x x
h x
x
)
:
)
:
)
:
)
:
3 2 3 5 4 3 4 75. Opera y simplifica el resultado todo lo que puedas:
a
x
x
b
x
c
x
x
x
x
d
x
x
x
x
)
(
)
) (
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
2
5
1
3 2
5
6
4
3
5
2
3
1
2 3
5
3
4 22
5
Ecuaciones de primer grado
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x48Sol:x4
b) x45Sol:x1
c) x4282Sol:x4
d) x84Sol:x4
e) x7712Sol:x12
f) 5x12255Sol:x13
g) 7x6x85xSol:x14
h) 6x24x9x8Sol:x15
i) 34x75x1Sol:x11
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x4(2x8)(6x)Sol:x1
b) 4x6(x4)52x3Sol:x4
c) 4
x9
6
2x
5xSol:x8d) 3
x6
52x
84
62x
Sol:x103. Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores. Te pongo la solución para que llegues a ella.