Capitulo III - Integrales Multiples.pdf

Integrales Múltiples

En el estudio de integrales múltiples, en el cual se tratan funciones de varias variables, se hará referencia a una integral de una función de una sola variable como integral simple. Para poder determinar la integral de una función, ésta debía estar definida en el intervalo cerrado del conjunto de los números reales. Para la integral doble de una función de dos variables, se pedirá que la función esté definida en una región cerrada de R2_.

Las coordenadas cilíndricas y esféricas son generalizaciones de las coordenadas polares para el espacio tridimensional. Se estudiarán al inicio ya serán de utilidad en toda la unidad.

Coordenadas cilíndricas

En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en espacio tridimensional está representado por el triple ordenado (r, q, z), donde r y q son coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desde el plano xy a P.[1]

Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares, usamos las ecuaciones:

(1.1)

x=r cosq y= r senq z=z

Para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas, usamos las ecuaciones:

(1.2)

r2=x2+y2 q =ArcTan y

x si x∫0 z=z

Ejemplo 1.1.1

z

x

y r=2

Θ=π z=1 (2, π, 1)

0 -=2

Coordenadas Cilíndricas

Para convertir de unas coordenadas a otras usamos las ecuaciones (1.1) y (1.2): (2, p,1) ö r=2, q = p, z=1

x=r cosq fl x=2 cosHpL=2H-1L= -2

y=r senq fl y=2 senHpL=2H0L=0

z=z fl z=1

Hx, y, zL Ø H-2, 0, 1L

Ejemplo 1.1.2

Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto en coordenadas rectangulares (3, -3, 7)

x=3 y=-3 z=7

r2=x2+y2 fl r2=H3L2+H-3L2=9+9=18 fl r= 18 =3 2

q =Tan-1 y

x fl q =Tan

-1 -3

3 =Tan

-1H_-1L ₌ - p

4 =2p

-p

4 =7

p

4

z=z fl z= -7

θ Sen(θ) Cos(θ) Tan(θ)

0 0 1 0

1

1 0 ∞

π 0 -1 0

Ejemplo 1.1.3

a) r=c

En este caso nos dicen que el radio es un valor constante c, y el resto de los parámetros cilíndricos pueden variar, eso corresponde a la gráfica de un ccilindro con centro en (0,0,0) y r=|c|

z

x

y r=|c|

0

-b) q=c

En este caso la variable que permanece fija es el ángulo en un valor constante, y las otras dos variables (r, z) pueden variar, la gráfica que esto genera es un plano como el de la figura:

z

x

y r=|c|

0

-θ=c

c) z=c

z

x

y z=c

0

-Ejemplo 1.1.4

a) r = 6 sen q

Para convertir esta ecuación en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas debmos tomar en cuenta:

r2=x2+y2 z=z

r = 6 senq ö Multiplicamos a ambos lados de la igualdad por r.

r*r = 6*r senq ö r2= 6 r senq Como y=r senq y r2=x2+y2

x2+y2=6 y öEsta ecuación corresponde con un cilindro.

b) r ( 3 cos q + 2 sen q) + 6z =0

Aplicamos la misma lógica de la parte anterior,

rH3 cosq + 2 senqL +6 z =0 Resolvemos la multiplicación por r

r 3 cosq +r 2 senq + 6 z =0

Reescribimos la ecuación para poder hacer la conversión x=rcosq y=rsenq

3 r cosq +2 r senq + 6 z=0

3 x + 2 y + 6 z=0 öEsta es la ecuación en coordenadas cartesianas.

Ejemplo 1.1.5

a) x2_+y2_=z

Para convertir de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas necesitamos saber que: x = r cos q y= r sen q z=z

x2+y2=z fl Hr cosqL2_+H

r senqL2₌

z

Sacamos factor común de r2:

r2Icos2q +sen2qM=z

Usamos la identidad trigonométrica cos2_{q +sen}2_{q =1}

r2 =z

b) x2_-y2_=z

Para convertir de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas necesitamos saber que: x = r cos q y= r sen q z=z

x2-y2=z fl Hr cosqL2_-H

r senqL2₌

z

r2cos2q - r2sen2q = z

Sacamos factor común de r2_:

r2Icos2q -sen2qM=z

Usamos la identidad trigonométrica cos2_{q -sen}2_{q =cos 2q}

r2cos 2q =z

Coordenadas Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se coloca en este punto. Por ejemplo, la esfera con centro en el origen y radio c tiene la muy sencilla ecuación r=c, ésta es la razón del nombre de coordenadas esféricas. La gráfica de la ecuación q=c representa un semicono con el eje z en su eje.

z

x

y

r θ

z P(ρ, θ ,ϕ)

0

-ρ ϕ ϕ

Las coordenadas rectangulares se pueden ver en la figura:

z= rcosf r= rsenf

Pero x= r cos q y = r sen q

x = rsenfcosq y = rsenfcosq z= rcosf

r2₌

x2+y2+z2

Ejemplo 1.2.6

4,

p

3) y encuentre sus coordenadas cartesianas.

PI2, p₄, p₃M ö P(r, q, f)

r=2 q =p₄ f =p₃

x= rsenfcosq = 2 sen p 3 cosK

p

4O=2 3

2 2

2 =

6

2

y= rsenfsenq = 2 sen p 3 senK

p

4O=2 3

2 2

2 =

6

2

z= rcosf = 2 cos p

3 = 2µ

1

2 =1

Ejemplo 1.2.7

Para obtener las coordenadas esféricas necesitamos:

x = rsenfcosq y = rsenfcosq z= rcosf

Para determinar a r usamos: r2_{= x}2_+y2_+z2

x=0, y=2 3 y z= -2

r = x2+y2+z2 = 02+4*3+4 = 16 =4

Ahora determinamos el valor de f:

z= rcosf Despejamosf

f = ArcCos z

r = ArcCos

-2

4 =ArcCos

-1

2 = p - ArcCos 1

2 = p

-p

3 =2

p

3

Finalmente necesitamos determinar el valor de q, para ello podemos hacer uso de una de las dos ecuaciones restante:

x = rsenfcosq De esta ecuación despejamos aq

q = ArcCos x

rsenf =ArcCos

0

2 senI2p

3M

= ArcCosH0L= p

2

Coordenadas esféricas ö 4, p 2, 2

p

3

Definición de la integral doble

Sea f una función de dos variables definida en una región rectangular cerrada R. La integral doble de f en R, denotada por Ÿ Ÿ

R

fHx, yLdA está definida por Ÿ Ÿ

R

fHx, yLdA= lím

»»D»»Ø0⁄i=1

n _fH_u

i, viLDiA

si este límite existe.

Si la integral doble de f en R existe, entonces se dice que f es integrable en R. El teorema siguiente,proporciona una condición suficiente para que una función de dos variables sea integrable.

Teorema 1 Teorema

Si una función de dos variables es continua en una región rectangular cerrada R, entonces f es integrable en R.

Ejemplo 1.3.8

Ÿ Ÿ

R

I3 y-3 x2M_dA

donde R es la región rectangularque tiene vértices en (-1,1) y (2,3). Considere una partición de R generada por las rectas x=0, x=1 y y=2, y tome el centro de la i-ésima subregión como Hui, viL.

H-1,3L

H-1,1L

H2,3L

H2,1L

H-0.5,2.5L

H-0.5,1.5L

H0.5,2.5L

H0.5,1.5L

H1.5,2.5L

H1.5,1.5L

x y

Solución:

Ÿ Ÿ

R

I3 y-3 x2MdA = ⁄ni=1fHui, viLDiA

= f(-0.5,1.5).1 + f(0.5,1.5).1 + f(1.5,1.5).1 + f(1.5,2.5).1 + f(0.5,2.5).1 + f(-0.5,2.5).1 = 4 . 1 + 4 . 1 + 0 . 1 + 3 . 7 + 7 . 1 + 7 . 1

= 25

Teorema 2 Teorema

Sea f una función de dos variables y continua en una región cerrada R del plano xy tal que f(x,y) ¥ 0 para todo (x,y) de R. Si V unidades cúbicas es el volumen del sólido S que tiene la región R como su base y cuya altura es f(x,y) unidades en el punto (x,y) de R, entonces

V = lím

»»D»»Ø0⁄i=1 n _fH_u

i, viLDiA

V = _{Ÿ Ÿ}

R

fHx, yLdA

Ejemplo 1.3.9

9 x 2_- 1

16 y 2

los planos x=3, y = 2 y los tres planos coordenados como una integral doble. Para resolver este problema considere la partición de la región rectangular en cuadrados de área 1. y tome el centro de la i-ésima subregión como Hui, viL.

V = Ÿ Ÿ

R

I4- 1 9x

2_- 1 16 y

2M_dA

V = f(0.5,0.5).1 + f(0.5,1.5).1 + f(1.5,0.5).1 + f(1.5,1.5).1 + f(2.5,0.5).1 + f(2.5,1.5).1 V = 3.957 + 3.832 + 3.734 + 3.609 + 3.290 + 3.165

Propiedades de la integral doble

Teorema 3 Teorema:

Si c es una constante y la función f es integrable en una región cerrada R, entonces cf es integrable en R y

Ÿ Ÿ

R

cfHx, yLdA= cŸ Ÿ

R

fHx, yLdA

Teorema 4 Teorema:

Si las funciones f y g son integrables en una región cerrada R, entonces la función f+g es integrable en R y

Ÿ Ÿ

R

@fHx, yL+gHx, yLDdA= _{Ÿ Ÿ}

R

fHx, yLdA+ _{Ÿ Ÿ}

R

gHx, yLdA

Teorema 5 Teorema:

Si las funciones f y g son integrables en una región cerrada R, y además f(x,y) ¥ g(x,y) para todo (x,y) de R, entonces

Ÿ Ÿ

R

fHx, yLdA¥ _{Ÿ Ÿ}

R

gHx, yLdA

Teorema 6 Teorema:

Sea f una función integrable en una región cerrada R, y suponga que m y M son dos números tales que mf(x,y)M para todo (x,y) de R. Si A es la medida del área de la región R, entonces

mA_{Ÿ Ÿ}

R

fHx, yLdAMA

Teorema 7 Teorema:

Suponga que la función f es continua en la región cerrada R y que la región R se compone de dos subregiones R1 y R2 que no tienen puntos en común excepto algunos puntos en parte de sus

fronteras, entonces

Ÿ Ÿ

R

fHx, yLdA = _{Ÿ Ÿ}

R1

fHx, yLdA + _{Ÿ Ÿ}

R2

fHx, yLdA

Ÿ Ÿ

R

fHx, yLdA = Ÿ_a

2

b2 Ÿa1

b1

fHx, yLdx dy

= Ÿ_a

2

b2 BŸa2

b2

fHx, yLdxFdy

Ejemplo 1.4.10

R

I3 y-2 x2MdA

Si R es la región del plano xy que consiste de todos los puntos (x,y) para los cuales -1x2 y 1y3. Solución:

Con a1= -1, b1=2, a2=1 y b2=3, se tiene según la ecuación previamente establecida que Ÿ Ÿ

R

I3 y-2 x2M_{dA = Ÿ} 1

3 Ÿ-1

2

I3 y-2 x2M_dxdy

= Ÿ₁3BŸ_-2₁I3 y-2 x2M_dxF_dy = Ÿ₁3A3 yx-2₃ x3E

-1 2

dy = Ÿ₁3H9 y-6Ldy

= 9

2 y 2_{-6 y}

1 3

= 81

2 -18 -9 2 +6

= 24

Ejemplo 1.4.11

R

H3 yx-2 xLdA

Si R es la región del plano xy que consiste de todos los puntos (x,y) para los cuales -1x2 y 1y3. Solución:

Si aplicamos las propiedas de las integrales dobles, podemos separar la integral original en dos integrales bajo la misma región:

Ÿ Ÿ

R

H3 yx-2 xLdA = Ÿ Ÿ

R

H3 yxLdA +Ÿ Ÿ

R

H-2 xLdA

= Ÿ₁3Ÿ_-2₁H3 yxLdxdy + Ÿ₁3Ÿ_-2₁H-2 xLdxdy

= I1 + I2

I1 = Ÿ₁ 3

Ÿ-1 2

H3 yxLdxdy = Ÿ₁33 yBŸ_-2₁xdxFdy = Ÿ₁33 yB Jx

2

2 -1 2 F_dy = Ÿ₁33 yA 4

2 -1 2 Edy = Ÿ₁33 yA3

= Ÿ₁3 9 2ydy I1 =

9 2J

y2

2 1

3 ₌ 9

2I 9 2

-1 2M =

9 2I

8 2M = 18 I2 = Ÿ₁

3 Ÿ-1

2

H-2 xLdxdy = Ÿ₁3H-2LBŸ_-2₁xdxFdy = Ÿ₁3H-2LB Jx

2

2 -1 2 F_dy = Ÿ₁3H-2LA 4

2 -1 2 Edy = Ÿ₁3H-2LA3₂Edy = Ÿ₁3H-3Ldy I2 = -3Iy 1

3 _{= H-3L H3-1L = -6}

Ÿ Ÿ

R

H3 yx-2 xLdA = I1+I2

= 18 - 6 = 12

Integrales Iterativas

Teorema 8 Teorema:

(i) Ÿ_abŸ_g 1HxL

g2HxL

fHx, yLdydx = _ŸabBŸ_g

1HxL

g2HxL

fHx, yLdyFdx

(ii) Ÿ_cdŸ_h 1HxL

h2HxL

fHx, yLdxdy=_ŸcdBŸ_h

1HxL

h2HxL

fHx, yLdxFdy

Ejemplo 1.5.12

Ÿ0 2

Ÿx2

2 x

Ix3+4 yMdydx

‡ 0 2 ‡ x2 2 x

Ix3+4 yMdydx = _‡ 0

2 B‡

x2

2 x

Ix3+4 yMdyFdx

= Ÿ₀2Ax3_{y+2 y}2

x2

2 x_E dx

= Ÿ₀2Bx3H_{2 x}L₊₂H_{2 x}L2_-x3_x2_-2I_x2M2F_dx = Ÿ₀2A2 x4+8 x2-x5-2 x4Edx

= Ÿ₀2A8 x2_-x5E_dx

= J8

3 x 3_- x6

6 0 2 ₌ 8

3*8 -64

6 = 32

Teorema:

(i) Sea R la región tipo I, si f es continua en R, entonces Ÿ Ÿ

R

fHx, yLdA = Ÿ_abŸ_g 1HxL

g2HxL

fHx, yLdydx

(ii) Sea R la región del tipo II, si f es continua en R, entonces Ÿ Ÿ

R

fHx, yLdA = Ÿ_cdŸ_h 1HxL

h2HxL

fHx, yLdxdy

Ejemplo 1.5.13

Ÿ0 2

Ÿy2

2 y

H4 x-yLdxdy

Ÿ0 2

Ÿy2

2 y

H4 x-yLdxdy = _Ÿ02BŸ_y2

2 y

H4 x-yLdxFdy

= Ÿ₀2BJ2 x2-yx _y2

2 y Fdy

= Ÿ₀2A8 y2-2 y2-2 y4+y3Edy = Ÿ₀2A6 y2_{-2 y}4_+y3E_dy = J2 y3_-2

5 y 5₊ y4

4 0 2

= 36

5

Área y Volumen

En la sección anterior se vio que el volumen V de un sólido que se encuentra bajo la gráfica de z= fHx, yL y sobre una región del tipo I en el plano xy está dada por

V = Ÿ_abAHxLdx=_Ÿab_Ÿg 1HxL

g2HxL

fHx, yLdydx

donde A(x) es el área de una sección transversal típica del sólido. Estas integrales pueden considerarse límites de sumas. Para determinar el volumen por secciones:

V=_ŸabAHxLdx= lím

»»p'»»Ø0⁄kAHukLDxk donde p' es una partición del intervalo [a,b],

uk es el k-ésimo subintervalo @xk-1, xkD de p'

Volumen como límite de sumas dobles

V= lím

»»D»»Ø0⁄k⁄j

fIuk, vjMDy_jDxk

V = Ÿ_abŸ_g 1HxL

g2HxL

fHx, yLdydx

Ejemplo 1.6.14

-2 0

2

X

-2 0

2

Y

-2 0 2

Z

-2 0

2

X

-2 0

2

Y

Solución:

Las gráficas son cilindros de radio 3, por simetría basta con determinar el volumen que hay en un solo cuad-rante del espacio tridimensional

0 1

2

3

X

0 1

2 3

Y

0 1 2 3

Z

0 1

2

3

X

0 1

2

Y

Finalmente el volumen total estaría dado por el volumen de esta parte multiplicado por 8. V=8Ÿ Ÿ

R

I9-y2M 1 2_dA

x2₊y2₌9

V=8Ÿ₀3Ÿ₀ 9-y

2 I9-y2M

1 2dxdy V=8Ÿ₀3BI9-y2M1ê2x 0

9-y2 Fdy

V=8Ÿ₀3BI9-y2M1ê2I_9-y2M1ê2F_dy V=8Ÿ₀3A9-y2E_dy

V=8J9 y- y3 3N0

3

=8H27-9L=144

Ejemplo 1.6.15

Veamos cuál es el dominio de la función:

y₌2₋2 x

Por lo tanto el volumen será:

V=_Ÿ01_Ÿ02-2 xIx2+y2+1Mdydx V=_Ÿ01BJx2_y+ y3

3 +yN0 2-2 x

Fdx

V=_Ÿ01B2 x2_{-2 x}3₊H2-2 xL3

3 +2-2 xFdx V=_Ÿ01B14₃ -10 x+10 x2_- 14 x3

V=I14 3 x-5 x

2₊ 10 3 x

3_- 7 6x

4 0 1

V=I14₃ -5+ 10₃ - 7₆M=11₆

Integrales dobles en coordenadas polares

Suponga que se desea evaluar una integral doble Ÿ Ÿ_RfHx, yLdA, donde R es una región parecida a la figura que se muestra posteriormente. Resolver este tipo de integrales en coordenadas rectangulareses bastante complicada, pero al hacer una transformación a coordenadas polares, la dificultad disminuye.

x y

x2_+y2_{=2 x}2_+y2₌₃

Recordemos que las coordenadas polares (r, q) de un punto se relacionan con la coordenadas rectangulares con las ecuaciones:

r2=x2+y2 x=r cosq y=r senq

Teorema 11 Cambio a coordenadas polares en una integral doble

Si f es continua en un rectángulo polar R dado por 0arb, aqb, donde 0b-a2p, entonces

Ÿ ŸRfHx, yLdA=Ÿa b

Ÿa b

fHr cosq, r senqLr dr dq

[JS,5]

Ejemplo 1.7.16

RI3 x+4 y

2M_{dA, donde R es la región del semiplano superior acotado por}

los círculos x2_+y2_{=1 y x}2_+y2₌₄

Primero debemos graficar la región R:

x y

x2+y2=1 x2+y2=4

Para el ángulo 0qp Para el radio 1r2 Y además:

x = r cos q y = r sen q Hacemos las sustituciones:

‡ ‡

RI

3 x+4 y2MdA = _‡

0

p

‡ 1

2

I3 r cosq +4Hr senqL2_{Mr dr dq}

= _‡

0

p

‡ 1

2

I3 r2cosq +4 r3sen2qMdr dq

= _‡

0

p

‡ 1

2

3 r2cosq dr dq + _‡ 0

p

‡ 1

2

4 r3sen2qdr dq

= _‡

0

p

B‡ 1

2

3 r2cosq drFdq + _‡ 0

p

B‡ 1

2

4 r3sen2qdrFdq

= _‡

0

p

Br3cosq 12dq + ‡ 0

p

Ar4sen2q 12dq

= _‡

0

p

H8-1Lcosqdq + _‡ 0

p

AH16-1Lsen2qdq

= 7 senq 0p +15

q

2 -sen 2q

4 0

p

= H7 senp -7 sen 0L + 15 p 2

-sen 2p

4 -15H0-sen 0L=15

p

2

Ejemplo 1.7.17

La integral a resolver sería: ‡ ‡

RI

1-x2-y2MdA

Para obtener el volumen de este sólido necesitamos conocer la base o la región R de integración, para ello haemos z=0:

Para llevar esto a coordenadas polares debemos tomar:

0 r  1 x= r cosq

0 q  2p y= r senq

Y la integral original ‡ ‡

RI

1-x2-y2MdA = _‡ 0

2p

‡ 0

1

I1-Hr cosqL2_-H

r senqL2_M

rdr dq

= _‡ 0

2p

‡ 0

1

I1-r2cos2q -r2sen2qMrdr dq

= _‡ 0

2p

‡ 0

1

I1-r2Icos2q +sen2qMMrdr dq

= _‡ 0

2p

‡ 0

1

I1-r2Mrdr dq = _‡ 0

2p _r2

2

-r4

4 ₀

1

dq =_‡ 0

2p₁

4dq

= 1

4q ₀

2p

=2p 4-0=

p

2

Ejemplo 1.7.18

Encuentre el volumen del sólido que yace debajo del paraboloide z=x2_+y2_{, arriba}

del plano xy y dentro del cilindro x2+y2=2 x

Integrales triples

La integral triple de f sobre la caja S es

Ÿ Ÿ Ÿ

S

fHx, yzLdV= lím

l,m,nض⁄i=1

l _⁄ j=1 m _⁄

k=1 n _fI_x

ijk, yijk, zijkMDV

si este límite existe.

Teorema 12 De Fubini para integrales triples

Si f es continua en el cuadro rectangular S=@a1, a2Dx@b1, b2Dx@c1, c2D, enonces

Ÿ Ÿ Ÿ

S

fHx, y, zLdV=_Ÿc

1

c2 Ÿb1

b2 Ÿa1

a2

fHx, y, zLdx dy dz

La integral iterada en el lado derecho del Teorema de Fubini significa que se integra primero con respecto a x (manteniendo y y z constante), luego se integra con respecto a y (manteniendo a z constante) y, por último, se integra respecto a z.

Ejemplo 1.8.19

2_{dV, donde R es la caja rectangular dada por}

R={(x,y,z) | 0£x£1, -1£y£2, 0£z£3}

Solución:

Se puede usar el teorema de Fubini para resolver esta integral en cualquiera de los seis ordenes: ‡ ‡ ‡

R

xyz2dV =_‡

0 3 ‡ -1 2 ‡ 0 1

xyz2dx dy dz

= _‡ 0 3 ‡ -1 2

yz2 x

2

2 ₀

1

dy dz = _‡

0 3 ‡ -1 2₁ 2yz

2_{dy dz}

= _‡ 0 3₁ 2z 2 y 2

2 _-1

2

dz = _‡

0 3₁

2 z

2 y 2

2 _-1

2 dz = _‡ 0 3₁ 2 3 2 z

2_{dz =} 3

4 z3 3 ₀ 3 = 3 4 27

3 -0 =

27

4

Ejemplo 1.8.20

Sxy senHyzLdV, si S es el paralelepípedo rectangular

limitado por los planos x=p, y= 1

2p, z= 1

3p y los planos coordenados.

Solución:

‡ ‡ ‡

S

xy senHyzLdV = _‡ 0 1 2p ‡ 0 1 3p ‡ 0 p

= _‡ 0 1 2p ‡ 0 1 3p B‡ 0 p

xy senHyzLdxFdz dy

= _‡ 0 1 2p ‡ 0 1 3p x

2

2 y senHyzL ₀ p

dz dy= _‡ 0 1 2p ‡ 0 1 3pp

2

2 y senHyzLdz dy

= _‡ 0 1 2p -p 2 2 y

cosHyzL

y ₀

1 3p

dy =_‡

0 1 2p

-p 2

2 cosHyzL ₀ 1 3p dy = _‡ 0 1 2p -p 2 2 cos yp 3 + p2

2 cosH0L dy=‡0 1 2pp

2

2 1-cos

yp

3 dy

= p

2

2 y

-3

p sen p

3 y ₀

1 2p = p 2 2 1

2p -3 psen p2 6 = p 3

4 -3

p

2sen

p2

6

Ahora discutiremos como determinar integrales triples en regiones de R3 _{diferentes de un paralelepípedorectangular.} Sea S la región tridimensional cerrada y limitada por los planos x=a y x=b, los cilíndros y= F1HxL y y= F2HxL, y las superficies z=F1Hx, yL y z=F2Hx, yL, donde las funciones F1, F2, F1y F2 son lisas. Trace planos paralelos a los planos coordenados de modo que se forme un conjunto de paralelepípedos rectangulares que cubran toda la región S. Los paralelepípedos que se encuentran completamente dentro de S o en la frontera de S forman una partición D de S. Elija un sistema para numerar de 1 a n estos paralelepípedos. La norma ||D|| de esta partición de S es la longitud de la diagonal más grande de los n paralelepípedos. El volumen del i-ésimo paralelepípeddo es DiV unidades cúbicas.

La integral triple puede resolverse usando integrales iteradas de la siguiente forma:

(1.3) ‡ a b ‡_F 1 F2 ‡

F1Hx,yL

F2Hx,yL

fHx, y, zLdz dy dx

Ejemplo 1.8.21

En la gráfica se puede observar claramente cuál es el volumen que se desea determinar, ahora veamos cómo son los límites de integración:

-5  x  5

- 25-x2  y  25-x2

0  z  8-x-y

Y la integral de volumen quedaría de la siguiente forma :

‡ -5 5

‡ -25-x2 25-x2

‡ 0

8-x-y

dz dy dx = _‡

-5 5

‡ -25-x2 25-x2

HzL₀8-x-ydy dx

= _‡

-5 5

‡ -25-x2 25-x2

H8-x-yLdy dx

= _‡

-5 5

8 y-xy- y 2

2 _{- 25-x}2 25-x2

dx

= _‡

-5 5

B H8-xL 25-x2 - 1

2I25-x

2M _{- -}H_8-xL _25-x2 _-1

2I25-x

2M F_dx

= 2‡ -5

5

H8-xL 25-x2 dx = 2‡ -5

5

8 25-x2 dx -2‡ -5

5

x 25-x2 dx

Resolvemos las dos integrales por separado:

1L 2_‡ -5

5

8 25-x2 dx Aplicamos la sustitución trigonométrica x= 5 senq

2‡ -5

5

8 25-x2 dx = 16‡ 25-H5 senqL2

5 cosqdq

= 16_‡ 25 cos

2

qdq = 16 *25 q 2+

sen 2q

4

En este momento es recomendable usar la identidad trigonométrica: sen 2q = 2 senqcosq

= 16 *25 q 2+

2 senqcosq

4

Ahora devolvemos el cambio de variable: q = ArcSen Ix

5M sen q = xê5 cos q = 25-x2

5

= 16 *25 ArcSenHxê5L

2 +

Hxê5L 25-x 2

5

= 16 25 ArcSenHxê5L

2 +

x 25-x2

2

-5 5

= 16 25 2

p

2 + 25

2

p

2 =16*25

p

2 =200p

2L 2‡ -5

5

x 25-x2 dx Aplicamos un cambio de variable u = 25 - x2 du= -2 xdx

2‡ -5

5

x 25-x2 dx= -_‡ u1ê2du = -u 3ê2

3ê2 =

-2

3 25-x

2

-5 5

=0

Ahora la integral original:

‡

-5 5 ‡

- 25-x2 25-x2

‡ 0

8-x-y

dz dy dx = 200p + 0 = 200p

Ejemplo 1.8.22

Primero definimos los límites de integración:

0  z  x2+4 y2

0  y  1- x

2

4

0  x 2

Y la integral quedaría de la siguiente forma :

‡ 0

2 ‡

0 1-x2ë₄

‡ 0

x2_{+4 y}2

dz dy dx

RESOLVER!!!!

Centros de masas y momentos de inercia

En esta sección estudiaremos varias aplicaciones importantes de la integración relacionadas con la masa. La masa es una medida de la resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento y es independiente del sistema gravitato-rio particular donde se halle el cuerpo. Fuerza y masa están relacionadas por la ecuación:

Las integrales dobles pueden usarse para determinar la masa de una lámina de densidad variable.

Definición 2 Definición de la masa de una lámina plana de densidad variable

Si r es una función densidad continua de una lámina que corresponde a una región plana R, la masa m de la lámina viene dada por

m = Ÿ_RŸrHx, yLdA Densidad variable

[6,LH]

Ejemplo 1.9.23

Primero graficamos la lámina triangular:

En este caso nos piden determinar la masa, para ello empleamos la definición anterior:

m=_‡

R‡

rHx, yLdA

m = _‡

R‡ H

2 x+yLdA

Ahora para aplicar los conocimientos sobre integrales iteradas, necesitamos conocer los límites de integración:

0  y  3

0  x  2

3 y

Retomando la integral original:

m = _‡

R‡ H

2 x+yLdA = _‡ 0

3 ‡

0 2 3y

H2 x+yLdx dy

m = _‡ 0

3 B‡

0 2 3y

H2 x+yLdxFdy = _‡ 0

3

Ix2+xyM₀ 2 3y_dy

m= _‡ 0

3 ₄

9 y

2₊ 2

3 y

2 _{dy =} ‡

0 3₁₀

9 y

2_{dy =} 10

9 y3

3 ₀

m= 10

9 27

3 =10

Definición 3 Momentos y Centros de Masas de una lámina plana de densidad variable

Sea r una función densidad continua sobre la lámina plana R. Los momentos de masa respecto de los ejes x e y son, respectivamente,

M

=

ŸRŸ

y

r

H

x, y

L

dA

y

M

=

ŸRŸ

x

r

H

x, y

L

dA

Si la masa de la lámina es m, el centro de masa es

H

x, y

L

=

J

,

Mx m

N

Si R representa una región plana en lugar de una lámina, el punto Hx, yL se llama el centroide de la región.

Ejemplo 1.9.24

Hallar el centro de masas de la lámina correspondiente a la región parabólica

0  y  4-x2

si la densidad en el punto (x,y) es proporcional a la distancia de (x,y) al eje x. Solución:

Como la lámina es simétrica respecto del eje y, y rHx, yL=ky

el centro de masa se encuentra en algún punto del eje y. Por tanto x=0. Para determinar y calculamos previamente la masa de la lámina.

m=_‡

-2 2 ‡

0 4-x2

ky dy dx =_‡

-2 2 _ky2

2

0 4-x2

dx=_‡

-2

2 kI4-x2M2

2 dx

m= k

2 ‡-2 2

I16-8 x2+x4Mdx= k

2 16 x -8

3 x

3₊ x 5

5 _-2

m= k

2B 32 -64

3 +

32

5 - -32+

64

3

-32

5 F=k 32 -64

3 +

32

5

m= 256 k

15

Ahora si podemos determinar el momento:

y= Mx

m

Mx =‡

-2 2 ‡

0 4-x2

yHkyLdydx=_‡

-2 2 ‡

0 4-x2

Iky2Mdydx=_‡

-2 2 _ky3

3

0 4-x2

dx

Mx =

k

3‡-2 2

I4-x2M3dx= k

3‡-2 2

I64-48 x2+12 x4-x6Mdx

Mx =

4096 k

105

Determinamos y:

y= Mx

m =

4096 k 105

256 k 15

= 4096 kH15L

256 kH105L = 16

7

Bibliografía

[1] Louis Leithold, "EL CÁLCULO", 7ma edición

[2] Earl Swokowski, "CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA", 2da edición [3] N. Piskunov, "CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL", 3ra edición [4] Roland Larson, "CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA", 6ta edición [5] James Stewart, "CÁLCULO MULTIVARIABLE".