PORTAFOLIO DE ACTIVIDADES REALIZADO POR LA ACADEMIA DE MATEMATICAS

(1)

(2)

INDICE

Etapa 1. Relaciones y funciones polinomiales ... 4

PROBLEMAS SELECCIONADOS ...4

1.1 Introducción...4

1.2 Funciones y relaciones lineales ...6

1.3.-FUNCIÓN CUADRÁTICA. ... 10

1.4 Función polinómica de grado superior. ... 15

GUIA DE APRENDIZAJE... 17

Actividad diagnóstica ... 17

Actividad de adquisición del conocimiento ... 18

Actividades de organización y jerarquización ... 18

LABORATORIO ... 23

Etapa 2 Funciones algebraicas racionales e irracionales ... 35

PROBLEMAS SELECCIONADOS ... 35

I. Introducción a las funciones algebraicas racionales ... 35

II. Introducción a las gráficas de funciones racionales, ... 35

discontinuidades y asíntotas ... 35

III. Más sobre gráficas de funciones algebraicas racionales ... 35

IV. Introducción a las funciones algebraicas irracionales ... 36

V. Gráfica de funciones irracionales ... 36

2.- Función variación ... 36

GUIA DE APRENDIZAJE... 37

Actividad diagnostica ... 37

Actividad de adquisición de conocimiento ... 37

LABORATORIO ... 40

Etapa 3 Funciones exponenciales y logarítmicas ... 47

PROBLEMAS SELECCIONADOS ... 47

GUIA DE APRENDIZAJE... 49

Actividad de adquisición del conocimiento ... 49

(3)

Actividad de aplicación ... 50

LABORATORIO ... 51

Etapa 4 Geometría Analítica ... 56

PROBLEMAS SELECCIONADOS ... 56

GUIA DE APRENDIZAJE... 59

Actividad diagnóstica ... 59

Actividades de adquisición del conocimiento ... 59

Actividad de organización y jerarquización ... 60

Actividad de aplicación ... 60

(4)

(5)

Etapa 1. Relaciones y funciones polinomiales

PROBLEMAS SELECCIONADOS

1.1 Introducción

I. Formas de representar una relación

Discute con tus compañeros y maestro cuál de los siguientes casos son funciones y cuáles

no lo son:

a) {(1, 2), (2, 1)}

b) {(a, b), (a, c), (c, d ), (e, f )}

c) {(x, 1), (y, 1), (z, 1)}

II. Gráficas

Para los siguientes problemas traza la gráfica de la relación, señala su rango e indica si se

trata o no de una función.

a) y = – 0.5x; dominio = {números reales}

b) y = x – 5; dominio = {enteros positivos}

(6)

NOTA:

El punto o círculo negro (•) indica ≤ , ≥ ; esto es, que el punto sí pertenece a la gráfica.

El hueco ( ) indica <, >; esto es, que el punto no pertenece a la gráfica.

III. Funciones en el mundo real

Para cada uno de los problemas diseña una gráfica razonable.

a) El número de latas de aluminio que has recolectado está relacionado con la cantidad de

dinero que obtendrás al vender las latas.

b) La altitud que alcance una pelota de fútbol, depende, entre otras cosas, del número de

segundos que trascurran desde que ésta fue pateada.

c) Cuando llenas el tanque de gasolina de tu carro y empiezas a manejar, la cantidad de

gasolina que quede en el tanque depende de la distancia que has recorrido.

(7)

1.2 Funciones y relaciones lineales

I. Función lineal

3. Ahora realiza las gráficas de las siguientes funciones:

a) y = 2x

b) y = 2x + 1

c) y = 2x + 2

d) y = 2x –1

e) y = 2x –2

f) y = 2x –3

4. ¿Qué efecto sobre la gráfica produce el cambio del término constante si la m permanece

fija?

5. ¿En qué se diferencian las gráficas de las funciones de los incisos e y f del problema 1 del

resto de las funciones del presente ejercicio?

II. Propiedades de la gráfica de una función lineal

Contesta lo siguiente:

1. Las gráficas de las funciones lineales son siempre__________

2. ¿A qué llamamos pendiente de una recta? _________________

3. ¿La pendiente de una recta está dada por qué parte de la ecuación?

4. El valor de la m determina la inclinación de la recta así:

a) Si m es positiva__________________

b) Si m es negativa __________________

c) Si m = 0 _______________________

5. ¿Cuándo una función recibe el nombre de función constante? ______________

6. El valor del término constante (b) señala el punto donde la gráfica cruza el ___________

7.-Traza correctamente la gráfica de las siguientes ecuaciones en papel cuadriculado.

8.-Utiliza el concepto de pendiente e intersección y, donde sea posible.

(8)

III. Formas de la función lineal o ecuación de la recta

1. Para las siguientes ecuaciones, realiza lo que se te pide:

• Determina la pendiente y las coordenadas del punto que aparece en la ecuación.

• Traza la gráfica de la recta.

• Transforma la ecuación a la forma pendiente– intersección.

• Transforma la ecuación a lo forma ordinaria.

• Transforma la ecuación a la forma intersección.

a) y - 2 = — (x - 6)

a) y = -2(x + 7)

b) y = — (x – 8)

3. Escribe la ecuación en la forma punto-pendiente para las funciones lineales descritas.

a) Pasa por el punto (1, 7), y tiene pendiente –3.

b) Pasa por el punto (6, 6), y tiene pendiente 5.

IV. Ecuaciones de funciones lineales a partir de su gráfica

1. Para los problemas:

• Determina le ecuación de la recta descrita.

• Transforma la ecuación, si es necesario, a la forma pendiente-intersección.

• Transforma la ecuación a la forma ordinaria Ax + By = C. donde A, B y C son constantes

reales.

a) Tiene pendiente 8 y la intersección y es -9.

b) Pasa por el punto (2, -6) y tiene una pendiente -1.

(9)

g) Pasa por el punto (3, – 5) y es perpendicular a la recta y = – 2x + 13.

V. Funciones lineales como modelos matemáticos



Bosquejar la gráfica.



Encontrar la ecuación particular.



Utilizar la ecuación para predecir valores de la otra variable.



Comprender el significado del valor de la pendiente y las

intersecciones en el mundo real.

b) Cuando te picas con un alfiler transcurre un instante antes de que digas “¡ay!”. El

tiempo de esta reacción varía linealmente con la distancia entre tu cerebro y el lugar

donde te picaste. Si el señor Garza pincha a Pedro en la mano y en el pie, estima un

tiempo de reacción de 15.2 y 22.9 milésimas de segundo, respectivamente. Considerando

que la mano se localiza a una distancia de 100 cm y el pie a 170 cm del cerebro de

Pedro:

• Escribe la ecuación particular expresando el instante de tiempo en términos de la

distancia.

• ¿Cuánto tiempo se tardaría Pedro en decir “¡ay!” si se picara en el cuello, a 10 cm del

cerebro?

• ¿Cuál es el valor de la intersección-tiempo y qué representa en el mundo real?

(10)

• Como las unidades de la pendiente son milésimas de segundo por centímetro, su

reciproco es la velocidad con que viaja un impulso nervioso en cm/ms. ¿Cuál es la

rapidez de un impulso nervioso en cm/s?

VI. Desigualdades e inecuaciones lineales

VII. Desigualdades e inecuaciones lineales en una variable

desigualdades. Representar las soluciones tanto gráficamente como en

forma de intervalo.

1. En las siguientes desigualdades encuentra el conjunto solución, represéntalo en forma

de intervalo y grafícalo en la recta numérica.

a) 6 x ≤ 18

b) 8x + 5 > 29

c) 12 –x ≤ 2x + 4

d) 14 > x +2

(11)

f) (6 + x) ≤ 3x –6

VIII. Desigualdades e inecuaciones lineales en dos variables.

1. Traza la gráfica de las inecuaciones planteadas:

a) y ≥ 3/4— x –2

b) 3x + 5y < 20

IX. Aplicación de desigualdades a modelos matemáticos.

1. Supongamos que puedes rentar un automóvil en cierta compañía A en $250 por semana,

sin cargo extra por millas recorridas. En otra compañía B el mismo auto puede rentarse en

$150 por semana, más $0.25 por cada milla recorrida.

¿Cuántas millas debes recorrer en una semana para que la tarifa de la compañía B sea

mayor que la de la compañía A?.

1.3.-FUNCIÓN CUADRÁTICA.

I. Forma general de la ecuación de la función cuadrática.

1. Transforma las siguientes ecuaciones a la forma general de la ecuación de una función

cuadrática.

(12)

a) y = (x + 3) (x - 2)

x = -1, x = 0, x = 1

b) y = 3x 2 + 2x - 3

x = -2, x = 0, x = 2

II. Gráfica de una función cuadrática

1. Contesta las siguientes preguntas en forma oral o escrita, según lo indique tu maestro. Si

tienes dudas al contestarlas, discútelas con tu maestro y/o compañeros.

a) ¿Qué forma tiene la gráfica de una función cuadrática y qué nombre recibe?

b) ¿Qué es el eje de simetría de la gráfica de una función cuadrática?

c) ¿Cuándo dos puntos de la gráfica son simétricos?

d) ¿Qué es el vértice de la gráfica y qué características tiene?

e) ¿Qué son las intersecciones de la gráfica?

f) ¿Cuánto vale la coordenada x de la intersección y ?

g) ¿Cuánto vale la coordenada y de la intersección x ?

h) ¿Cuál es la causa de que los lados de la gráfica de una función cuadrática se cierren o se

abran?

i) ¿Cuál es la causa de que la gráfica se abra hacia arriba o hacia abajo?

j) En la ecuación general, ¿qué constante te indica el valor de y, donde la gráfica corta el eje

Y ?.

III. Dado un valor de y, calcular x.

2. En las siguientes ecuaciones calcula el valor de y para los valores de x: a) x = 2, b) x = 0.

a) y = x

2

_{- x + 6}

_{c) y = x}

2

_{+ 3}

3. En las siguientes ecuaciones de las funciones cuadráticas, determina la intersección en y,

es decir, las coordenadas del punto donde las gráficas de cada una de ellas corta el eje Y.

a) y = x

2

_{- 6x + 8}

_{e) y = x}

2

_{+ 2x}

(13)

4. En las siguientes ecuaciones de funciones cuadráticas, calcula los valores de x, para los

valores de y: y = 1, y = 0.

a) y = (x + 2)(x - 1) d) y = (x + 2)

2

_{- 3}

5. En las siguientes ecuaciones de funciones cuadráticas, determina las intersecciones de x.

(resuelve por factorización donde sea posible).

a) y = x

2

_{+ 4x}

_{d) y = 2x}

2

6. Calcula las coordenadas del vértice de las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas

y da la ecuación del eje de simetría.

a) y = x

2

_{- 2x - 8}

_{d) y = x}

2

_{+ x - 0.75}

IV. Valores no reales de x, para un valor real dado de y

1. Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la naturaleza de las respuestas de la fórmula general cuadrática cuando el

discriminante b

2

_{- 4ac < 0?}

b) ¿Qué significa que los valores de x dados por la ecuación general cuadrática sean

números “no reales”, cuando se resuelve para un valor dado de y ?

c) ¿Cuál es el dominio de una función cuadrática?

(14)

e) En las siguientes funciones cuadráticas, investiga si los valores dados de y pertenecen al

rango de la función.

a) y = x

2

_{+ 2x – 8}

_{para y = 0; y = -10}

b) y = x

2

_{- 2}

_{para y = 0, y = -3}

g) Si la gráfica se abre hacia arriba, ¿qué puedes decir del vértice de la parábola?

h) Si la gráfica se abre hacia abajo, ¿qué puedes decir del vértice de la parábola?

V. Números imaginarios y complejos. Potencias de i.

1. Representa gráficamente los siguientes números complejos:

a) 2 + 3i

d) 1 + i

g) 4 - 2i

2. En las siguientes ecuaciones calcula el discriminante y analiza si las soluciones serán

compleja o reales (no resuelvas la ecuación).

a)

2x 2 - 6x - 20 = 0 b) 2x 2 - 4x + 5 = 0

4. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones en la ecuación dada.

a) x

2

_{- 2x + 2 = 0}

_{b) 2x}

2

_{- 2x + 1 = 0}

5. Calcula las siguientes potencias de la unidad de los números imaginarios:

(15)

6. Efectúa las operaciones indicadas entra los números complejos:

a) (5 - 3i ) + (-5 -3i )

b) (0 + 4i ) - (12 - 6i )

VI. Dos tópicos importantes de la función cuadrática

2. En un papel cuadriculado bosqueja las gráficas de las siguientes funciones

cuadráticas:

a) y = x 2 - x - 6 b) y = x 2 + 6x + 7

3. Contesta las siguientes preguntas:

a) Si la intersección x es un solo valor, ¿cómo queda situada la gráfica de la

función?

b) Si las intersecciones x no son números reales, ¿cómo queda situada la

gráfica de la función?

(16)

VIII. Aplicaciones de la función cuadrática a problemas del mundo real.

1. Un comerciante de manzanas necesita hacer una promoción para vender rápido su

producto,

pues no cuenta con un cuarto de enfriamiento para su conservación. El precio del kilogramo

de manzana es de $10.00, pero si el número de kilogramos que lleve el cliente es mayor de

5, piensa disminuir en $0.20 el precio por cada kilogramo; para ello preparará bolsas que

contengan diferente cantidad de manzanas.

a) Determinar cuál es el número de kilogramos del paquete más grande que debe hacer para

que su utilidad sea máxima.

b) ¿Cuánto pagará el cliente si se lleva la bolsa más grande?

1.4 Función polinómica de grado superior.

I. Factorización de polinomios de grado superior. El teorema del factor.

1. En los siguientes problemas utiliza el teorema del factor o el de la raíz racional para

factorizar completamente el polinomio o probar que no tiene factores lineales con exponentes

enteros.

a) x

3

_{+ 9x}

2

_{+ 24x + 20}

(17)

II. Raíces o soluciones de una función polinómica.

1. Obtén las soluciones o raíces de las siguientes funciones polinómicas. En los siguientes

problemas habrá que aplicar lo visto en la sección previa (teorema del factor y división

algebraica).

Grafica las funciones.

a) y = f (x) = 3x – 6

b) y = f (x) = x 2 – 3x – 10

III. Teorema del residuo

1. Realiza lo que se indica, aplicando el teorema del residuo y la división sintética.

a) Evalúa las siguientes funciones polinómicas en los valores de x que se señalan:

• Si P (x) = 2x 3 – 5x 2 + 4x – 6 encuentra P (3).

• Si P (x) = 4x 4 + 10x 3 + 19x + 5 halla P (-3).

b) Determina el residuo de las siguientes divisiones:

• (x 3 + 8x 2 + 6x + 1) ÷ (x + 5)

• (-2 + x 3 – 45x) ÷ (x + 7)

IV. División sintética

1. Realiza las operaciones indicadas por el método de división sintética.

a) (2x

3

_{+ 5x}

2

_{+ 4x – 6) ÷ (x + 3)}

b) (3x

4

_{+ 2x}

3

_{+ x}

2

_{+ 4x + 2) ÷ (x + 2)}

2. Factoriza los siguientes polinomios. Utiliza la división sintética, el teorema del residuo y el

teorema del factor.

a) x

3

_{- 5x}

2

_{- 2x + 24}

(18)

GUIA DE APRENDIZAJE

Actividad diagnóstica

1. De forma individual, en un documento escrito, electrónico o como el docente lo solicite,

Contesta las siguientes preguntas y en sesión plenaria discutan las respuestas.

a) ¿Qué entiendes por variable y por constante?

b) ¿El peso de las personas es una variable? Menciona ejemplos de variables.

c)¿A qué se le llama variable independiente de una relación?

d) ¿A qué se le llama variable dependiente de una relación?

e) En matemáticas se emplea la palabra relación. En general, ¿cuál es el significado de esta

palabra? Menciona ejemplos de relaciones.

f) ¿Cuál es la fórmula del área de un círculo?

¿Representa una ecuación en dos variables? ¿Por qué?

¿Esta ecuación representa una relación?

¿Cuáles son las variables involucradas?

(19)

Actividad de adquisición del conocimiento

1. De manera individual realiza la lectura “Gráficas”, “Gráfica de relaciones y funciones.

Criterio de la recta vertical” del libro de texto Matemáticas 3. Con base en la lectura anterior

contesta las siguientes cuestiones en plenaria:

a) Define relación.

b) Define función.

c) ¿Toda función es una relación? ¿Toda relación es función? Argumenta tus respuestas.

d) Define dominio de una relación.

e) Define rango de una relación.

f) ¿Para qué se aplica el criterio de la línea vertical?

g) ¿En qué se basa y qué expresa el criterio de la línea vertical?

Actividades de organización y jerarquización

Parte 1.- La función lineal

Con ayuda de tu profesor forma equipos de trabajo y con base en la lectura del tema “La

función lineal” de tu libro de Matemáticas 3, contesta las siguientes preguntas y en sesión

plenaria comparen y corrijan sus respuestas.

(20)

2. Define función constante y menciona tres ejemplos. ¿Por qué se le llama función

constante?

3. Si la función lineal está en la forma y = mx + b con m ≠ 0, ¿qué representan las constantes

m y b?

4. Para analizar las propiedades de la gráfica de la función lineal, bosqueja en un mismo

sistema de coordenadas cada una de las siguientes funciones y responde a la pregunta

planteada:

a) f(x) = x + 1

b) f(x) = 2x + 1

c) f(x) = 4x + 1

d) f(x) = - 2x + 1

e) f(x) = - 4x + 1

¿Qué tienen en común las gráficas anteriores?

Entonces, ¿cuál es el efecto del signo del coeficiente de x en la gráfica de la función lineal y

= mx + b?

5. De manera individual realiza la lectura “Propiedades de la gráfica de una función lineal” del

libro de texto Matemáticas 3. Con base en la lectura anterior contesta las siguientes

preguntas en plenaria:

(21)

b) ¿Cuál es la fórmula para determinar la pendiente de una recta si se conocen dos puntos

de su gráfica?

c) ¿Cómo se determina la intersección con el eje Y de una función?

d) ¿Cómo se determina la intersección con el eje X de una función?

e) ¿Cómo identificas la pendiente de una recta si conoces la función lineal?

Por ejemplo, ¿cuáles son las pendientes de las funciones lineales siguientes?

y = 3x - 5

y = - 4x + 1

y = x + 8

y =2/3x – 7

7. Después de leer “Formas de la función lineal o ecuación de la recta” del libro de texto

Matemáticas 3, llena la siguiente tabla con la información correspondiente:

(22)

Parte 2. Desigualdades e inecuaciones lineales

Comenta en plenaria las respuestas a las siguientes cuestiones.

1. Define los conceptos de “desigualdad” e “inecuación”.

2. ¿Cuáles son los símbolos usados para representar una desigualdad?

Parte 3. La función cuadrática

De manera individual realiza la lectura de “La función cuadrática” del libro de texto

Matemáticas 3. Con base en la lectura anterior contesta las siguientes preguntas y

coméntenlas en sesión plenaria:

1. ¿Cuál es la ecuación general de la función cuadrática?

2. ¿En qué tipo de función se convierte la ecuación general de la función cuadrática si el

coeficiente de x

2

_{es igual a cero?}

3. Transforma las siguientes ecuaciones a la forma general de la ecuación de una función

cuadrática.

a) y = (x - 4)(x + 3) + 7

b) y = (x - 3)

2

c) y = 2x(x - 7) + 5

Con base en las gráficas realizadas, responde las siguientes preguntas:

a) ¿Qué nombre recibe la gráfica de una función cuadrática?

(23)

c) ¿Hacia dónde abre la gráfica si el coeficiente “a” es negativo?

Parte 4. La función polinomial de grado superior

Una vez que tu profesor haya ejemplificado el método de división sintética, resuelve en

parejas las siguientes divisiones por este método; indicando el cociente y el residuo:

(24)

LABORATORIO

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, COMPROBANDO SU RESULTADO CON SU

PROCEDIMIENTO

1.- DETERMINE EL DOMINIO DE LA SIGUIENTE FUNCION:

3

6

5 )

(





x

F

A)

x



3 B)

x





3 C)

x



3 D

x



3 2.- DETERMINE EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN

y



3 x



15 A)

x





5 B)

x



5 C)

x



3 D)

x



3 3.- DE LA SIGUIENTE GRÁFICA, DETERMINE SU DOMINIO

y

3

2

1 x

-3 -2 -1 1 2 3 4

-1

-2

-3

A)

x





2 B)

x



3 C)



2 

x



3 D)

2 

x



3

(25)

4.- DETERMINE LA PENDIENTE DE LA LINEA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS

(

3 ,



15 )

Y

)

5 ,

2 (



A)

m



4 B)

m





4 C)

4

1 

m

D)

4

1 



m

5.- ENCONTRAR LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTAS EN LA FORMA DE

PENDIENTE-INTERSECCION SI

m



8 Y LA

INTERSECCIÓN EN y ES –4

A)

y



8 x



4 B)

y





8 x



4 C)

y



4 x



8 D)

y





4 x



8 6.-SI LA LINEA RECTA ES VERTICAL, SU PENDIENTE VALE:

A)

m



0 B)

m



1 C)

m







D)

m





7.- TRANSFORMAR LA ECUACIÓN

(

3 )

2

3

1 



x

y

A LA FORMA ORDINARIA:

A)

3 x



2 y



7 B)

2 x



3 y



7 C)

5 x



y



4 D)

x



y



1 8.- DETERMINAR LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA EN FORMA PENDIENTE-INTERSECCION

QUE PASA POR EL PUNTO (-4,-1) Y QUE ES PERPENDICULAR A LA RECTA

x



3 y





5 A)

y



3 x



1 B)

1

3

1 _



x

y

C)

1

3

1 _





x

y

D)

y





3 x



13 9.- DETERMINAR LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA EN FORMA ORDINARIA QUE PASA POR

EL PUNTO (2,-3) Y ES PARALELA A LA RECTA

5 x



4 y





1

(26)

10.- AL COMPRAR UN TERMÓMETRO EN ESCALA DE CELSIUS Y ESCALA FAHRENHEIT SE HA

ENCONTRADO QUE LA LECTURA FAHRENHEIT VARIA LINEALMENTE CON LA LECTURA

CELSIUS. SI EL TERMÓMETRO CELSIUS INDICA 100°C CUANDO UN TERMÓMETRO

FAHRENHEIT INDICA 212°F E 0°C CUANDO UN TERMÓMETRO FAHRENHEIT INDICA 32°F.

DETERMINE LA ECUACIÓN PARTICULAR EXPRESANDO °F EN TERMINOS DE °C.

A)

32

9

5 _



C

F

B)

32

5

9 _



C

F

C)

32

9

5 _





C

F

D)

32

9

5 _



C

F

A UN RESTAURANTE LE CUESTA $220 ELABORAR 30 HAMBURGUESAS, MIENTRAS QUE A 45

HAMBURGUESAS LE CUESTA $280. SI EL COSTO (C) VARIA LINEALMENTE CON LA CANTIDAD

DE HAMBURGUESAS PRODUCIDAS

(

x

)

Y CADA UNA DE ELLAS SE VENDE A $6.50.

DETERMINEPARA LOS PROBLEMAS 11 AL 14

11.. LA ECUACIÓN DE LA FUNCIÓN DE INGRESO:

A)

R

(

x

)



5 x

B)

R

(

x

)



6 .

5 x

C)

R

(

x

)





5 x

D)

R

(

x

)





6 .

5 x

12.- LA ECUACIÓN DE LA FUNCIÓN DE COSTO:

A)

C

(

x

)



5 x



100 B)

C

(

x

)



4 x



100 C)

C

(

x

)



5 x



125 D)

C

(

x

)



4 x



125 13.- LA ECUACIÓN DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD:

A)

U

(

x

)



2 .

5 x



100 B)

U

(

x

)



6 .

5 x



100 C)

U

(

x

)



6 .

5 x



100 _D)

U

(

x

)



2 .

5 x



100 14.. LA CANTIDAD DE HAMBURGUESAS QUE SE DEBEN DE ELABORAR Y VENDER PARA QUE

LA UTILIDAD SEA DE $260

A)

x



63 Hamburgues

as

B)

x



95 Hamburgues

as

C)

x



144 Hamburgues

as

D)

x



155 as

Hamburgues

(27)

15.- EVALUE EL COCIENTE

)

1 (

)

1 (



G

F

SI

F

(

x

)



x

2



3 x



2 Y

G

(

x

)



x

2



4 A)

)

1 (

)

1 (



G

F

=

2

1 B)

)

1 (

)

1 (



G

F

= -2

C)

)

1 (

)

1 (



G

F

= 2 D)

)

1 (

)

1 (



G

F

=

-3

1 16.- REPRESENTE LA SIGUIENTE DESIGUALDAD EN SU FORMA DE INTERVALO:



1 

x



4 A) [ ]

-5 -4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

B) ( )

-5 -4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

C) ( ]

-5 -4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

D) [ )

-5 -4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

17.- REPRESENTE EN FORMA DE INTERVALO LA SIGUIENTE DESIGUALDAD:

[ )

-5 -4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

A)



5 

x



2 B)



5 

x



2 _C)



5 

x



2 D)



5 

x



2

(28)

A)

x



20 B)

x





20 C)

x



20 D)

x





20 19.- TRAZE LA GRÀFICA DE LA INECUACIÓN:

3 x



5 y



20 20.- EL LARGO DE UN RECTÁNGULO ES DE

38 cm

. SI

x

REPRESENTA SU ANCHO. ¿PARA

QUE VALORES DE

x

SU

PERÍMETRO ES MAYOR QUE 204?

A)

x



64 cm

B)

x



64 cm

C)

x



85 cm

D)

x



85 cm

21.- EL COSTO DE PRODUCIR

x

ARTÍCULOS ESTA DADO POR

C

(

x

)



75 x



28 ,

00 . SI CADA

ARTÍCULO SE VENDE A

100 $

, ¿PARA QUÉ VALORES DE LA

x

LA COMPAÑÍA OBTIENE GANANCIAS?

A)

x



1 ,

250 artículos

B)

x



1 ,

250 artículos

C)

x



1 ,

120 artículos

D)

x



1 ,

120 artículos

22.- TRANSFORME LA ECUACIÓN

y



3 

x

(

x



2 )

A LA FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN

CUADRÁTICA.

A)

y



x

2



2 x



3 B)

y



x

2



2 x



3 C)

y



2 x

2



3 x



2 D)

y



2 x

2



3 x



2 23.- SI EN LA GRAFICA DE LA PARÁBOLA ES CÓNCAVA HACIA ABAJO (SE ABRE HACIA

ABAJO) EL COEFICIENTE “

a

“ DEL TERMINO

2

x

ES:

A)

a



0 B)

a



0 C)

a



0 D)

a



1 24.- ES EL UNICO PUNTO DE LA PARÁBOLA EN DONDE PARA UN VALOR DE

y

HAY UN SOLO

(29)

A) EL CENTRO

B) INTERSECCIÓN

x

C) INTERSECCIÓN

y

D) EL VÉRTICE

25.- SI EN LA FUNCION CUADRÁTICA, EL DISCRIMINANTE ES NEGATIVO LAS SOLUCIONES

SERÁN:

A) COMPLEJAS CONJUGADAS

B) REALES

C) RACIONALES IGUALES D) CEROS

26.- DETERMINE LA COORDENADA DEL VÉRTICE DE LA FUNCION:

y



3 x

2



12 x



15 A)

(

2 ,

0 )

B)

(



3 ,

4 )

C)

(

0 ,



4 )

D)

(

2 ,



27 )

27.- DE LA FUNCION

_F

(

_x

)



_x

2



8 _x



7 _{TRANSFÓRMELA A LA FORMA DE VÉRTICE}

A)

y



1 

2 (

x



1 )

2

B)

y



1 

(

x



4 )

2

C)

y



9 

(

x



4 )

2

D)

y



9 

(

x



4 )

2

28.- DETERMINE LOS VALORES DE

x

,

y

,

z

DEL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES

3

2

4

2

3

2

3 















z

y

x

z

y

x

z

y

x

A)

(

1 ,

2 ,

0 )

B)

(

0 ,

1 ,

2 )

C)

(

2 ,

1 ,

1 )

D)

(

3 ,



1 ,

2 )

29.- ENCUENTRE LA ECUACIÓN PARTICULAR DE LA FUNCION CUADRÁTICA QUE PASA POR

LOS PUNTOS.

(



2 ,



5 )

,

(30)

30.- DETERMINE EL ÁREA RECTANGULAR MÁXIMA QUE PUEDE ENCERRARSE CON 80 m DE

CERCA.

A)

A



400 m

2

B)

A



600 m

2

C)

A



300 m

2

D)

A



500 m

2

31.- UN HOTEL QUE TIENE 80 HABITACIONES PUEDE RENTARLAS TODAS SI EL PRECIO DE

ALQUILER POR DIA ES DE $ 300, PERO HA ENCONTRADO QUE POR CADA $ 6 DE AUMENTO

EN EL PRECIO DE ALQUILER , TENDRA UNA HABITACIÓN VACIA. DETERMINE EL NUMERO

DE HABITACIONES VACIAS CUANDO EL INGERSO ES MÁXIMO.

A)

x



20 B)

x



15 C)

x



12 D)

x



5 UNA COMPAÑÍA DE FABRICA DE SILLAS, LAS VENDE A

$

200 CADA UNA. SI FABRICA

x

SILLAS POR SEMANA, ENTONCES EL COSTO TOTAL ESTA DADO POR LA

500 ,

1

40 )

(

_x



_x

2



_x



C

. DETERMINE LO QUE SE PIDE PARA LOS PROBLEMAS 32 AL 35

32.- LA ECUACIÓN DE FUNCIÓN DE UTILIDAD:

A)

U

(

x

)





x

2



160 x



1 ,

500 B)

U

(

x

)



x

2



160 x



1 ,

500 _C)

U

(

x

)





x

2



240 x



1 ,

500 _D)

500 ,

1

60 )

(

_x



_x

2



_x



U

33.- LA UTILIDAD SI SE FABRICAN Y VENDEN

90 SILLAS POR SEMANA

A)

U

(

90 )



$

4 ,

800 B)

U

(

90 )



$

5 ,

800 C)

U

(

90 )



$

2 ,

700 D)

U

(

90 )



$

1 ,

700 34. EL NUMERO DE SILLAS QUE SE DEBEN FABRICAR POR SEMANA PARA QUE LA UTILIDAD

SEA MÁXIMA

(31)

35.- EL MONTO DE LA UTILIDAD MÁXIMA POR SEMANA

A)

U

_max

(

55 )



$

5 ,

900 B)

U

_max

(

63 )



$

3 ,

800 C)

U

_max

(

80 )



$

4 ,

900 D)

U

_max

(

96 )



$

2 ,

700 36.- DETERMINE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CUYO VÉRTICE ES

(

2 ,



3 )

Y PASA POR EL

PUNTO

(

3 ,

2 )

A)

y



x

2



7 x



5 B)

y



5 x

2



7 x



5 C)

y



x

2



20 x



3 D)

y



5 x

2



20 x



17 37.- EL VALOR DE

i

232

SIMPLIFICADO ES:

A)

i

B)



i

C)

1 D)



1 PARA LOS PROBLEMAS DEL 38 AL 41 REALICE LA OPERACIÓN INDICADA CON NUMEROS

COMPLEJOS

38 (

15 

6 i

)



(



4 

7 i

)

A)

11 

i

B)

11 

i

C)



11 

i

D)



11 

i

39.-

(

12 

15 i

)



(



10 

25 i

)

A)



22 

40 i

B)

22 

40 i

C)

2 

10 i

D)

2 

10 i

40.-

(

2 

5 i

)(

7 

4 i

)

(32)

A)

24 

17 i

B)



34 

27 i

C)

34 

27 i

D)



24 

17 i

41.-

i

2

5

3 



A)

i

29

3

29

23 _

B)

i

29

12

29

25 _

C)

i

29

3

29

23 _



D)

i

29

1

29

17 _

UTILIZANDO EL TEOREMA DEL FACTOR O EL TEOREMA DE LA RAÍZ RACIONAL

FACTORICE PARA LOS PROBLEMAS DEL 42 Y 43

42.-

x

3



3 x

2



4 x



12 A)

(

x



2 )(

x



2 )(

x



3 )

B)

(

x



2 )(

x



2 )(

x



3 )

C)

(

x



2 )(

x



2 )(

x



3 )

D)

(

x



2 )(

x



2 )(

x



3 )

43.-

x

3



6 x

2



x



30 A)

(

x



1 )(

x



5 )(

x



6 )

B)

(

x



2 )(

x



3 )(

x



5 )

C)

(

x



1 )(

x



2 )(

x



15 )

D)

(

x



1 )(

x



4 )(

x



5 )

DETERMINE LAS RAICES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES POLINOMIALES. DEL PROBLEMA

44 Y 45

44.-

F

(

x

)



x

3



10 x

2



17 x



28 A)

7

4

1

3 2 1









x

B)

7

4

1

3 2 1









x

C)

7

4

1

3 2 1



x

D)

7

4

1

3 2 1













x

(33)

45.-

F

(

x

)



5 x

3



9 x

2



42 x



8 A)

5

2

4

2

3 2 1









x

B)

2

3 2 1









x

C)

5

1

4

2

3 2 1









x

D)

2

3 2 1













x

APLICANDO EL TEOREMA DEL RESIDUO, EVALÚE LAS SIGUIENTES FUNCIONES

POLINOMIALES EN LOS VALORES DE

x

QUE SE INDICAN. PARA LOS PROBLEMAS DEL 46 Y

47 46.-

_P

(

_x

)



_x

3



5 _x

2



4 _x



6 _{, para}

_P

₍

₂

₎

A)

P

(

2 )



2 B)

P

(

2 )





2 C)

P

(

2 )



10 D)

P

(

2 )





10 47.-

P

(

x

)





x

3



2 x

2



4 x



2 , para

P

(



3 )

A)

P

(

3 )



8 B)

P

(

3 )





12 C)

P

(

3 )





87 D)

P

(

3 )



59 PARA LOS PROBLEMAS 48 Y 49 EFECTÚE LAS SIGIENTES DIVISIONES DE POLINOMIOS,

MEDIANTE DIVISIÓN SINTÉTICA

48.-

(

x

3



8 x

2



6 x



1 )



(

x



5 )

A)

5

46

9

3

2







x

B)

5

46

9

3

2





x

C)

5

12

2

3

2





x

D)

5

12

2

3

2





x

49.-

(

x

3



125 )



(

x



5 )

(34)

A)

5

1

5

2









x

B)

_x

2



3 _x



25 _C)

5

3

5

2









x

D)

_x

2



5 _x



25 UTILIZANDO DIVISIÓN SINTÉTICA, FACTORICE LOS POLINOMIOS DE LOS PROBLEMAS 50 AL

53 50.-

_x

3



4 _x

2



_x



6 A)

(

x



1 )(

x



1 )(

x



6 )

B)

(

x



1 )(

x



1 )(

x



6 )

C)

(

x



1 )(

x



2 )(

x



3 )

D)

(

x



1 )(

x



2 )(

x



3 )

51.-

_x

3



4 _x

2



3 _x



18 A)

(

x



1 )(

x



3 )(

x



6 )

B)

(

x



1 )(

x



2 )(

x



9 )

C)

(

x



2 )(

x



3 )(

x



3 )

D)

(

x



2 )(

x



3 )(

x



3 )

52.-

_x

4



8 _x

3



17 _x

2



2 _x



24 A)

(

x



1 )(

x



2 )(

x



3 )(

x



4 )

B)

(

x



1 )(

x



1 )(

x



3 )(

x



8 )

C)

(

x



1 )(

x



1 )(

x



4 )(

x



6 )

D)

(

x



1 )(

x



2 )(

x



3 )(

x



4 )

53.-

6 _x

3



19 _x

2



_x



6 A)

(

2 x



1 )(

3 x



3 )(

x



2 )

B)

(

x



1 )(

6 x



3 )(

x



2 )

C)

(

2 x



1 )(

x



1 )(

3 x



6 )

D)

)

3 )(

2

3 )(

1

2 (

x



x



x



(35)

(36)

Etapa 2 Funciones algebraicas racionales e irracionales

PROBLEMAS SELECCIONADOS

I. Introducción a las funciones algebraicas racionales

II. Introducción a las gráficas de funciones racionales,

discontinuidades y asíntotas

(37)

IV. Introducción a las funciones algebraicas irracionales

V. Gráfica de funciones irracionales

(38)

GUIA DE APRENDIZAJE

Actividad diagnostica

(39)

(40)

(41)

LABORATORIO

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, COMPROBANDO SU RESULTADO CON

SU PROCEDIMIENTO

PARA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES DE LOS PROBLEMAS 1 Y 2, DETERMINE SU DOMINIO 1.-

16

4 )

(

₂





x

F

A)

x



4

B)

x



4

C)

x





4

_D)

x





4

2.-

21

10

7 )

(

₂







x

F

A)

7

3 



x

B)

21

0 



x

C)

7

3 







x

D)

7

3 



x

PARA LA FUNCIÓN RACIONAL

36

6 )

(

₂







x

F

, CONTESTE LOS PROBLEMAS 3 AL 6

3.- DETERMINE LOS VALORES DE LA

"

x

"

PARA LOS CUALES LA FUNCIÓN NO ESTÁ DEFINIDA

A)

3

3 



x

B)

6

0 



x

C)

0

6 





x

D)

6

6 





x

4.- SI LA HAY, DETERMINE LA ASÍNTOTA VERTICAL

6 

(42)

5.- ENCUENTRE LA COORDENADA DE LA DISCONTINUIDAD REMOVIBLE A)

(

6 ,

0 )

B)

)

12

1 ,

6 (



C)

)

12

1 ,

6 (

D)

)

12

1 ,

6 (



6.- BOSQUEJE SU GRÁFICA

x

F

8

8 )

(

₂





, CONTESTE LOS PROBLEMAS 7 AL 10

"

x

"

PARA LOS CUALES LA FUNCIÓN NO ESTÁ DEFINIDA

A)

8

0 



x

B)

8

0 



x

C)

4

4 





x

D)

4

2 



x

A)

x



0

B)

x



8

C)

x





8

D)

x





9.- ENCUENTRE LA COORDENADA DE LA DISCONTINUIDAD REMOVIBLE

A)

(

0 ,



8 )

B)

(

0 ,

8 )

C)

)

8

1 ,

8 (

D)

)

8

1 ,

8 (



12

4 )

(

₂





x

(43)

"

x

"

PARA LOS CUALES LA FUNCIÓN NO ESTÁ DEFINIDA A)

3

4 



x

B)

4

3 





x

C)

2

6 





x

D)

6

2 





x

A)

x



3

B)

x





3

C)

x





4

D)

x



4

13.- ENCUENTRE LA COORDENADA DE LA DISCONTINUIDAD REMOVIBLE

A)

)

7

1 ,

3 (

B)

)

7

1 ,

3 (



C)

)

7

1 ,

4 (



D)

)

7

1 ,

4 (

EL PESO DE UNA PERSONA EXPRESADO EN LIBRAS ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL A EL PESO

EXPRESADO EN KILOGRAMOS. SI MARÍA SE PESA EN UNA BÁSCULA Y MARCA 55 Kg, PERO EL SABE QUE

SU PESO EN LIBRAS ES DE 121. CONTESTE LOS PROBLEMAS 15 Y 16

15.- ESCRIBA UNA ECUACIÓN PARTICULAR QUE EXPRESE LAS LIBRAS EN TÉRMINOS DE KILOGRAMOS A)

y



2 .

2 x

B)

y





2 .

2 x

C)

x

y



2 .

2

D)

2 .

₂

2 x

y



16.- CUANTO PESARÍA UNA PERSONA EN LIBRAS SI PESA 100 Kg

(44)

LA CANTIDAD DE FUERZA QUE SE APLICA PARA APRETAR UN TORNILLO CON UNA LLAVE DE TUERCAS VARÍA INVERSAMENTE CON LA LONGITUD DE LA LLAVE. SUPÓN QUE PARA UN DETERMINADO TORNILLO UNA LLAVE DE UNA LLAVE DE

15 pu

lg

adas

LONGITUD REQUIERE DE UNA FUERZA DE

126 libras

. CONTESTE LOS PROBLEMAS 17 Y 18.

17.- DETERMINE LA ECUACIÓN PARTICULAR QUE NOS INDIQUE LA FUERZA EN TÉRMINOS DE LA LONGITUD DE LA LLAVE A) 2

1890

x

f



B)

x

f



1890

C)

f





1890

x

D)

f



1890

x

2

18.- ENCUENTRE LA LONGITUD DE LA LLAVE PARA UNA FUERZA DE

100 libras

A)

x



1890

pu

lg

adas

B)

x



18 ,

900 pu

lg

adas

C)

x



18 .

9 pu

lg

adas

D

)

x



780 adas

pu

lg

EL NÚMERO DE CASAS QUE PUEDEN SER SERVIDAS POR UNA TUBERÍA DE AGUA, ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL AL CUADRADO DEL DIÁMETRO DE LA TUBERÍA. SUPÓN QUE UNA TUBERÍA DE

30 cm

DE DIÁMETRO ABASTECE

450 casas

. CONTESTA LOS PROBLEMAS 19 Y 20.

19.- ENCUENTRE LA ECUACIÓN PARTICULAR QUE RELACIONA EL NÚMERO DE CASAS ABASTECIDAS POR EL

AGUA EN TÉRMINOS DEL DIÁMETRO DE LA TUBERÍA.

A)

n

d

2

1 

B)

n



2 d

2 C)

n



5 d

2 D) 2

2

1 d

n



20.- CUANTAS CASAS SE PUEDEN ABASTECER DE UNA TUBERÍA DE

10 cm

DE DIÁMETRO.

(45)

DE ACUERDO CON LA LEY DE BOYLE MARIOTE: EN UN GAS A TEMPERATURA CONSTANTE, SU VOLUMEN

ES INVERSAMENTE PROPORCIONAL A LA PRESIÓN QUE ESTÁ SUJETO. SI A UNA PRESIÓN DE

24 lb

/

pug

2

EL VOLUMEN DE UN GAS ES DE

690 pies

3

.

CONTESTA LOS PROBLEMAS 21 Y 22.

21.- DETERMINE LA ECUACIÓN PARTICULAR QUE RELACIONA EL VOLUMEN CON LA PRESIÓN A

TEMPERATURA CONSTANTE. A)

P

V



16560

B)

V





16560

P

2 C)

16560

₂

P

V



D)

V



16560

P

22.- ¿CUÁL ES EL VOLUMEN QUE OCUPARIA DICHO GAS CUANDO SU PRESIÓN ES DE

144

2

/

pug

lb

?

A)

V



156 pies

3 B)

V



115 pies

3 C)

V



98 pies

3 D)

V



105 pies

3

EL PESO DE UN CUERPO ES INVERSAMENTE PROPORCIONAL AL CUADRADO DE LA DISTANCIA QUE HAY ENTRE DICHO CUERPO Y EL CENTRO DE LA TIERRA. SI UN ASTRONAUTA PESA

784 N

)

(

Newtons

EN LA SUPERFICIE TERRESTRE. SI EL RADIO DE LA TIERRA ES DE

6 ,

436 Km

.

PARA LOS PROBLEMAS 23 Y 24, DETERMINE:

23.- LA ECUACION PARTICULAR QUE RELACIONA EL PESO DE UN CUERPO CON LA DISTANCIA QUE HAY

ENTRE DICHO CUERPO Y EL CENTRO DE LA TIERRA.

A)

p



3 .

25 x

10

d

B)

p



3 .

25 x

10

d

2 C) 2 10

10

25 .

3 d

x

p



D)

d

x

p

10

25 .

3 

(46)

24.- ¿CUÁNTO PESARÁ UN ASTRONAUTA CUANDO SE ENCUENTRA A

80 Km

SOBRE LA SUPERFICIE

TERRESTRE?

A)

p



712 .

78 N

B)

p



823 .

33 N

C)

p



689 .

98 N

D)

p



764 .

87 N

PARA LOS PROBLEMAS DEL 25 Y 26, DETERMINE EL DOMINIO PARA LAS SIGUIENTES FUNCIONES IRRACIONALES

25.-

F

(

x

)



5 x

A)

x



5

B)

x



5

C)

x



0

D)

x





5

26.-

F

(

x

)



7 

2 x



8

A)

x



4

B)

x



4

C)

x



4

D)

x



4

27.- EVALÚE LA SIGUIENTE ECUACIÓN IRRACIONAL:

F

(

x

)



3 

3 x



4

, PARA

F

(

4 )

(47)

(48)

Etapa 3 Funciones exponenciales y logarítmicas

PROBLEMAS SELECCIONADOS

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, COMPROBANDO SU RESULTADO CON

SU PROCEDIMIENTO

1. Problemas del cero.

• Evalúa 05.

• Evalúa 50

2. En los siguientes problemas, evalúa el radical utilizando la definición de exponentes recíprocos.

Verifica tu respuesta por multiplicación.

a)

6

√437

b)

4

√99 735

3. Evalúa mental mente el radical

c)

3

√64

d)

4

√81

4. Escribe la respuesta como una fracción cuando sea necesario.

e)

64

23

f)

64

−23

g)

−64

23

5. En los siguientes problemas resuelve la ecuación exponencial, encontrando el valor de x con una