Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 1
Aplicar la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales con valores iniciales:
1)
( )
5 2 0 3 t dy y e dt y − = = 2)( )
( )
( )
( )
´´ 4 sin 3 0 0 ´ 0 0 y t y t t y y + = = = 3)( )
( )
2 2 2 8 0 0 3 ´ 0 6 y y y t t y y ∂ ∂ − − = ∂ ∂ = = 4)( )
( )
2 2 2 sin 0 0 ´ 0 0 t d y y e t dt y y − + = = = 5)( )
( )
'' 5 ' 4 0 0 1 ' 0 0 y y y y y + + = = = 6)( )
( )
16 '' 8 ' 17 1 0 0 ' 0 1 y y y y y − + = = = 7)( )
( )
( )
3 2 3 4 2 5 2 10 cos 0 0 ' 0 0 '' 0 3 d y d y dy y t dt dt dt y y y + + + = = = = 8)( )
( )
( )
''' 5 '' 7 ' 3 20sin 0 0 ' 0 0 '' 0 2 y y y y t y y y − + − = = = = − Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 2
1 )
( )
5 2 0 3 t dy y e dt y − = = Solución: Dicho problema se encuentra resuelto en el texto UNA Matemática V. Tomo II .Ingeniería. Página 805.
Usare 4 pasos fundamentales para explicar lo que se quiere encontrar, la solución única de la ecuación diferncial, revísalos, analízalos y apréndelos para que ataques los problemas propuestos
1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
( )
{
}
{ }
5 2 t dy L L y t L e dt − = (A) Donde:{
}
( )
( )
( )
{
}
( )
{ }
5{ }
( ) 0 3 1 1 ya que: 5 t at dy L sL y t y sy s dt L y t y s L e L e s s a = − = − = = = − −2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
( )
{
}
{ }
(
)
[
]
(
)(
)
(
)
5 2 1 ( ) 3 2 ( ) 5Sacando factor común, luego
1 1 3 15
( ) 2 3
sumando fracciones algebraica
5 5 3 14 ( ) Despejando a ( ) 5 2 t dy L L y t L e dt sy s y s s s y s s s s s y s y s s s − = − − = − + − − = − = − − − = − −
Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 3
3°) Debemos ahora calcular L−1
{
y s( )
}
= y t( )
Primeramente debemos descomponer en fracciones parciales (Caso I) para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)
(
)(
) (
) (
)
3 14 5 2 5 2 s s s s A B s − = + − − − −Para hallar el valor de A, multiplicamos por (s-5) ambos miembros, simplificamos y luego evaluamos para s=5
(
s−5)
(
)
3 14 5 s s − −(
s 2)
(
s 5)
= − −(
5)
A s−(
5)
(
3)
3 14 3(5) 14 1 2 5 1 2 3 3 s s s A s B A + − − − − ∴ = = = → = − −Para hallar el valor de B, multiplicamos por (s-2) ambos miembros, simplificamos y luego evaluamos para s=2
(
s−2)
(
) (
)
3 14 5 2 s s s − − −(
s 2)
(
s 5)
(
s 2)
A = − + − −(
2)
B s−(
)
3 14 3(2) 14 8 8 5 2 5 8 3 3 3 s B s B − − − ∴ = = = → − − =− =4°) Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa dicha descomposición
{
}
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1 5 2 5 2 1 Como: ( ) ( ) 3 14 5 2 5 2 Usamos tablas 1 1 8 1 3 5 3 2 1 8 3 3 1 8 ( ) (So 3 3 1/ 3 8 / 3 1 at t t t t L e L y s y t s a s L L L s s s s L L s s e e y t e e − − − − − − − = − = + − − − − = + − − = = + ∴ − = + lución de la ecuación diferencial) Podemos ver que también es cierta y(0)=3…. Verifícalo
Elaborado por
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(2)
( )
( )
( )
( )
´´ 4 sin 3 0 0 ´ 0 0 y t y t t y y + = = = Solución:1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
( )
{
}
{
}
2 2 4 sin 3 d y L L y t L t dt + = (A) Donde:{
}
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
{
}
{
}
2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) . 0 ' 0 0 0 4 4 3sin 3 ya que: sin 9 d y L s L y t s y y s y s s y s dt L y t y s b L t L bt s s b = − − = − − = = = = + +
2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)(
)
(
( )
)
{
( )
}
( )
2 2 2 2 2 2 1 3 4 9 3 4 Factor común 9 3 Despejando a 9 4 s y s y s s y s s s y s y s s s L y s y t − + = + + = + → + = = +3°) Debemos ahora calcular L−1
{
y s( )
}
= y t( )
Podemos descomponer en fracciones parciales o bien usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)
Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 5
( )
{
}
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 4 1 1 sin sin 3 9 4 3 L y s L s s a bt b at L L s s s a s b ab a b − − − − = + + − = → = + + + + − = 3sin 2 2 sin 3 3 t− t(
)
3sin 2 2 sin 3 10 .2 9 4 t t − = − ( )
{
}
( )
1 3sin 2 2 sin 3 10 t t L− y s = y t = −La solución de la ecuación diferencial viene hacer:
( )
3sin 2 2 sin 3 10t t
y t = −
Verificamos las condiciones iniciales
( )
3sin 2 2 sin 3 3sin 2 sin 3 Si 0( )
0 010 10 5 t t t t y t = − = − ⇒ t= → y =
( )
6 cos 2 6 cos 3 3(
)
( )
' cos 2 cos 3 Si 0 ' 0 0 10 5 t t y t = − = t− t ⇒ t= → y = Tal que:( )
( )
´´ 4 sin 3 6 9 sin 2 sin 3 4 5 5 y t y t t t t + = − + + 3sin 2 2sin 3 10 t− t 6 sin 2 5 t = − 9sin 3 6sin 2 5 t 5 t + + 4sin 3 5 9 4 sin 3 sin 3 5 5 t t t − = − = 3)( )
( )
2 2 2 8 0 0 3 ´ 0 6 y y y t t y y ∂ ∂ − − = ∂ ∂ = = Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 6 Solución:
1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
( )
{
}
2 2 2 8 0 y y L L L y t t t ∂ ∂ − + = ∂ ∂ (A) Donde:{
}
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
2 2 2 2 ( ) . 0 ' 0 3 6 2 2 ( ) 0 2 3 2 6 8 8 y L s L y t s y y s y s s t y L sL y t y sy s sy s t L y t y s ∂ = − − = − − ∂ ∂ = − = − = − ∂ =2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
( )
(
)
(
( )
)
( )
( )
( )
( )
2 2 3 6 2 6 8 0 2 8 3 6 s y s s sy s y s s y s sy s y s s − − − − − = − − − − +6(
)
( )
(
)
( )
(
)(
)
2 20 Eliminando paréntesis, simplifando . 2 8 3 Sacamos Factor común
Despejando y factorizando 3 3 el denominador 4 2 2 8 y s s s s s s y s s s s s = − − = = = − + − −
3°) Nuestro propósito es calcular L−1
{
y s( )
}
=y t( )
Lo primero es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)
Ahora bien, descomponemos en fracciones parciales, para hallar los Coeficientes Indeterminados A y B –Método de sustitución
(
)(
) (
) (
)
3 4 2 4 2 A s s B s = s + s − + − +• Usaremos el método corto, Para hallar el valor de A, Multiplicamos por
(
s−4)
Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 7
(
s−4)
(
)
3 4 s s−(
s+2)
=(
s−4)
(
4)
A s−(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
Multiplicamos y 4 simplificamos por 2 4 3 4 12 2 Evaluamos para 4 4 2 6 2 B A s s s A s + − + − = = = = → = +• Del mismo modo, para encontrar el valor de B, multiplicamos por ( s +2) ambos miembros , simplificamos y evaluamos para s= −2
(
s+2)
(
) (
)
3 4 2 s s− s+(
s 2)
(
s 4)
(
s 2)
A = + + + −(
2)
B s+(
)
( )
( )
(
)
Multiplicamos y simplificamos por 2 3 2 6 1 Evaluamos para 2 2 4 6 1 s B B s + − − = = = → = − − − − =4°) Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa dicha descomposición:
(
)(
)
(
)
(
)
{
( )
}
( )
(
)
(
)
( )
1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 2 3 Como: 4 2 4 2Por tablas de Transformada
1 1 2 1 inversa 4 2 2 2 1 2 at t t t t s L L L L y s y t s s s s L L L e s s s a e e y t e e − − − − − − − − − = + = − + − + = + = − + − = + ∴ = +
Verifiquemos la solución particular encontrada, bajo las condiciones iniciales dadas:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4 2 0 0 4 2 4 2 2 Por tanto Si 0 0 2 2 1 3 ' 2 (4) ( 2) 8 2 Por tanto Si 0 ' 0 0 3 6 6 ' 8 2 0 t t t t t t y t e e t y e e y t e e y y y e e t − − − = = + = → = + = + = = + − = − = → = − = =Dejaremos al estudiante verificar que al encontrar la 2° derivada podemos ver si es cierta la ecuación diferencial '' 2 ' 8y − y − y=0
Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 8
4)
( )
( )
2 2 2 sin 0 0 ´ 0 0 t d y y e t dt y y − + = = = Solución:1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
( )
{
}
{
}
2 2 2 sin t d y L L y t L e t dt − + = (A) Donde:{
}
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
{
}
(
)
{
}
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) . 0 ' 0 0 0 1 1sin ya que: sin
4 5 2 1 t at d y L s L y t s y y s y s s y s dt L y t y s b L e t L e bt s s s s a b − = − − = − − = = = = = + + + + − +
2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)(
)
(
( )
)
2 2 2 2 2 2 1 4 5 11 Sacamos factor común 4 5 1 Despejando 4 5 1 s y s y s s s y s s s s y s y s s s s + = + + + = + + = + + +
3°) Nuestro propósito es calcular L−1
{
y s( )
}
= y t( )
Lo primero es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)
Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los Coeficientes Indeterminados A, B, C y D
(
2)(
2) (
2) (
2)
1 4 5 1 4 5 1 As B s s s C s s s s D + + = + + + + + + +Elaborado por
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(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 4 5 Sumando fracciones 1 algebraicamente 4 5 1 4 5 1Como los numeradores son iguales,
1 1 4 5
aplicamos la propiedad distributiva 1 A B C D A B C D s s s s s s s s s A A B s s s s s s s s s s B Cs C + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 3 2 1 Sumando términos 5 4 5 5 4 5 semejantes C D D D A C B C D A C D s s s s D s B s s + + + + + + + + + + + + + =(
)
Se forma el sistema siguiente: 0 0 5 4 0 5 1 Supongamos que: 0 0 1 En la ecuación II 0 Al sustituirlo en IV 5 1 4 A C A C B C D A C D B D A C B D B D D D D + = → = − + + = + + = + = = → = → + = → = − − + = → =
4°) Sustituimos los coeficientes A=C=0, D=1/4 y B= -1/4 y tenemos que la expresión buscada es:
( )
{
}
( )
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 Como: 1 1/ 4 1/ 4 4 5 1 4 5 1 1 1 1 1 4 4 5 4 1 1 1 1 1 4 2 1 4 1 1 1 sin sin 4 4 t L y s y t L L L s s s s s s L L s s s L L s s e t t − − − − − − − − − = − = + + + + + + + = − + + + + = − + + + + = − +Hemos aplicado las propiedades de transformadas inversas siguientes
(
)
1 1 2 2 sin 2 2 sin at b b L e bt L bt s b s a b − = − = + − + Elaborado por
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La solución a la ecuación diferencial buscada es
( )
1 2 sin 1sin4 4
t
y t = − e− t+ t Verifiquemos las condiciones iniciales en cada ecuación:
( )
1 2 1( )
sin sin 0 0 4 4 t y t = − e− t+ t→ y =( )
1 2 1 2 1( )
1 1' sin cos cos ' 0 0
2 4 4 4 4 t t y t = e− t+ e− t− t→y = − = 5)
( )
( )
'' 5 ' 4 0 0 1 ' 0 0 y y y y y + + = = = Solución:1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
( )
{
}
2 2 5 4 0 y y L L L y t t t ∂ ∂ + + = ∂ ∂ (A) Donde:{
}
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
{
}
( )
2 2 2 2 . ( ) . 0 ' 0 . ( ) 0 1 y L s L y t s y y s y s s t y L s L y t y sy s t L y t y s ∂ = − − = − ∂ ∂ = − = − ∂ =2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
( )
{
}
(
)
( )
(
)
(
( )
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)(
)
2 2 2 2 2Como: 5 4 0 Propiedad de linelidad
. 5 . 1 4 ( ) 0 Laplaciano de una derivada
. 5 4 5 0 Sacando factor común
Despejando ( ) y factoriza 5 5 5 4 4 1 y y L L L y t t t s y s s s y s y s y s s s s y s s s y s s s s s ∂ ∂ + + = ∂ ∂ − + − + = + + − − = + + = = + + + + ndo el denominador
Elaborado por
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3°) Nuestro propósito es calcular L−1
{
y s( )
}
= y t( )
Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso I)
(
)(
) (
) (
)
5 4 1 4 1 s s s s A B s + = + + + + +Usamos el método corto o de sustitución descrito anteriormente,
(
)
(
)
5 4 5 1 1 4 1 3 5 1 5 4 4 1 4 3 s A s s B s + − + = = = − + − + + − + = = = + − +4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A,B , tenemos
(
)(
)
(
)
(
)
{
( )
}
( )
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1 1 4 4 1/ 3 4 / 3 1 4 5 ya que: 4 1 4 1 1 1 1 como: 4 1 1 4 3 3 La sol 1 4 Asi que: ( ) 3 3 3 3 at t t t t s L L L L y s y t s s s s L L L e s s s a e e y t e e − − − − − − − − − − − − + = + = + + + + = + = + + − = − − + = − + ución de la ecuación diferencial buscada 6)( )
( )
16 '' 8 ' 17 1 0 0 ' 0 1 y y y y y − + = = = Solución:1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
( )
{
}
{ }
2 2 16.L d y 8L dy 17L y t L 1 dt dt − + = (A) Donde:Elaborado por
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{
}
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
{ }
2 2 2 2 2 ( ) . 0 ' 0 0 1 1 ( ) 0 0 . 1 1 d y L s L y t s y y s y s s y s dt dy L sL y t y sy s s y s dt L y t y s L s = − − = − − = − = − = − = = =2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
( )
{
}
{ }
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
2 2 2 2 2 Como: 16. 8 17 1 1 Entonces 16. 1 8 ( ) 17Sacamos factor común 1 16 8 17 16 y sumando fracciones 1 16 Despejando ( ) 16 8 17 d y dy L L L y t L dt dt s y s sy s y s s y s s s s s y s y s s s s − + = − − + = − + = + + = − + Si intentamos factorizar 2
16s −8s+17, podemos ver que tiene raíces imaginarias por lo tanto, completamos cuadrados para expresarla como: (s−a)2+b2
2 2 2 2 2 2 2 1 1/ 2 1 1 16 8 17 16 17 Como: 2 2 4 16 1 Sumamos y restamos 1 16 17 4 2 para completar 1 cuadrados Al factorizar el trinomio 1 16 17 c 16 uadrado 6 p 4 1 1 1 s s s s s s s − + ≡ − + = = ≡ − + + ≡ − + − −
(
)
2 2 erfecto 1 116 16 16 1 Sacamos factor común
4 4 s s ≡ − + ≡ − +
3°) Nuestro propósito es calcular L−1
{
y s( )
}
= y t( )
Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s), para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)
Elaborado por
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Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los Coeficientes Indeterminados A, B y C
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 Sumamos fracciones 1 16 algebraicamente 16 8 17 16 8 17 16 8 17 Como el Numerador y 1 16el denominador son igu
16 ales 8 17 16 8 17 16 8 17 1 16 Ap s s s s s s s s s s s s s s s s s s A B C A s s s s s B C A A A B Cs + + = + − + − + − + + + + = − + − +
+ = − + + +
(
licando propiedad distributiva)
(
)
2(
)
(
)
1 16 Agrupando términos semejante
Igualamos los coeficientes, obtenemos el sistema siguiente
16 0 8 16 16 8 1 1 17 1 17 7
:
s s s A B C A B C A A A A A + = + + + = − = = → − = + (
)
Sustituimos el valor de A, en la ecuación II
8 280 280
8 1/17 16 16
17 17 17
C− = →C= + = → C=
Sustituimos el valor de A 1 17 , en la ecuación I 16 16 0 17 A B B = − + = → =
(
2)
2 1 16 280 1 1 17 1 1 16 1 16 16 8 17 16 7 17 1 17 7 17 8 s s s s s s s s s − + = + = + − + − + 280 s− 16(
)
(
)
2 Completando cuadrados 2 1 1 17 1/ 4 1 35 1 2 1/ 4 17 1 s s s s − + − = + − +Elaborado por
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(
)
(
)
{
( )
}
( )
1 1 1 1 2 2 1 1 1 16 1 1 1 35 / 2 ya que: 17 17 16 8 17 1/ 4 1 1 1 1 1 Donde: ; 1 17 17 s s L L L L y s y t s s s s s L L s s − − − − − − + − = − = − + − + = = (
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 1 1 2 2 1 69 1 35 / 2 1 4 4 17 1/ 4 1 17 1/ 4 1 1 1 4 69 1 17 1/ 4 1 68 1/ 4 1 s s L L s s s L L s s − − − − − − − − = − − + − + − = − + − + − + (
)
(
)
1 / 4 1 2 2 2 1 1 4 1 cos cos 17 1/ 4 1 17 t at s s a L e t L e bt s s a b − − − − − = − = − + − + (
)
(
)
1 / 4 1 2 2 2 69 1 69 sin sin 68 1/ 4 1 68 t b at L e t L e bt s s a b − − = = − + − + ( )
{
}
( )
( )
1 1 1 / 4 69 / 4 cos sin 17 17 68 t t L− y s = y t → y t = − e t+ e t Verificamos las condiciones iniciales para t = 0,( )
1 1 / 4 69 / 4( )
1 1( )
cos sin 0 0 0 17 17 68 17 17 0 0 t t y t = − e t+ e t→y = − + = y =( )
/ 4 / 4 / 4 / 4 / 4 / 4 1 1 69 ' cos sin 17 17 68 1 cos 69 sin 0 sin cos 17 4 68 4 1 69 68 '(0) 1 17 68 68 '(0) 1 t t t t t t t y t D e t e t e t e t e t e t y y = − + = − − + + = − + = = → =Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 15
7)
( )
( )
( )
3 2 3 4 2 5 2 10 cos 0 0 ' 0 0 '' 0 3 d y d y dy y t dt dt dt y y y + + + = = = = Solución:1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
{
}
{
}
3 2 3 4 2 5 2 ( ) 10 cos d y d y dy L L L y t L t dt dt dt + + + = Donde:( )
{
}
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
{
}
( )
{
}
{
}
3 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 0 ' 0 ' 0 3 0 ' 0 0 ( )cos ya que; cos 1 d y L s L y t s y s y y s y s dt d y L s L y t sy y s y s dt dy L sL y t y s y s dt L y t y s s s L t L bt s s b = − − − = − = − − = = − = = = = + +
2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
{
}
{
}
( )
(
)
(
( )
)
(
( )
)
( )
( )
( )
(
)(
)
3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 Como: 4 5 2 ( ) 10 cos 10 entonces: 3 4 5 2 1 10 4 5 2 3 1 3 10 3 1 4 5 2 d y d y dy L L L y t L t dt dt dt s s y s s y s s y s y s s s y s s s s s s s y s s s s s + + + = − + + + = + + + + = + + + + = + + + +Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 16
Factorizamos la expresión
(
3 2)
4 5 2
s + s + s+ en el denominador usando la regla de Ruffini los divisores de 2 son 1, 2± ±
(
) (
)
2 3 2 4 5 2 1 . 2 s + s + s+ = s+ s+ De esta manera:( )
(
)(
) (
)
(
) (
)
2 2 2 2 3 2 2 3 10 3 3 10 3 1 4 5 2 1 1 2 s s s s y s s s s s s s s + + + + = = + + + + + + +3°) Nuestro propósito es calcular L−1
{
y s( )
}
= y t( )
Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)
Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II y I)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
1 2 2 2 2 2 2 3 10 3 1 2 1 1 1 2 1 s s s s s s s s s A B s C C D + + + = + + + + + + + + + +Calculemos C2 y D por el método corto o de sustitución:
Para hallar C2 , multiplicamos ambos miembros de la ecuación por
(
)
2
1
s+ , simplificamos y luego evaluamos para s= −1
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )
2 2 2 2 2 2 3 10 3 3( 1) 10( 1) 3 3 10 3 4 2 2 1 2 1 2 ( 1) 1 ( 1) 2 C 2 s s C s s + + − + − + − + − = = = = = − → + + − + − + = −Para hallar D, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por
(
s+2)
, simplificamos y luego evaluamos para s= −2(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )
2 2 2 2 2 2 3 10 3 3( 2) 10( 2) 3 12 20 3 5 1 5 1 5 1 1 ( 2) 1 ( 2) 1 1 s D s D s s + + − + − + − + − = = = = = − → + + − + − + = −Hemos hallado dos coeficientes, ahora usemos el método tradicional, sumamos las fracciones, igualamos los numeradores y los coeficientes para resolver el sistema luego, como veremos a continuación:
Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 17
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 10 3 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 C C A s s s s s s s s s s s s B A B s s s + + + + = + + − + = + − − + + + + + + + + + + + −(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)(
) (
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 3 10 3 2 1 1 2 1 1 1 2 1Sumando fracciones algebraicamente
1 2 1 1 2 2 1 2 1 1
3 10 3
1 1 2 1 1 2
Los numeradores y los coeficientes son iguales
s s s s s s s s s s s C A B A B s s s s s s s s s s s s s s s C s s + + + = + − − + + + + + + + + + + + + + + − + + − + + + + = + + + + + +
(
)(
) (
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
2 2 2 2 2 2 3 2 4 3 2 3 2 4 3 2 1 1, ya que los denominadores tambien lo son.
3 10 3 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1
Desarrollemos el miembro derecho:
4 5 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 Aplicando l s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A B C A B C s s + + = + + + + + + + − + + − + + ⇒ + + + + + + + + + − + + + − + + + +
(
)
(
)
(
)
1 1 4 3 2 3 2 4 3 2 3 2 4 3 2 1 1 1 1 1 4 4 5 2a propiedad distributiva y ordenando de forma decreciente:
2 Sumamos luego términos semejantes
2 4 2 4 2 2 2 4 5 2 3 3 3 4 3 1 1 4 s s s s s s s s s s s s s s A A A A B B B B C C C C C A s s s s s A s C B C ⇒ + + + + + + + + + + + − − − − − − − − − − + + − + +
(
1)
(
1)
(
1)
1 1 1 3 2 1 2 6 4 5Igualamos los coeficientes anteriores con la expresión 3 10 3 y tenem
5 4 3 2 5 os e 3 2 2 l siguiente sistema 1 0 4 0 6 3 4 10 5 4 3 5 4 3 2 5 3 3 2 2 : s s s s A B C A B C B C A C A B C A B C A B C B C + − + − + − + + − = − = − = − = + + + + + + + + + + + + − = +
(
)
(
1) (
1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 9 14 8 4 Sustituimos 1 y 4 en la ecuación II 4 4 1 4 3 4 4 4 4 3 4 1 2 4 8 4 / 2 4 3 5 4 3 2 5 3 2 2 4 3 2 C C A C A C A B C A B C A B C B C B C A C B C A B C C C C C A C C C C = → = − = ⇒ = = = → = − = − + − + = − + − + = = − − = − ⇒ + + + + + + + + = − = − − = = − + + 1 4 1 2 1 4 2 2 1 2 B C A B A B = − = − = − ⇒ = − = = − =Elaborado por
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La expresión buscada quedaría así:
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
2 2 2 2 2 3 10 3 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 s s s s s s s s s s + + − + = + − − + + + + + + +4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A, B , C1, C2 y D
tenemos:
( )
{
}
( )
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 3 10 3 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 L y s y t s s s L L L L L s s s s s s s s L L L L L s s s s − − − − − − − − − − − = + + − + = + − − + + + + + + + = − + + − − + + + + (
)
(
)
(
)
(
)
1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 Donde usando la transformada inversacos ya que: 1 1 sin ya que: 1 1 ya que: 1 cos sin 1 : t a t s s L t s L t s L s L bt s b b L bt s b L e e a s s − − − − − − − = + = + = + + = + = − = +
(
)
(
)
( )
1 1 1 2 1 2 2 1 1 ya que: 1 1 ya que: 2Tenemos entonces que :
cos 2 sin 2 ! 1 2 t t t t t n a t n at L te s L e s y t t n L t e s a L e s a t e te e − − − + − − − − − − = − = + = = + = − + + − − −
La solución de la ecuación diferencial es
( )
2cos 2 sin 2 t 2 t t y t = − t+ t+ e− − te− −e−
Verifica las condiciones iniciales dadas calcula la primera y la segunda derivada de y(t) y evalúalas para t = 0 , comprueba que si es cierto.
Elaborado por
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8)
( )
( )
( )
''' 5 '' 7 ' 3 20sin 0 0 ' 0 0 '' 0 2 y y y y t y y y − + − = = = = − Solución:En estos momentos ya estás en capacidad de resolver las cuentas tu mismo:
Al aplicar la transformada en ambos miembros de la ecuación, luego al despejar y(s)
(
)(
)
(
)
(
)
(
) (
)
2 2 2 2 3 2 2 2 10 1 2 20 2 ( ) 1 5 7 3 1 1 3 s s s s y s s s s s s s s + + + + = = + − + − + − −Descomponiendo en fracciones parciales y hallando los coeficientes indeterminados obtenemos
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
2 2 2 2 2 2 10 1 3 3 6 2 1 3 1 1 1 3 1 s s s s s s s s s s + + + = − − + − − + + − − −Al aplicar la transformada inversa de y(s), encontramos y(t) , es decir, L−1
{
y s( )
}
= y t( )
La solución de la E.D.O es: y t( )
=cost+3sint−3et−6tet+2e3tElaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 20 Problemas Propuestos:
Aplicar la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales con valores iniciales:
