Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace

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(1)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 1

Aplicar la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales con valores iniciales:

1)

( )

5 2 0 3 t dy y e dt y  − =    =  2)

( )

( )

( )

( )

´´ 4 sin 3 0 0 ´ 0 0 y t y t t y y  + =  =   =  3)

( )

( )

2 2 2 8 0 0 3 ´ 0 6 y y y t t y y − − =  ∂ ∂  =   =   4)

( )

( )

2 2 2 sin 0 0 ´ 0 0 t d y y e t dt y y −  + =   =   =   5)

( )

( )

'' 5 ' 4 0 0 1 ' 0 0 y y y y y+ + =  =   =  6)

( )

( )

16 '' 8 ' 17 1 0 0 ' 0 1 y y y y y + =  =   =  7)

( )

( )

( )

3 2 3 4 2 5 2 10 cos 0 0 ' 0 0 '' 0 3 d y d y dy y t dt dt dt y y y  + + + =    =   =   =  8)

( )

( )

( )

''' 5 '' 7 ' 3 20sin 0 0 ' 0 0 '' 0 2 y y y y t y y y − + − =   =   =   = −

(2)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 2

1 )

( )

5 2 0 3 t dy y e dt y  − =    =

Solución: Dicho problema se encuentra resuelto en el texto UNA Matemática V. Tomo II .Ingeniería. Página 805.

Usare 4 pasos fundamentales para explicar lo que se quiere encontrar, la solución única de la ecuación diferncial, revísalos, analízalos y apréndelos para que ataques los problemas propuestos

1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:

( )

{

}

{ }

5 2 t dy L L y t L e dt   − =     (A) Donde:

{

}

( )

( )

( )

{

}

( )

{ }

5

{ }

( ) 0 3 1 1 ya que: 5 t at dy L sL y t y sy s dt L y t y s L e L e s s a   = − = −     = = = − −

2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:

( )

{

}

{ }

(

)

[

]

(

)(

)

(

)

5 2 1 ( ) 3 2 ( ) 5

Sacando factor común, luego

1 1 3 15

( ) 2 3

sumando fracciones algebraica

5 5 3 14 ( ) Despejando a ( ) 5 2 t dy L L y t L e dt sy s y s s s y s s s s s y s y s s s   − =     − − = −   + − − = − =   − −   − = − −

(3)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 3

3°) Debemos ahora calcular L−1

{

y s

( )

}

= y t

( )

Primeramente debemos descomponer en fracciones parciales (Caso I) para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)

(

)(

) (

) (

)

3 14 5 2 5 2 s s s s A B s − = + − − − −

Para hallar el valor de A, multiplicamos por (s-5) ambos miembros, simplificamos y luego evaluamos para s=5

(

s−5

)

(

)

3 14 5 s s − −

(

s 2

)

(

s 5

)

= − −

(

5

)

A s

(

5

)

(

3

)

3 14 3(5) 14 1 2 5 1 2 3 3 s s s A s B A + − − − − ∴ = = = → = − −

Para hallar el valor de B, multiplicamos por (s-2) ambos miembros, simplificamos y luego evaluamos para s=2

(

s−2

)

(

) (

)

3 14 5 2 s s s − − −

(

s 2

)

(

s 5

)

(

s 2

)

A = − + − −

(

2

)

B s

(

)

3 14 3(2) 14 8 8 5 2 5 8 3 3 3 s B s B − − − ∴ = = = → − − =− =

4°) Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa dicha descomposición

{

}

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 5 2 5 2 1 Como: ( ) ( ) 3 14 5 2 5 2 Usamos tablas 1 1 8 1 3 5 3 2 1 8 3 3 1 8 ( ) (So 3 3 1/ 3 8 / 3 1 at t t t t L e L y s y t s a s L L L s s s s L L s s e e y t e e − − − − − − − =             = +       − − − −                         =  +     − −           =    = +  ∴ − 

= + lución de la ecuación diferencial) Podemos ver que también es cierta y(0)=3…. Verifícalo

(4)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 4

(2)

( )

( )

( )

( )

´´ 4 sin 3 0 0 ´ 0 0 y t y t t y y+ =  =   =  Solución:

1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:

( )

{

}

{

}

2 2 4 sin 3 d y L L y t L t dt   + =     (A) Donde:

{

}

( )

( )

( )

( )

( )

{

}

( )

{

}

{

}

2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) . 0 ' 0 0 0 4 4 3

sin 3 ya que: sin 9 d y L s L y t s y y s y s s y s dt L y t y s b L t L bt s s b   = − − = − − =     = = = + +

2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)(

)

(

( )

)

{

( )

}

( )

2 2 2 2 2 2 1 3 4 9 3 4 Factor común 9 3 Despejando a 9 4 s y s y s s y s s s y s y s s s L y s y t − + = +  +=   + → + = = +

3°) Debemos ahora calcular L−1

{

y s

( )

}

= y t

( )

Podemos descomponer en fracciones parciales o bien usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)

(5)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 5

( )

{

}

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 4 1 1 sin sin 3 9 4 3 L y s L s s a bt b at L L s s s a s b ab a b − − − −     =   + +             =   →  = + + + + −         = 3sin 2 2 sin 3 3 tt

(

)

3sin 2 2 sin 3 10 .2 9 4 t t   =   −    

( )

{

}

( )

1 3sin 2 2 sin 3 10 t t Ly s = y t = −

La solución de la ecuación diferencial viene hacer:

( )

3sin 2 2 sin 3 10

t t

y t = −

Verificamos las condiciones iniciales

( )

3sin 2 2 sin 3 3sin 2 sin 3 Si 0

( )

0 0

10 10 5 t t t t y t = − = − ⇒ t= → y =

( )

6 cos 2 6 cos 3 3

(

)

( )

' cos 2 cos 3 Si 0 ' 0 0 10 5 t t y t = − = ttt= → y = Tal que:

( )

( )

´´ 4 sin 3 6 9 sin 2 sin 3 4 5 5 y t y t t t t + =   − + +     3sin 2 2sin 3 10 tt 6 sin 2 5 t   =     − 9sin 3 6sin 2 5 t 5 t + + 4sin 3 5 9 4 sin 3 sin 3 5 5 t t t − =   − =     3)

( )

( )

2 2 2 8 0 0 3 ´ 0 6 y y y t t y y − − =  ∂ ∂  =   =  

(6)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 6 Solución:

1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:

( )

{

}

2 2 2 8 0 y y L L L y t t t    − + =     ∂ ∂    (A) Donde:

{

}

( )

( )

( )

{

}

( )

( )

( )

( )

{

}

( )

2 2 2 2 ( ) . 0 ' 0 3 6 2 2 ( ) 0 2 3 2 6 8 8 y L s L y t s y y s y s s t y L sL y t y sy s sy s t L y t y s  = − − = − −   ∂   ∂       = − = − = −   ∂   =

2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:

( )

(

)

(

( )

)

( )

( )

( )

( )

2 2 3 6 2 6 8 0 2 8 3 6 s y s s sy s y s s y s sy s y s s − − − − − = − − − − +6

(

)

( )

(

)

( )

(

)(

)

2 2

0 Eliminando paréntesis, simplifando . 2 8 3 Sacamos Factor común

Despejando y factorizando 3 3 el denominador 4 2 2 8 y s s s s s s y s s s s s =  =     = = − +   

3°) Nuestro propósito es calcular L−1

{

y s

( )

}

=y t

( )

Lo primero es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)

Ahora bien, descomponemos en fracciones parciales, para hallar los Coeficientes Indeterminados A y B –Método de sustitución

(

)(

) (

) (

)

3 4 2 4 2 A s s B s = s + s − + − +

• Usaremos el método corto, Para hallar el valor de A, Multiplicamos por

(

s−4

)

(7)

Elaborado por

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(

s−4

)

(

)

3 4 s s

(

s+2

)

=

(

s−4

)

(

4

)

A s

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

Multiplicamos y 4 simplificamos por 2 4 3 4 12 2 Evaluamos para 4 4 2 6 2 B A s s s A s     + −   + −  =  = = = → = +

• Del mismo modo, para encontrar el valor de B, multiplicamos por ( s +2) ambos miembros , simplificamos y evaluamos para s= −2

(

s+2

)

(

) (

)

3 4 2 s ss+

(

s 2

)

(

s 4

)

(

s 2

)

A = + + + −

(

2

)

B s+

(

)

( )

( )

(

)

Multiplicamos y simplificamos por 2 3 2 6 1 Evaluamos para 2 2 4 6 1 s B B s        +    − − = = = → = − − − − =

4°) Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa dicha descomposición:

(

)(

)

(

)

(

)

{

( )

}

( )

(

)

(

)

( )

1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 2 3 Como: 4 2 4 2

Por tablas de Transformada

1 1 2 1 inversa 4 2 2 2 1 2 at t t t t s L L L L y s y t s s s s L L L e s s s a e e y t e e − − − − − − − − −             = + =       − + − +                         =  +     = − +               = + ∴ = +

Verifiquemos la solución particular encontrada, bajo las condiciones iniciales dadas:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

4 2 0 0 4 2 4 2 2 Por tanto Si 0 0 2 2 1 3 ' 2 (4) ( 2) 8 2 Por tanto Si 0 ' 0 0 3 6 6 ' 8 2 0 t t t t t t y t e e t y e e y t e e y y y e e t − − − = = + = → = + = + = = + − = − = → = − = =

Dejaremos al estudiante verificar que al encontrar la 2° derivada podemos ver si es cierta la ecuación diferencial '' 2 ' 8yyy=0

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4)

( )

( )

2 2 2 sin 0 0 ´ 0 0 t d y y e t dt y y −  + =   =   =   Solución:

1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:

( )

{

}

{

}

2 2 2 sin t d y L L y t L e t dt −   + =     (A) Donde:

{

}

( )

( )

( )

( )

( )

{

}

( )

{

}

(

)

{

}

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) . 0 ' 0 0 0 1 1

sin ya que: sin

4 5 2 1 t at d y L s L y t s y y s y s s y s dt L y t y s b L e t L e bt s s s s a b −   = − − = − − =     = = = = + + + + − +

2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)(

)

(

( )

)

2 2 2 2 2 2 1 4 5 1

1 Sacamos factor común 4 5 1 Despejando 4 5 1 s y s y s s s y s s s s y s y s s s s + = + +  +=   + + = + + +

3°) Nuestro propósito es calcular L−1

{

y s

( )

}

= y t

( )

Lo primero es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)

Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los Coeficientes Indeterminados A, B, C y D

(

2

)(

2

) (

2

) (

2

)

1 4 5 1 4 5 1 As B s s s C s s s s D + + = + + + + + + +

(9)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 9

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 4 5 Sumando fracciones 1 algebraicamente 4 5 1 4 5 1

Como los numeradores son iguales,

1 1 4 5

aplicamos la propiedad distributiva 1 A B C D A B C D s s s s s s s s s A A B s s s s s s s s s s B Cs C + + + + + + = + + + + + +     = + + + + + +   = + + + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 3 2 1 Sumando términos 5 4 5 5 4 5 semejantes C D D D A C B C D A C D s s s s D s B s s + + + + + + + + + + + + + =

(

)

Se forma el sistema siguiente: 0 0 5 4 0 5 1 Supongamos que: 0 0 1 En la ecuación II 0 Al sustituirlo en IV 5 1 4 A C A C B C D A C D B D A C B D B D D D D+ = = −  + + =   + + =   + =  = → = → + = → = − − + = → =

4°) Sustituimos los coeficientes A=C=0, D=1/4 y B= -1/4 y tenemos que la expresión buscada es:

( )

{

}

( )

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 Como: 1 1/ 4 1/ 4 4 5 1 4 5 1 1 1 1 1 4 4 5 4 1 1 1 1 1 4 2 1 4 1 1 1 sin sin 4 4 t L y s y t L L L s s s s s s L L s s s L L s s e t t − − − − − − − − − =             = +       + + + + + +                     = −  +   + + +                 = −  +   + + +         = − +

Hemos aplicado las propiedades de transformadas inversas siguientes

(

)

1 1 2 2 sin 2 2 sin at b b L e bt L bt s b s a b −  = −  =     +   − +    

(10)

Elaborado por

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La solución a la ecuación diferencial buscada es

( )

1 2 sin 1sin

4 4

t

y t = − et+ t Verifiquemos las condiciones iniciales en cada ecuación:

( )

1 2 1

( )

sin sin 0 0 4 4 t y t = − et+ ty =

( )

1 2 1 2 1

( )

1 1

' sin cos cos ' 0 0

2 4 4 4 4 t t y t = et+ etty = − = 5)

( )

( )

'' 5 ' 4 0 0 1 ' 0 0 y y y y y+ + =  =   =  Solución:

1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:

( )

{

}

2 2 5 4 0 y y L L L y t t t ∂  ∂  + + =     ∂ ∂    (A) Donde:

{

}

( )

( )

( )

{

}

( )

( )

( )

{

}

( )

2 2 2 2 . ( ) . 0 ' 0 . ( ) 0 1 y L s L y t s y y s y s s t y L s L y t y sy s t L y t y s  = − − = −   ∂   ∂   = − = −   ∂   =

2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:

( )

{

}

(

)

( )

(

)

(

( )

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)(

)

2 2 2 2 2

Como: 5 4 0 Propiedad de linelidad

. 5 . 1 4 ( ) 0 Laplaciano de una derivada

. 5 4 5 0 Sacando factor común

Despejando ( ) y factoriza 5 5 5 4 4 1 y y L L L y t t t s y s s s y s y s y s s s s y s s s y s s s s s    + + =     ∂ ∂    − + − + =  + +− − =   + + = = + + + + ndo el denominador      

(11)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 11

3°) Nuestro propósito es calcular L−1

{

y s

( )

}

= y t

( )

Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa) Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso I)

(

)(

) (

) (

)

5 4 1 4 1 s s s s A B s + = + + + + +

Usamos el método corto o de sustitución descrito anteriormente,

(

)

(

)

5 4 5 1 1 4 1 3 5 1 5 4 4 1 4 3 s A s s B s + − + = = = − + − + + − + = = = + − +

4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A,B , tenemos

(

)(

)

(

)

(

)

{

( )

}

( )

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 4 4 1/ 3 4 / 3 1 4 5 ya que: 4 1 4 1 1 1 1 como: 4 1 1 4 3 3 La sol 1 4 Asi que: ( ) 3 3 3 3 at t t t t s L L L L y s y t s s s s L L L e s s s a e e y t e e − − − − − − − − − − − −  +            = + =       + + + +                       =  +    = + +  −         = − −  + = − + ución de la ecuación diferencial buscada       6)

( )

( )

16 '' 8 ' 17 1 0 0 ' 0 1 y y y y y + =  =   =  Solución:

1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:

( )

{

}

{ }

2 2 16.L d y 8L dy 17L y t L 1 dt dt     − + =         (A) Donde:

(12)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 12

{

}

( )

( )

( )

( )

{

}

( )

( )

( )

( )

{

}

( )

{ }

2 2 2 2 2 ( ) . 0 ' 0 0 1 1 ( ) 0 0 . 1 1 d y L s L y t s y y s y s s y s dt dy L sL y t y sy s s y s dt L y t y s L s       = − − = − − = −            = − = − =      = =

2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:

( )

{

}

{ }

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 Como: 16. 8 17 1 1 Entonces 16. 1 8 ( ) 17

Sacamos factor común 1 16 8 17 16 y sumando fracciones 1 16 Despejando ( ) 16 8 17 d y dy L L L y t L dt dt s y s sy s y s s y s s s s s y s y s s s s     − + =           − − + =       += +     + = − + Si intentamos factorizar 2

16s −8s+17, podemos ver que tiene raíces imaginarias por lo tanto, completamos cuadrados para expresarla como: (sa)2+b2

2 2 2 2 2 2 2 1 1/ 2 1 1 16 8 17 16 17 Como: 2 2 4 16 1 Sumamos y restamos 1 16 17 4 2 para completar 1 cuadrados Al factorizar el trinomio 1 16 17 c 16 uadrado 6 p 4 1 1 1 s s s s s s s       − + ≡ + =  =                 ≡  − + +           ≡  −  +   − −

(

)

2 2 erfecto 1 1

16 16 16 1 Sacamos factor común

4 4 s s             ≡ + ≡  +      

3°) Nuestro propósito es calcular L−1

{

y s

( )

}

= y t

( )

Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s), para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)

(13)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 13

Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los Coeficientes Indeterminados A, B y C

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 Sumamos fracciones 1 16 algebraicamente 16 8 17 16 8 17 16 8 17 Como el Numerador y 1 16

el denominador son igu

16 ales 8 17 16 8 17 16 8 17 1 16 Ap s s s s s s s s s s s s s s s s s s A B C A s s s s s B C A A A B Cs   + + = + − + − +   − + + +   + = − + − +  

+ = − + + +

(

licando propiedad distributiva

)

(

)

2

(

)

(

)

1 16 Agrupando términos semejante

Igualamos los coeficientes, obtenemos el sistema siguiente

16 0 8 16 16 8 1 1 17 1 17 7

:

s s s A B C A B C A A A A A + = + +  + =   − =   = → − =  + 

(

)

Sustituimos el valor de A, en la ecuación II

8 280 280

8 1/17 16 16

17 17 17

C− = →C= + = → C=

Sustituimos el valor de A 1 17 , en la ecuación I 16 16 0 17 A B B = − + = → =

(

2

)

2 1 16 280 1 1 17 1 1 16 1 16 16 8 17 16 7 17 1 17 7 17 8 s s s s s s s s s − + = + = + − + − + 280 s− 16

(

)

(

)

2 Completando cuadrados 2 1 1 17 1/ 4 1 35 1 2 1/ 4 17 1 s s s s +    − = + − +

(14)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 14

(

)

(

)

{

( )

}

( )

1 1 1 1 2 2 1 1 1 16 1 1 1 35 / 2 ya que: 17 17 16 8 17 1/ 4 1 1 1 1 1 Donde: ; 1 17 17 s s L L L L y s y t s s s s s L L s s − − − − − −    +       = − =         − +   +           = =        

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 2 2 1 1 2 2 1 69 1 35 / 2 1 4 4 17 1/ 4 1 17 1/ 4 1 1 1 4 69 1 17 1/ 4 1 68 1/ 4 1 s s L L s s s L L s s − − − −       −   −  = −    +   +          −   = −  +    +   +         

(

)

(

)

1 / 4 1 2 2 2 1 1 4 1 cos cos 17 1/ 4 1 17 t at s s a L e t L e bt s s a b − −   −   −  = −  =  +   +      

(

)

(

)

1 / 4 1 2 2 2 69 1 69 sin sin 68 1/ 4 1 68 t b at L e t L e bt s s a b − −         = =      +   +         

( )

{

}

( )

( )

1 1 1 / 4 69 / 4 cos sin 17 17 68 t t Ly s = y ty t = − e t+ e t Verificamos las condiciones iniciales para t = 0,

( )

1 1 / 4 69 / 4

( )

1 1

( )

cos sin 0 0 0 17 17 68 17 17 0 0 t t y t = − e t+ e ty = − + = y =

( )

/ 4 / 4 / 4 / 4 / 4 / 4 1 1 69 ' cos sin 17 17 68 1 cos 69 sin 0 sin cos 17 4 68 4 1 69 68 '(0) 1 17 68 68 '(0) 1 t t t t t t t y t D e t e t e t e t e t e t y y   = − +       = −  − +  +      = − + = = → =

(15)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 15

7)

( )

( )

( )

3 2 3 4 2 5 2 10 cos 0 0 ' 0 0 '' 0 3 d y d y dy y t dt dt dt y y y  + + + =    =   =   =Solución:

1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:

{

}

{

}

3 2 3 4 2 5 2 ( ) 10 cos d y d y dy L L L y t L t dt dt dt       + + + =             Donde:

( )

{

}

( )

( )

( )

( )

( )

{

}

( )

( )

( )

( )

{

}

( )

( )

{

}

( )

{

}

{

}

3 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 0 ' 0 ' 0 3 0 ' 0 0 ( )

cos ya que; cos 1 d y L s L y t s y s y y s y s dt d y L s L y t sy y s y s dt dy L sL y t y s y s dt L y t y s s s L t L bt s s b   = − − − = −       = − − =       = − =     = = = + +

2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:

{

}

{

}

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

( )

( )

(

)(

)

3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 Como: 4 5 2 ( ) 10 cos 10 entonces: 3 4 5 2 1 10 4 5 2 3 1 3 10 3 1 4 5 2 d y d y dy L L L y t L t dt dt dt s s y s s y s s y s y s s s y s s s s s s s y s s s s s     + + + =             − + + + = +  + + += +   + + + = + + + +

(16)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 16

Factorizamos la expresión

(

3 2

)

4 5 2

s + s + s+ en el denominador usando la regla de Ruffini los divisores de 2 son 1, 2± ±

(

) (

)

2 3 2 4 5 2 1 . 2 s + s + s+ = s+ s+ De esta manera:

( )

(

)(

) (

)

(

) (

)

2 2 2 2 3 2 2 3 10 3 3 10 3 1 4 5 2 1 1 2 s s s s y s s s s s s s s + + + + = = + + + + + + +

3°) Nuestro propósito es calcular L−1

{

y s

( )

}

= y t

( )

Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)

Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II y I)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

1 2 2 2 2 2 2 3 10 3 1 2 1 1 1 2 1 s s s s s s s s s A B s C C D + + + = + + + + + + + + + +

Calculemos C2 y D por el método corto o de sustitución:

Para hallar C2 , multiplicamos ambos miembros de la ecuación por

(

)

2

1

s+ , simplificamos y luego evaluamos para s= −1

(

)

(

)

(

)

(

)

( )( )

2 2 2 2 2 2 3 10 3 3( 1) 10( 1) 3 3 10 3 4 2 2 1 2 1 2 ( 1) 1 ( 1) 2 C 2 s s C s s + + − + − + − + − = = = = = − → + + − + − + = −

Para hallar D, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por

(

s+2

)

, simplificamos y luego evaluamos para s= −2

(

)

(

)

(

)

(

)

( )( )

2 2 2 2 2 2 3 10 3 3( 2) 10( 2) 3 12 20 3 5 1 5 1 5 1 1 ( 2) 1 ( 2) 1 1 s D s D s s + + − + − + − + − = = = = = − → + + − + − + = −

Hemos hallado dos coeficientes, ahora usemos el método tradicional, sumamos las fracciones, igualamos los numeradores y los coeficientes para resolver el sistema luego, como veremos a continuación:

(17)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 17

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 10 3 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 C C A s s s s s s s s s s s s B A B s s s + + + + = + + − + = + − − + + + + + + + + + + + −

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)(

) (

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 3 10 3 2 1 1 2 1 1 1 2 1

Sumando fracciones algebraicamente

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1

3 10 3

1 1 2 1 1 2

Los numeradores y los coeficientes son iguales

s s s s s s s s s s s C A B A B s s s s s s s s s s s s s s s C s s + + + = + − − + + + + + + + + + + + + + + − + + − + + + + = + + + + + +

(

)(

) (

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

2 2 2 2 2 2 3 2 4 3 2 3 2 4 3 2 1 1

, ya que los denominadores tambien lo son.

3 10 3 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1

Desarrollemos el miembro derecho:

4 5 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 Aplicando l s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A B C A B C s s + + = + + + + + + + − + + − + + ⇒ + + + + + + + + + − + + + − + + + +

(

)

(

)

(

)

1 1 4 3 2 3 2 4 3 2 3 2 4 3 2 1 1 1 1 1 4 4 5 2

a propiedad distributiva y ordenando de forma decreciente:

2 Sumamos luego términos semejantes

2 4 2 4 2 2 2 4 5 2 3 3 3 4 3 1 1 4 s s s s s s s s s s s s s s A A A A B B B B C C C C C A s s s s s A s C B C ⇒ + + + + + + + + + + + − − − − − − − − − − + + − + +

(

1

)

(

1

)

(

1

)

1 1 1 3 2 1 2 6 4 5

Igualamos los coeficientes anteriores con la expresión 3 10 3 y tenem

5 4 3 2 5 os e 3 2 2 l siguiente sistema 1 0 4 0 6 3 4 10 5 4 3 5 4 3 2 5 3 3 2 2 : s s s s A B C A B C B C A C A B C A B C A B C B C + − + − + − + + − =   − =  − =   − = + + + + + + + + + + + + − =  +  

(

)

(

1

) (

1

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 9 14 8 4 Sustituimos 1 y 4 en la ecuación II 4 4 1 4 3 4 4 4 4 3 4 1 2 4 8 4 / 2 4 3 5 4 3 2 5 3 2 2 4 3 2 C C A C A C A B C A B C A B C B C B C A C B C A B C C C C C A C C C C= → = −  =   ⇒ =  =   = →  = − =  + + =    − + − + = = −     − = − ⇒  + + + + + + + + = −   = −    =     = − + + 1 4 1 2 1 4 2 2 1 2 B C A B A B = − = − = − ⇒ = − = = − =

(18)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 18

La expresión buscada quedaría así:

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

2 2 2 2 2 3 10 3 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 s s s s s s s s s s + + − + = + − − + + + + + + +

4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A, B , C1, C2 y D

tenemos:

( )

{

}

( )

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 3 10 3 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 L y s y t s s s L L L L L s s s s s s s s L L L L L s s s s − − − − − − − − − − − =  + +   − +                  = + − −           + + + + + +   +                             = −  +  +  −  − + + +   +           

(

)

(

)

(

)

(

)

1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 Donde usando la transformada inversa

cos ya que: 1 1 sin ya que: 1 1 ya que: 1 cos sin 1 : t a t s s L t s L t s L s L bt s b b L bt s b L e e a s s − − − − − − −   =       +         =   +         =   +         +     =   +     =   −   =   +  

(

)

(

)

( )

1 1 1 2 1 2 2 1 1 ya que: 1 1 ya que: 2

Tenemos entonces que :

cos 2 sin 2 ! 1 2 t t t t t n a t n at L te s L e s y t t n L t e s a L e s a t e te e − − − + − − − − − −     =   −      =   +    =      =   +   = − + + − − −    

La solución de la ecuación diferencial es

( )

2

cos 2 sin 2 t 2 t t y t = − t+ t+ e− − te− −e

Verifica las condiciones iniciales dadas calcula la primera y la segunda derivada de y(t) y evalúalas para t = 0 , comprueba que si es cierto.

(19)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 19

8)

( )

( )

( )

''' 5 '' 7 ' 3 20sin 0 0 ' 0 0 '' 0 2 y y y y t y y y − + − =   =   =   = −Solución:

En estos momentos ya estás en capacidad de resolver las cuentas tu mismo:

Al aplicar la transformada en ambos miembros de la ecuación, luego al despejar y(s)

(

)(

)

(

)

(

)

(

) (

)

2 2 2 2 3 2 2 2 10 1 2 20 2 ( ) 1 5 7 3 1 1 3 s s s s y s s s s s s s s + + + + = = + − + − + − −

Descomponiendo en fracciones parciales y hallando los coeficientes indeterminados obtenemos

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

2 2 2 2 2 2 10 1 3 3 6 2 1 3 1 1 1 3 1 s s s s s s s s s s + + + = − − + − − + + − − −

Al aplicar la transformada inversa de y(s), encontramos y(t) , es decir, L−1

{

y s

( )

}

= y t

( )

La solución de la E.D.O es: y t

( )

=cost+3sint−3et−6tet+2e3t

(20)

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 20 Problemas Propuestos:

Aplicar la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales con valores iniciales:

(

)

3

( )

( )

.1 '' 4 ' 6 t 3 t ; 0 1, ' 0 1 A y + y = eey = y = −

(

A.2

)

y''+y= 2 sin 2 ;t y

( )

0 =10, ' 0y

( )

=0

(

A.3

)

y'' 9+ y=et ;y

( )

0 =0, ' 0y

( )

=0

(

.4 2 ''' 3 '' 3 ' 2

)

t ;

( )

0 0, ' 0

( )

0, '' 0

( )

1 A y + yyy=ey = y = y =

(

A.5

)

y''' 2 ''+ yy' 2− y=sin 3 ;t y

( )

0 =0, ' 0y

( )

=0, '' 0y

( )

=1

Figure

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