Sistemas Lineales 1 - Examen Practico - 25/7/08

Sistemas Lineales 1 - Examen Practico - 25/7/08

Nota Importante: Se recuerda que para aprobar la prueba es necesario tener al menos un ejercicio completo. Se sugiere justificar o explicar cada uno de los pasos realizados. Si utiliza alg´un resultado o propiedad, en´uncielo correctamente.

Sea prolijo y explique y detalle bien todos sus pasos. Exprese sus resultados exactamente en el formato pedido. Recuerde, que a trav´es de esta evaluaci´on usted debe demostrar sus conocimientos en la materia. Tenga presente que si algo no es claro para el evaluador, usted podr´ıa perder los puntos correspondientes a la pregunta.

Realice problemas diferentes en hojas diferentes.

Problema 1

a) Sean dadosω0 >0, 0< ζ <1, y q >0. Halle las distribucionesTg, Tl ∈ D+′ (y asociadas ag y l

respectivamente) soluci´on de las siguientes ecuaciones:

T′′

g + 2ω0ζTg′+ω02Tg =ω20δ ,

Tl=qT′ g .

Expreseg(t) yl(t) claramente y solo en t´erminos det,ω0,ζ, yq.

Nota:Puede ser ´util recordar que la soluci´on general de una ec. diferencial homog´enea de se-gundo orden con coeficientes constantes y cuyo polinomio caracter´ıstico tiene ra´ıcesa±jb es

c1eatsin(bt) +c2eatcos(bt).

b) Considere el circuito de la figura donde se verifica que 1

√ LC =ω0y 1 2 1 R q L C =ζ.

(i) Escriba una ecuaci´on diferencial, que describa el comportamiento del circuito, y que relacione

iL conii.

(ii) Dado que la salida de nuestro sistema es v0, y que se verifica que v0(t) = LdiL_dt(t), use (la

parte (i) y) la soluci´on de la parte (a) para escribir la respuesta al impulso, h, de este nuestro sistema (con entradaii y salidav0). Expreseh(t) claramente y solo en t´erminos de

t,ω0,ζ, yL. C R L + -ii(t) iL(t) vo(t)

Figura 1: circuito del problema 1

c) Halle la funci´onH =F {h}. Exprese H(f) claramente y solo en t´erminos def,ω0,ζ, yR.

Nota: Observe que la funci´onh(t) se puede escribir como combinaci´on lineal de funciones de la formaY(t)e−zt_{conRe(z)>0, y la transformada de esta funci´on es sencilla.}

d) SeaI0>0 dado yT0= 2_ωπ0. Sea ahoraii:R−→R, una funci´on periodica, de periodoT0, definida via ii(t) = 0 , −T0 2 ≤t <0 I0 , 0≤t < T₂0 .

Halle la serie de Fourier, P

k∈Zck(ii)e

jkω0t

, asociada a ii. Exprese los coeficientes de Fourier,

ck(ii), claramente y solo en t´erminos dek yI0.

e) Para la funci´on excitaci´onii de la parte(d)halle la serie de Fourier,P

k∈Zck(v0)e

jkω0t_{, asociada} a la respuesta en r´egimen, v0, del sistema bajo consideraci´on (de la parte (b)). Exprese los

coeficientes de Fourier,ck(v0), claramente y solo en t´erminos dek,ζ, y (RI0).

f ) Para la respuesta en r´egimen,v0, de la parte(e):

(i) Calcule la tension media de salida,

V0,m= 1 T0 Z T0 v0(t)dt .

(ii) Usando la parte(e), y sus conocimientos teoricos de series de Fourier, escriba una expresi´on para la tension eficaz de salida,

V0,eff = s 1 T0 Z T0 v2 0(t)dt solo en t´erminos de ζ, y (RI0).

(iii) Asuma queζ= ₁₀1. Calcule V0,eff

(RI0) aproximadamente usando la parte(ii). Para esta aproxi-maci´on solo considere losck(v0) conk∈ {−3,−2,−1,0,1,2,3}.

Problema 2

Se considera el circuito de la figura, en que la fuente dependiente tiene un voltajeαVo, con 06α <1.

Figura 2: circuito del problema 2

Llamandoω0=_RC1 :

1. Calcular la transferencia H(jω) =Vo/Vi.

2. Hallar la condici´on que debe cumplirαpara que el denominador de la transferencia tenga ra´ıces complejas.

3. Cumpli´endose dicha condici´on, dibujar el diagrama de Bode de m´odulo y argumento deH(jω). 4. Siα=5

8, calcular las pulsacionesω1 yω2de ca´ıda de 3dB.

5. Se desea usar el circuito para filtrar la frecuencia de la red (50Hz) en un amplificador de audio. Si se tomar R= 5MΩ, calcularC.

Sistemas Lineales 1 - Examen Te´

orico - 25/7/08

Nota Importante: Se recuerda que para aprobar la prueba es necesario tener al menos dos preguntas completas. Se deber´a justificar o explicar cada uno de los pasos realizados. Asimismo se pide justificar debi-damente las afirmaciones realizadas. Si utiliza alg´un resultado o propiedad, en´uncielo correctamente. Si tiene dudas respecto a si debe probar o no determinado resultado o propiedad que utiliza, consulte al docente. Fuera de este tipo de consultas, s´olo se responder´an dudas sobre la letra.

Pregunta 1

Recordando que la transformada de Fourier de un pulso es una funci´on de tiposinc, calcular:

I=

Z +∞ −∞

sen(αx)

x dx

conα >0 y mostrar que el resultado no depende de dicho par´ametro.

Pregunta 2

Se sabe que, si tantog como t.g(t) son funciones transformables, se verifica que d

dfF {g(t)}(f) = F {(−j2πt)g(t)}(f). A partir de la definici´on de transformada de Fourier para distribuciones:

<F[T], ϕ >=< T,F[ϕ]> ∀ϕ∈ S

probar que “derivar en el tiempo equivale a multiplicar en frecuencia”.

Pregunta 3

Consideremos el sistema trif´asico de la figura, donde el sistema de fuentes es equilibrado y perfecto y las cargas son id´enticasZ1=Z2=Z3=Z.

a) Mostrar que la potencia instant´anea total entregada por el sistema de fuentes es constante.

b) ¿Cambia algo si se duplica el valor deZ1 sin modificar los deZ2 yZ3?

Pregunta 4

Consideremos la siguiente transferencia en r´egimen de primer orden H(jω) = _jωjω₊+_kaa con k y a

reales positivos yk >1. Mostrar que existe una frecuenciaω0(y hallar el valor exacto de la misma) a

la cual el diagrama de Bode de m´odulo real y el asint´otico coinciden. Bosqueje ambos diagramas.

Sistemas Lineales 1

Examen Final - Julio 2008

₁

Sistemas Lineales 1 - Soluciones Examen Final

Problema

1.-a)

g

(

t

) =

Y

(

t

)

p

ω

0

1

₋

ζ

2

e

−ω0ζ t

sin(

ω

0

p

1

₋

ζ

2

_t

)

.

l

(

t

) =

Y

(

t

)

q

ω

2 0

p

1

₋

ζ

2

e

−ω0ζ t

¡p

1

₋

ζ

2

_cos(

_ω

0

p

1

₋

ζ

2

_t

₎

−

ζ

sin(

ω

0

p

1

₋

ζ

2

_t

₎

¢

.

b)

(i)

¨

_i

_L

₍

_t

_{) + 2}

_ω

₀

_ζ

˙

_i

_L

₍

_t

_{) +}

_ω

2 0

i

L

(

t

) =

ω

2 0

i

i

(

t

)

.

(ii)

h

(

t

) =

Y

(

t

)

L

ω

2 0

p

1

₋

ζ

2

e

−ω0ζ t

¡p

1

₋

ζ

2

_cos(

_ω

0

p

1

₋

ζ

2

_t

₎

−

ζ

sin(

ω

0

p

1

₋

ζ

2

_t

₎

¢

.

c)

Usando el hecho que para

z

_∈

C

_,

_ℜ{

_z

_}

_>

_{0, se verifica}

F{

Y

(

t

)

e

−z t

}

(

f

) =

1

(

z

+

j

2

πf

)

, f

∈

R

,

resulta que

H

(

f

) =

_F{

h

_}

(

f

) =

R

2

ω

0

ζ

(

j

2

πf

)

((

j

2

πf

)

2

_{+ 2}

_ω

0

ζ

(

j

2

πf

) +

ω

02

)

.

d)

c

k

(

i

i

) =

I

0

2

×

½

1

, k

= 0

1 jπk

(1

−

(

−

1)

k

₎

_{, k}

₆

_{= 0}

.

e)

c

k

(

v

0

) =

H

(

k

ω

0

2

π

)

c

k

(

i

i

)

, k

∈

Z

.

Entonces,

c

0

(

v

0

) = 0, y

c

k

(

v

0

) =

(

RI

0

)

2

π

2

ζ

((

jk

)

2

_{+ 2}

_ζ

₍

_jk

_{) + 1)}

(1

−

(

−

1)

k

₎

_{, k}

∈

Z

_{, k}

₆

_{= 0}

_.

Sistemas Lineales 1

Examen Final - Julio 2008

₂

f )

(i)

V

0,m

=

c

0

(

v

0

) = 0

.

(ii)

V

0,eff

=

s

X

k∈Z

|

c

k

(

v

0

)

|

2

=

(

RI

0

)

π

s

X

k∈Z

(2

ζ

)

2

((1

₋

(2

k

+ 1)

2

₎

2

_{+ (2}

_ζ

₍₂

_k

_{+ 1))}

2

₎

.

(iii)

Asumiendo

ζ

=

1

10

, y solo considerando los

c

n

(

v

0

) con

n

∈

{−

3

,

₋

2

,

₋

1

,

0

,

1

,

2

,

3

_}

, obtenemos

V

0,eff

(

RI

0

)

≈

1

π

s

2

¡

1 +

(2

ζ

)

2

(64 + 9(2

ζ

)

2

₎

¢

≈

√

2

π

.

1)

Nudo V

1

(

)

R

V

V

V

V

j

C

R

V

V

_o o i

2

2

2

1 1 1

−

+

−

=

−

α

ω

Nudo V

2

(

)

(

o

)

o i

C

j

V

V

R

V

V

V

V

j

C

ω

−

₂

=

2

−

α

+

ω

₂

−

Nudo V

o

(

2

)

1

2

R

C

j

V

V

V

V

o o

−

=

−

ω

2 1 2 2 2 1 1 1

2

2

4

4

jV

RC

jV

RC

V

V

jV

RC

jV

RC

V

V

jV

RC

jV

RC

V

V

V

j

RC

jV

RC

V

V

o o o o i o o i

ω

ω

ω

ω

α

ω

ω

α

ω

ω

−

=

−

−

+

−

=

−

−

+

−

=

−

Llamando RC j = x

2 1 2 2 1 1

2

)

2

1

(

1

2

1

2

)

2

1

(

)

(

)

1

2

(

2

1

4

)

1

2

(

2

)

2

1

(

2

)

4

1

(

xV

V

V

x

x

x

x

xV

V

V

x

V

x

xV

V

x

x

x

V

V

V

x

V

x

V

o i o i o i o i

+

=

+

+

+

+

+

=

⇒

+

=

+

+

+

+

+

+

=

⇒

+

=

+

+

α

α

α

α

Sustituyendo V

1

y V

2

en la tercera, queda una relación entre V

i

y V

o

, de la que se

1

)

1

(

8

4

1

4

2 2

+

−

+

+

=

x

x

x

V

V

i o

α

Volviendo a x = RC j

(

)

ω

ω

(

α

)

ω

ω

ω

ω

ω

ω

α

ω

ω

ω

ω

ω

j

j

j

j

j

H

o o o o o o

−

+

−

−

=

+

−

+

+

=

1

8

4

4

1

1

8

)

(

4

1

)

(

4

)

(

_{2 2} 2 2 2 2 2 2

2)

Raíces del denominador complejas:

(

)

(

)

4

1

1

0

16

1

64

−

α

2

−

<

⇒

−

α

2

<

Como

2

1

2

1

1

0

1

−

α

>

−

α

<

⇒

α

>

3)

Tanto para

ω

o

muy pequeño como muy grande

H

(

j

ω

o

)

≈

1

=

0

db

En

2

o

ω

ω

=

,

H(j

ω

)

tiene un cero

En cuanto a la fase, en ambos extremos es 0.

2

)

(

0

1

1

2

2

)

(

0

1

1

2

π

ω

ω

π

ω

ω

≈

≈

∞

−

=

⇒

→

−

≈

−

≈

∞

+

≈

⇒

→

+ −

H

Arg

j

j

H

H

Arg

j

j

H

o o

(Para el diagrama se tomó

2

1

1

=

=

α

ω

_o

₎

4)

2 2

₄

3

1

1

)

(

8

5

ω

ω

ω

ω

ω

α

−

+

=

=

o o

j

j

H

Caída 3 db:

1

4

3

2 2

=

±

−

ω

ω

ω

ω

o o

₃

2

₄

2

ω

ω

ω

ω

=

−

±

_{o o}

Sea

=

x

⇒

4

x

2

±

3

x

−

1

=

0

⇒

o

ω

ω

Las soluciones para x pueden ser: -1, ¼, -¼, 1

Las válidas son ¼ y 1.

o

ω

ω

ω

ω

=

=

2 0 1

4

5)

RC

f

Hz

f

o o o

₅₀

₁₀₀

₂

₁₀₀

1

2

=

=

ω

=

π

=

pF

x

x

x

R

x

C

1000

10

318

5

100

2

10

100

2

1

6 12

=

=

=

=

− −

π

π

π