Espacio vectorial euclídeo

Espacio vectorial eucl´

ıdeo

Juan Medina Molina

13 de diciembre de 2004

Introducci´

on

En este tema estudiaremos espacios vectoriales reales a los que hemos a˜ nadi-do una nueva operaci´on, el producto escalar, que a cada pareja de vectores les hace corresponder un n´umero real. De nuevo, en este cap´ıtulo introducimos de forma abstracta un concepto que ya ha sido estudiado en la educaci´on se-cundaria. Finalizaremos el cap´ıtulo estudiando algunos tipos de aplicaciones lineales que tienen un significado geom´etrico y la diagonalizaci´on ortogonal.

Hemos dividido este tema en los siguientes apartados:

• Definici´on y propiedades del producto escalar. Norma y distancia aso-ciadas.

• Ortogonalidad. Bases ortonormales. M´etodo de Gram-Schmidt. Sube-spacios ortogonales.

• Endomorfismos con significado geom´etrico: Homotecias, proyecciones, simetr´ıas y rotaciones en el plano.

• Diagonalizaci´on ortogonal.

Definici´on y propiedades del producto escalar. Norma y distancia asociadas.

En este tema, al igual que en el anterior, trabajaremos ´unicamente con es-pacios vectoriales reales.

Definici´on 1 Si V es un _R-espacio vectorial, un producto escalar en V es una aplicaci´on

h., ._i:V _×V _−→R

i) _hx+y, z_i=_hx, z_i+_hy, z_i para todo x, y, z _∈V. ii) _hαx, y_i=α_hx, y_i para todo α_∈R, para todo x, y _∈V. iii) _hx, y_i=_hy, x_i para todo x, y _∈V.

iv) _hx, x_i≥0 para todo x_∈V. v) _hx, x_i= 0 si y s´olo si x= 0.

Entonces diremos que (V,_h., ._i) es un espacio vectorial eucl´ıdeo.

Nota. Por simetr´ıa se tiene que _hx, y +z_i = _hx, y_i+_hx, z_i y _hx,αy_i =

α_hx, y_ipara todo α_∈R, para todo x, y _∈V.

Ejemplo.

En_Rn_{la aplicaci´on}

h., ._i:_Rn ×Rn

−→Rtal que_h(x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)i=

x1y1+. . .+xnyn es un producto escalar conocido como el producto escalar

can´onico de _Rn.

Proposici´on 1 _hx,0_i= 0para todo x_∈V.

Ortogonalidad. Bases ortonormales. M´etodo de Gram-Schmidt. Subespacios ortogonales

Definici´on 2 Si (V,_h., ._i) es un espacio vectorial eucl´ıdeo , se define la norma asociada a la aplicaci´on _k._k:V _−→R que que _kx_k= +p_hx, x_i.

Se obtienen las siguientes propiedades de la norma:

Proposici´on 2 i) _kx_k= 0 si y s´olo si x= 0.

ii) _kαx_k=_|α_{| k}x_k para todoα _∈R, para todo x_∈V. iii) _kx+y_k2 ₊

kx₋y_k2_{= 2(}

kx_k2 ₊

ky_k2_).

iv) _|hx, y_i|≤kx_kky_k para todox, y _∈V. v) _kx+y_k≤kx_k+_k y_k para todo x, y_∈V.

Definici´on 3 Si (V,_h., ._i) es un espacio vectorial eucl´ıdeo y x, y _∈ V, se define la distancia de x a y como d(x, y) =_kx₋y _k.

Si adem´as x, y son no nulos, se define el ´angulo entre x e y como θ = arccos hx, yi

kx_kky_k.

Definici´on 4 Si (V,_h., ._i) es un espacio vectorial eucl´ıdeo y x, y _∈V _{\ {}0_}, diremos que x e y son ortogonales si _hx, y_i= 0.

Si U =_{x1, . . . , xn} ⊆V \ {0} se dice que U es un sistema ortogonal de

V si los vectores que lo forman son ortogonales dos a dos.

Entonces se obtiene el teorema de Pit´agoras:

Teorema 1 Si u, v _∈Rn _{son ortogonales entonces:} ku+vk2=kuk2 +kvk2 .

Razonando por inducci´on, se obtiene una generalizaci´on del resultado anterior para un sistema ortogonal finito de vectores:

Proposici´on 3 Si _{u1, . . . , ur} es un sistema ortogonal entonces

ku1+. . .+ur k2=ku1 k2 +. . .+kur k2 .

Pasamos a definir los conceptos de vector unitario y ortogonal:

Definici´on 5 Si (V,_h., ._i) es un espacio vectorial eucl´ıdeo : i) Dado v_∈V, diremos que v es un vector unitario si _kv_k= 1.

ii) Si B = _{e1, . . . , er} es una base de V, diremos que B es una base

ortonormal de V si es un sistema ortogonal y todos los vectores que lo componen son unitarios.

Es sencillo demostrar el siguiente resultado:

Proposici´on 4 Si u_∈V _{\ {}0_} entonces u/_ku_k es un vector unitario.

A continuaci´on presentamos el m´etodo de Gram-Schmidt para la obten-ci´on de una base ortonormal a partir de una base de un espacio vectorial.

M´etodo de Gram-Schmidt

Supongamos que B = _{e1, e2, . . . , en} es un base de un R-espacio

vec-torial V que posee un producto escalar _h . , . _i. Definimos un conjunto {u1, u2, . . . , un} de vectores de V de la siguiente forma:

Definimosu1 = (1/ p he1, e1i)e1. Sea w2 =e2−he2, u1iu1. Entonces definimos u2 = (1/ p hw2, w2i)w2. Sea w3 =e3−he3, u1iu1−he3, u2iu2.

Entonces definimos u3 = (1/

p

hw3, w3i)w3.

Supongamos que para un ciertoj < n tenemos definidos u1, u2. . . , uj.

Sea wj+1 =ej+1−hej+1, u1iu1 −hej+1, u2iu2 −. . .−hej+1, ujiuj. Entonces definimos uj+1 = (1/ p hwj+1, wj+1i)wj+1. Entonces B0 _={u 1, u2, . . . , un} es un base ortonormal de V. Definici´on 6 Si (V,_h., ._i) es un espacio vectorial eucl´ıdeo :

i) Si v _∈ V y S _⊆ V, se dice que v es ortogonal a S si _hv, w_i = 0 para todo w _∈ S. En el caso de que S _≤ V, es sencillo demostrar que v es ortogonal a S si lo es a una base de S.

ii) Si S, T _≤ V, se dice que S y T son ortogonales si _hv, w_i= 0 para todo

v_∈S y para todow_∈T. Se puede demostrar f´acilmente que lo anterior ocurre si y s´olo si cualquier base de S es ortogonal a cualquier base de

T.

iii) Si S _≤V, se define el subespacio ortogonal de S como:

S⊥ =_{v _∈V _{| h}v, w_i= 0 _∀ w_∈S_}.

Se obtienen las siguientes propiedades:

Proposici´on 5 Sea S un subespacio de V. Entonces: i) S_∩S⊥= 0.

ii) (S⊥₎⊥ _=S.

iii) V⊥ = 0 y0⊥ =V.

iv) Si V es finitamente generado entonces V =S_⊕S⊥_.

Del apartado iv) de la proposici´on anterior se deduce que si S _{≤ R}n_, entonces cualquier vector x_{∈ R}n _{se puede expresar como x=u+v siendo}

u_∈S y v_∈S⊥. Entonces se define la proyecci´on ortogonal dexen S como

PS(x) =u.

Observemos que entonces x₋PS(x) =v_∈S⊥_.

Definici´on 7 Si v_∈V y S _≤V se define la distancia de v a S como:

d(x, S) =inf_{d(v,w) _| w_∈S_}.

Endomorfismos con significado geom´etrico

En primer lugar, definimos las homotecias de raz´on α _{∈ R} en un espacio vectorial real V finitamente generado:

Definici´on 8 Si (V,_h., ._i) es un espacio vectorial eucl´ıdeo , se define la homotecia de raz´on α _∈R a f :V _−→V _| f(v) =αv.

Claramente, para toda base B de V se tiene que MB(f) =αI.

A continuaci´on definimos las proyecciones:

Definici´on 9 Si (V,_h., ._i) es un espacio vectorial eucl´ıdeo , y S y T son subespacios de _Rn _{tales que S}

⊕T =_Rn_{, entonces se define la proyecci´on de}

base S y direcci´on T al endomorfismo P de _Rn que verifica que P(v) = v

para todo v_∈S y P(w) = 0 para todo w_∈T. Claramente, si B es una base de _Rn _{que resulta de unir una base de S con una de T, entonces}

MB(P) = µ Ir 0r×(n−r) 0(n−r)×r 0(n−r)×(n−r) ¶ ,

siendo r la dimensi´on de S. En el caso particular de que T = S⊥_{, la}

apli-caci´on anterior recibe el nombre de proyecci´on ortogonal de base S.

La tercera aplicaci´on que presentamos es la simetr´ıa:

Definici´on 10 Si (V,_h., ._i) es un espacio vectorial eucl´ıdeo y S y T son subespacios suplementarios de _Rn, se define la simetr´ıa de baseS y direcci´on

T como el endomorfismo f de _Rn _{verificando que f(v) =v para todov} ∈S

y f(w) = ₋w para todo w _∈ T. Claramente, si B es una base de _Rn _que

resulta de unir una base de S con una de T, entonces

MB(P) = µ Ir 0r×(n−r) 0(n−r)×r −I(n−r)×(n−r) ¶ ,

siendo r la dimensi´on de S. Si T = S⊥_{, la aplicaci´on lineal anterior recibe}

el nombre de simetr´ıa ortogonal de base S.

Por ´ultimo, se presentan las rotaciones en el plano:

Definici´on 11 Si θ_∈[0,2π[, se dice que T :_R2

−→R2 _{es una rotaci´on de}

´

angulo θ _∈[0,2π[ si existe una base B tal que

MB(f) = µ cosθ ₋sinθ sinθ cosθ ¶ .

Diagonalizaci´on ortogonal

Definici´on 12 Si P _∈ Mn(_R), se dice que P es una matriz ortogonal si

P−1 _=PT_.

Definici´on 13 Sean A, C _∈ Mn(_R). Diremos que A y C son ortogonal-mente semejantes si existe una matriz ortogonal P tal que C =P−1_AP. Definici´on 14 Se dice que una matriz cuadrada es diagonalizable ortogo-nalmente si es ortogoortogo-nalmente semejante a una matriz diagonal.

Entonces se obtiene:

Proposici´on 7 Si A_∈Mn(_R)es sim´etrica (luego es diagonalizable) y con-sideramos en _Rn el producto escalar can´onico, entonces los subespacios pro-pios asociados a valores propro-pios distintos son ortogonales.

Como consecuencia, dado que podemos calcular bases ortonormales de los subespacios propios , al unir ´estas se obtiene una base ortonormal de _Rn de vectores propios ya que la matriz A es diagonalizable.

Proposici´on 8 Si B es una base ortonormal de _Rn _{con el producto escalar}

can´onico y P es la matriz cuyos vectores columna son los vectores de B, entonces P es ortogonal.

De los dos hechos anteriores se obtienen:

Teorema 2 Toda matriz real sim´etrica es diagonalizable ortogonalmente.

Bibliograf´

ı

a

1. R. Barbolla, P. Sanz,Algebra Lineal y teor´´ ıa de matrices. Ed. Prentice Hall.

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5. J. R. Torregrosa, C. Jord´an, Algebra Lineal y sus aplicaciones.´ Ed. McGraw-Hill.