Clase 2: Algoritmo de Eucl´ıdes
Dr. Daniel A. Jaume,*8 de agosto de 2011
1.
M´
aximo com´
un divisor
Para entender que es el m´aximo com´un divisor de un par de enteros (no simult´aneamente nulos). Lidearemos con la expresi´on anterior de a pa-sos. Recordaremos que es un “divisor”, luego veremos que significa “com´un divisor” (en un buen castellano dir´ıamos divisor com´un). Para finalmente agregar la palabra m´aximo.
Ya sabemos lo que significa la palabradivisor, pero la repetici´on es una estrategia clave de la ense˜nanza: Dados dos enterosayb, cona6= 0, decimos queadivide a b, o queaes un factor deb, o que aes undivisor de bo que
besdivisible por a, sib=aq para alg´un enteroq, i.e.,b es unm´utiplo de a. Recordamos que esto se denotaa|b.
Por ejemplo los divisores de 6 son 1,2,3 y el mismo 6, pero estos no son todos los divisores de 6, tambi´en lo dividen −1,−2,−3 y−6. Pero gen-eralmente s´olo nos interesar´an los divisores porsitivos (una vez que tenemos los divisores positivos, tambi´en tenemos los negativos: basta multiplicar por −1).
Es f´acil hallar todos los divisores de un n´umero pequeo, pero la tarea se complica horrorosamente cuando el n´umero en cuesti´on es muy grande (muy, muy grande!). Por ejemplo:
el divisor (positivo) de 1 es s´olo el propio 1. los divisores (positivos) de 2 son 1 y 2. los divisores (positivos) de 7 son 1 y 7.
*
Departmento de Matem´aticas, Facultad de Ciencias F´ısico-Matem´aticas y Naturales, Universidad Nacional de San Luis, Ej´ercito de los Andes 950, 5700 San Luis, Argentina. E-mail de la Materia: mat.discretas.2011@gmail.com
facebook de la Materia: MatDiscreta UNSL twitter: MatDiscreta2011
Biblioteca Digital de la UNSL: http: bd.unsl.edu.ar
los divisores (positivos) de 15 son 1,3,5 y 15.
los divisores (positivos) de 28 son 1,2,4,7,14 y 28.
los divisores (positivos) de 42 son 1,2,3,6,7,14,21 y 42.
Recordemos: 1 divide cualquier entero (−1 tambi´en), y cualquier entero divide a 0.
Si e es un entero tal que e|a y e|b , diremos que e es un divisor com´un
de ayb.
Por ejemplo:
los divisores comunes de 2 y 7 son−1 y 1.
los divisores comunes de 28 y 42 son±1,±2,±7 y±14, como se puede ver f´acilmente al comparar la lista de divisores de 28 y 42.
el ´unico divisor com´un positivo de 15 y 28 es el 1. Ejercicio 1.1 Hallar todos los divisores comunes positivos de:
1. 16 y 48. 2. 30 y 45. 3. 18 y 65.
Definici´on 1.2 Un n´umero entero des elm´aximo com´un divisor(mcd) de dos enterosa y b (no simult´aneamente nulos) si:
1. des un divisor com´un de ay b.
2. Todo divisor com´un de ay b es menor o igual a d
Denotaremos por (a, b) al m´aximo com´un divisor de a yb.
Por ejemplo:
el mcd de 2 y 7 es 1, esto puede ser escrito: (2,7) = 1.
el mcd de 28 y 42 es 14. (15,28) = 1.
Como 1 divide a cualquier entero, todo par de enterosaybno simut´ anea-mente nulos (i.e. o a6= 0, ob6= 0), tiene divisores comunes. Por otro lado, como para todo entero no nuloa se cumple que|a||a(“m´odulo de a divide aa”), tenemos que todo divisor com´und, de un par de enteros no nulosay
bsatisface que
1≤d≤m´ın{|a|,|b|}
Esto nos permite afirmar que para todo par de enteros no simult´aneamente nulosayb existe el m´aximo com´un divisor.
Ejercicio 1.3 si bien el simbolo (0,0) no est´a definido, ¿Cual ser´ıa su val-or?
Dos n´umeros enteros a y b se dicen coprimos o primos relativos (o que sonrelativamente primos entre s´ı), si su mcd es 1. Por ejemplo 2 y 7 son coprimos. Tambi´en son coprimos 15 y el 42, mientras que 28 y 42 no son relativamente primos: (28,42) = 14>1
Existe una interesante relaci´on entre el teorema de la divisi´on y el mcd: Lema 1.4 Dados dos enterosa6= 0yb, sib=aq+r, entonces(b, a) = (a, r)
Por ejemplo 28 = 10×2 + 8, y (28,10) = 2 = (10,8). Pero podemos sequir: 10 = 8×1 + 2, por lo tanto (10,8) = 2 = (8,2). Ahora ya no tiene sentido seguir: 8 = 2×4 + 0, y (2,0) = 2.
Demostraci´onComo (a, r) divide a ay ar, tenemos que (a, r)|b. luego (a, r) es un divisor com´un (positivo) de byay por lo tanto
(a, r)≤(b, a) (1)
Similarmente (b, a) divide a r, pues es un divisor com´un deayb, y adem´as
r=b−aq, de donde podemos concluir que (b, a) es un divisor com´un de a
yr. Luego
(b, a)≤(a, r) (2)
de (1) y (2) concluimos que (b, a) = (a, r)
En la demostraci´on anterior usamos una tecnica habitual para probar que dos n´umeros son iguales: Si deseamos probar que x=y, podemos pro-bar primero que x ≤ y y luego que y ≤ x. Si bien esto parece m´as largo que intentar probar directamente que x =y, suele ocurrir que es m´as f´acil demostrar las dos desigualdades.
Ejercicio 1.5 Encontrar el mcd de: 1. 35 y 65. 2. −35 y65. 3. 35 y −65. 4. −35 y−65. 5. 135y 144. 6. 49 y 99.
Ejercicio 1.6 Demostrar que para cualquier par de enteros a y b (no si-mult´aneamente nulos) se cumple que:
Ejercicio 1.7 Demostrar que para cualquier enteron, se tiene quenyn+1
son coprimos.
Ejercicio 1.8 Demostrar que si a|b, entonces(a, b) =|a|.
Ejercicio 1.9 Sean a y b dos enteros. Demostrar la siguiente implicaci´on: Si existen enterosx ey tales queax+by = 1, entonces ay bson coprimos.
Ejercicio 1.10 Demostrar que (a, m) ≤ (a, mn) para cualesquiera enteros
a, ny m.
Ejercicio 1.11 Demostrar: Si (a, b) = 1 y c|a, entonces (c, b) = 1.
2.
Algoritmo de Eucl´ıdes
Algoritmo 2.1 (de Eucl´ıdes) Dados dos n´umeros naturalesayb, aplique-mos el teorema de la divisi´on sucesivamente como sigue:
b = aq1 + r1 a = r1q2 + r2 r1 = r2q3 + r3 r2 = r3q4 + r4 .. . rn−2 = rn−1qn + rn rn−1 = rnqn+1 + 0
Si nes tal que rn divide a rn−1, entoncesrn es el mcd dea y b.
Observe que este algoritmo tiene exactamente un paso m´as que la can-tidad de restos no nulos (haynrestos no nulos y n+ 1 pasos). Cada “paso” del algoritmo corresponde a una aplicaci´on del teorema de la divisi´on.
Por ejemplo, el mcd de 78 y 14 es 2, pues si aplicamos el algoritmo de Eucl´ıdes:
78 = 32×2 + 14
32 = 14×2 + 4
14 = 4×3 + 2
4 = 2×2 + 0
Ejercicio 2.2 Encontrar el mcd (recomendaci´on: usar el algoritmo de Eu-cl´ıdes):
1. 121 y 365. 2. 89 y 144. 3. 295 y 595.
4. 1001 y 1309. 5. 17017 y 18900. 6. 21063 y 43137. 7. 210632 y 423137. 8. 92263 y 159037. 9. 112345 y 112354.
Ejercicio 2.3 Demostrar que el algortimo de Eucl´ıdes encuentra en un n´umero finito de pasos el mcd de dos enteros positivos. (sugerencia: usar el Lema 1.4).
3.
Identidad de Bezout
El algoritmo de Eucl´ıdes tiene importantes consecuencias te´oricas, como la siguiente identidad.
Identidad de Bezout: Sea d el mdc de a y b , entonces
d=ar+bs
para alg´un par de enteros q y r.
Por ejemplo, 365 y 1876 son comprimos, entonces (por la identidad de Bezout) deben existir un par de enterosx yy tales que:
1 = 365x+ 1876y
El algoritmo de Eucl´ıdes nos brinda una t´enica hallar ax e y (lo cual no es trivial): 1876 = 365·5 + 51 365 = 51·7 + 8 51 = 8·6 + 3 8 = 3·2 + 2 3 = 2·1 + 1 2 = 1·2 + 0
Luego 1 es el mcd de 365 de 1876. Ahora resolvamos el sistema anterior para los restos no nulos:
1 = 3 − 2·1 2 = 8 − 3·2 3 = 51 − 8·6 8 = 365 − 51·7 51 = 1876 − 365·5
y usando sustituci´on regresiva: 1=3−2 =3−(8−3·2) =3·3−8 =3·(51−8·6)−8 = 3·51−19·8 = 3·51−19·(365−51·7) = 136·51−19·365 = 136(1876−5·365)−19·365 = 136·1876−699·365 Por lo quex=−699, ey= 136.
El siguiente teorema subsume el algortimo de Eucl´ıdes y la identidad de Bezout.
Teorema 3.1 Si rN es el ´ultimo de los restos no cero en el algoritmo de
Eucl´ıdes para ay b, entonces rN es el mcd de ay b y
rN =ax+by
para algunos enteros x ey.
Demostraci´on Si rN es el ´ultimo resto no nulo cuando aplicamos el algoritmo de Eucl´ıdes a los enteros a y b, entonces el n´umero de pasos del algoritmo es N+ 1. Demostraremos el teorema por inducci´on sobren.
SiN = 0, entoncesa|b, y el teorema es trivial (¿Por qu´e?).
SiN = 1, entonces el algoritmo de Eucl´ıdes paraayb tiene la forma:
Paso 1 b = aq1 + r1
Paso 2 a = r1q2 + 0
De donde es f´acil ver que r1 es el mcd de a y b: pues es f´acil ver que r1
es divisor com´un positivo (¿Por qu´e?) y que todo divisor com´un de a y b, tambi´en divide ar1y por lo tanto no es mayor quer1 (¿Por qu´e?). Tambi´en
tenemos que vale Bezout:
r1=b·1 +a·(−q)
Hip´otesis inductiva: Asumamos que el teorema vale paraN =n−1, i.e., asumanos que el teorema vale para todo par de n´umeros enteros xyy para los cuales el algoritmo de Eucl´ıdes usan pasos.
Seaayb un par de enteros para los cuales el algoritmo de Eucl´ıdes usa n+ 1 pasos: Paso 1 b = aq1 + r1 Paso 2 a = r1q2 + r2 Paso 3 r1 = r2q3 + r3 Paso 4 r2 = r3q4 + r4 .. . Paso n rn−2 = rn−1qn + rn Paso n+ 1 rn−1 = rnqn+1 + 0
Si nos olvidamos de primer paso. Lasnecuaciones restantes, por la unicidad del teorema de la divisi´on, nos dan el resultado de aplicar el algoritmo de Eucl´ıdes a los enteros a y r1. Esto significa que el algoritmo de Eucl´ıdes
aplicado aayr1 requiere denpasos para parar. Por lo que podemos aplicar
la hip´otesis inductiva:
rn= (a, r1) y rn=au+r1v
para alg´un par de enteros u yv. Como b= aq1 +r1, sabemos que (b, a) =
(a, r1) =rn (Lema 1.4). Por otro lado
rn=au+r1v
=au+ (b−aq1)v
=a(u−q1v) +bv
Por lo que Bezout vale.
La siguiente es una consecuencia ´util de la identidad de Bezout, esta propiedad no es inmediata de la definici´on de mcd.
Corolario 3.2 Sean a6=b y eenteros. Si e|a ye|b, entonces e|(a, b).
Ejercicio 3.3 Demostrar el corolario anterior.
La siguiente propiedad es de suma importancia (“mucho muy impor-tante”):
Corolario 3.4 Sean a, b y c enteros, si a|bc y (a, b) = 1, entoncesa|c.
Demostraci´onPor Bezout sabemos que existen un par de enteros r y
stales que:
ar+bs= 1
Al multiplicar ambos lados de esta igualdad por cobtenemos:
car+cbs=c
Comoa|bc, tenemos quea|cbs(linealidad de la divisibilidad). Adem´as obvi-amente a|acr. Luego adivide a (acr+cbs) =c.
Ejercicio 3.5 Dar 6 contrajemplos a la siguiente afirmaci´on: Si a|bc y a no divide a b, en s´ımbolos a-b, entoncesa divide a c.
Ejercicio 3.6 Hallar d, el m´aximo com´un divisor, y los enteros r y s tales quear+bs=d, dondea y b son:
1. 267 y 112. 2. 241 y 1870. 3. 600 y 11312. 4. 11213 y 1001. 5. 500 y 3000.
La identidad de Bezout nos permite resolver ecuaciones de la forma
ax+by=e
Proposici´on 3.7 Dados enteros a, b y e, existen enteros m y n con am+
bn=e si, y s´olo si (a, b)|e.
Demostraci´onEs claro que si existen enterosm ynconam+bn=e, entonces (a, b)|e.
Ahora supongamos que (a, b)|e, i.e. existe un entero ctal quee=c(a, b). por otro lado, por Bezout, sabemos que existen enterosu yv tales queau+
bv= (a, b). Multiplicando por ca ambos lados de esta igualdad, obtenemos:
c(au+bv) =c(a, b)
a(uc) +b(vc) =e
y esto finaliza la demostraci´on (¿Por qu´e?) La demostraci´on anterior nos da una t´ecnica para resolver tales ecuaciones: Por ejemplo, si queremos resolver
24 = 365x+ 1876y
Como ya sabemos, (365,1876) = 1, como 24 es multiplo de 1, tenemos que la ecuaci´on en cuesti´on tiene soluci´on (de hecho si tiene una, tiene varias). Podemos hallar una soluci´on multiplicado por 24 en:
1 =−699·365+ 136·1876 para obtener:
24 =−16776·365+ 3264·1876 Ejercicio 3.8 Hallar una soluci´on (si la hubiera) de:
1. 7x+ 13y= 5 2. 112x+ 126y= 0 3. 112x+ 126y= 56 4. 6x+ 14y= 15 5. 36x+ 45y= 0 6. 1001x+ 169y= 0 7. 376x+ 72y= 18 8. 1001x+ 840y= 98 9. 203x+ 119y= 47 10. 203x+ 119y= 48 11. 203x+ 119y= 49 12. 203x+ 119y= 50
Ejercicio 3.9 Demostrar las siguientes afirmaciones: 1. Si (a, m) =dy (b, m) = 1, entonces(ab, m) =d.
2. Si am+bn=e para alg´u entero e, entonces (a, b)|e.
3. Si d= (a, b) yar+bs=d, entonces(r, s) = 1.
Ejercicio 3.10 Probar que para cualesquiera n´umeros enteros m, a, b > 0, se tiene que
m(a, b)≤(ma, mb)
Ejercicio 3.11 Probar que si(a, b) =d, entonces ad,bd= 1.
Ejercicio 3.12 Ud tiene un balde de 6 litros, y otro de 15 litros y un rio con agua. Tarea: conseguir (exactamente) x litros de agua. Para que x enteros esta t´area es posible.
Ejercicio 3.13 Para cualesquiera tres enteros positivos (no todos iguales), mostrar que
(a,(b, c)) = ((a, b), c)
Despu´es, definir el mcd dea, byc, denotarlo(a, b, c)y demostrar que(a, b, c) = (a,(b, c)).
