Cap´ıtulo 5
Integraci´
on
1. La integral de Riemann en Rn
Empecemos por recordar la integral de Riemann de una funci´on acotada
f : [a, b]→ R. Una partici´on P de [a, b] es un subconjunto finito P ⊂[a, b] tal quea, b∈ P. Escribimos
P ={x0 =a < x1 < . . . < xN =b}.
Definimos entonces la suma inferior def con respecto a P como
L(f,P) =
N X
i=1
mi(f)(xi−xi−1),
y la suma superior def con respecto aP como
U(f,P) = N X i=1 Mi(f)(xi−xi−1), donde mi(f) = ´ınf{f(x) :x∈[xi−1, xi]} y Mi(f) = sup{f(x) :x∈[xi−1, xi]}.
Decimos entonces que f es Riemann-integrable si
L(f) = sup{L(f,P) :P partici´on de [a, b]} y
U(f) = ´ınf{U(f,P) :P partici´on de [a, b]} son iguales, y escribimos Rb
af =L(f) =U(f).
La definici´on de la integral de Riemann de una funci´on sobre un rect´ angu-lo en Rn est´a motivada a partir de la definici´on anterior. Observamos que
L(f,P) y U(f,P) son sumas de la longitud de cada intervalo multiplicado pormi(f) yMi(f), respectivamente. As´ı que lo primero que debemos hacer
es extender nuestra definici´on de longitud de un intervalo en R a volumen de un rect´angulo enRn.
Definici´on 5.1. SeaR= [a1, b1]×. . .×[an, bn]⊂Rnun rect´angulo cerrado. Elvolumen de R, denotado por v(R), se define como
v(R) = (b1−a1)(b2−a2). . .(bn−an).
Ahora definimos una partici´on de un rect´angulo cerrado R. Para cada
i, tomamos una partici´on Pi de [ai, bi], y sea P el conjunto de todos los
rect´angulos de la forma
S = [y1, z1]×[y2, z2]×. . .×[yn, zn],
dondeyi, zi∈ Pi son consecutivos. A cadaS ∈ P lo llamamossubrect´angulo
deR.P est´a formada entonces porN =N1N2· · ·Nnsubrect´angulos, y cada
uno de los lados de los subrect´agulos deRenP corresponde a alg´un intervalo en [ai, bi], inducido por Pi. Denotaremos a P como
P = (P1,P2, ...Pn),
donde cadaPi es partici´on de [ai, bi].
No es muy dif´ıcil ver que, siP es un partici´on del rect´angulo cerradoR, entonces
X
S∈P
v(S) =v(R).
(Ejercicio 1.)
Definici´on 5.2. Seaf :R→Racotada. Lasuma inferior def con respecto a P est´a dada por
L(f,P) = X
S∈P
mS(f)v(S),
dondemS(f) = ´ınf{f(x) :x∈S} yv(S) es el volumen de S.
La suma superior de f con respecto aP est´a dada por
U(f,P) = X
S∈P
MS(f)v(S),
dondeMS(f) = sup{f(x) :x∈S}.
Es claro que, para cada partici´on P de R, L(f,P) ≤U(f,P). Adem´as, para cualquiera dos particiones P yQ,
L(f,P)≤U(f,Q).
Demostraremos esto a continuaci´on, y para tal efecto definiremos el concepto de refinamiento.
1. La integral de Riemann en Rn 81
Decimos que Q = (Q1,Q2, . . . ,Qn) es un refinamiento de P si Pi ⊂
Qi, para cada i. Es decir, cada rect´angulo en Q es subrect´angulo de alg´un
rect´angulo en P.
Proposici´on 5.3. Si Q es un refinamiento de P,
L(f,P)≤L(f,Q) y U(f,Q)≤U(f,P).
Demostraci´on. SiT ∈ Q, existe S ∈ P tal queT ⊂S, y
mT(f)≥mS(f), MT(f)≤MS(f).
Adem´as, cada S ∈ P est´a subdividido en rect´angulos T1, T2, . . . , Tk∈ Q, y v(S) =v(T1) +v(T2) +. . .+v(Tk). Entonces mS(f)v(S) =mS(f) k X j=1 v(Tj) = k X j=1 mS(f)v(Tj)≤ k X j=1 mTj(f)v(Tj). As´ı queL(f,P) ≤L(f,Q). De la misma forma, MS(f)v(S) = k X j=1 MS(f)v(Tj)≥ k X j=1 MTj(f)v(Tj), as´ı queU(f,P)≥U(f,Q). Nota queL(f,P)≤L(f,Q)≤U(f,Q)≤U(f,P).
Corolario 5.4. Si P yQ son particiones de R,L(f,P)≤U(f,Q).
Demostraci´on. SeaRla partici´on
R= (P1∪ Q1,P2∪ Q2, . . . ,Pn∪ Qn).
Entonces Res un refinamiento de P y de Q y, por la proposici´on anterior,
L(f,P) ≤L(f,R)≤U(f,R)≤U(f,Q).
Sea R ⊂Rn un rect´angulo cerrado y f :R → R acotada. Definimos la
suma inferior de f como
L(f) = sup{L(f,P) :P partici´on deR},
y lasuma superior de f como
U(f) = ´ınf{U(f,P) :P partici´on de R}.
Por el corolario 5.4,L(f) yU(f) existen para cualquier funci´on acotada
Definici´on 5.5. Decimos que la funci´on acotada f :R → R es Riemann-integrable si L(f) = U(f). Al valor com´un de L(f) y U(f) se la llama la
integral def y se denota por
Z f,
o porR
Rf, si deseamos hacer expl´ıcito el dominio de f.
Ejemplo 5.6 (Funciones constantes). Sea f : R → R dada por f(x) = c
para alg´un c∈R. SiP es una partici´on de R yS ∈ P,
mS(f) =MS(f) =c,
as´ı queL(f,P) =U(f,P) =cv(R). Claramente L(f) =U(f) y entonces
Z
f =c v(R).
Ejemplo 5.7. Seaf : [0,1]×[0,1]→Rdada por
f(x, y) =
(
1 x∈Q
0 x /∈Q.
SiP es partici´on de R yS∈ P, entonces existen puntos (r, y) y (α, z) en S
tales quer ∈Qyα /∈Q. EntoncesmS(f) = 0 yMS(f) para todoS∈ P, lo cual implica queL(f,P) = 0 yU(f,P) =v([0,1]×[0,1]) = 1. Entonces
L(f) = 0< U(f) = 1,
por lo quef no es Riemann-integrable.
Teorema 5.8. Sea f :R → R acotada. Entonces f es Riemann-integrable si, y solo si, para cada ε >0 existe una partici´on P tal que
U(f,P)−L(f,P)< ε.
Demostraci´on. Sif es Riemann-integrable, entoncesL(f) =R
f =U(f). Seaε >0. Entonces existen particiones P yQtales que
L(f,P)> Z f− ε 2 y U(f,Q)< Z f+ε 2. Si R= (P1∪ Q1,P2∪ Q2, . . . ,Pn∪ Qn), entonces L(f,P) ≤L(f,R)≤U(f,R)≤U(f,Q), y U(f,R)−L(f,R)≤U(f,Q)−L(f,P)< ε.
Para la inversa, seaε >0 dado y tomamos una partici´on P tal que
1. La integral de Riemann en Rn 83
Entonces, comoL(f)≥L(f,P) yU(f)≤U(f,P),
U(f)−L(f)≤U(f,P)−L(f,P)< ε.
Comoεes arbitrario,L(f) =U(f), y entoncesf es Riemann-integrable.
El criterio establecido por el teorema 5.8 es de mucha utilidad para identificar funciones Riemann-integrables en un rect´angulo.
La siguiente proposici´on resume las propiedades b´asicas de la integral de Riemann.
Proposici´on 5.9. Sean f, g:R→R Riemann-integrables. Entonces
1. f +g es Riemann-integrable y Z (f+g) = Z f + Z g; 2. Si f ≤g, Z f ≤ Z g; y 3. |f|es Riemann-integrable y Z f ≤ Z |f|.
Demostraci´on. 1. SeaP una partici´on deR, yS∈ P. Entonces
mS(f) +mS(g)≤mS(f+g), MS(f) +MS(g)≥MS(f +g).
Esto implica que
L(f,P) +L(g,P)≤L(f+g,P) y U(f,P) +U(g,P)≥U(f +g,P).
Dado ε > 0, el teorema 5.8 implica que existe una partici´on P tal que U(f,P)−L(f,P)< ε 2 y U(g,P)−L(g,P)< ε 2. Entonces U(f+g,P)−L(f+g,P)≤U(f,P) +U(f,P)−(L(f,P) +L(f,P)) =U(f,P)−L(f,P) +U(g,P)−L(g,P) < ε 2 + ε 2 =ε. Entonces f +g es Riemann-integrable.
Ahora bien, siP es un partici´on de R,
Z
as´ı que Z (f+g)≥L(f) +L(g) = Z f+ Z g. De manera similar Z (f+g)≤ Z f + Z g, y por lo tanto Z (f+g) = Z f + Z g.
2. Dejamos esta parte como ejercicio (ejercicio 3).
3. Sea P una partici´on de R y S ∈ P. Six, y ∈ S, la desigualdad del tri´angulo inversa implica que
|f(x)| − |f(y)|
≤ |f(x)−f(y)|.
Entonces MS(|f|)−mS(|f|)≤MS(f)−mS(f), y esto implica que
U(|f|,P)−L(|f|,P)≤U(f,P)−L(f,P).
Entonces, dado ε >0, si P es tal queU(f,P)−L(f,P)< ε,
U(|f|,P)−L(|f|,P)< ε,
y|f|es Riemann-integrable.
La desigualdad se sigue de la parte 2 y del hecho que −|f| ≤f ≤ |f|.
2. Funciones Riemann-integrables
En esta secci´on clasificaremos las funciones Riemann-integrables en fun-ci´on de sus puntos de continuidad. Para ´esto necesitaremos de dos conceptos fundamentales: el de medida cero y el de oscilaci´on, este ´ultimo introducido en el segundo cap´ıtulo.
Definici´on 5.10. Sea A ⊂ Rn. Decimos que A es de medida cero si para todo ε >0 existen rect´angulosR1, R2, . . .tales que
A⊂[ i Ri y X i v(Ri)< ε.
2. Funciones Riemann-integrables 85
Ejemplo 5.12. Un conjunto finito {x1, . . . , xk} es de medida cero. Dado ε >0, para cadaxitomamos un rect´anguloRi,xi ∈Ri, tal quev(Ri)< ε/k.
Entonces {x1, . . . , xk} ⊂ k [ i=1 Ri y k X i=1 v(Ri)< k X i=1 ε k =ε.
Ejemplo 5.13. Qes de medida cero: Como es contable,Q={rk}∞k=1. Dado ε >0, sea Ik = rk− ε 2k+2, rk+ ε 2k+2 . Entonces v(Ii) =ε/2k+1,Q⊂SkIk y ∞ X k=1 v(Ik) = ∞ X k=1 ε 2k+1 = ε 2 < ε.
Es claro que el argumento del ejemplo anterior puede ser aplicado a cualquier conjunto contable, por lo que entonces cualquier conjunto contable es de medida cero. De hecho, podemos demostrar algo m´as fuerte.
Proposici´on 5.14. Sean A1, A2, . . . ⊂ Rn conjuntos de medida cero.
En-tonces S∞
i=1Ai es de medida cero.
Demostraci´on. Seaε >0. Para cada Ai tomamos {Rij}∞
j=1 tal que Ai ⊂ ∞ [ j=1 Rij y ∞ X j=1 v(Rij)< ε 2i+1. Tenemos entonces la sucesi´on de inclusiones
A1 ⊂R11∪R12∪R13∪. . .
A2 ⊂R21∪R22∪R23∪. . .
A3 ⊂R31∪R32∪R33∪. . . ..
.
Imitando a Cantor, reordenamos los {Rij} en la forma R11, R21, R12, R31, R22, R13, . . . , y obtenemos una sucesi´on Sk de rect´angulos tal que
[ i Ai ⊂[ k Sk y X k v(Sk) = X i,j v(Rij) =X i ε 2i+1 = ε 2 < ε. La doble suma en i, j es independiente del orden de los sumandos porque, como todos losv(Rij)≥0, converge absolutamente.
Es claro que la proposici´on 5.14 implica que todos los conjuntos contables son de medida cero. A continuaci´on mostramos un ejemplo de un conjunto incontable de medida cero.
Ejemplo 5.15 (El conjunto de Cantor). Consideramos la sucesi´on de con-juntos C0 = [0,1] C1 = [0,1/3]∪[2/3,1] C2 = [0,1/9]∪[2/9,1/3]∪[2/3,7/9]∪[8/9,1] .. . Cn= [0,1/3n]∪. . .∪[1−1/3n,1] .. .
Nota que cadaCn+1es el conjunto que resulta de remover el “tercio central” de cada uno de los intervalos de Cn. El conjunto de Cantor es el conjunto
dado por C= ∞ \ k=0 Ck.
El conjunto de Cantor es incontable (ejercicios 6 y 7). Ahora observaremos que es de medida cero.
Cada Ck es la uni´on de 2k intervalos de longitud 1/3k cada uno. Si a
estos los llamamos I1, I2, . . . , I2k, entonces
C ⊂Ck= 2k [ i=1 Ii y 2k X i=1 v(Ii) = 2 3 k .
Dado ε > 0, podemos tomar k tal que (2/3)k < ε. Entonces la ecuaci´on anterior implica queC es de medida cero.
Observamos que fue suficiente utilizar, para verificar la definici´on de medida cero paraC, solo un n´umero finito de intervalos.
Definici´on 5.16. Decimos que el conjuntoA⊂Rnes de contenido cero si, para todoε >0, existen rect´angulosR1, R2, . . . , RN tales que
A⊂ N [ i=1 Ri y N X i=1 v(Ri)< ε.
Es decir, los conjuntos de contenido cero son aquellos de medida cero en los cuales es suficiente un n´umero finito de rect´angulos de la definici´on de medida cero.
2. Funciones Riemann-integrables 87
Es claro que, adem´as de C, los conjuntos finitos son de contenido cero. De hecho, tenemos la siguiente proposicion.
Proposici´on 5.17. Si A es de medida cero y es compacto, entonces es de contenido cero.
Para demostrar la proposici´on 5.17 haremos uso del siguiente lema, el cual nos permite verificar la definici´on de medida cero usando solo rect´ angu-los abiertos.
Lema 5.18. Sea A⊂Rn y R1, R2, . . . rect´angulos tales que
A⊂[ i Ri y X i v(Ri)< ε.
Entonces existen rect´angulos abiertosSi tales que A⊂[ i Si y X i v(Si)< ε.
Demostraci´on. Sea
η = 1 2 ε−X i v(Ri).
Para cada i, sea Si el rect´angulo abierto que resulta de “ensanchar” Ri de tal forma que
Ri⊂Si y v(Si)< v(Ri) + η 2i (ejercicio 8). Entonces A⊂S iSi y X i v(Si)< X i v(Ri) +η < ε.
Demostraci´on de la Proposici´on 5.17. Dadoε >0, existe una sucesi´on de rect´angulosRi tales queA⊂S
iRi y P
iv(Ri)< ε. El lema 5.18 implica
que podemos suponer que estos rect´angulos son abiertos. Entonces forman una cubierta para A. ComoA es compacto, existenRi1, . . . , RiN tales que
A⊂ N [ j=1 Rij Como N X j=1 v(Rij)≤ X i v(Ri)< ε,
esto implica queA es de contenido cero.
El resultado anterior es ´util para mostrar que ciertos conjuntos no son de medida cero.
Proposici´on 5.19. El intervalo [a, b]∈R, a < b, no es de contenido cero.
Demostraci´on. SeanI1, . . . , IN intervalos cerrados tales que
[a, b]⊂I1∪. . .∪IN.
Sea{t0< t1< . . . < tM} el conjunto de todos los extremos de los intervalos Ij. Entonces t0 ≤ a, tM ≥ b, y para cada i existe j tal que [ti−1, ti] ⊂ Ij.
Adem´as, cada Ij es de la forma [ti, tk] por lo que v(Ij) =tk−ti ≥ti+i−ti. Entonces b−a≤tM −t0 = M X i=1 (ti−ti−1)≤ N X j=1 v(Ij).
Por lo tanto, no es posible encontrar intervalos I1, . . . , IN tales que
N X
j=1
v(Ij)< b−a.
Corolario 5.20. [a, b]no es de medida cero.
La proposici´on 5.19 tambi´en implica que un rect´angulo no degenerado enRnno es de contenido cero, lo cual hemos dejado como ejercicio (ejercicio 9).
Corolario 5.21. A=QT
[a, b]no es de contenido cero.
Demostraci´on. SeanI1, . . . , IN intervalos cerrados tales queA⊂I1∪. . .∪
IN. Entonces ¯A⊂I1∪. . .∪IN, y ¯A= [a, b]. EntoncesPiv(Ii)≥b−a.
Ejemplo 5.22. Como el conjuntoAdel corolario tiene medida cero, existen (ai, bi)⊂(a, b),i= 1,2, . . . tales que A\ {a, b} ⊂Si(ai, bi) yP(bi−ai) es
tan peque˜na como queramos. Sea U =S
i(ai, bi). U es abierto y ¯U = [a, b].
Sin embargo frU = [a, b]\U. SiP
i(bi−ai)< b−a, entonces frU no tiene
medida cero.
Para ver esto, sea ε=b−a−P
i(bi −ai). Entonces existen intervalos
abiertos I1, I2, . . . tales que frU ⊂SjIj y
X
j
v(Ij)< ε.
Entonces [a, b]⊂S
i(ai, bi)∪SjIj. Como [a, b] es compacto, existen i1, . . . , iN, j1, . . . , jM
2. Funciones Riemann-integrables 89 tales que [a, b]⊂(ai1, bi1)∪. . .∪(aiN, biN)∪Ij1 ∪. . .∪IjM y N X k=1 (bik −aik) + M X l=1 v(jl)< b−a,
lo cual contradice la demostraci´on de la proposici´on anterior.
Recordemos la oscilaci´on de una funci´on en un punto. Si f :A → Res acotada y x0 ∈A, dadoδ >0, definimos
M(f, x0, δ) = sup{f(x) :x∈A,|x−x0|< δ},
m(f, x0, δ) = ´ınf{f(x) :x∈A,|x−x0|< δ}.
Los n´umerosM(f, x0, δ) ym(f, x0, δ) est´an bien definidos porquef es aco-tada y, adem´as, si 0< η≤δ,
(5.1) M(f, x0, η)≤M(f, x0, δ) y m(f, x0, η)≥m(f, x0, δ). La oscilaci´on def en x0 est´a dada por
O(f, x0) = l´ım
δ→0 M(f, x0, δ)−m(f, x0, δ)
.
Dicho l´ımite existe porque la diferencia M(f, x0, δ)−m(f, x0, δ) es decre-ciente enδ, por (5.1). As´ı que el l´ımite est´a dado simplemente por el ´ınfimo de todas las diferencias para δ >0.
Recordemos que, por la proposici´on 2.24, la oscilaci´on def enx0es igual a 0 si, y solo si, f es continua en x0. A continuaci´on demostraremos otras propiedades de la oscilaci´on.
Proposici´on 5.23. Sea A⊂Rn, f :A→R acotada, ε >0 y
Uε={x∈A:O(f, x)< ε}.
Entonces existe un abiertoU ⊂Rn tal queUε=U∩A.
Demostraci´on. Seax∈Uε. Entonces O(f, x)< ε, por lo que existe δ >0
tal queM(f, x, δ)−m(f, x, δ)< ε. Demostraremos que Bδ0(x)∩A⊂Uε.
Seay∈Bδ0(x)∩A, y sea r=δ− |x−y|. Si |y−z|< r, |x−z| ≤ |x−y|+|y−z|< δ.
Esto implica que f(z) ≤M(f, x, δ) yf(z)≥m(f, x, δ) para todoz∈A tal que |y−z|< r. As´ı que
M(f, y, r)−m(f, y, r)≤M(f, x, δ)−m(f, x, δ)< ε,
yO(f, y)< ε. Por lo tantoy∈Uε.
Podemos tomar entonces U = [
x∈Uε
Corolario 5.24. Si A es cerrado y f :A→Res acotada, el conjunto
{x∈A:O(f, x)≥ε}
es cerrado para todo ε >0.
Corolario 5.25. Sea R un rect´angulo cerrado, f :R→R acotada, y sea
F ={x∈R:f no es continua en x}.
Si F tiene medida cero, entonces, para cada ε >0, el conjunto
Fε={x∈R:O(f, x)≥ε}
es de contenido cero.
Demostraci´on. Para todoε >0,Fε⊂F. As´ı queFεes de medida cero y es
cerrado por el corolario anterior. ComoFε ⊂R es acotado, por el teorema
de Heine-Borel es compacto. Por lo tanto Fε es de contenido cero, por la
proposici´on 5.17.
Estamos listos para demostrar nuestro teorema de clasificaci´on de funcio-nes Riemann-integrables. Empezamos por el siguiente lema, el cual establece la relaci´on entre oscilaci´on y sumas respecto a una partici´on.
Lema 5.26. Sea R un rect´angulo cerrado y f : R → R acotada tal que
O(f, x)< εpara todo x∈R. Entonces existe una partici´on P deR tal que
U(f,P)−L(f,P)< v(R)ε.
Demostraci´on. Para cada x ∈ R tomamos un rect´angulo abierto Rx tal
quex∈Rx y
MR¯x(f)−mR¯x(f)< ε.
Tal rect´angulo existe porqueO(f, x)< ε. Entonces{Rx}x∈Res una cubierta
paraR y, como R es compacto, existen Rx1, . . . , Rxk tales que
R⊂Rx1∪. . .∪Rxk.
SeaP la partici´on inducida por todos los l´ımites de los Rxi. Esta satisface
que, siS ∈ P, entonces S ⊂R¯xi para alg´uni. Entonces
MS(f)−mS(f)≤MR¯xi(f)−mR¯xi(f)< ε. Por lo tanto U(f,P)−L(f,P)< εX S∈P v(S) =εv(R).
Como resultado inmediato de este lema, por ejemplo, tenemos el hecho de que las funciones continuas son Riemann-integrables.
2. Funciones Riemann-integrables 91
La generalizaci´on de este corolario, que a su vez clasifica las funciones Riemann-integrables, est´a dada por el siguiente teorema.
Teorema 5.28. Sea f :R→Racotada y
F ={x∈R:f no es continua en x}.
Entonces f es Riemann-integrable si, y solo si, F es de medida cero.
Demostraci´on. Para ε > 0, definimos Fε = {x ∈ R : O(f, x) ≥ε}. Nota
que F = ∞ [ k=1 F1/k.
Suponemos primero quef es Riemann-integrable. Demostraremos que cada
F1/k es de medida cero. Sea ε >0 y P una partici´on tal que
U(f,P)−L(f,P)< ε k. Sea Ω ={S∈ P :S∩F1/k 6=∅}. Entonces F1/k ⊂ [ S∈Ω S yMS(f)−mS(f)≥ 1
k para cada S ⊂Ω. As´ı X S∈Ω 1 kv(S)≤ X S∈Ω MS(f)−mS(f) v(S)≤U(f,P)−L(f,P)< ε k. Por lo tanto P
S∈Ωv(S)< ε. Como εes arbitrario, F1/k es de medida cero
(de hecho, de contenido cero), y por lo tanto F es de medida cero.
Supongamos ahora que F es de medida cero. Dado ε > 0, escribimos ¯
ε= ε
2v(R). Por la proposici´on 5.17, Fε¯es de contenido cero. Sea M >0 tal que |f(x)| ≤ M para todo x ∈ R, y sean R1, . . . , Rk rect´angulos cerrados
tales que Fε¯⊂R1∪...∪Rk y k X i=1 v(Ri)< ε 4M.
SeaP1la partici´on inducida por los l´ımites de losRi. EntoncesP1 = ΩF∪˙ΩB,
donde
ΩF ={S∈ P1 :S⊂Ri para alg´un i}
y
ΩB={S ∈ P1 :S∩R0i =∅para todoi}.
Por el lema 5.26, existe un refinamientoP deP1 tal que, para cadaS∈ΩB, X
T∈P T⊂S
Sean Ω′F ={S∈ P :S ⊂Ri para alg´un i} y Ω′B ={S ∈ P:S ⊂T para alg´unT ∈ΩB}. Entonces U(f,P)−L(f,P) = X S∈P MS(f)−mS(f) v(S) = X S∈Ω′ B MS(f)−mS(f) v(S) + X S∈Ω′ F MS(f)−mS(f) v(S) ≤ X S∈ΩB X T⊂S MT(f)−mT(f)v(T) + 2M k X i=1 v(Ri) < X S∈ΩB ¯ εv(S) + 2M ε 4M ≤εv¯ (R) + ε 2 =ε.
Por lo tanto, f es Riemann-integrable.
Como primer consecuencia de este teorema, tenemos el siguiente corola-rio, que establece que la multiplicaci´on de funciones Riemann-integrables es Riemann-integrable.
Corolario 5.29. Sean f, g : R → R Riemann-Integrables. Entonces f g es Riemann-integrable.
Demostraci´on. Sean
F ={x∈R:f es discontinua enx}, G={x∈R :ges discontinua en x}.
Como el producto de funciones continuas es continua, si
H ={x∈R:f ges discontinua en x},
entoncesH⊂F∪G. Sif ygson Riemann-integrables,F yGson de medida cero. Por lo tantoH es de medida cero, yf g es Riemann-integrable.
3. Medida de Jordan
SeaC ⊂Rnun conjunto acotado. Vamos a definirR
Cf, la integral “sobre C” def. SuponemosC⊂R, dondeRes un rect´angulo cerrado, yf :R→R
es Riemann-integrable. Definiremos entonces (5.2) Z C f = Z R f χC,
dondeχC es la funci´on caracter´ıstica sobre C,
χC(x) = (
1 x∈C
3. Medida de Jordan 93
Sin embargo, para que la ecuaci´on (5.2) tenga sentido, es necesario asegurar que la funci´onf χC es Riemann-integrable. Comof es Riemann-integrable,
por el corolario (5.29) es suficiente con garantizar que χC sea Riemann-integrable. La siguiente proposici´on establece la Riemann-integrabilidad de
χC en funci´on de la frontera de C.
Proposici´on 5.30. χC es Riemann-integrable si, y solo si,frCes de medida
cero.
Demostraci´on. Vamos que demostrar queχC es continua solo enR\frC.
Dadox∈R\frC,x∈C0 ox se encuentra en el exterior de C.
Si x ∈ C0, existe ε > 0 tal que Bε0(x) ⊂ C. Pero entonces χC ≡ 1 en B0ε(x), por lo que es continua enx. De manera similar, sixest´a en el exterior de C, existe ε >0 tal que B0
ε(x)∩C=∅. Pero entonces χC ≡0 en B0ε(x),
as´ı que es continua enx.
Six∈frC, para todoε >0,B0ε(x)∩C =6 ∅yBε0(x)\C6=∅. As´ı queχC
toma el valor de 0 y de 1 en B0
ε(x), por lo que entonces χC es discontinua
en frC.
Por lo tanto, frC es el conjunto de discontinuidades deχC, y la
propo-sici´on se sigue por el teorema 5.28.
Ejemplo 5.31 (Funci´on de Dirichlet). La funci´on de Dirichlet es igual a
χQ∩[0,1]. Como fr(Q∩[0,1]) = [0,1] no tiene medida cero, entonces no es Riemann-integrable.
Definici´on 5.32. Si C ⊂ Rn es un conjunto acotado tal que frC es de medida cero, entonces decimos que es Jordan-medible.
Ejemplo 5.33. SeaU el conjunto abierto en [0,1] formado por la uni´on de intervalos (ai, bi)⊂(0,1) tales Q∩(0,1)⊂[ i (ai, bi) y ∞ X i=1 (bi−ai)<1,
como en el ejemplo 5.22. Entonces frU = [0,1]\U y no tiene medida cero, como hab´ıamos observado antes. As´ı que U es un conjunto abierto que no es Jordan-medible.
Definici´on 5.34. Si R ⊂ Rn es un rect´angulo cerrado, f : R → R es Riemann-integrable y C ⊂R es Jordan-medible, definimos la integral de f
sobre C como Z C f = Z R f χC. SiC⊂R es Jordan-medible,R
En R,R2 y R3, la medida de Jordan es com´unmente llamada longitud,
´
area y volumen, respectivamente. Observamos que, si C = R, entonces la medida de Jordan de R es simplemente su volumen,v(R).
SiC yD son Jordan-medibles y disjuntos, entonces
Z C∪D 1 = Z C 1 + Z D 1.
La siguiente proposici´on nos ser´a de utilidad m´as adelante.
Proposici´on 5.35. Si A es Jordan-medible y ε > 0, entonces existe un conjunto compacto Jordan-medible C⊂A tal que
Z
A\C
1< ε.
Demostraci´on. SeaP una partici´on de alg´un rect´anguloR ⊃A tal que
U(χA,P)−L(χA,P)< ε. SiS ∈ P, χA|S= ( 1 si S ⊂A 0 si S∩A=∅. Sea Ω ={S∈ P :S ⊂A}. Entonces mS(χA) = ( 1 si S∈Ω 0 si S /∈Ω. Si C = S
S∈ΩS, entonces C es compacto y Jordan-medible, porque es la uni´on finita de rect´angulos cerrados. Adem´as, tenemos que
MS(χA\C) = ( 0 S ∈Ω MS(χA) S /∈Ω. Entonces U(χA\C,P) = X S∈P MS(χA\C)v(S) = X S∈P\Ω MS(χA)v(S) = X S∈P MS(χA)v(S)− X S∈Ω MS(χA)v(S) = X S∈P MS(χA)v(S)− X S∈P mS(χA)v(S) =U(χA,P)−L(χA,P)< ε. Por lo tanto, Z A\C 1≤U(χA\C,P)< ε.
4. El teorema de Fubini 95
4. El teorema de Fubini
En esta ´ultima secci´on del cap´ıtulo, estudiaremos el problema deevaluar
una integral. Es decir, dada una funci´on f : R → R, ¿c´omo calculamos el valor expl´ıcito de R
f? En c´alculo de una sola variable, el algoritmo m´as poderoso es el otorgado por el teorema fundamental del c´alculo.
Teorema 5.36 (Fundamental del c´alculo). Sea f : [a, b]→R diferenciable tal que su derivada f′ es Riemann-integrable. Entonces
Z
f′ =f(b)−f(a).
El teorema 5.36 reduce entonces el problema de calcularR
f a encontrar unaantiderivada de f, es decir, una funci´on F tal queF′ =f. Aunque no
siempre es posible encontrar F de forma expl´ıcita, s´ı nos permite resolver un buen n´umero de problema que aparecen en distintos contextos.
En esta secci´on demostraremos el teorema conocido como el teorema de Fubini, que establece el concepto de integrales iteradas. Esto nos permite reducir el problema de calcular integrales sobre rect´angulos a calcular inte-grales sobre intervalos, y entonces usar el teorema fundamental del c´alculo.
Teorema 5.37 (Fubini). Sean R ⊂ Rn y S ⊂ Rm rect´angulos cerrados, y
f :R×S →R Riemann-integrable. Para cada x ∈R, sea gx :S→ R dada
por gx(y) =f(x, y), y sean I,S :R→R
I(x) =L(gx) y S(x) =U(gx),
las sumas inferior y superior de gx, respectivamente. Entonces I y S son
Riemann-integrables y Z RI = Z RS = Z R×S f.
Si las funcionesgx son Riemann-integrables para cada x, entonces I(x) =S(x) =
Z
S gx,
que escribimos simplemente como
Z
S
f(x, y)dy. En este caso podemos
escri-bir Z R×S f(x, y)dxdy = Z R Z S f(x, y)dydx.
A estas integrales se le llama integrales iteradas, ´o integrales m´ultiples. Desde luego, este resultado es sim´etrico en x y y: Si hy(x) = f(x, y) es
Riemann-integrable para cada y, entonces
Z R×S f(x, y)dxdy = Z S Z R f(x, y)dxdy.
Demostraci´on del teorema de Fubini. SiP es una partici´on deR×S, ´esta induce particiones PR y PS de R y S, respectivamente, y, de manera
inversa, particiones de R y S inducen una partici´on de R×S, ya que cada
T ∈ P es de la formaTR×TS, dondeTR∈ PR yTS∈ PS.
Para cadax∈TR,
mT(f) =mTR×TS(f)≤mTS(gx) y MT(f) =MTR×TS(f)≥MTS(gx),
porque T =TR×TS⊃ {x} ×S. Luego, como v(T) =v(TR)v(TS), L(f,P) = X T∈P mT(f)v(T) = X TR∈PR X TS∈PS mTR×TS(f)v(TS) v(TR).
Ahora bien, para cualquierx∈TR, X TS∈PS mTR×TS(f)v(TS)≤ X TS∈PS mTS(gx)v(TS) =L(gx,PS)≤L(gx) =I(x),
por lo que entonces
X TS∈PS mTR×TS(f)v(TS)≤mTR(I) y, as´ı, L(f,P)≤ X TR∈PR mTR(I)v(TR)≤L(I,PR).
De manera similar podemos demostrar queU(f,P) ≥U(S,PR). Por lo
tanto,
L(f,P)≤L(I,PR)≤U(I,PR)≤U(S,PR)≤U(f,P),
y
L(f,P)≤L(I,PR)≤L(S,PR)≤U(S,PR)≤U(f,P),
porque, claramente, I(x)≤ S(x) para cadax∈R.
Comof es Riemann-integrable, para cadaε >0 podemos escoger P tal que
U(f,P)−L(f,P)< ε.
Entonces, para ε >0 existe PR tal que
U(I,PR)−L(I,PR)< ε y U(S,PR)−L(S,PR)< ε,
lo cual implica queI yS son Riemann-integrables. Adem´as, las desigualda-des anteriores implican que
Z R×S f = Z RI = Z RS .
En general, las funciones gx no son Riemann-integrables, por lo que es
4. El teorema de Fubini 97
Ejemplo 5.38. Consideramos la funci´onf : [0,1]×[0,1]→Rdefinida por
f(x, y) = 0 si x oy es irracional 1 q si x yy son racionales y x= p q.
f es Riemann-integrable porque es igual a cero excepto en un conjunto de medida cero. Ahora seax∈[0,1]. Six∈Q,x= p
q para algunos p, q∈Z, y gx(y) = 0 y es irracional 1 q y es racional
es la funci´on de Dirichlet multiplicada por 1/q. Entoncesgx no es
Riemann-integrable. De hecho I(x) = 0 yS(x) = 1/q.
Six /∈Q,gx(y) = 0 para todoy. Entonces tenemos I(x) =S(x) = 0.
Por lo tanto, para cadax∈[0,1],
I(x) = 0, S(x) = 1 q x= p q 0 x /∈Q.
Ahora bien, S es la funci´on de Dirichlet modificada, es Riemann-integrable yR [0,1]S= 0. Entonces Z [0,1]×[0,1] f = Z [0,1]I = Z [0,1]S = 0.
El teorema de Fubini es tambi´en ´util para calcular integrales sobre con-juntos Jordan-medibles.
Ejemplo 5.39. Consideremos la bolaB2 de radio 1 alrededor de 0 en R2. Entonces B2 ⊂ [−1,1]×[−1,1], B2 es Jordan-medible (no es muy dif´ıcil mostrar que su frontera, el c´ırculo S1 de radio 1, es de medida cero) y
Z B2 f = Z [−1,1]×[−1,1] f χB2. Por el teorema de Fubini, esta integral es igual a
Z 1 −1 Z 1 −1 (f χB2)(x, y)dy dx= Z 1 −1 Z √ 1−x2 −√1−x2 f(x, y)dydx,
porque (x, y)∈B2 si, y solo si,|y| ≤√1−x2.
El siguiente ejemplo tambi´en muestra una aplicaci´on del Teorema de Fubini.
Ejemplo 5.40. Seaf : [a, b]×[a, b]→Rcontinua. Mostraremos que Z b a Z y a f(x, y)dxdy = Z b a Z b x f(x, y)dydx. SeaC={(x, y)∈[a, b]×[a, b] :x≤y}. Entonces Z b a Z y a f(x, y)dxdy = Z b a Z b a f(x, y)χC(x, y)dx dy
y, por el teorema de Fubini, estas integrales son iguales a
Z
[a,b]×[a,b]
f χC.
Una nueva aplicaci´on del teorema de Fubini implica que
Z [a,b]×[a,b] f χC = Z b a Z b a f(x, y)χC(x, y)dy dx= Z b a Z b x f(x, y)dydx.
Ejercicios
1. SeaR un rect´angulo cerrado yP una partici´on deR. Muestra que
X
S∈P
v(S) =v(R).
2. Seaf :R→RRiemann-integrable yc∈R. Muestra quecf es Riemann-integrable y R
cf =cR f.
3. Sean f, g : R → R Riemann-integrables tales que f ≤ g. Muestra que
R f ≤R
g.
4. Sea f : R → R Riemann-integrable y g : R → R tal que g(x) = f(x) excepto a lo m´as un n´umero finito de x. Muestra que g es Riemann-integrable y R
g=R f.
5. Sea f : R → R y P una partici´on de R. Muestra que f es Riemann-integrable si y solo sif|S es Riemann-integrable para cadaS ∈ P, y en
tal caso Z R f = X S∈P Z S f|S.
6. SeaC el conjunto de Cantor. Muestra queC =n
∞ X k=1 an 3n :an = 0 o 2 o . Es decir, C es el conjunto de n´umeros en [0,1] tales que su expresi´on ternaria (en base 3) solo tiene los d´ıgitos 0 y 2.
Ejercicios 99
8. SeaR= [a1, b1]×· · ·×[an, bn] yε >0. Muestra que existeα >0 tal que,
siS = (a1−α, b1+α)× · · · ×(an−α, bn+α), entoncesv(S)< v(R) +ε.
9. Muestra que [a1, b1]× · · ·[an, bn] no es de contenido 0 si ai < bi para todo i.
10. a) Muestra que un conjunto no acotado no puede ser de contenido 0.
b) Da un ejemplo de un conjunto cerrado de medida 0 que no sea de contenido 0.
11. a) SiC es de contenido 0, muestra que frC es de contenido 0.
b) Sin embargo, da un ejemplo de un conjunto de medida 0 cuya fron-tera no sea de medida 0.
12. Sea f : [a, b]→R creciente. Si x1, . . . , xk ∈[a, b] son distintos, muestra
que
k X
i=1
O(f, xi)< f(b)−f(a).
13. Seaf : [a, b]→Rcreciente. Muestra que el conjunto {x∈[a, b] :f es discontinua enx}
es de medida 0. Concluye entonces que toda funci´on creciente en [a, b] es Riemann-integrable.
14. Sea f :R → R Riemann-integrable, f ≥0 y tal que R
f = 0. Muestra que {x∈R:f(x)6= 0} es de medida 0.
15. Muestra que si C es de contenido 0, entonces es Jordan-medible. 16. Muestra que si C es Jordan-medible y de medida 0, entoncesR
C1 = 0.
17. Sean R y S rect´angulos y C ⊂ R×S de contenido cero. Sea A ⊂ R
el conjunto de todos los x ∈ R tal que {y ∈ S : (x, y) ∈ C} no es de contenido cero. Muestra queA es de medida cero.
18. SeaC ⊂[0,1]×[0,1] la uni´on
[
p/q∈Q∩[0,1]
{p/q} ×[0,1/q],
donde se asume que losp/q son fracciones reducidas. Muestra queC es de contenido cero y que el conjunto A, definido como en el problema anterior, no es de contenido cero.
19. Seaf : [a, b]×[c, d]→R continua tal queD2f existe y es continua.
a) Define F : [c, d]→Rcomo
F(y) =
Z b
a
Muestra que F′(y) = Z b a D2f(x, y)dx. b) DefineG: [a, b]×[c, d]→Rcomo G(x, y) = Z x a f(t, y)dt. EncuentraD1GyD2G.
c) Sea h: [c, d]→[a, b] diferenciable y define H: [c, d]→Rcomo
H(y) =
Z h(y)
a
f(x, y)dx.
