CONTROL NO LINEAL ROBUSTO BASADO EN PASIVIDAD PARA LOS FILTROS ACTIVOS PARALELO Y SERIE

SEP SEIT DGIT

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN

Y

DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet

CONTROL NO LINEAL ROBUSTO BASADO

EN PASIVIDAD PARA LOS FILTROS

ACTIVOS PARALELO

Y SERIE

T

E

S

I

S

PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO

EN

Cl ENC IAS

EN

IN G EN

I

E RíA

E L E C T R ~ N I C A

P R E S E N

T A :

JOSÉ

ARMANDO

OLMOS LÓPEZ

DIRECTORES DE TESIS

DR. GERARDO VICENTE GUERRERO RAMíREZ

cenjdet

Centro Nacional de lnvesiigacidn

y Desarrollo Tecnoldgico Sistema Nacional de Institutos iecnológicos ANEXO No. 12

M11

AUTORIZACI~N DE IMPRESI~N DE TESIS

Cuernavaca, Mor., a 30 de noviembre del 2004

C. Ing. José Armando Olmos López

Candidato al grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Presente.

Después de haber atendido las indicaciones sugeridas por la Comisión Revisora de la Academia de Electrónica en relación a su trabajo de tesis cuyo titulo es: “Control no Lineal Robusto Basado en Pasividad para los Filtros Activos Paralelo y Serie”, me es grato comunicarle que conforme a los lineamientos establecidos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en este centro se le concede la autorización para que proceda con la impresión de su tesis.

Atentamente

I /

-

C. Dr. Enrique Quintefo-Mármol Márquez Jefe del Departamento de Electrónica

C.C.P. Subdirección Académica

Presidente de la Academia de Electrónica Departamento de Servicios Escolares Expediente

cenidet

Centro Nacional de lnvesligacidn

y Desarrollo Tecnol6giCo Sistema Nacional de Institutos Tecnol6gicos

ANEXO No.11

M10 ACEPTACI~N DEL DOCUMENTO DE TESIS

Cuemavaca, Mor., a 1 de diciembre del 2004 C. Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez

Jefe del departamento de Electrónica Presente.

At‘n C. Dr. Gerardo V. Guerrero Ramírez Presidente de la Academia de Electrónica

Nos es grato comunicarle, que conforme a los lineamientos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias de este Centro, y después de haber sometido a revisión académica la tesis titulada: “Control no Lineal Robusto Basado en Pasividad para los Filtros Activos Paralelo y Serie”, realizada por el C. José Armando Olmos López y dirigida por el Dr. Gerardo V. Guerrero Ramírez y el Dr. Luis Gerardo Vela Valdés y habiendo realizado las correcciones que le fueron indicadas, acordamos ACEPTAR el documento final de tesis, así mismo le solicitamos tenga a bien extender el correspondiente oficio de autorización de impresión.

Nombre y firha

Revisor Revisor

C.C.P. Subdirección Académica

Departamento de Servicios Escolares Directores de tesis

A

mis

padres:

Agradecimientos

Agradezco de corazón:

A mi Dios, por darme tanto amor y una gran familia, a la cual amo.

A mis padres Armando y Ernestina por prepararme para la vida. Este es uno de los frutos, que gracias a su amor, he podido lograr.

A mis hermanos Pamela e Israel, con quienes aprendí a ser feliz y pase los mejores momentos de mi vida.

A mis abuelitos Amador, Elisa, Cándido y Celia quienes son ejemplo para mi y a quienes recuerdo con mucho cariño.

A mis directores de tesis Dr. Gerardo Guerrero y Dr. Gerardo Vela, por transmitirme parte de su conocimiento y tenerme paciencia.

A mis revisores Dr. Enrique Quintero-Mármol, Dr. Marco Oliver y Dra. Patricia Caratozzolo, por sus valiosas observaciones.

A mis compañeros de generación Ricardo, Christian, Dunctano, Raúl, Eumir, Pablo, Alejandro V., Alejandro P, Jorge R., Jorge A,, Fabiola, Lizeth, Manuel, Alfredo, Roxana y Alonso. Ya que sin su ayuda y apoyo durante mis estudios no hubiese sido nada igual.

AI CONACYT y a la SEP por haberme dado el apoyo económico para realizar mis estudios.

Resumen

La falta de calidad en la señal que suministra la red de energia eléctrica a los usuarios provoca graves daños a equipos que son sensibles a variaciones en la señal de alimentación. La necesidad de estar protegido ante perturbaciones en la red eléctrica motiva al desarrollo de elementos externos que eliminen las perturbaciones y proporcionen a la carga una señal de alimentación de mejor calidad.

Una forma de compensar los efectos que provocan las cargas no lineales (causantes en gran medida de la baja calidad de la señal en la red eléctrica) es empleando filtros activos. Los filtros activos tipo paralelo (FAP) y los filtros activo serie (FAS) son una excelente opción para mejorar la calidad de la energía eléctrica.

Se han propuesto diversas topologias y estrategias de control para los filtros activos, sin embargo hasta ahora éstas basan su análisis y diseño de control en un sistema nominal (los valores de los parámetros del sistema conocidos). Si existe algún cambio en los parámetros (variación paramétrica), la respuesta puede ser diferente a la que se desea, e inclusive llevar al sistema a la inestabilidad.

En este trabajo se considera que los filtros activos son sistemas susceptibles a variación paramétrica, por lo que se emplean modelos con incertidumbre paramétrica. Basándose en esta consideración, se presenta el diseño de un control robusto para el FAP y FAS, empleando el método de rediseño de Lyapunov para enfrentar los efectos de las variaciones paramétricas. Para cada filtro (FAP y

FAS), se muestran el modelo del sistema por Euler-Lagrange, la técnica del control robusto, resultados de simulación numérica y un análisis comparativo entre los controles robusto y nominal.

El capitulo uno presenta el estado del arte y la problemática que existe con respecto a la calidad de la energia eléctrica, a los filtros activos como una excelente solución a éste problema y las grandes limitaciones que tienen los filtros activos al considerarlos sistemas nominales. También se presenta un marco teórico sencillo que permite comprender el por qué se eligió la técnica rediseño de Lyapunov como solución a los efectos provocados por la incertidumbre paramétrica. En este mismo capitulo se definen claramente los objetivos, alcances, aportaciones y limitaciones de este trabajo de tesis.

En el capitulo dos se presenta el modelado por Euler-Lagrange, con el cual se obtiene el modelo de ambos filtros. Esta metodologia de modelado permite representar al sistema mediante una estructura que facilita el diseño del control, además de permitir visualizar de una manera clara que el sistema cumple con el balance energético. Esta úitima propiedad de la estructura Euler-Lagrange es de gran ayuda al demostrar que los filtros activos cumplen con las propiedades de pasividad.

El capitulo tres muestra los pasos a seguir en el diseño de un control nominal basado en pasividad, los cuales se presentan, de forma clara y sencilla, en la sección 3.1. La sección 3.2 presenta detalladamente el diseño del control robusto.

Los capítulos cuatro y cinco presentan el análisis de desempeño realizado al sistema (FAP y FAS respectivamente) empleando el control robusto. Ambos capitulos contienen una sección en donde se muestran tres diferentes variaciones paramétricas que pueden ocurrir en los filtros activos. También tienen una sección en la cual se presentan simulaciones numéricas que permiten visualizar las diferencias entre usar un control robusto y uno nominal. La ultima sección de estos capítulos presenta una tabla comparativa de los indices de desempeño empleando el error cuadrático medio de los controladores robusto y nominal.

Finalmente, el capitulo seis muestra las conclusiones más relevantes de este trabajo de tesis y los posibles trabajos que pueden derivarse de este documento.

Aunque este trabajo aborda sólo a los filtros activos, los diseños de los controladores robusto y nominal pueden ser empleados a otros sistemas que cumplan con las características necesarias (que tengan una estructura E-L, que cumpla con las propiedades de pasividad y que pueda parametrizarse linealmente en los parámetros del sistema).

Abstract

Present-day, lacking of quality in the mains causes heavy injures to sensible appliances to source voltage varieties. Necessity to get protection against perturbs had caused develop of extern elements that are be able to eliminate perturbs and provide a better quality of source signal to the load. A way to compensate the effects that cause the nonlinear charges is use active filters.

The parallel active filters (PAF) and series active filters (SAF) are an excellent option to improve the mains quality.

The parallel active filter (PAF) is a power electronic converter that provides the harmonics claim by nonlinear load, such way the nonlinear load and PAF will see by the mains how a linear load.

The series active filter (SAF) is a power electronic converter whose goal is cancel the voltage harmonics by generated a replica (phase out 180") of voltage disturbs and plus to the mains, so the voltage that got the load is only the voltage fundamental component.

The problem arises when the element values that compose to PAF or SAF (capacitors, inductances and resistances) suffer variations by heating, aging or modeling simplifier is studied. If there is a change in the parameters mentioned (parametric uncertain), the response can be different to desired response and inclusive carries the system to instability.

This document presents the robust control design for both filters, used the Lyapunov redesigns method to confront the parametric variations effects.

The Euler-Lagrange filter model, the robust control technique, simulations results and comparative analysis between robust and nominal controls are shown.

This thesis is organized as follow: chapter one presents the PAF and SAF topologies and the problem to solve, in the chapter two the either Kirchhoff an Euler- Lagrange filters models are shown, robust control design is presented in the chapter three, the chapter four and five shown the simulation results either PAF and SAP, in the chapter six conclusions and observations are given.

CONTENIDO

LISTA DE FIGURAS iV LISTA DE TABLAS LISTA DE SíMBOLOS CAPíTULO 1 INTRODUCCI~N

1.1 .PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1 .I .I. PERTURBACIONES EN LA RED ELÉCTRICA 1.1.2. MÉTODOS PARA CORREGIR EL PROBLEMA

Vi Vii 1 1 2 3 1.2.JUSTIFICAC16N DE LA TESIS 4 5 7

8

1.2.1,

ANALISIS

DE SISTEMAS PERTURBADOS

1.2.2. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE UN CONTROL ROBUSTO 1.3.FILTROS ACTIVOS PARALELO Y SERIE DFADFA

1.4.PROPUESTA DE TESIS

1.4.1. OBJETIVO DE

LA

TESIS

1.4.2. FORMULACIdN DEL PROBLEMA

1.4.3. ALCANCES, APORTACIONES Y LIMITACIONES

9 10 10 11

CAPíTULO 2

MODELADO KIRCHHOFF Y EULER-LAGRANGE DEL FAP Y FAS 13

2.1. MODELADO TRADICIONAL DE LOS FILTROS 2.1 .l. MODELO DEL FAP

2.1.2. MODELO DEL FAS

14 14 17

2.2. MODELADO EULER-LAGRANGE DE LOS FILTROS 19

2.2.1. MODELADO DEL FAP 22

2.2.2. MODELADO DEL FAS 26

RESUMEN 31

CAPíTULO 3

DISEÑO DE LOS CONTROLADORES NOMINAL Y ROBUSTO

3.1.

CONTROL NOMINAL

3.

I.

I.

PASIVIDAD EN LOS FILTROS ACTIVOS

3.1.2.

DISENO

DEL CONTROL

3.1.2.1.

CONTROL NOMINAL PARA EL FAP

3.1.2.2.

CONTROL NOMINAL PARA EL FAS

3.2.

CONTROL ROBUSTO GENÉRICO PARA LOS FILTROS ACTIVOS

RESUMEN

CAP~TULO 4

CONTROL ROBUSTO PARA EL FAP Y ANALISIS DE SU DESEMPEÑO

4.1.

CONTROL ROBUSTO PARA EL FAP

4.1

.I. VARIACIÓN PARAMÉTRICA EN Rr

4.1.2.

VARIACIÓN PARAMÉTRICA EN Lr Y Rr

4.1.3.

VARIAC16N PARAMÉTRICA EN L , Rr, Cir Y C2r

4.2.

ANÁLISIS DEL DESEMPEÑO DE LOS CONTROLADORES

4.2.1.

GRÁFICAS DE SIMULACIÓN

4.2.2.

TABLA COMPARATIVA

CAPITULO 5

CONTROL ROBUSTO PARA EL FAS Y

ANALISIS

DE SU DESEMPEÑO

5.1.

CONTROL ROBUSTO PARA EL FAP

5.1

.l. VARIACIÓN PARAMÉTRICA EN Rr

5.1.3.

VARIACIÓN PARAMÉTRICA EN Lfi Rr, C,

Y

Ci,

5.1.2.

VARIACIÓN PARAMÉTRICA EN Lr Y Rr

5.2.

ANALISIS

DEL DESEMPEÑO DE LOS CONTROLADORES

5.2.1.

GRÁFICAS DE SIMULACIÓN

5.2.2.

TABLA COMPARATIVA 33

34

34

37

40

41

43

48

49

50

50

55

57

61

62

71

73

74

74

78

80

81

81

89 ii

CAPITULO 6

CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS 91

APÉNDICE A

RELACIONES CONSTITUTIVAS PARA EL MODELADO EULER-LAGRANGE 97

APÉNDICE B

PROPIEDADES DE PASIVIDAD APÉNDICE

c

TEORíA SOBRE EL MÉTODO REDISEÑO DE LYAPUNOV

REFERENCIAS 103 1 o9 119

...

111

LISTA

DE

FIGURAS

FIG. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.1 4.1 4.2

Esquema representativo de la red eléctrica. Perturbaciones en la red eléctrica.

Esquema a bloques de un FAP. Esquema de

los

bloques de un FAS.

Diagrama representativo de la técnica rediseño de Lyapunov.

Diagrama del FAP monofásico.

Circuito equivalente del FAP considerando interruptores ideales.

Diagrama del FAS monofásico. Circuito simplificado del FAS.

Circuito del FAS utilizado para el análisis de mallas.

Circuito equivalente del FAP empleado para el modelado Euler-Lagrange.

Configuraciones en el circuito del FAP causadas por

la

conmutación del interruptor.

Configuraciones en el circuito del FAS causadas por la conmutación del interruptor.

Pasos representativos de la técnica rediseño de Lyapunov. Corriente que genera el FAP y error en el seguimiento a la referencia ante perturbaciones en el valor de R del 10%. Superior: Con el control robusto. Inferior: Con el control nominal.

Voltaje en el bus de CD ante perturbaciones en el valor de R del 10%. Superior: Con el control robusto. Inferior: Con el control nominal. PÁG. 2 3 8 9 10 14 15 17 17 17 22 22 27 43 63 64 iv

FIG. 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 5.1 5.2 5.3 5.4

Corriente que genera el FAP y error en el seguimiento a la referencia de la corriente ante perturbaciones en el valor de R del 100%. Superior: Con el control robusto. Inferior: Con el control nominal.

Voltaje en el bus de CD ante perturbaciones en el valor de R del 100%. Superior: Con el control robusto. Inferior: Con el control nominal.

Corriente que genera el FAP y error en el seguimiento a la referencia ante perturbaciones en los valores de R y L de un 100%. Superior: Con el control robusto. Inferior: Con el control nominal.

Simulaciones de diversos casos en el sistema. Superior: armónicos que deben de proporcionarse; Medio: empleando el control robusto; Inferior: empleando el control nominal. Corriente que genera el FAP y error en el seguimiento a la referencia ante perturbaciones en los valores de L, R, CI y C2 de un 10%. Superior: control robusto. Inferior: control nominal.

Error en el voltaje del bus de CD ante perturbaciones en los valores de L, R, Cj y Cz de un 10%. Superior: control robusto. Inferior: control nominal.

Voltaje generado por el FAS y error en el seguimiento a su referencia ante perturbaciones en R de 100%. Superior: Con el control robusto. Inferior: Con el control nominal. Corriente en el inductor

L

del FAS y error en su seguimiento ante perturbaciones en R de 100%

.

Superior: Con el control robusto. Inferior: Con el control nominal.

Voltaje en el bus de CD del FAS y error en el seguimiento a su referencia ante perturbaciones en de R de 100%. Superior: Con el control robusto. Inferior: Con el control nominal.

Voltaje generado por el FAS y error en el seguimiento a su referencia ante perturbaciones en R y

L

de 10%. Superior: Con el control robusto. Inferior: Con el control nominal.

PÁG. 65 66 67 68 69 70 82 83 84 85 V

FIG. PÁG. 5.5 Voltaje generado por el FAS

y

error en el seguimiento a su

referencia ante perturbaciones en R, L, C y Ci de 10%. Superior: Con el control robusto. Inferior: Con el control nominal.

Voltaje generado por el FAS

y

error en el seguimiento a su referencia ante perturbaciones en R, L, C

y

Ci de 10%. Superior: Con el control robusto. Inferior: Con el control nominal.

86

5.6 ₈₇

5.7 Voltaje que recibe la carga ante perturbaciones en R, L, C

y

CI de 10%. Caso robusto. 88

A.l Un inductor L como elemento que almacena esfuerzo. 98

A.2 Relación constitutiva de un elemento L. 98

A.3 Un capacitor C como elemento que almacena flujo. 99

A.4 Relación constitutiva del elemento C. 99

A.5 Relación constitutiva de C en el cuarto cuadrante. 100

A.6 _{1 O0}

A.7 Relación constitutiva del elemento R. 101

Una resistencia R como elemento que disipa energía,

LISTA

DE TABLAS

TABLA 1 2

PÁG. índices de desempeño del control robusto y del control

nominal basado en pasividad para el FAP.

Indices de desempeño del control robusto y del control nominal basado en pasividad para el FAS.

71

89

LISTA DE

SíMBOLOS

Símbolos matemáticos utilizados comúnmente

X Conjunto de los números reales

fin Espacio real Euclidiano de dimensión n

snxm

Espacio matricial con n filas y m columnas de elementos en X

s+

Conjunto de los números reales no negativos.

E “Pertenece a” t _{Variable tiempo, t E %+}

lI.Il

Producto interno Valor absoluto Norma euclidiana “Se define como” “Equivalente a” “Para todo”

Mapeo de un dominio a un rango. También indica “tiende a” “Subconjunto de”

Transpuesta de una matriz M cualquiera Infinito

s “Menor o igual que”

2 “Mayor o igual que” < “Menorque” * > “Mayor que”

X, Punto de equilibrio

E,

E Epsilon

Región esférica de radio r

Símbolos empleados

en

el

modelado tradicional

Relación de transformación

Señal de control para

los

interruptores electrónicos de potencia Capacitor de salida en el FAS

Capacitor del bus de CD

Corriente del inductor del filtro de salida del FAP Corriente del capacitor del filtro de salida del FAS Corriente que demanda la carga no lineal (FAP) Corriente de la carga (FAS)

Inductor

lnductancia parásita del transformador lnductancia de la red eléctrica

Posición del interruptor

Resistencia del filtro de acoplamiento para el FAS Resistencia parásita del transformador

Resistencia de la línea eléctrica Resistencia del inductor

Indica el número de interruptor Tiempo

Periodo

..

Voltaje en el bus de CD, capacitor

CI

(tanto para t. F P como el F.

.S)

Voltaje en el bus de CD, capacitor

Cz

(sólo para el FAP)

Voltaje a la salida del puente completo de conmutación Fuente de voltaje de red

v. * vi VS XO Estado inicial Z

4

-

_{Vector de error de parámetros}

i-ésima variable de estado deseada

Símbolos empleados en el modelado Euler-Lagrange

C D E F

G

J 2 2. R

T

T' U U'

a

4 9i 4 R U

Matriz de elementos no trabajadores

Matriz de elementos que almacenan energía Fuente de esfuerzo

Fuente de flujo

Función de Rayleigh que indica la energía disipada por los elementos resistivos

Función de Rayleigh que indica la coenergía disipada por los elementos resistivos

Lagrangiano

Lagrangiano complementario Matriz de elementos resistivos

Energía de los elementos que almacenan esfuerzo Coenergía de los elementos que almacenan esfuerzo Energía de

los

elementos que almacenan flujo

Coenergía de los elementos que almacenan flujo Vector de enlaces de flujo

Vector generalizado de posición

Denota un valor de referencia para q , Es impuesto por el diseiiador.

Vector de velocidades generalizadas Matriz de elementos disipativos Vector de fuentes externas

Símbolos empleados en el diseño de

I

~

s controladores

e Error entre los estados

H(.)

R,,

Función de almacenamiento de energía Matriz de inyección de amortiguamiento

B Vector de parámetros

8

Vector de error de parámetros ix

V(.) Función de Lyapunov

:

y(.) Regresor (matriz que contiene a las señales medibles del sistema)

Acrónimoc frecuentes

CD Corriente directa FAP

FAS

Filtro activo paralelo (o de corriente) Filtro activo serie (o de voltaje) PI Controlador Proporcional-Integral PWM

rms Raíz media cuadrática

Modulación por ancho de

pulso

Control no lineal robusto

...

J.A.O.L.

CAPÍTULO i

Como primera parte se presentan los elementos necesarios y suficientes para que el lector de este documento comprenda la importancia y la necesidad de este trabajo de tesis, así como la formulación del problema a resolver el cual está relacionado con la calidad de energía eléctrica. También presenta la revisión del estado del arte e información que muestra cuantos trabajos, relacionados con el tema, se han desarrollado en el cenidet.

La sección 1.2 tiene como objetivo proporcionar el concepto teórico en el cual se basa la metodología propuesta para resolver el problema.

Finalmente, en las secciones siguientes, se hace mención de los objetivos y alcance de esta tesis.

1.1

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Actualmente, la falta de calidad en la señal que suministra la red de energía electrica a los usuarios, provoca graves daños a equipos que son sensibles a variaciones en el voltaje y corriente de alimentación.

Estos daños son aún más notables cuando se trata de equipos denominados cargas críticas [4]. Este tipo de equipos pueden apagarse cuando la señal que los

'Inhoducción cenidet.

i

alimenta presenta ligeras variaciones o pueden tener un mal funcionamiento. Como ejemplos de estos equipos se mencionan a los electrocardiógrafos y equipos médicos .e medición, los cuales pueden dar resultados erróneos.

Algunas de las cargas introducen armónicos de corriente a la red eléctrica (distorsionando la corriente de alimentación), y debido a la impedancia no nula de la red, también se presentan distorsiones en el voltaje de alimentación. A este tipo de cargas se les denomina cargas no lineales. Dada la interconexión de las diferentes cargas en un sistema eléctrico, es posible observar que las perturbaciones introducidas por, una carga no lineal o un usuario no quedan reducidas exclusivamente a un punto de ¡a red eléctrica, pues su efecto se propaga a otras cargas o usuarios conectados a

la

"misma red [29], [20], [18]. En la figura 1.1 se observa cómo el voltaje en el nodo es alterado por la carga no lineal y las distorsiones son percibidas por las otras cargas. i:;

. ,

r';,

' - u, i' i L Corriente de carga Componente fundamental de la corriente i Armónicos de corriente i , ; c . ; '' U, Voltaje de red . . VI Componente fundamental del voltaje Voltaje en el punto de conexión común UL

.

'\

zsc

Impedancia de corto circuito

Fifura 1.1. Esquema representativo de la red eléctrica

.

..

I * La necesidad de estar protegido ante perturbaciones en la red eléctrica ha

causado el desarrollo de elementos externos capaces de eliminar las perturbaciones y proporcionar a la carga una señal de alimentación con una mejor calidad.

1.1.1.

PERTURBACIONES

t

El término aerfurbaciones se

EN LA RED ELÉCTRICA

refiere a los factores que degradan las propiedades y baracterístiias de la señal, producto o servicio que se suministra u ofrece [4].

Con base en este concepto es posible mencionar las siguientes caracteristicas hue debe reunir la señal en la red eléctrica': la señal en el suministro de energía eléctrica comercial y residencial, idealmente, debe tener un voltaje con forma sinusoidal pura, con una frecuencia de 60 Hz. y valor rms de 127 volts.

Las cargas que se conectan a la red eléctrica, debido a su diseño, requieren que les sea proporcionada una señal con las características en voltaje ya mencionadas, para su correcto funcionamiento. Algunos de los problemas que se presentan en red de

< *

En México y EUA, ya que en Europa y Sudamérica la señal de la red eléctrica es 220 volts a 50 Hz.

i

I /

,

Control no lineal robusto

...

J.A.O.L. alimentación y que se relacionan con la calidad de energía se mencionan en las referencias [29] y [I].

La figura 1.2 (figura tomada d e [4]) muestra, d e forma g ráfica, algunas d e I as perturbaciones comunes que se presentan en la red eléctrica.

Variación Ruido lenta Variaci6n Parpadeo ráDida (flicker) c -100 -200

I

₀ 0.05 D.1 0.15 0.2 OB 0.3 0.35 0.4 0.45 -0s

Figura 1.2. Perturbaciones en la red eltktrica

Estas perturbaciones causan problemas en los consumidores domésticos y principalmente afectan a las cargas críticas.

1.1.2.

MÉTODOS PARA CORREGIR EL PROBLEMA.

Dentro de las formas externas para corregir el problema se encuentran los siguientes dispositivos y sistemas:

Supresores

Reguladores de tensión

Filtros sintonizados (o filtros pasivos) Filtros activos

Transformadores de ultra-aislamiento

SAls (Sistemas de Alimentación Ininterrumpida)

Una forma de compensar los efectos que provocan las cargas no lineales es generar armónicos en la misma frecuencia en que se necesiten y con la magnitud adecuada. Esto puede lograrse empleando filtros pasivos o activos. La desventaja de

los

primeros es que están sintonizados para eliminar armónicos de una frecuencia fija,

Introducción cenidet

I

es decir, si surge un armónico que no está contemplado en el diseño del filtro, éste no será eliminado. Para mejorar esta cualidad de los filtros pasivos existen los filtros activos, los cuales gracias a su topología generan el armónico que se necesite, a partir de una referencia (forma de onda que se pretende lograr y que debería existir idealmente).

Dentro de las topologías más conocidas de filtros activos están los filtros activos tipo paralelo (o de corriente), tipo serie (o de voltaje) y el universal. En esta tesis se trata unicamente con el filtro activo paralelo (FAP) y el filtro activo serie (FAS).

Estos filtros, al generar los armónicos que se necesitan y sumarlos a la red eléctrica (FAS) o proporcionarlos a la carga (FAP), presentan las siguientes Earacterísticas:

..

El FAP funciona como una fuente controlada de corriente.

El FAP suministra a la carga las corrientes armónicas que se requieren. El FAS funciona como una fuente controlada de voltaje.

El FAS proporciona en cada instante un voltaje de igual magnitud pero de signo opuesto (desfasado 180") a la perturbación y los suma a la red

1 . 5 : , .. . . 2, , . . . ! 6.: ,, . . .' eléctrica.

,'

,

De las perturbaciones mostradas en la figura 1.2, no todas pueden ser &minadas con los dispositivos externos que se listaron en esta sección. Precisamente, ,mientras más grande sea la perturbación, mayor serán los requerimientos que debe cumplir el dispositivo empleado para eliminar la perturbación. De las perturbaciones que se presentan en la figura 1.2, los filtros activos pueden compensar todas excepto los cortes largos [I], [4].

? r ;i ..

.

. . , .

IK2. JUSTIFICACION DE LA TESIS

Muchos de los trabajos sobre filtros activos ([8], [3]

y

[25]

por citar algunos) basan su anaiisis y diseño de control en un sistema nominal (con esto se entiende que los valores de los parámetros del sistema son conocidos y no presentan variaciones por causas de envejecimiento, desgaste, calentamiento, etc.). Si existe algún cambio en los parámetros anteriormente mencionados (variación paramétrica), la respuesta puede ser aiferente a la que se desea, e inclusive llevar al sistema a la inestabilidad.

Se desea mejorar el desempeño de los filtros activos y una mejora sería diseñar un controlador que tolerara variaciones en los parámetros.

. ' Existen diversos métodos que puede enfrentar el problema de los efectos de la

incertidumbre paramétrica en los sistemas, entre los cuales están: Control por modos deslizantes [3]

i

.);, Control adaptable [2]

: I Control inteligente [I31

t ' Control robusto. . . < ; + . F' . 4

Control no lineal robusto

...

J.A.O.LI El control adaptable, por ser una ley dinámica, aumenta el orden del sistema al añadir una ecuación dinámica del error [12], [2].

El control inteligente presenta reglas de inferencia que pueden resultar complicadas de entender. Además, la programación de tal controlador requiere de grandes esfuerzos computacionales y que una computadora ejecute este programa para controlar el sistema físicamente, lo cual implica costos elevados. Por lo general, esta técnica sólo se utiliza cuando al compararse con otras técnicas de control las mejoras son significativas.

El control por m odos d eslizantes presentado en [3] tiene un buen desempeño aún ante ligeras perturbaciones. Esta robustez es inherente al controlador ya que no se diseña la ley de control basándose en el análisis de las variaciones paramétricas, y por lo tanto no tolera variaciones paramétricas grandes. Por lo tanto no es del interés de este trabajo de tesis analizar su desempeño.

Otras técnicas de control pueden ser demasiado difíciles de implementar en un sistema de filtro activo.

Existen otras metodologías que son estáticas, entre ellas está el control robusto, el cual se aplicará para mejorar el control basado en pasividad empleado en [29] y [18].

El estudio de sistemas perturbados permite tener una visión clara de cómo abordar el problema de la variación paramétrica.

<

.’ c

‘ I

1.2.1.

ANÁLISIS DE SISTEMAS PERTURBADOS

Considerar el sistema:

donde

f

; [O,m)x D

+

W

y g ; [O,m)x D

+

W

son funciones diferenciables a trozos en

el,tiempo t , localmente Lipschitz en x sobre [O,m)x D+W, D C W es un dominio que contiene al origen x = O .

Suponer que el sistema (1 .I) es una perturbación del sistema nominal:

x =

f

(t4) * .

(1 .2) en donde el término g(t,x) corresponde a la perturbación’ y satisface:

llg.<kX)II 5 YllXll ; V t 2 0 , V x ~ D

Todas las perturbaciones que no modifican el orden del sistema pueden representarse de esta forma

2

Introducción cenidet aonde y es.una.constante no negativa. Esta perturbación podría ser el resultado de problemas que existen en cualquier sistema real [14], como son:

I j . . s. , 8 Errores de modelado. y . 5 j . ,. . i .I : Envejecimiento

i

I Incertidumbres Disturbios g .I

En la mayoría de

los

casos g(t,x) es~desconocida, sin embargo'se conocen las

.botas que limitan la magnitud de g(t,x) y es de especial interés conocer la cota superior:

I .

Un enfoque natural para analizar la estabilidad del sistema perturbado es utilizar fos'conceptos de la teoría de Lyapunov.

1

El principal concepto que se empleará para el análisis.de estabilidad en el sentido de Lyapunov, se basa en una observación física fundamental: si la energía total de un sistema se disipa continuamente entonces el sistema debe converger a un punto de equilibrio eventualmente.

Las siguientes definiciones son fundamentales en el análisis de estabilidad en el sentido de Lyapunov:

.. ,

.. Definición 7.7. Una función escalar continua V ( X ) se dice localmente definida positiva si V(O) = O y en una región' esférica B, = {x E

w

I

llxll< r,r > O } , V ( X ) > O

? I . para x i t o .

',

2 ! . . . .:

i

3:';. _,. I

Definición 7.2. Si en una región B?, la función V ( X ) es definida positiva y tiene derivadas parciales continuas, y su derivada en el tiempo a lo largo de cualquier trayectoria de estado .del sistema (1.2) es semidefinida negativa, es decir

V ( X ) I O . Entonces V ( x ) es una función de

Lyapunov

para el sistema (1.2).

Sobre la base de las definiciones anteriores, a continuación se establece el

c : _ I

I

L 4

rimer teorema de estabilidad en el sentido de Lyapunov.

Teorema 7.7. Si en una región B, la cual contiene estrictamente al punto de

, equilibrio x, = O del sistema, existe una función escalar V ( X ) con primera

derivada parcial continua, tal que: . .

1. V ( X ) sea definida positiva localmente en B,

2. V ( X ) es semidefinida negativa localmente en B,

5 I . . E ~ , r t 6

Control no lineal robusto

...

J.A.0.L: _. Entonces el punto de equilibrio x, = O es estable. Sin embargo, si V(x) es localmente definida negativa en B,, entonces x, = O es asintóticamente estable ~ 4 1 .

Si x = O es un punto de equilibrio exponencialmente estable del sistema (1.2) y V ( x ) es una función de Lyapunov que satisface el Teorema 1 .I para el mismo sistema, entonces utilizando la función de Lyapunov V ( X ) del sistema (1.2) como una función candidata3 de Lyapunov para el sistema perturbado, la derivada de V ( x ) es:

av av

av

V(t,X) = - + - f ( t , x ) +-g(t,x)

at

ax

ax

Los primeros dos términos de la derecha de la expresión (1.5) corresponden a la derivada de V ( x ) en las trayectorias del sistema nominal. El tercer término

(aY/,)gct,x)

es el efecto de la perturbación.

Puesto que no se conoce exactamente la función g(t,x) , no es posible afirmar que este término mejora o empeora las causas que provocan que V ( X ) sea definida. negativa, pero si se conoce (al menos) la cota superior de g ( t , x )

.

Con esta información' se puede analizar el peor caso, es decir, si

(aY/,)g(t,x)

está acotada superiormente por

un término no negativo. - I

1.2.2.

VENTAJAS

Y

DESVENTAJAS DE UN CONTROL ROBUSTO

Un control robusto permite mantener un buen desempeño

(o

aceptable) en un sistema aun ante perturbaciones externas o internas que degradan a este Último. Utilizar un control robusto diseñado por la técnica de rediseño de Lyapunov4 (que se mostrara más adelante) tiene las siguientes caracteristicas:

El control robusto da solución a los efectos de la incertidumbre en los parámetros.

El sistema de ecuaciones resultante es de orden menor que el obtenido empleando una técnica dinámica. Es decir, no se incrementa el número de ecuaciones q ue representa al s istema y a q ue n o i ntroduce u na ecuación para representar la dinámica del error.

El error en el seguimiento no es cero pero puede minimizarse tanto como el diseñador lo desee si elige los factores adecuados.

Si una función de Lyapunov candidata v ( ~ ) cumple con el Teorema I. 1, entonces se llamará función de Lyapunov. Ver Apéndice C.

I

Introducción cenidet

1.3.

FILTROS ACTIVOS PARALELO

Y

SERIE

cos filtros activos son topologías basadas en convertidores electrónicos de potencia Conmutados en alta frecuencia y un control PWM. Un filtro activo (sea FAP o FAS) consta de tres etapas [4]:

i , ., . Generación de referencias. Etapa de potencia.

:

Lazo de control.

,

I ' !E

En la generación de referencias (primera etapa) es indispensable que no exista un retardo significativo causado por el procesamiento de la señal. De lo contrario la señal generada por el filtro no proporcionaría los armónicos (de corriente, en el caso del FAP y de voltaje para el FAS) necesarios en ese momento.

.

-

La etapa de potencia en el FAP (bus de CD, interruptores de potencia y la etapa

$e

acoplamiento formada por una inductancia y una resistencia), es la encargada de proporcionar los niveles de corrientes armónicas que necesita la carga. La etapa de potencia en el FAS (bus de CD, interruptores de potencia y el transformador de acoplamiento), es la encargada de acoplar el voltaje generado por el filtro a la red eléctrica para cancelar los armónicos en la red. Es necesario que esta etapa tenga una velocidad de respuesta capaz de generar los armónicos demandados en el instante que se requieren.

En el lazo de control, mientras más exacto sea el modelo que representa al filtro, mejor desempeño tendrá el control implementado, siempre y cuando se haya Geleccionado una estrategia de control adecuada.

El FAP es un convertidor electrónico de potencia que suministra el contenido

i ; :

ar,mónico de la corriente demandada por una carga no lineal, de tal forma que el konjunto carga no lineal y FAP sea visto por la red eléctrica como una carga lineal [25],

[$I,

(ver figura I 3).

P ,

1.'

(..

Control no lineal robusto

...

J.A.0.L: ! El FAS es un convertidor electrónico de potencia cuyo objetivo es cancelar los armónicos de voltaje, generando una réplica (desfasada 180") de los disturbios en voltaje y los suma a la red del suministro de energia eléctrica, así el voltaje que recibe la carga es sólo la componente fundamental del voltaje [I]. En la figura 1.4 se muestra un esquema del FAS. El signo menos que aparece en el bloque de suma de la figura indica que los armónicos son desfasados 180 grados.

. I

..

, Figura 1.4. Esquema a bloques de un FAS.

. 1

Hasta antes de este trabajo, los trabajos desarrollados en el cenidet al igual que otros muchos trabajos externos, han basado

su

análisis y diseño en un modelo nominal [29], [20], [18], [I], (41, [ I l l . En otras palabras, los valores de las resistencias, inductancias y capacitancias son conocidos. Se desea mejorar el desempeño d e los filtros activos, y una mejora seria diseñar un controlador que tolerara variaciones en los parámetros.

1.4.

PROPUESTA DE TESIS

En este trabajo, se presenta el diseño de un control que mejora el desempeño de los filtros activos monofásicos tipo paralelo y serie, empleando una técnica de control que enfrenta las incertidumbres paramétricas. La figura 1.5 muestra en forma esquemática el concepto de un control por el método de rediseño de Lyapunov, inspirado en [14], [6] Esta técnica fue seleccionada para el diseño del controlador que enfrenta las incertidumbres paramétricas, pues resulta bastante sencilla de entender y aplicar a Y ~ 7 1 .

.Introducción cenidet sistemas perturbados. Esta sencillez se desprende del empleo de la función de Lyapunov para analizar la estabilidad del sistema [14].

1

Redisefío de Lyapunov

I

ROBUSTO

I

SNL (sistema no lineal)

+F\l

p."dId..

Figura 1.5. Diagrama representativo de la técnica Rediseño de Lyapunov.

-

1_ I I

suma una señal que enfrente los efectos de la incertidumbre paramétrica, se añade al sistema la característica de robustez [14].

La figura anterior indica que, si al control nominal de un sistema no lineal se le

1.4.1. OBJETIVO DE LA TESIS

'General:

:,, .. . Diseñar un controlador

no

lineal robusto para lograr el seguimiento de la trayectoria deseada en los filtros activos paralelo y serie.

$?articulares:

..

.

!.

i t . '

Emplear un modelado Euler-Lagrange para el FAP y FAS monofásicos.

Diseñar un control robusto que enfrente los efectos de la variación paramétrica en L, R, C1 y CZ del filtro activo paralelo (FAP).

Comparar el desempeño de los controles robusto y nominal para el FAP.

': ,

.*

Diseñar un control robusto que enfrente los efectos de la variación paramétrica

en L, R, C y C1 del filtro activo serie (FAS).

':. Comparar el desempeño de los controles robusto y nominal para el FAS.

.4.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

El problema a resolver es formulado de la siguiente manera:

Diseñar un controlador no lineal robusto basado en pasividad para el

FAP

y el FAS, que logre el objetivo de seguimiento de una trayectoria deseada, asegurando el acotamiento de las señales y la estabilidad interna del sistema completo considerando la incertidumbre paramétrica y variaciones de la carga. *

.

i , r r

Control no lineal robusto

...

J.A.O.L.

1.4.3.

ALCANCES, APORTACIONES

Y

LIMITACIONES

La principal aportación es la aplicación de la técnica rediseño de Lyapunov en el diseño de un control no lineal robusto, basado en pasividad, para los filtros activos paralelo y serie (FAP y FAS) monofásicos, dando solución al problema de controlar estos sistemas ante

los

efectos de la incertidumbre paramétrica.

Además, se obtiene el modelo Euler-Lagrange del FAP y FAS y se presenta, de una manera muy fácil de entender, la técnica de diseño de un control basado en pasividad.

Se obtuvieron los siguientes alcances:

Se emplearon los modelos monofásicos de los filtros activos paralelo y serie. Se utilizaron los controladores basados en pasividad de los filtros activos paralelo y serie.

Se aplicó la metodología Euler-Lagrange para obtener el modelo matemático de los filtros FAS y FAP.

Se diseñó un controlador no lineal robusto para los filtros activos paralelo y serie.,

Como limitaciones del trabajo se tiene lo siguiente:

Se trabajó únicamente con los modelos monofásicos.

Los modelos de lo sistemas analizados son esquemas simplificados. Se consideró que los interruptores son ideales.

Se simuló numéricamente en forma digital (en la computadora) el sistema resultante al emplear el control robusto.

No se comprobó prácticamente.

8 4 - 0 8 9 0

Introducción cenidet i.: : .. . . . / ic , ! . 12 b

Control no lineal robusto

...

J.A.O:E.

CAPÍTULO 2

MODELADO KIRCHHOFF Y

EULER-LAGRANGE DEL

FAP Y FAS

En este capítulo se presentan los modelos del FAP y del FAS empleando las leyes de Kirchhoff y la metodología Euler-Lagrange, secciones 2.1 y 2.2 respectivamente. En este trabajo, al análisis que se realiza empleando leyes de Kirchhoff se le denomina modelado tradicional.

Hasta el momento de la escritura de este documento, no se halló reportado un modelo por Euler-Lagrange para los filtros activos, por lo cual, la aportación de este capítulo es la primera referencia reportada en la comunidad científica.

Los

modelos obtenidos para el FAP (tanto el tradicional como el Euler-Lagrange) son similares en forma. Un caso análogo sucede con el FAS.

AI final de este capítulo se muestran algunas conclusiones relevantes originadas por el modelado Euler-Lagrange. Gran parte de este capítulo se encuentra en [23] y [15]. El apéndice A contiene información sobre las relaciones constitutivas de los elementos que participan en los filtros activos de potencia, las cuales son herramientas primordiales al emplear la metodología Lagrangiana.

IT', _..

a,, i.

Modelado Kirchhoff Y Euler-Lamange del

FAF'

Y FAS cenidet

2.1. MODELADO TRADICIONAL DE LOS FILTROS

Los modelos presentados en esta sección se tomaron de [18]. La finalidad de presentarlos es compararlos con los modelos obtenidos usando la metodología Euler- Lagrange.

I _., <,

2 2.1 :., . .I

MODELO DEL

FAP

gn

FAP monofásico con inversor de medio puente se muestra en la figura 2.1, en donde

,vS es la fuente de alimentación5 primaria. De forma general, el FAP funciona como una

tuente de corriente controlada, ya que a partir de una referencia de corriente extraída de la;carga, el filtro genera

los

armónicos de corriente que necesita la carga. El principal Óbjetivo es lograr que el filtro proporcione los armónicos de corriente que la carga necesita, para que la red sólo suministre la componente fundamental de la corriente.

El banco de capacitores (C, ,C2) funciona como un almacén de energia que proporciona al inversor (formado por los interruptores SWl,SW2 ) los niveles de voltaje becesarios para generar los armónicos que se necesitan. El inductor ( L ) y la resistencia ~CR;) acoplan el filtro a la red. Para elegir correctamente los elementos inductor, capacitores, resistencias y conmutadores, es necesario tener en cuenta la potencia 'm'áxima y mínima a la cual trabajará el filtro, y el rango de frecuencia y la magnitud de los 'armónicos que desean proporcionarse.

. $ 3 .< ii L. .. .. . . I 1 c a r g a

I

i. -. ,<. "

Figura 2.1. Diagrama del FAP monofdsico.

1

La señal pos indica la apertura y cierre de los interruptores. En la práctica, al utilizar los interruptores deben tenerse en cuenta ciertas consideraciones (la mayoría de los conmutadores no pueden pasar de un estado de conducción al de no conducción inmediatamente, debido a su construcción física, por lo cual no debe activarse otro

< .

~ ~~

. .

Control no lineal robusto

...

J.A.0.L; conmutador paralelo para que comience a conducir con polaridad inversa, ya que se produciría un corto [8], [5]). Sin perder comprensión en el funcionamiento del sistema se considera a los interruptores idealmente6.

Empleando la figura 2.2, se realiza un análisis de mallas al circuito considerando dos casos, cuando la señal pos es igual a cero y cuando ésta es igual a uno. En ambos casos se realiza un recorrido en la malla en el sentido horario.

pos=l

p

, Figura 2.2. Circuito equivalente del FAP considerando interruptores ideales.

+

I

Del análisis, empleando leyes de Kirchhoff se obtiene el sistema de ecuaciones: ;

I 4 dvc, - ' L - - (I - pos)-

dt

c,

Cl - ' L dv - - - pos-

dt

c2 y = iL I/ en donde:

i, es la corriente del inductor

L

vc, es

el

voltaje en

el

capacitor C,

vc2 es el voltaje en el capacitor CZ

pos posición del interruptor

vS es la fuente de alimentación primaria

y es la salida del sistema.

El modelo completo del conmutador o intemptor depende del tipo de intemptor a utilizar, ya que posee características especiales, tales como inductancias, capacitancias y resistencias internas, las cuales varían de un modelo a otro. Considerar intemptores ideales facilita el análisis, sin perder comprensión de la operación del sistema.

Modelado Kirchhoff Y Euler-Lamanae del

FAF'

Y FAS cenidet Renombrando a las variables del sistema (2.1) de la siguiente manera:

se obtiene el modelo en variables de estado:

5 - En este tipo de sistemas conmutados existe una relación entre la posición del

interruptor (pos) y lo que se conoce como ciclo de trabajo, Activo(t)

.

El ciclo de trabajo es una función continua del tiempo que V t E toma valores en el conjunto [O,']. La

relación que existe entre el ciclo de trabajo

y

la posición del interruptor durante cada periodo de muestreo se define como [18]:

I.

nT 5 t < nT

+

Activo(t)T

nT+ Activo(t)TIt <(n+l)T

pos =

donde n = 0,1,2

,...

y

T

= periodo de muestreo.

,: . :

-

_{El modelo de la expresión}

(2.3) se llama modelo promediado o de variables pr.o,mediadas si se sustituye la variable pos por Activo'. La variable Activo controla la apertura y cierre de los interruptores, y es generada por el control. El modelo broinediado del FAP es:

b x, R x2 (Aciivo) x3 _- (1 - Activo)

;

-3--

f l - L L L L <: _.. .: ._

.

/i i XI x, = (I

-

Activo)- CI

..

* x3 = -Activo' c2 ,. .. y ,. I .I

[El modelo (2.5) es el mismo que se presenta en [29], [I81 y [4]. Y = XI ,. .. i I (2.5) '%

Por facilidad de escritura, en adelante se omite la dependencia del tiempo de la variable Activo. 7

Control no lineal robusto

...

J.A.O.L:

2.1.2. MODELADO DEL FAS

a io

C

&

a _-

_-

El siguiente esquema muestra de forma general los elementos que intervienen en un FAS:

u,= u,(

2pos

- I )

1

ic 'L

-

Figura 2.3. Diagrama del FAS monofdsico.

El circuito de la figura 2.3 puede representarse de la siguiente manera:. considerar a los interruptores electrónicos de potencia idealmente; obtener el voltaje V, ' analizando

los

casos para los cuales la señal pos es cero y uno (cuando pos = O el voltaje vi =-v cuando pos =1 entonces

vi

=vC,), de lo cual se obtiene que

V, = vC,(2p0s-l). Esta expresión aparece en la figura 2.4.

C,

Modelado Kirchhoff y Euler-Lagrange del FAP y FAS cenidet

Realizando un análisis de mallas del circuito de la figura 2.5, el modelo matemático completo del FAS, está expresado en el conjunto de ecuaciones (2.6), en donde ya se encuentra incluida la señal de control pos :

dv, - i, &a dt C C

---+-

L di = -L v -

-+

i,R (2pos -1)- vC, dt L L L dv

4,

-- el -(2pos-1)- dt CI Y =ve ,.

.

6n

donde:

iL es la corriente del inductor

L

v,

es el voltaje en el capacitor C vc, es el voltaje en el'capacitor C1

pos posición del interruptor . . io es la corriente de carga

y es la salida del sistema.

Renombrando las variables I como:

,. ,- ₁ : _. 1- I <, x, =vc i xz = ZL

es posible expresar a las ecuaciones que representan al sistema general como: * x, i,a x

_{' - e}

--+-

_c

x --L- x

-

x R 2

+

_{(2pos - 1) -} x3 L L L 2 - (2.7) x3 = - ( 2 p o s - l ) _ x2 Y = XI

\

, .. ., : '1 8

Control no lineal robusto

...

J.A.o.Z.

Para obtener el modelo promediado de (2.8), se sustituye la variable pus por Activo*, de lo cual se obtiene:

. , * x x R X x =-L- - 2

+

(2Activo -1)J L L L x, =-(2Activo-1)- X2 Cl (2.9)

Este modelo es el mismo que se ha desarrollado en

[I81

y

[I].

2.2. MODELADO EULER-LAGRANGE DE LOS FILTROS

En esta sección se obtendrá el modelo del filtro activo paralelo (FAP) y del filtro activo serie (FAS) por el método Euler-Lagrange

[23],

[15].

El modelado Euler-Lagrange de un sistema permite representarlo por medio de una estructura que posee cualidades que facilitan el diseño del control. Esta estructura es:

(2.10) y sus cualidades son: D es simétrica y definida positiva, que contiene a los elementos que almacenan energía; C es antisirnétrica y contiene a los elementos que no aportan ni disipan energía (interruptores); R es una matriz definida positiva y simétrica, que

contiene los elementos que disipan energía en el sistema; u es un vector de fuerzas externas; q es la coordenada generalizada;

4

es la velocidad generalizada y

8

la aceleración generalizada.

El método de modelado por Euler-Lagrange consiste en los siguientes pasos: 1. Determinar las coordenadas generalizadas del sistema. Es decir, el sistema

se especifica en función de las variables de esfuerzo y flujo generalizadas (estas variables indican las energías almacenadas y disipadas en los elementos que participan en el sistema).

2. Determinar las variables variacionales (son aquellas que pueden ser llevadas de la posición inicial a cualquier otra posición). Para ello es necesario conocer si existen restricciones en el sistema (parámetros que

Activo es el ciclo de trabajo de fmido en la expresión (2.4).

Modelado Kirchhoff y Euler-Lagrange del

FAP

y FAS cenidet impiden el libre movimiento de ciertas variables cercanas a ella). El número de variables variacionales es igual a la diferencia entre las coordenadas generalizadas y las restricciones.

3. Conocer cuantos grados de libertad tiene el sistema (el número de grados de libertad es igual al número de variables variacionales). El número de grados de libertad toma en cuenta las restricciones del sistema e indica que la ecuación de Euler-Lagrange se debe evaluar tantas veces como grados de libertad existan. Esto significa que se obtendrán tantas ecuaciones de Euler-Lagrange como grados de libertad tenga el sistema.

4. Formar la ecuación Lagrangiana la cual, por definición, es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial. Para esto, es necesario tener expresiones de la energía que almacenan los elementos que forman el sistema y se debe conocer la relación constitutiva de cada elemento que participa en el sistemag. Cuando

el

análisis es nodal se emplea el Lagrangiano, el cual es:

C=U'-T (2.1 1)

en donde:

U' es la coenergía en

los

elementos que almacenan flujo. Esta función corresponde a la energía cinética.

T es la energía en los elementos que almacenan esfuerzo. Esta función corresponde a la energía potencial.

En este caso, tanto U'(energía cinética) como T (energía potencial) deben expresarse en términos del esfuerzo.

Si el análisis es por mallas se emplea el Lagrangiano complementario. El concepto de Lagrangiano complementario deriva de la relación constitutiva de los elementos del sistema, ya que se emplean los complementos de las integrales de

U'

y

T

de la expresión (2.11). Para el Lagrangiano complementario todas las expresiones deben de estar en términos de la variable de flujo:

C'=T'-U

en donde: (2.12)

T'

U

es la coenergia en

los

elementos que almacenan esfuerzo. Esta función corresponde a la energía cinética.

es la energía en los elementos que almacenan flujo. Esta función corresponde a la energía potencial.

Ir al Apéndice A para tener una mejor comprensión de las relaciones constitutivas de los elementos que participan

9

en los filtros activos. 20

Control no lineal robusto

...

J.A.o.C.

5. Evaluar la ecuación de Euler-Lagrange" :

d(ax)

ax

aJ

3i.i

aqi

- -

_ _

+,=F

(2.13)

la primera corresponde a un análisis nodal, en donde se emplea el Lagrangiano y la segunda corresponde a un análisis de mallas en donde se emplea el Lagrangiano complementario. En (2.13) J y G son funciones de disipación de Rayleigh, donde J es la coenergia disipada y G es la energía disipada. Las expresiones (2.13) están igualadas a fuentes de flujo F y a fuentes de esfuerzo E , respectivamente. El subíndice i indica que debe de evaluarse la ecuación para cada grado de libertad.

En estos cinco pasos se resume la metodología Euler-Lagrange basada en [23] y ~151.

En el análisis de sistemas eléctricos, esta metodología consiste en establecer los parámetros Euler-Lagrange del circuito, asociado con cada una de las topologías correspondientes a las dos posibles posiciones del interruptor regulador. Esta consideración inmediatamente permite encontrar que algunos elementos modelados por parámetros Euler-Lagrange permanecen invariantes bajo la acción del interruptor, mientras que otros se modifican debido a la suma o cancelación de ciertas cantidades de energía.

En esta sección se usa el enfoque Lagrangiano para dedar el modelo matemático de los filtros activos. &te mismo enfoque es adecuado para aplicarse a una gran clase de convertidores de potencia DC-DC existentes físicamente.

La técnica de modelado Euler-Lagrange se basa en una adecuada parametrización, en términos de la posición del interruptor, de las funciones Euler- Lagrange que describen cada uno de los sistemas participantes y la aplicación subsecuente del formalismo Lagrangiano.

En la metodología Euler-Lagrange la matriz de los elementos que almacenan energia es la misma matriz empleada en la función de almacenamiento energético para los filtros activos [23] Esta Última función se puede emplear en el diseño de un control basado en pasividad". De ahí que el control basado en pasividad se proponga como una técnica natural de control para los filtros activos [22].

10

I I Para la obtención de estas expresiones se recomienda ver [23] capitulo 2. _{Ver Apéndice B.}

Modelado Kirchhoff Y Euler-Laeranee del FAP v FAS cenidet

2.2.1. MODELADO DEL FAP

La figura 2.6 corresponde al FAP en una de sus representaciones más simples. Este hismo esquema fue utilizado anteriormente para obtener el modelo del FAP por el método de leyes de Kirchhoff.

Figura 2.6 Circuito equivalente del FAP empleado para

el modelado Euler-Lagrongtz

La figura 2.7 (a) es el circuito equivalente cuando pos = O , lo cual indica que el interruptor que activa a C, está cerrado y el interruptor que activa a C, está abierto.

.1 ... . Empleando la metodologia Euler-Lagrange descrita anteriormente, se analizará

el circuito. El primersubíndice que acompaña al parámetro Euler-Lagrange indica la .malla en donde aparece el elemento, y elsegundo subíndice indica de qué elemento se trata:

i:., 1. En este caso, la coordenada generalizada es la carga q y su derivada

4

es

la corriente. El subíndice O indica el valor de pos.

2. En

el

FAP, de acuerdo con la figura 2.7 (a), no existen fuentes de corriente (la cual corresponderia a una restricción). Por lo cual la variable variacional es iá misma .q

.

3. Dado que no existen restricciones, el número de grados de libertad es uno. /.. i. , . i; :I . : :" . . . f

í--

( 1 . I

t "

vs

b

'L 5. I . K ' pos = o .. . .

1

?q

_++;G 1. *. . ,

(4

(b)

I Figura 2.7. Configuraciones en el circuito del FAP

causadas por la conmutación del interruptor.

,A 1..

..

.I ,

> . i . i r

.

Control no lineal robusto

...

J.A.O.T.. 4. La coenergía en los dispositivos que almacenan esfuerzo es:

* 1 - 2

T,

=- Lq

2 OL

Como se explicó anteriormente, el subíndice L indica que el parámetro Euler-Lagrange q está asoci,ado a la inductancia L y ésta aparece en la malla O .

La energía en

los

dispositivos que almacenan flujo es:

u

1 qoc,

O-2

c,

y la disipación de energía:

(2.15)

Empleando las expresiones (2.14) y (2.15), se forma el Lagrangian0 complementario: * , ,

.

1 *

*

1 40, OL 2

c,

2,

=- Lq 2 (2.17)'

5. De las expresiones (2.16) y (2.17) se obtiene la ecuación de 'Euler-Lagrange para qo:

2;

y resolviendo para qo se obtiene:

(2.18)

"

'7

(2.19)

Realizando el mismo análisis para pos = 1, el circuito equivalente se muestra en la figura 2.7 (b). Cuando pos =1 el interruptor que activa a C, está abierto y el interruptor que activa a C, está cerrado:

,*

Modelado Kirchhoff y Euler-Lagrange del FAP y FAS cenidet 1. Para nuestro caso, la coordenada generalizada es q

.

El subíndice

1

indica

el valor de pos.

2. De acuerdo con la figura 2.7

(b),

no existen fuentes de corriente, por lo cual la variable variacional es la misma q

.

3. Dado que no existen restricciones, el número de rados de libertad es uno. i r 4. Las expresiones para la coenergía, energía 92 y para 10s elementos

L disipadores son: í

.

1 . 2 2 IL

q

=- Lq I

I de (2.20) y (2.21) se forma el Lagrangian0 complementario:

la ecuación de Euler-Lagrange para las ecuaciones (2.22) y (2.23)

es:

y resolviendo para q, se obtiene:

(2.20) (2.21) (2.22) (2.23) (2.24) (2.25)

Ahora, con la finalidad de tener una soia ecuación para las dos configuraciones fesultantes.(pos = O y pos=l), se introduce la variable pos en las expresiones (2.19) y (2.25), de lo'cual resulta:

I

< .

(2.26)

l2 El signo negativo de la expresión de la energía U se debe a la relación constitutiva. Referirse al Apéndice A

.I'

24