3) Calcule
la
que es la
El reconido
de
lqiano
en eleje
a) Halle el b) Halle el clf Calcule ( 1 , 1 ,la porción de superÍicie S que tiene la forma de et arco de curva C, definida por la ecuación por debajo de z= i -Y.
1)
UMVN?SIDAD CE¡,TTML VE¡'IEZUETÁI
Cialcule el área ve,rtical apoyada @ , f l Z = 0 , y q u e a4,tcwo YECTORAL" PRIMEM PARCIAL sECCIÓN: / 22-0s-2007. una pantalla
y =^¡¡4
(3 pts.) (4 pts.)a y b para que F sea un campo conservativo' b encontrados en la parte a), encontrar una
2) Pruebe
que
I
t
elipse de ecuación. 3 8 ds =
? , donde c es et contomo del primer cuadrante de la
* " *t_=,1.
4 94l
Un alambre
sr"rperficies
de
5) D,ado
elcamPo
a) b)det
campo F(",y
,4=(-;, + , o=) sobre
la curva
c
F ( r , y , z ) = [ v m
. - # , 3 a x l n z '
r y )
los valores de Para los valores de a Y
tunción
de las suPerficies
de ecuaciones:
* '
* Y ' * 2 2 = 1 ,
z * f - l = o ,
4
' 9
3
es en sentido
antihorario
cuando se obserua
desde un punto
(4 pts.)üene ta forma
de la curva c que se obtiene
al intersectar
las
x2 +y2 =22 , z=2-x, -y', en el primer octante. delalambre.
de inercia
con respecto
aleje OZ.
(4 ptsJtrabajo reatizado por F para trasladar una partícula del punto
) a f p u n t o ( 2 , 2 , 2 ' ¡ a l o l a r g o d e l a t r a y e c t o r i a a s y d ' e a n a c i Ó n e n
c . )
Y/
e s
x = t , Y = t ,
z = t .
.Depto. M ,Nombre: C.L Calcule¡ la a) b) TUNTVE,RSTDAD C ]FACI.II;TAD DE
DE VENEZUELA Cálculo Vectorial Noviembre 2006 Primer Parcial Sección Aplicadas Apellidos: 4 - z z s e n x , l + z Q v , Z z c o s x + e v ) u n c a m p o v e c t o r i a l e n R 3 . esuncampodegrad'ientesyencasodequelosea'calculeunafunción
b) Si C es une enR3 definidapor: , s i t e [ - e , 0 ]
, s i f . [ U " l sobre C"
l- Sea ¡i (*,y,t) definido de a) Determine si potencial de n 3 \ f cosr ¡ +3 sent t ' { * r , i + 3 s e n - t k j + t k
a " É
2.- Calcule d tabq¡o mover una sbdene de la i 3.- Calculeelfuea com¡rendida 4 - Unalanrbre 8 - z = 2 ( x 2 + masa, en cada Calcule la Calcr¡le eldoporelcarnpodefuerzas 7(*vp) = (y- l, ?',Y) Pa¡a lo lago de la cr¡rva C reconida en sentido horario ' flue se
de la snperñcie x '* y' : + -con el plano z: y + l '
(5 ptos) (apbs) * t + y 2 : ? 2 (3 ptos) (4 ptos) 5.- Calcule la ci que es la i
z = 4. El senü de reconiáo de la c¡¡rva C es anüborario c'ando la miramos desde r¡n prunto lejano origen en el eje Y *
laporción de superficie cilídricade ecr¡ación losplanos 7=Y , z:O
la forma de la curva de imeneción de la stryerficie -tl ;; el plao z: 8 + 2 y . Sabicrdo que la densidad de
. !
(*y,z) del ala¡nbre estádadapot p(x'y,z) :
;ú + l6x2
de inercia del ala¡nbre respecfo al eie z
del campo F (*y,r): ( x, z,Yz) a lo largo de la cr¡rva C delasrryerficie z: x' conlosplanos y: 0, Y. : 6'
UbITVERSIDAD 1 . 5, Sean dos 2 . 3 . 4 . e) b) c)
@
FACTJLTAD DE ING ESCUELABÁSICA DPTO. DE MATEMÁ A}ELLIDOS Calorüe el una partícula a con el plano y recorrida en Use integrales estádentodel Calcn¡le la ci cuna C Chlcule el largo deln(r,
-f,, o)
DE VENUUELA CAS APLICADAS NOMBRES CÁrcurO VECTORIAL PRII,.ERPARCIAL SECCION: 02 27-tt-2007 C.I:realizado por el campb de fuerzas F(xy,z) = (xy, O ,1) pry mover largo de la curva intersección de la esfera de ecuación t * f + * :9 z: 3 desde el punto A(0 , 3 , 0) hasta el punto
"(-+,1.,
(4 pts)
líne¿ pa¡a calcular el área de la porción del cilindro i + *: 16 que
odro x2 +l :16. (3 pts)
Un alambre ü la form¡ de rm triángulo con vértices A(0 ,0), B(2 , 0) y ql , 2). Halle las del cent¡o de gravedad si ta densidad en cad¿ pudo del alambne
es igpal al de laabscisadel punto.
(l pe.)
n lel campo F(;qy,z-) = (x+2y +2, {,3x--d a lo largo de la de la srperñcie cillndrica y = { con los planos z: A, y * z= l-.
(4 pb.)
é1ay,z¡
= (s
-1oxty2 ,3xzt -Sxoy, gxyz').campos de fterzas F V G son @nservativos.
Determine el ial del que se derivan, en el caso que sean oonservativos. de ñrer¿as Fqx,y,z)= (slrzt -10x3y2 ,9xzs -5xty , sx¡22) y
realizado por las fuerzas conservativas ' l - - cuando se desplazan a lo
I
o i1t¡ = [Vt'z+l , arctg(ta +t2 -t¡ , t) desde el punto
ar
B(lE,f ,,)
(s pts)UNTVI:RSIDAD FACULTAD DE ING ESCU]ELA BÁSICA DPTO DE MATEMATI APEL]-IDOS 1. Calcule el flujo d rsentido antihora
(?/. Use integrales
cilíndrica x. + . 4 . tOalcule la 5.- Un campo de fueF(x,y,z)
= (sen(yz)+
a) [)emuestre que curva C parab) C;rlcule ese trabaj 3 ¿ L, DE VENEZ"ELA APLICADAS NOMBRES CÁLCULO VECTORIAL PRIMER PARCIAL SECCION: 2344-2008 C.I:
I campo F(",y)= (x ,- y) a través de la curva, considerada en c, formada por el trozo de astroide f(t)= lcosf(t), sen3 lt¡¡ con te[0 ,ZnlY trozode la parábola y = 1 -f con x e[0 , 1] (4 pts')
línea para calcutar el área de la porción de superficie = 4 que está sobre el plano XY y debajo del plano z + y = 5'
(3 pts)
centro
de masa
de un alambre
delgado
que tiene la forma
de
Halle
la rnasa
y
un cuarto
de cí
p ( x , Y ) = x + Y
iintersección de : X + Y + Z = 1 . * + f = 4, x 2 0, Y ) 0, si la función de densidad es (4 Pts) ión del campo F(x,y,z) = (xy ,W,2<) a b largo de la curva Csuperficie de eguación f * f = z con el plano de ecr¡ación (4 ptsJ tridimensional F está definido por: a
cos(xy) , xzcos(yz) + xzcos(xy) , xycos(¡z) + sen(yx))
trabajo realizado por F al mover una partícula á lo largo de la :ada por: i1t¡ = (t1t¡, g1t¡, h(t)) donde f, g y h son funciones dr>rivables y t e[a , bl, depende únicamente de f(a), f(b), g(a) '-g( b)' h(a) y h(b)'
(5 pts.) c u a n d o i ( a ) = [ 0 , ; , 0 ) , i 1 u ¡ = [ , , ; , t )
recorrida en sentido Use i \ LINÍVERSIDAD FACUI-,TAD DE INGENI ESCUELA BÁSICA
DPTO. DE MATEMA S APLICADAS APELLIDOS DE VENEZUELA , : CÁLCULO VECTORIAL PRIMER PARCIAL SECCION: I 9-03-2009 C.I: NOMBRES
y z & + x z d y + x y d z donde C es la curva"
para calcula¡ el area de la
dento de la esfera de ecuación f o Calcule la
í * ' * f = t
t ' t n
, = o ,
f (z + y)dx + (z - xldy - le + Yldz
h es indePendiente (5pts.) ./'1 ll. : l . a ) - - Q
¡ s
' 1 .
T - - - ^- ( J \ t - ) Jl * V s
- ó : ^ C \ _ , + - _ ) K ,a. ü
".-.,
tl.
¡ : ; - \ \ . . \ , - ' u ^ - ' H q * l F - 'b .--s
-.1- J.-
\: q < ) ¿ \ \ L-\ . r j \ n - - . -¡l . ..1 \_>---Calcule la del campo F(*,y, zl=(x+2,2, y) a lo largo de irrtersección de la de ecuación x:f + * e,onel plano de ecuación
a) Pruebe que la
del camino de inte n.
b) Calcule la i siendo A (0,l , l ) y . P ( 1 , 0 , 2 )
el punto A(3, 0, 3) hasta el punto
"(* ,* ,t)
(4 pts.) porción ¿" ,op"m"ie cilíndrica
* * f + * : 3 ' 6 .
(3 pts) forrra de la curva c que se obtiene como la interseccióri de las
:z:* +f -G , z = -JÑ. calcule el momento de
inercia con respecto eje OY sabiendo que la densidad en cadapunto es proporcional a
la distancia del alejeOZ. (4 ptsJ
la curva C x * z : 1 . (4 pts)
@
IJttitersidad Central de V, ela / Fac de Ingeniería / Esc Bdsica / D¡ro- de Matemátíco Aplicada CÁLCULO ,/ECTORUL -o -o r t [ * ' * Y ' + (
L z = { x
| - Seccíón: NOlt{BRES 22-10-200E C]:1 . - Calcule la circu ión del campo vecttor¡al F1x,y,z¡=(t,
",V) a lo largo de la curva C fronterade la región R que es la proyección de la superficie S dada
- 1 ) ' = 1 s i z > 1 ^^L-^ ^r ^¡^^^ vz ---- ^ ', sobre elPlano YZ.
s i z < 1
La orientación C es tal que mirándota desde un punto lejano del eje X., el sentido es
(4 pts.)
+ y 2
2.- rlalcub
J"
+22 ds donde C es la curva de intersección de la superficie+ z2 = 9 con et plano de ecuaciÓn x = Y
(4 pts.) de ecuación f * 3.- Dado elcampo , - ( F ( x , y , = ) = [
Ca,rct¡le
J5-0,
4,0) como se( y z ) - f t ,
o * " ( y = l * : ,
xyoos(yz).
i)
C es una cúrva que une elpunto (1, 1,2') con el punto en la siguiente figura:
(3,
4.- (',alcule elárea de porción de superficie cilíndrica entre los planos z y y z = 4 .
= J - ( f * * > .
(4 pts.) x'* y'= a2, ctomprendida
(4 pts.) 5.- Calcule elmoment de inercia respecto aleje OX de un alambre delgado con
dr:nsidad p(x, y, z) y, que üene la forma de la curva C situada en el primer ( 1 , 1 , 2 )
orXante, de
X = O
\<-:: _ I ;.^'l I t" ;t R S I D.'l D C E ^'T R t:.,t( ( i 1.7-.4 t) DIi INGE: EsCL;ELA BiSICA DPTC'. DE IvIATEMÁTT ,lPEL.I.IDOS 1 . C a l c u l a r l a c i r clación dc curva de in
es recorrida en sentidc cort que lo es en 2. Calcular el trabai: CÁLCULO YECTONAL PNMER PARCIAL SECCIÓN : 2.-06-2009 CI: : i o r i a l F i : , / , 2 ' ) = ( . , * , y ) a l o l a r g o d e l a ( 2 2
¡ c i e s
d c .. ; r c i o n e s :
I
z - _
:
+ Y, la cual
I z : Y
;iiente
de su proyección
sobre
el plano
XY,
3. Dos cilindros cortan en partícula, a) a lo largo Sabiendo que cuadrado de I b) el mome situado en el ¡ r : f 2 \ / í j . / ' l : ' C e s e c l r a c J r a : ' : c d e l a
(3 Pts.)
campo
vectorial
para mover una
(4 pts.)
F i * , y , z l = (
.
(l x y z + y z l , x z e , ?2 \ x z \ . / - : ' e l x z í ' 2 \ \ , x y z + x y l l , \ / ) l a c u n ' : : tJ ' r i ' 2 2- x - y
de coordenadas con el Punto (5 pts.) lares ". -: a :;e inic:'c';:ltan de modo que sus ejes se r€cto. -r,, rtegral Ce 'inea para calcular el área de la parte de uno l o s c i l i r l r . . ' r - :'¡)r e l c ' '
(a pts.)
4. Un alambre ti n-.; . .-.. '?.e aii"," , .Jada por la función i 1 t ¡ = ( c c . : - ; e n t , t ) , o s t < 2 n .
id¡C !:t"- . ::rda pun!:, del alambre es proporcional al i:: . .. -,i origuir .'Que además la densidad vale
