T T T e e e m m m a a a 3 3 3 6 6 6 . .- . - - C C C i ir i r rc c cu u u i it i t t o o o s s s d d d e e e C C C o o o r rr r r ri i ie e e n n n t te t e e C C C o o o n n n t t t i in i n n u u u a a a
§36.1.- Asociación de resistencias 36.1.a. Resistencias en serie
• Misma intensidad en todas ellas
• Se reparten las tensiones: 1 2
1 2
V V
I = R = R =…
A1 1 12 2 23 3
V =IR V =IR V =IR … R1
⋅⋅⋅
R2 R3 Rn
A 1 2 I 3 n-1 B
( )
AB 1 2 3 ... eq
V =I R +R +R + =IR →
eq 1 2 3
... i
R =R +R +R + =
∑
RR
eq
A B
36.1.b. Resistencia en paralelo
• Misma tensión en todas ellas
• Se reparten las intensidades:
Circuitos de Corriente Continua 36—1/8
1 1 2 2
V =I R =I R =…
AB AB AB
2 3
I I
R R
= =
1
V V V
I = R …
1 2 3
1 2 3
AB Ab
1 2 3 e
...
1 1 1
...
IT I I I V V
R R R Rq
= + + + =
⎛ ⎞⎟
⎜ ⎟
= ⎜⎜⎜⎝ + + + ⎟⎟⎠=
eq 1 2 3
1 1 1 1
...
i
1 R = R + R + R + =
∑
R36.1.c. Asociación mixta de resistencias
• Método general de Maxwell.
• Reducir por simetrías.
I1 R1
R2
! !
R3
Rn
I2
In I
A I3 B
R1 R2
R4
R3
R5
A B
Circuitos de Corriente Continua 36—2/8 A
E3,r3
R2
R3 R4
B
F
E
C D
R1
E2,r2
E3,r3
E1,r1
I
§36.2.- Circuito con varios generadores y resistencias en serie
suma algebráica de las f.e.m suma de las resistencia Σ .
s I Σ
R
= →
→ E
( )
AB 1
AA 1 2 3 1 2 3 1 2 3
BC 1 1
CD 2
1 2 3
DE 2 2
EF 3 1 2 3 1 2 3
FA 3 3
En efecto:
0 Σ
Σ
V IR
V I r r r R R R
V Ir
V IR
V Ir I
V IR r r r R R R R
V Ir
⎧ =
⎪⎪ = + ⎧⎪ = + + + + + + − − =
⎪ ⎪
⎪ = ⎪
⎪ → ⎪
⎨ = − ⎨ − + +
⎪ ⎪ = =
⎪ = ⎪
⎪ ⎪⎪⎩ + + + + +
⎪ = −
⎪⎩
E E E E
E E E E
E E
§36.3.- Fuente de tensión y fuente de intensidad 36.3.a. Fuente de tensión
Elemento activo del circuito capaz de mantener una diferencia de potencial entre sus terminales.
I V IR R
R r R
= → = =
+ +
E E
r
36.3.b. Fuente de Intensidad
Elemento activo que suministra una intensidad constante al circuito
c c c c
c ab c
r 1
V I R R
I I I I I I I
r r r
r r
I I V IR RI R
R r R r
⎛ ⎞⎟
= − = − = − → = ⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎠ ⎟
→ = → = = =
+ + E
R+r Una fuente de tensión será equivalente a una determinada fuente de intensidad cuando al conectarlas al mismo resistor R suministren igual intensidad.
c
c (intensidad en corto)
I I r I
R r R r r
= = → =
+ +
E E
I V R
Ir
B r
A Ic
E r
A B
B r Ic
=Er
"
A
E,r +
a b
I R
§36.4.- Asociación de generadores
Circuitos de Corriente Continua 36—3/8
36.4.a. Generadores en serie
• Por todos ellos circula la misma intensidad
• Generador equivalente:
( ) ( )
( ) ( )
AB 1 2 1 2
1 2 1 2 eq eq
... ...
... ...
n n
n n
V I r r r
I r r r Ir
= − + + − − − − =
= + + − + + = −
E"E E
E" E E E
eq 1 2
E1,r1
R
A B
I I
eq 1 2 ... n i
r r r r r
⎪ = + + + =
⎪⎪⎩
∑
... n i
⎧⎪ = + + =
∴ ⎨⎪⎪E "E E E
∑
Enr E
36.4.b. Generadores en paralelo
• La diferencia de potencial en bornes es la misma en todos ellos.
idad equivalentes:
E2,r2 En,rn
1 2 3 ... n B
I
req
A B
Eeq
• Si todos son iguales: Eeq =n req =
E1 r1
• Sustituimos las fuentes de tensión por las fuentes de intens
eq
1 2 3 i
I I
⎧ =
⎪
=
∑
= + + + =∑
→ ∴E E E E E
…
eq eq
eq c,
1 2 3
eq 1 2 3
1 1 1 1 1
i
i
i
I r
r r r r
r r r r r
⎪⎪⎪⎨⎪ = + + + =
⎪⎪⎪⎩ …
∑
• Si todos son iguales: eq eq r
r n
= =
E E "
36.4.c. Asociación mixta de generadores
• Método general de Maxwell.
• Reducir por simetrías.
A B
E1 r1
E3 r3 E4 r4
E2 r2
E5
r5
Ic1 Ic
"
r1
A B
"
r2
r3
Ic2
Icn
req
A B
A B
req
Eeq
"
A B
"
E2 r2
E3 r3
I
En rn
I
I3
I2 1
In I
§36.5.- Lemas de Kirchhoff
Circuitos de Corriente Continua 36—4/8
ncurrencia de tres o más os A, B,
sucesivos. Todos los elemento de la rama están recorridos por la misma intensidad (intensidad de rama, i).
• Malla (m) : circuito cerrado que se puede recorrer sin pasar dos veces por un mismo nudo.
• Número de mallas independientes: )
• Nudo (n): punto de co
elementos del circuito, tales como los punt C, D,...
• Rama (r) : elementos comprendidos entre dos nudos
( 1
m= − − r n A. Lema de los nudos:
La suma de las intensidades que entran en un nudo es igual a la suma de las que salen de él (condición de continuidad); i.e., la intensidad neta en un nudo es nula
j 0
∑
i = B. Lema de la mallas:La suma algebraica de las f.e.m.’s en una malla es igual a la suma de los productos de cada resistencia por la intensidad que la recorre:
ab =
∑
−∑
E → aa E 0V iR V =
∑
iR−∑
= →∑
E =∑
iRLo e
dis n nsidades
de rama
§36.6.- Teorema de superposición
La intensidad de corriente que circula por una rama cualquiera de un circuito es igual a la suma de las que circularían actuando por sí solas cada una de las f.e.m.’s presentes en el circuito.
Ejemplo demostrativo: Aplicamos los lemas de Kirchhoff a (n - m = r - (n - 1) mallas en el circuito que se muestra en la figura.
s l mas de Kirchhoff se aplican a (n - 1) nudos y a m = r - (n - 1) mallas, con lo que po dremos de (n - 1) + r - (n - 1) = r ecuaciones con r incógnitas (v.g., las r inte
).
1) nudos y a
1 2 3
1 2 3
1 1 1 3 3 3 1 3
3 ⎨⎪i r( +R)−i r( +R)= −E E → 1 1 3 3 1 3
3 2 2 2 3 3 3 2
0 0
2 i i i i i i
n
r i R i R
m i R i R
E E
E E E
+ + = + + = ⎧
= ⎧
⎧ ⎪
⎪ = − = −
⎨ ⎨
⎪ =2 ⎪i r3(3+R3)−i r2( 2+R2)=E − ⎪− + = −
⎩ ⎩
A B
E1 R1
E3 R3 E4 R4
E2 R2
E5
R5
C
D E6 R6
A
E1,r1
R2
R3
i1
B
1
E2,r2
E3,r3
R
I3
I2
⎩
1 1 1 i1 0
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1
0 0 0
0 1 0 1
0
R R i
R
E E RI E E E AE BE CE
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− = − → = + + − = + +
⎜ ⎟
⎜⎝
I R A
′ ′′ ′′′
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=
mallas o de Maxwell
2 ( ) ( )( )
3 ( ) ( )( )
n I r R I I r R
r I r R I I r R
⎧ =⎪⎪ ⎧ − =⎪ + + − +
⎪⎪ = ⎪ →
⎨ ⎨
⎪ ⎪ − = + + − +
E E
E E
( ) ( )
I r R I r R r R
− + + + + +
R R ⎛ ⎞I
⎪ ⎜ ⎟ ∓ ⎟ ⎟ → I R E=
• Ii - intensidad de malla i-ésima;
• Rii - resistencia de la malla i-ésima;
• Rij - resistencia común a las mallas i-ésima y j-ésima.
3 2 1 3 1 2 3 1 2
3 3 2
2 R3 ⎜ ⎟ ⎜i E E ⎟ ⎜ ⎟0 ⎜ ⎟1 ⎜ ⎟1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟ − −
− ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
1 1 1 1
1 1 1
1 2 3 2 2 2 2
3 3 3 3
i i i i
i i i i
E R BE R CE
− + − + − → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ′ + ′′ + ′′′
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′′ ′′′
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i i i i
Circuitos de Corriente Continua 36—5/8
§36.7.- Método de las
Asignamos a cada malla una intensidad de malla (I) de sentido arbitrario.
1 3 1 1 1 1 2 3 3
3 2 2 2 2 2 1 3 3
2
m ⎪
⎪ = ⎩
⎪⎪⎩
1 3 1 1 1 3 3 2 3 3
3 2
( ) ( )
I r R r R I r R
⎧ − = + + + − +
⎪⎪ →
⎨⎪ − =
⎪⎩
E E
E E 2 3 3 2 2 2 3 3
(1) 11 1 12 2 (1) 11 12 1 1
(2) 21 22 2
(2) R I21 2 R I22 2 → ⎜ ⎟=⎜ R R ⎟⎜I ⎟ → =
⎨ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜⎜ ⎟⎟
⎪ = − + ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎪⎩E E E RI
∓ Notación:
R I R I
⎧ = − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎪E E −
• E(i) - f.e.m. neta de la malla i-ésima;
A
E1,r1
R3
B R1
E3,r3
R2
E2,r2
i1 I1
I2 i3
i2
E1,r1
R2 3
B R
r2
A
r1
R2
R3
B R1
r2
E3,r3
A r
R2
R3
B R
r2 3
i’1
1 1 1
A r3 R i’3
i’2
r i’’1
i’’3
i’’’1
i’’’3
i’’2 i’’’2
Circuitos de Corriente Continua 36—6/8
El signo de Rij es negativo si Ii y Ij se restan; el signo de Rij es positivo si Ii y Ij se suman.
El método de Maxwell nos proporciona m (< r) ecuaciones con m incógnitas (v.g., las m intensidades de malla). A partir de las m intensidades de malla, determinaremos las r intensidades de rama; así, en el circuito de la ilustración, serán:
1
Añadim
1 1 2 2 3 2
i =I i = −I i = − I I
§36.8.- Aplicaciones del método de Maxwell 36.8.a. Cálculo de la resistencia equivalente
os un generador arbitrario y calculamos la intensidad que proporciona al circuito.
11 1 1
1
11
eq
0
R
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟=
⎜ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= = → =
E
E
…
$ " "
%
1 eq
11 n
n nn n
R R I
R R I
I ∆ R ∆
∆ ∆
⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
"⎟⎟
36.8.b. Cálculo de la f.e.m. equivalente
Abierto: El valor de la f.e.m. equivalente coincide con el de la d.d.p. entre A y B en circuito abierto. Resolvemos el circuito para calcular las intensidades de malla I1, I2,...
y determinamos VAB en la forma habitual:
(1) 11 12 1 1
(2) 21 22 2 2
I
R R I
R R I I
⎛ ⎞⎟ ⎛ − ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎧⎪⎪ =
⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ →
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎨
⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎪
⎜ ⎝− ⎠⎝ ⎠ =
⎝ ⎠ ⎪⎩
E E
…
…
eq =VAB=
∑
IR−∑
E E
En corto: Cortocircuitamos entre A y B y determinamos la intensidad en corto ( c) que puede proporcionar el circuito entre A y B:
R R I
R R R I I
R
− − ⎞⎛ ⎞⎟⎟⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟
= − − → =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎜ ⎜
⎜⎜⎜⎝E E
…
y la e n nte entre A y B
ser
R1 R2
R4
R3
R5
A B
E I1
I2 I3
A E
B
1 r1
E3 r3 E4 r4
E2 r2
E5 r5
I1 I2
I
A B
E1 r1
E3 r3 E4 r4
E2 r2
E5 r5
I1 I2
Ic
(c) Rc
⎛ ⎞ ⎛⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎜
E c c1 c2 c
(1) 1c 11 12 1 c
(2)⎟⎟⎟⎟ ⎜⎠ ⎜⎝− 2c −R21 R22 ⎟⎜⎟⎟⎠⎝ ⎠⎜I2⎟⎟⎟
r siste cia interna del generador equivale á:
eq eq
E E
c eq
eq c
r I
Aclaración: La req también puede calcularse mediante el procedimiento d
I = → r =
escrito en 36.8.a, sin más que cortocircuitar (eliminar) todas las f.e.m ( anteniendo las resistencias internas de los generadores).
§36.9.- Circuito RC en C.C.
En el instante inicial el conmutador (S) está en la posición inferior
m
36.9.a. Carga de un condensador
y el condensador está descargado. Al conectar el generador (t = comienza a circular la carga.
0),
R C
V v v Ri q
= = + = +C
E"
0
f
0 0
0
t q i I V
V q
i R
R RC t q Q CV i
⎧⎪⎪ = + = = =
= − ⎪⎨⎪⎪ = ∞⎪⎩ = = =
0 0 0
dt = −RC →
∫
I i = −∫
RC → lnI = −RC → Constante de tiempo:di i i t( )di t dt /
( ) 0 t RC
i t
i t =I e−
τ=RC; para ( )t=τ → i τ =I e0 −1=I e0/ =0.37I0
τ es el tiempo que transcurre en el proceso de carga hasta que la corriente se reduce al 37%
de su valor máximo inicial.
Circuitos de Corriente Continua 36—7/8
( ) ( ) ( )
/ / / /
0 0 0 f
( ) t RC t 1 t RC 1 t RC 1 t RC
q t =I ⎡⎣⎢−RCe− ⎦⎥⎤ =I RC −e− =EC −e− =Q −e−
( ) /
0 d 0 0 d
d
q t t
q I e t RC t t
= − →
∫ ∫
τ
carga máx
/ 0
dq t RC
i I e−
= = →
t 0.37I0
q i
es el tiempo que transcurre en el proceso de carga hasta que el condensador adquiere el 63% de su
ima.
I0
τ Qf
/
−t RC
(
/)
( ) f 1 t RC q t =Q −e− 0.63Qf
R C
E
i
q
+
S
i
( ) 0
i t =I e
Circuitos de Corriente Continua 36—8/8
36.9.b. Descarga de un condensador
El condensador está inicialmente cargado con una carga Q . En el instante t = 0 se pasa el conmutador a la posición inferior, 0 iniciándose la descarga a través de la resistencia.
ab R C 0
V v v iR
= + = +Cq =
0 0
0
0 0
t q Q i I
i q
Q
RC t q i RC
⎪ = = = = −
= − ⎪⎨⎪⎪ = ∞⎪⎩ = =
⎪⎧ +
0
( )
/ 0 0 0
d d d
ln ( )
d
i t t
t RC I
i i i t i t
i t I e
t RC i RC I RC
= − →
∫
= −∫
→ = − → = −Constante de tiempo:
t RC i RC I RC I e
= − →
∫
= −∫
→ = − → = −Constante de tiempo: τ=RC; I0
τ es el tiempo que transcurre en el proceso de descarga hasta que la corriente se reduce al 37% de su valor máximo inicial.
1
0 0
para ( )t=τ → i τ =I e− =I e/ =0.37
0
( )
0
/ 0 0
d d
d d
ln ( ) ( )
q t t
Q
t RC
q q q
i t
t RC q RC
q t t
q t Q e 1
RC
−
= = − → = − →
= − → =
∫ ∫
ga inicial.
R C
E
i
a c+ b
S
Q
τ es el tiempo que transcurre en el proceso de descarga hasta que el condensador reduce su carga hasta el 37 % de su car
q i
-0.37I0
t τ
Q0
0.37Q0 q t( )=Q e0 −t RC/
/
( ) 0 t RC
i t =I e−
-I0
