R eq I 1 R 1 R 2 I 2 I 3. I n Asociación de resistencias 36.1.a. Resistencias en serie

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(1)

T T T e e e m m m a a a 3 3 3 6 6 6 . .- . - - C C C i ir i r rc c cu u u i it i t t o o o s s s d d d e e e C C C o o o r rr r r ri i ie e e n n n t te t e e C C C o o o n n n t t t i in i n n u u u a a a

§36.1.- Asociación de resistencias 36.1.a. Resistencias en serie

• Misma intensidad en todas ellas

• Se reparten las tensiones: 1 2

1 2

V V

I = R = R =…

A1 1 12 2 23 3

V =IR V =IR V =IRR1

⋅⋅⋅

R2 R3 Rn

A 1 2 I 3 n-1 B

( )

AB 1 2 3 ... eq

V =I R +R +R + =IR

eq 1 2 3

... i

R =R +R +R + =

R

R

eq

A B

36.1.b. Resistencia en paralelo

• Misma tensión en todas ellas

• Se reparten las intensidades:

Circuitos de Corriente Continua 36—1/8

1 1 2 2

V =I R =I R =…

AB AB AB

2 3

I I

R R

= =

1

V V V

I = R

1 2 3

1 2 3

AB Ab

1 2 3 e

...

1 1 1

...

IT I I I V V

R R R Rq

= + + + =

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

= ⎜⎜⎜⎝ + + + ⎟⎟⎠=

eq 1 2 3

1 1 1 1

...

i

1 R = R + R + R + =

R

36.1.c. Asociación mixta de resistencias

• Método general de Maxwell.

• Reducir por simetrías.

I1 R1

R2

! !

R3

Rn

I2

In I

A I3 B

R1 R2

R4

R3

R5

A B

(2)

Circuitos de Corriente Continua 36—2/8 A

E3,r3

R2

R3 R4

B

F

E

C D

R1

E2,r2

E3,r3

E1,r1

I

§36.2.- Circuito con varios generadores y resistencias en serie

suma algebráica de las f.e.m suma de las resistencia Σ .

s I Σ

R

= →

→ E

( )

AB 1

AA 1 2 3 1 2 3 1 2 3

BC 1 1

CD 2

1 2 3

DE 2 2

EF 3 1 2 3 1 2 3

FA 3 3

En efecto:

0 Σ

Σ

V IR

V I r r r R R R

V Ir

V IR

V Ir I

V IR r r r R R R R

V Ir

=

⎪⎪ = + ⎧⎪ = + + + + + + − =

=

= − + +

⎪ = =

=

⎪⎩ + + + + +

=

⎪⎩

E E E E

E E E E

E E

§36.3.- Fuente de tensión y fuente de intensidad 36.3.a. Fuente de tensión

Elemento activo del circuito capaz de mantener una diferencia de potencial entre sus terminales.

I V IR R

R r R

= → = =

+ +

E E

r

36.3.b. Fuente de Intensidad

Elemento activo que suministra una intensidad constante al circuito

c c c c

c ab c

r 1

V I R R

I I I I I I I

r r r

r r

I I V IR RI R

R r R r

⎛ ⎞⎟

= − = − = − → = ⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎠ ⎟

→ = → = = =

+ + E

R+r Una fuente de tensión será equivalente a una determinada fuente de intensidad cuando al conectarlas al mismo resistor R suministren igual intensidad.

c

c (intensidad en corto)

I I r I

R r R r r

= = → =

+ +

E E

I V R

Ir

B r

A Ic

E r

A B

B r Ic

=Er

"

A

E,r +

a b

I R

(3)

§36.4.- Asociación de generadores

Circuitos de Corriente Continua 36—3/8

36.4.a. Generadores en serie

• Por todos ellos circula la misma intensidad

• Generador equivalente:

( ) ( )

( ) ( )

AB 1 2 1 2

1 2 1 2 eq eq

... ...

... ...

n n

n n

V I r r r

I r r r Ir

= − + + − − − − =

= + + − + + = −

E"E E

E" E E E

eq 1 2

E1,r1

R

A B

I I

eq 1 2 ... n i

r r r r r

⎪ = + + + =

⎪⎪⎩

... n i

⎧⎪ = + + =

∴ ⎨⎪⎪E "E E E

E

nr E

36.4.b. Generadores en paralelo

• La diferencia de potencial en bornes es la misma en todos ellos.

idad equivalentes:

E2,r2 En,rn

1 2 3 ... n B

I

req

A B

Eeq

• Si todos son iguales: Eeq =n req =

E1 r1

• Sustituimos las fuentes de tensión por las fuentes de intens

eq

1 2 3 i

I I

⎧ =

=

= + + + =

→ ∴

E E E E E

eq eq

eq c,

1 2 3

eq 1 2 3

1 1 1 1 1

i

i

i

I r

r r r r

r r r r r

⎪⎪⎪⎨⎪ = + + + =

⎪⎪⎪⎩

• Si todos son iguales: eq eq r

r n

= =

E E "

36.4.c. Asociación mixta de generadores

• Método general de Maxwell.

• Reducir por simetrías.

A B

E1 r1

E3 r3 E4 r4

E2 r2

E5

r5

Ic1 Ic

"

r1

A B

"

r2

r3

Ic2

Icn

req

A B

A B

req

Eeq

"

A B

"

E2 r2

E3 r3

I

En rn

I

I3

I2 1

In I

(4)

§36.5.- Lemas de Kirchhoff

Circuitos de Corriente Continua 36—4/8

ncurrencia de tres o más os A, B,

sucesivos. Todos los elemento de la rama están recorridos por la misma intensidad (intensidad de rama, i).

Malla (m) : circuito cerrado que se puede recorrer sin pasar dos veces por un mismo nudo.

• Número de mallas independientes: )

Nudo (n): punto de co

elementos del circuito, tales como los punt C, D,...

Rama (r) : elementos comprendidos entre dos nudos

( 1

m= − − r n A. Lema de los nudos:

La suma de las intensidades que entran en un nudo es igual a la suma de las que salen de él (condición de continuidad); i.e., la intensidad neta en un nudo es nula

j 0

i = B. Lema de la mallas:

La suma algebraica de las f.e.m.’s en una malla es igual a la suma de los productos de cada resistencia por la intensidad que la recorre:

ab =

Eaa E 0

V iR V =

iR

= →

E =

iR

Lo e

dis n nsidades

de rama

§36.6.- Teorema de superposición

La intensidad de corriente que circula por una rama cualquiera de un circuito es igual a la suma de las que circularían actuando por sí solas cada una de las f.e.m.’s presentes en el circuito.

Ejemplo demostrativo: Aplicamos los lemas de Kirchhoff a (n - m = r - (n - 1) mallas en el circuito que se muestra en la figura.

s l mas de Kirchhoff se aplican a (n - 1) nudos y a m = r - (n - 1) mallas, con lo que po dremos de (n - 1) + r - (n - 1) = r ecuaciones con r incógnitas (v.g., las r inte

).

1) nudos y a

1 2 3

1 2 3

1 1 1 3 3 3 1 3

3 i r( +R)i r( +R)= −E E 1 1 3 3 1 3

3 2 2 2 3 3 3 2

0 0

2 i i i i i i

n

r i R i R

m i R i R

E E

E E E

+ + = + + =

=

⎪ = = −

=2 i r3(3+R3)i r2( 2+R2)=E + =

A B

E1 R1

E3 R3 E4 R4

E2 R2

E5

R5

C

D E6 R6

A

E1,r1

R2

R3

i1

B

1

E2,r2

E3,r3

R

I3

I2

(5)

1 1 1 i1 0

⎞⎛ ⎞ ⎛

⎟⎜ ⎟ ⎜

1

0 0 0

0 1 0 1

0

R R i

R

E E RI E E E AE BE CE

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= = + + − = + +

I R A

′′ ′′′

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=

mallas o de Maxwell

2 ( ) ( )( )

3 ( ) ( )( )

n I r R I I r R

r I r R I I r R

⎧ =⎪⎪ ⎧ − =⎪ + + − +

⎪⎪ = ⎪ →

⎨ ⎨

⎪ ⎪ − = + + − +

E E

E E

( ) ( )

I r R I r R r R

− + + + + +

R R ⎛ ⎞I

⎪ ⎜ ⎟ ∓ ⎟ ⎟ → I R E=

Ii - intensidad de malla i-ésima;

Rii - resistencia de la malla i-ésima;

Rij - resistencia común a las mallas i-ésima y j-ésima.

3 2 1 3 1 2 3 1 2

3 3 2

2 R3 ⎜ ⎟ ⎜i E E ⎜ ⎟0 ⎜ ⎟1 ⎜ ⎟1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

1 1 1 1

1 1 1

1 2 3 2 2 2 2

3 3 3 3

i i i i

i i i i

E R BE R CE

+ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + ′′ + ′′′

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′′ ′′′

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i i i i

Circuitos de Corriente Continua 36—5/8

§36.7.- Método de las

Asignamos a cada malla una intensidad de malla (I) de sentido arbitrario.

1 3 1 1 1 1 2 3 3

3 2 2 2 2 2 1 3 3

2

m

⎪ = ⎩

⎪⎪⎩

1 3 1 1 1 3 3 2 3 3

3 2

( ) ( )

I r R r R I r R

⎧ − = + + + − +

⎪⎪ →

⎨⎪ − =

⎪⎩

E E

E E 2 3 3 2 2 2 3 3

(1) 11 1 12 2 (1) 11 12 1 1

(2) 21 22 2

(2) R I21 2 R I22 2 → ⎜ ⎟=⎜ R R ⎟⎜I ⎟ → =

⎨ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜⎜ ⎟⎟

⎪ = − + ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎪⎩E E E RI

∓ Notación:

R I R I

⎧ = − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎪E E

• E(i) - f.e.m. neta de la malla i-ésima;

A

E1,r1

R3

B R1

E3,r3

R2

E2,r2

i1 I1

I2 i3

i2

E1,r1

R2 3

B R

r2

A

r1

R2

R3

B R1

r2

E3,r3

A r

R2

R3

B R

r2 3

i’1

1 1 1

A r3 R i’3

i’2

r i’’1

i’’3

i’’’1

i’’’3

i’’2 i’’’2

(6)

Circuitos de Corriente Continua 36—6/8

El signo de Rij es negativo si Ii y Ij se restan; el signo de Rij es positivo si Ii y Ij se suman.

El método de Maxwell nos proporciona m (< r) ecuaciones con m incógnitas (v.g., las m intensidades de malla). A partir de las m intensidades de malla, determinaremos las r intensidades de rama; así, en el circuito de la ilustración, serán:

1

Añadim

1 1 2 2 3 2

i =I i = −I i = − I I

§36.8.- Aplicaciones del método de Maxwell 36.8.a. Cálculo de la resistencia equivalente

os un generador arbitrario y calculamos la intensidad que proporciona al circuito.

11 1 1

1

11

eq

0

R

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟=

⎜ ⎜ ⎜

⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= = → =

E

E

$ " "

%

1 eq

11 n

n nn n

R R I

R R I

I R

⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

"⎟⎟

36.8.b. Cálculo de la f.e.m. equivalente

Abierto: El valor de la f.e.m. equivalente coincide con el de la d.d.p. entre A y B en circuito abierto. Resolvemos el circuito para calcular las intensidades de malla I1, I2,...

y determinamos VAB en la forma habitual:

(1) 11 12 1 1

(2) 21 22 2 2

I

R R I

R R I I

⎛ ⎞⎟ ⎛ − ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎧⎪⎪ =

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ →

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎨

⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎪

⎜ ⎝− ⎠⎝ ⎠ =

⎝ ⎠ ⎪⎩

E E

eq =VAB=

IR

E E

En corto: Cortocircuitamos entre A y B y determinamos la intensidad en corto ( c) que puede proporcionar el circuito entre A y B:

R R I

R R R I I

R

− − ⎞⎛ ⎞⎟⎟⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟

= − − → =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎜ ⎜

⎜⎜⎜⎝E E

y la e n nte entre A y B

ser

R1 R2

R4

R3

R5

A B

E I1

I2 I3

A E

B

1 r1

E3 r3 E4 r4

E2 r2

E5 r5

I1 I2

I

A B

E1 r1

E3 r3 E4 r4

E2 r2

E5 r5

I1 I2

Ic

(c) Rc

⎛ ⎞ ⎛⎟

⎜ ⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎜ ⎜

E c c1 c2 c

(1) 1c 11 12 1 c

(2)⎟⎟⎟⎟ ⎜⎠ ⎜⎝− 2cR21 R22 ⎟⎜⎟⎟⎠⎝ ⎠⎜I2⎟⎟⎟

r siste cia interna del generador equivale á:

(7)

eq eq

E E

c eq

eq c

r I

Aclaración: La req también puede calcularse mediante el procedimiento d

I = → r =

escrito en 36.8.a, sin más que cortocircuitar (eliminar) todas las f.e.m ( anteniendo las resistencias internas de los generadores).

§36.9.- Circuito RC en C.C.

En el instante inicial el conmutador (S) está en la posición inferior

m

36.9.a. Carga de un condensador

y el condensador está descargado. Al conectar el generador (t = comienza a circular la carga.

0),

R C

V v v Ri q

= = + = +C

E"

0

f

0 0

0

t q i I V

V q

i R

R RC t q Q CV i

⎧⎪⎪ = + = = =

= − ⎪⎨⎪⎪ = ∞⎪⎩ = = =

0 0 0

dt = −RC

I i = −

RC → lnI = −RC → Constante de tiempo:

di i i t( )di t dt /

( ) 0 t RC

i t

i t =I e

τ=RC; para ( )t=τi τ =I e0 1=I e0/ =0.37I0

τ es el tiempo que transcurre en el proceso de carga hasta que la corriente se reduce al 37%

de su valor máximo inicial.

Circuitos de Corriente Continua 36—7/8

( ) ( ) ( )

/ / / /

0 0 0 f

( ) t RC t 1 t RC 1 t RC 1 t RC

q t =I ⎡⎣⎢−RCe ⎦⎥⎤ =I RCe =ECe =Qe

( ) /

0 d 0 0 d

d

q t t

q I e t RC t t

=

∫ ∫

τ

carga máx

/ 0

dq t RC

i I e

= = →

t 0.37I0

q i

es el tiempo que transcurre en el proceso de carga hasta que el condensador adquiere el 63% de su

ima.

I0

τ Qf

/

t RC

(

/

)

( ) f 1 t RC q t =Q e 0.63Qf

R C

E

i

q

+

S

i

( ) 0

i t =I e

(8)

Circuitos de Corriente Continua 36—8/8

36.9.b. Descarga de un condensador

El condensador está inicialmente cargado con una carga Q . En el instante t = 0 se pasa el conmutador a la posición inferior, 0 iniciándose la descarga a través de la resistencia.

ab R C 0

V v v iR

= + = +Cq =

0 0

0

0 0

t q Q i I

i q

Q

RC t q i RC

⎪ = = = = −

= − ⎪⎨⎪⎪ = ∞⎪⎩ = =

⎪⎧ +

0

( )

/ 0 0 0

d d d

ln ( )

d

i t t

t RC I

i i i t i t

i t I e

t RC i RC I RC

= − →

= −

→ = − → =

Constante de tiempo:

t RC i RC I RC I e

= − →

= −

→ = − → =

Constante de tiempo: τ=RC; I0

τ es el tiempo que transcurre en el proceso de descarga hasta que la corriente se reduce al 37% de su valor máximo inicial.

1

0 0

para ( )t=τi τ =I e =I e/ =0.37

0

( )

0

/ 0 0

d d

d d

ln ( ) ( )

q t t

Q

t RC

q q q

i t

t RC q RC

q t t

q t Q e 1

RC

= = − → = − →

= − → =

∫ ∫

ga inicial.

R C

E

i

a c+ b

S

Q

τ es el tiempo que transcurre en el proceso de descarga hasta que el condensador reduce su carga hasta el 37 % de su car

q i

-0.37I0

t τ

Q0

0.37Q0 q t( )=Q e0 t RC/

/

( ) 0 t RC

i t =I e

-I0

Figure

Updating...

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