Introducción a los Números Reales y a la Geometría Analítica
Dr. Yoel Gutiérrez
UNEXPO - Puerto Ordaz
1
Introducción
Una teoría matemática cuenta en su origen con conceptos primitivos (no de…nidos) a partir de los cuales pueden ser de…nidos los otros conceptos que vayan surgiendo. En nuestro caso, consideraremos los números reales como un concepto primitivo. Las proposiciones que, sin demostrar, se aceptan como ciertas se llaman axiomas y junto con los conceptos primitivos constituyen el punto de arranque y base de una teoría matemática.
Muchos de los resultados más importantes en Matemáticas se llaman teoremas. En contraste con los axiomas o de…niciones que se dan por supuestos, los teoremas si requieren de una demostración. Un teorema es una proposición compuesta por otras dos. Una de ellas llamada premisa o hipótesis implica la otra que se llama conclusión o tesis. La cadena de razonamientos lógicos que permiten deducir la tesis a partir de la hipótesis constituye lo que se llama demostración del teorema.
Un teorema recibe el nombre de lema cuando por si mismo no tiene mucha trascendencia en la teoría que se esta desarrollando pero va a ser usado, inmediata-mente después de su formulación, en la demostración de otro teorema de marcada importancia.
Un teorema recibe el nombre de corolario de otro teorema cuando es una consecuencia inmediata de él. En algunos casos se nos pide si una a…rmación como la siguiente:
Para cualesquiera números reales a, b, c y d se cumple que
si a > b y c > d; entonces a + c > b + d; es verdadera o falsa.
Ante una situación como ésta es natural que comence-mos probando con algunos casos particulares para ob-servar si para ellos la proposición se cumple o no se cumple.
Ahora bien, las consecuencias de esta forma de
pro-ceder son muy distintas según que las pruebas sean positivas o negativas.
En efecto, si comprobamos que la proposición se cumple para todos los casos particulares que probe-mos a lo más que podeprobe-mos llegar es a sospechar que es cierta, pero con ello no hemos demostrado que la proposición lo es, pues, ¿qué sucede con los casos no considerados?
Si por el contrario, comprobamos que para un caso particular la proposición no se cumple, este solo con-traejemplo ya basta para refutarla.
Mientras no se diga lo contrario, las letras a,b,c,...u,v,w,x,y,z que aparecen en los axiomas y teoremas representan números reales cualesquiera.
2
Axiomas de cuerpo
Junto con el conjunto de los números reales se supone la existencia de dos operaciones llamadas adición y multiplicación, tales que para cada par de números reales x e y se puede formar la suma de x e y, que es otro número real designado por x + y y el producto de x por y designado por xy o x:y. Estas dos operaciones satisfacen los siguientes axiomas:
1. C0nmutatividad:. x + y = y + x, xy = yx.
2. Asociatividad:. x+(y+z) = (x+y)+z, x(yz) = (xy)z.
3. Distributividad:. x(y + z) = xy + xz.
4. Elementos neutros:. Existen dos números reales distintos, que se indican por 0 y 1 tales que para cada número real x se tiene: 0 + x = x + 0 = x y 1:x = x:1 = x.
6. Inverso multiplicativo:. Para cada número real x 6= 0 existe un único número real x 1= 1
x 6= 0
tal que x 1x = xx 1= 1:
Las propiedades anteriores se han descrito, prin-cipalmente, en términos de suma y multiplicación. Ahora podemos de…nir las operaciones básicas de resta y división en términos de las de suma y mul-tiplicación, respectivamente.
Resta
La diferencia a b de dos números reales a y b, se de…ne como
a b = a + ( b) En forma alternativa decimos que
a b = c ! c + b = a
División
El cociente a b de dos números reales a y b, se de…ne como
a b = a:1
b b 6= 0 También podemos decir que
a b = c ! c:b = a; b 6= 0:
De los axiomas y de…niciones anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales del álgebra elemen-tal. Las más importantes de ellas se recogen a con-tinuación como teoremas.
Teoremas
1. Cancelación para la suma: Si a + b = a + c, entonces b = c. 2. a = ( 1)a. 3. ( a) = a. 4. (a + b) = ( a) + ( b). 5. a(b c) = ab ac. 6. 0:a = a:0 = 0.
7. Cancelación para la multiplicación:. Si ab = ac y a 6= 0, entonces b = c.
8. Si a 6= 0, entonces (a 1) 1= a.
9. Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0. 10. Si aa = a, entonces a = 0 o a = 1.
11. ( a)b = (ab) y ( a)( b) = ab.
Observaciones
Las siguientes propiedades básicas de la igualdad se usan frecuentemente en el álgebra.
1. si a = b, entonces a + c = b + c. 2. si a = b, entonces ac = bc.
3. si a = b y c = d, entonces a + c = b + d. 4. si a = b y c = d, entonces ac = bd.
2.1
Potenciación
2.1.1 Potencia con exponente entero positivo Si a es un número real, se tiene
a1 = a a2 = a a a3 = a a a
y en general, si n es un entero positivo
an =
n veces
\ a a a ::: a
que se denomina potencia de base a y exponente n.
2.1.2 Potencia con exponente entero nega-tivo
La potencia de númers reales con exponente un entero negativo, se de…nen de la siguiente forma: Si a 2 R ; y n 2 Z+; entonces
a n= 1 an
2.1.3 Propiedades de la potenciación en R Si a; b 2 R y m; n 2 Z; entonces se veri…ca
1. Productos de potencias de igual base. anam =
an+m
2. Potencia de una potencia. (an)m= an m 3. Potencia de un producto. (ab)n= anbn
4. Potencia de un cociente. (ab)n =an
bn; b 6= 0
5. Cocientes de potencias de igual base. an am =
an m; a 6= 0
2.1.4 Raíz n-ésima de un número real Sean a 2 R y n un número natural mayor que 1. Un número x 2 R tal que xn = a se llama raíz n-ésima
de a. Se denota por
x = pna
donde, a es el radicando, n es el índice de la raíz y x es la raíz n-ésima de a.
En general:
1. Cuando el radicando es positivo y el índice de la raíz es par, existen dos raíces reales, de signos opuestos.
2. Cuando el radicando es negativo y el índice de la raíz es par, no existe ninguna raíz real.
3. Cuando el radicando es cualquier real y el índice de la raíz es impar, existe una raíz real.
Nótese que cuando se calcula una raíz de radicando positivo e índice par, tal como p16; que tiene dos raíces 4 y -4, si no se antepone ningún signo al radical p;se sobreentiende que se trata de la raíz positiva, así:
p 16 = 4
si queremos indicar la raíz negativa, escribimos p
16 = 4
y si queremos indicar las dos raíces, escribimos p
16 = 4
2.1.5 Potencia con exponente fraccionario Para esto se conviene en escribir los radicales como potencias con exponentes fraccionarios, así:
n
p
am= amn
Nótese que el numerador del exponente fraccionario es el exponente del radicando y el denominador del exponente fraccionario es el índice de la raíz.
Al operar con potencias de exponentes fraccionar-ios se aplican las mismas raglas de la potenciación con exponentes enteros. Sin embargo, en algunos casos dichas reglas no son válidas y por lo tanto es preciso tomar precauciones. Por ejemplo:
1. 2 = 412 = (( 2)( 2)) 1
2 = ( 2)12( 2)12 =
p
2p 2
Nóteses que p 2 no tiene sentido ya que no es u nnúmero real.
2. p( 4)6=p4096 = 64
Si hacemos el cálculo pasando a exponente frac-cionario, se obtiene
p
( 4)6= ( 4)62 = ( 4)3= 64
Que no es igual al resultado anterior.
2.2
Ecuaciones cuadráticas
Uno de los métodos para resolver ecuaciones de la forma ax2+ bx + c = 0,con a 6= 0, es el de completar
el cuadrado, el cual se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo. Resolver la ecuación x2+ 3x 10 = 0
solución. Sumamos 10 a cada miembro de la ecuación x2+ 3x = 10 Sumamos 1 23 2 =9 4 a cada miembro x2+ 3x +9 4 = 10 + 9 4 Factorizamos el lado izquierdo
x +3 2
2
= 49 4
Aplicamos raíz cuadrada a cada lado y despejamos x
x +3 2 = r 49 4 x = 3 2 7 2 Por consiguiente x = 2 o x = 5
Observaciones
1. La técnica que acabamos de usar se llama com-pletar al cuadrado. Este proceso se puede am-pliar al caso en que el coe…ciente de x2 sea un
número distinto de 1.
2. El proceso de completar el cuadro se puede re-sumir como sigue: Para completar el cuadrado en expresiones cuadráticas, como x2+ bx, se suma
el cuadrado de la mitad de b. Así
x2+ bx + b 2 2 = x + b 2 2
3. En la solución del ejercicio anterior aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros. La base para hacerlo es la siguiente propiedad: Si n2 = k,
4. Aplicando el método de completar el cuadrado se obtiene la fórmula cuadrática:
x = b p
b2 4ac
2a
que permite resolver la ecuación ax2+bx+c = 0, con a 6= 0, la cual se puede emplear en todos los casos.
(a) Si b2 4ac > 0, entonces ax2+ bx + c = 0
tiene dos soluciones reales.
(b) Si b2 4ac = 0, entonces ax2+ bx + c = 0
tiene una única solución real.
(c) Si b2 4ac < 0, entonces ax2+ bx + c = 0
no tiene soluciones reales.
2.3
Productos
notables
y
Factor-ización de polinomios
Los productos notables son multiplicaciones entre polinomios que, debido a la frecuencia con que apare-cen, se realizan en forma directa mediante la apli-cación de mecanismos preestablecidos. A contin-uación se enumeran los más utilizados
1. (x + y)2= x2+ 2xy + y2. 2. (x y)2= x2 2xy + y2. 3. (x + y)(x y) = x2 y2. 4. (x + a)(x + b) = x2+ (a + b)x + ab. 5. (x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3. 6. (x y)3= x3 3x2y + 3xy2 y3.
Factorizar un polinomio signi…ca escribirlo como el producto de varios polinomios más simples. Los principales casos de factorización son:
1. El proceso inverso de todos los productos nota-bles dados anteriormente. Por ejemplo:
x2+ 2xy + y2= (x + y)2:
2. Factor común. Es todo factor que se repite en cada uno de los términos de un polinomio y que constituye el máximo común divisor de el-los. Para aplicar esta factorización, expresamos el polinomio dado como el producto del factor común por otro polinomio de forma tal que la aplicación de la propiedad distributiva genere el polinomio inicial. En su forma más simple, se representa:
ax + ay + az = a(x + y + z)
3. Suma y diferencia de cubos:
x3+ y3= (x + y)(x2 xy + y2) x3 y3= (x y)(x2+ xy + y2)
4. Fórmula cuadrática: Consideremos el polinomio P (x) = ax2+ bx + c; a 6= 0
Al factorizar P (x); aplicando la fórmula cuadrática, se obtienen tres casos:
(a) P (x) tiene dos raíces reales distintas, dig-amos m y n, entonces
P (x) = a(x n)(x m)
(b) P (x) tiene una única raíz real, digamos m , entonces
P (x) = a(x m)2
(c) P (x) no tiene raíces reales, entonces no es factorizable en R:
Ejercicios
1. Diga si cada una de las siguientes proposi-ciones es verdadera o falsa. Si es falsa, cor-rija el lado derecho para llegar a una igual-dad correcta. (a) 57 23 = 34. (b) y2x+y2x = 2(x+yx y). (c) 3ax 5b6 = ax 5b2 . (d) x+x 1 xy = x+1 x2y: (e) x 1+ y 1=y+x xy . (f) 2 3 4 = 8 3. 2. Descomponer en factores. (a) 3b2x + 6bx2. (b) x(a + 1) a 1. (c) 4y3 1 y2+ 4y. (d) a6 2a3b3+ b6. (e) 100m2n4 1 16x8. (f) x2+ 2xy + y2 1. (g) x4+ x2 2. (h) t2+ t 2. (i) x4 5x 50. (j) 1 (2a b)3.
(a) 2 x
x 1 x2 2x1 .
(b) x yx+y+x+yx y +x24xyy2.
(c) xx 21+y+y 21. (d) x x 3 x2 24x+3 5 x 1+x53 . (e) a+x a x b+x b x 2 a x 2 b x . (f) 1 x 1 x x+1x2 .
4. Racionalizar los denominadores. (a) p10 5. (b) p3x yy p3x. (c) p x x+1 px. (d) 4 3+p3. (e) p3 x 9x2. (f) 1 2p3x.
5. Resuelva cada una de las siguientes ecua-ciones. (a) 5x 23 +6x 32 = 3x 56 . (b) 3x+1 2 = 2x 1 3 . (c) 1 2(x 1) (x 3) = 1 3(x + 3) + 1 6. (d) (3 x 2) (1 x 3) = x + x 2. (e) 3x 12(1 + 2x) = 4x 32 .
6. Cada uno de los lados iguales de un trián-gulo isósceles tiene 3 centímetros más de longitud que la base del triángulo. El perímetro mide 21 centímetros. Encuentre la longitud de cada lado.
7. La longitud de un rectángulo mide 1 cen-tímetro menos que 3 veces la anchura. Si se le aumentan 6 centímetros a la longitud y se le aumentan 5 centímetros a la anchura, la longitud será el doble de la anchura. En-cuentre las dimensiones del rectángulo. 8. Tomas gana 475 dólares semanales más una
comisión del 4% sobre sus ventas. Si en una semana sus ingresos totales fueron de 520 dólares. ¿Cuáles fueron sus ventas en esa semana?
9. Tenemos las instrucciones de un truco matemático. Primero, trate de resolverlo. A continuación, use representaciones alge-braicas de cada frase y explique por qué funciona este truco.
Piense un número. Sume 2.
Multiplique el resultado por 3.
sume 9.
Multiplique lo obtenido por 2. Divida el resultado entre 6.
Reste el número con el que empezó. El resultado es 5.
10. Si ax2+ bx + c = 0, con a 6= 0, demuestre, aplicando el método de completación del cuadrado, que
x = b p
b2 4ac
2a :
11. Resuelva cada una de las siguientes ecua-ciones. (a) x2 x + 2 = 0. (b) x2 3x 10 = 0. (c) 2x2+ 3x 2 = 0. (d) x2 2x 4 = 0. (e) x4 5x2+ 4 = 0. (f) 3x4 13x2 7 = 0. (g) x2+ 2p3x + 2 = 0.
12. La piscina en el patio posterior de una casa tiene forma rectangular, con 10 met-ros de anchura y 18 metmet-ros de longitud. Está rodeada por un pasillo de anchura uni-forme, cuya área mide 52 metros cuadrados. ¿Cuánto mide la anchura del pasillo? 13. La longitud de una pieza rectangular de
cartón tiene 2 centímetros más que la an-chura. Se forma una caja abierta cortando en cada esquina un cuadrado de 4 centímet-ros de lado y doblando los lados hacia ar-riba. si el volumen de la caja es de 672 cm3, encuentre las dimensiones de la pieza origi-nal de cartón.
14. La longitud de un rectángulo es 3 cm. mayor que su ancho. el área es de 70 cm2.
Determines las dimensiones del rectángulo. 15. Resuelva cada una de las siguientes
16. Un tubo puede vaciar un tanque en dos ho-ras. Otro tubo lo puede vaciar en 4 hoho-ras. ¿cuánto tiempo se necesita para vaciar el tanque usando ambos tubos?
17. Trabajando juntas, Alma y Julia pueden pintar su cuarto en 3 horas. Alma tarda 5 horas en pintarlo sola. ¿Cuánto tiempo tarda Julia en pintarlo ella sola?
18. Resuelva cada una de las siguientes ecua-ciones (a) px + 2 =p2x 5. (b) p1 x = 3. (c) px + 16 x = 4. (d) 2x = 1 +p1 2x. (e) px 1 p2x 9 =px 4. (f) px + 1 +px 4 = 5. (g) px p4x = 2.
3
Axiomas de orden
Este grupo de axiomas tiene que ver con un concepto que establece un orden entre los números reales. Este orden nos permite decidir si un número real es mayor o menor que otro.
Supondremos que existe un cierto subconjunto R+ R, llamado conjunto de números positivos, que
satisfacen los tres axiomas de orden siguientes: 1. Si x e y pertenecen a R+, lo mismo ocurre a x+y
y xy.
2. Para todo real x se cumple sólo una de las tres condiciones siguientes:
x = 0; x 2 R+ o x 2 R+: 3. 0 no pertenece a R+.
Ahora se pueden de…nir las relaciones <; >; y llamados respectivamente: menor que, mayor que, igual o menor que e igual o mayor que, de la manera siguiente:
1. x < y signi…ca que y x es positivo. 2. y > x signi…ca que x < y.
3. x y signi…ca que x < y o x = y. 4. y x signi…ca que x y.
Observaciones
1. La relacones <; >; y se llaman desigual-dades
2. R+= fx 2 R=x > 0g.
3. Si un número real distinto de cero no pertenece a R+, entonces pertenece a los reales negativos,
que se denota por R . Es decir R = fx 2 R=x < 0g
4. El par de desigualdades simultáneas x < y, y < z se escriben frecuentemente en la forma más breve x < y < z; interpretaciones análogas se dan a las desigualdades compuestas x y < z, x < z y, x y z.
De los axiomas de orden se pueden deducir todas las reglas usuales para operar con desigualdades, las más importantes se dan a continuación.
Teoremas
1. Para a y b números reales cualesquiera se veri…ca una y sólo una de las tres relaciones siguientes:
a < b; b < a o a = b 2. Si a < b y b < c, entonces a < c. 3. Si a < b, entonces a + c < b + c. 4. Si a < c y b < d, entonces a + b < c + d. 5. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc. 6. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
7. Si ab > 0, entonces se tiene a > 0 y b > 0, o bien a < 0 y b < 0.
8. Si ab < 0, entonces se tiene a > 0 y b < 0, o bien a < 0 y b > 0.
9. Si a 6= 0, entonces a2> 0.
10. Si a y b son reales positivos, entonces:
(a) a < b, si y sólo si, a2< b2. (b) a < b, si y sólo si, pa <pb.
3.1
Interpretación geométrica de los
números reales como puntos de
una recta
0 1
-1 2 3 x
Esta elección determina la escala. Cada número real corresponde a uno y sólo un punto de la recta y, recíprocamente, cada punto de la recta a un número real y sólo uno. Por esta razón la recta se denomina frecuentemente recta real o eje real, y es costumbre utilizar las palabras número real y punto como sinón-imos. Por eso se dice muchas veces el punto x en vez del punto correspondiente al número real x.
3.2
Intervalos
Son subconjuntos de R que se usan frecuentemente para describir soluciones de desigualdades de una variable. Dados dos números reales a y b tales que a < b, el intervalo abierto (a; b) es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b; este con-junto no contiene a ninguno de los extremos a y b. El intervalo cerrado [a; b] es el conjunto de los números reales entre a y b, y, además, los extremos a y b. A continuación se indican la amplia variedad de posibil-idades. (a; b) = fx 2 R : a < x < bg [a; b] = fx 2 R : a x bg (a; b] = fx 2 R : a < x bg [a; b) = fx 2 R : a x < bg (a; 1) = fx 2 R : x > ag [a; 1) = fx 2 R : x ag ( 1; b) = fx 2 R : x < bg ( 1; b] = fx 2 R : x bg ( 1; 1) = R
3.3
Inecuaciones
Es de mucha importancia resolver desigualdades como las siguientes
2x + 5 > 3 3x2 4x < 2 2x 2 x + 4 1 p x 3 < 4
Tales desigualdades se llaman inecuaciones. Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera.
En contraste con una ecuación, cuyo connjunto solución, en general, consta de un número o un con-junto …nito de números, el concon-junto solución de una inecuación habitualmente consta de un intervalo o, en algunos casos, de una unión de intervalos..
El procedimiento para resolver inecuaciones siste en transformarla en una inecuación cuyo con-junto solución sea obvio. Las herramientas princi-pales son las reglas usuales para operar con desigual-dades.
Para abordar las inecuaciones cuadráticas y de grado superior es importante señalar que:
1. Si el polinomio ax2+bx+c tiene dos raíces reales
distintas, digamos x1 y x2, entonces
ax2+ bx + c = a(x x1)(x x2)
2. Un factor de la forma x x1 es positivo para
x > x1 y negativo para x < x1: Se sigue que un
producto (x x1)(x x2) puede cambiar de
pos-itivo a negativo sólo en x1 o en x2: Estos puntos
en los que un factor se anula se llaman puntos de separación. Son la clave para determinar el con-junto solución de las inecuaciones cuadráticas y de grado superior.
3. Si el polinomio ax2+ bx + c tiene una única raíz
real, digamos x1, entonces
ax2+ bx + c = a(x x1)2
4. Si el polinomio no tiene raíces reales se cumple que b2 4ac < 0. Completando el cuadrado se
tiene que
ax2+ bx + c = a(x + b 2a)
2 b2 4ac
4a de lo cual se concluye que
(a) Si a > 0, entonces ax2+ bx + c > 0 para
todo x 2 R.
(b) Si a < 0, entonces ax2+ bx + c < 0 para todo x 2 R.
Ejercicios
(a) Si x < 2, entonces x es negativo. (b) si 0 < x, entonces x < x2. (c) si a < b, entonces a2< b2. (d) Si x < 0, entonces p( x)2= x. (e) px2= x. (f) Si x > 1 y y > 2, entonces x + y > 3. (g) Si x < 5 y y < 6, entonces xy < 30. (h) Si a < b y c < d, entonces a c < b d.
2. Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. (a) 4x 7 < 3x + 5. (b) 2 < 1 5x 4. (c) 2 + 3x < 5x + 1 < 16. (d) 32(x 2) + 1 > 2(x 4). (e) 2x+1 4 4x+4 2 x+1 3 . (f) x + 2 x 2 3 . (g) 32(x 1) 2 13x 1. (h) (x + 2)(x 5) < (x + 1)2. (i) 2 5 3x8 12.
3. Considere el conjunto de todos los rectángulos cuyo largo es una unidad menos que tres veces su ancho. Encuentre los anchos posibles de todos los rectángulos cuyos perímetro sean menores que 150 centímetros.
4. Las temperaturas Fahrenheit (F) y las temper-aturas Celsius (C) están relacionadas por la fór-mula C = 59(F 32). Durante un determinado periodo, la temperatura en grados Celsius varió entre 25 y 30. ¿Cuál fue la variación en grados Fahrenheit durante dicho periodo?
5. En un pequeño negocio, una familia emplea a dos trabajadores que sólo colaboran unas horas por semana. La cantidad total de los salarios que pagan a estos empleados varía de 128 a 146 Dólares por semana. Si un empleado gana 18 Dólares más que el otro. ¿cuáles son las posibles cantidades ganadas semanalmente por cada uno de los empleados?
6. Una tienda tiene tres empleados de tiempo par-cial a los cuales se les paga un total semanal de 210 a 252 dólares. Dos de ellos ganan lo mismo y el tercero gana 12 dólares menos que los otros. Determine los sueldos posibles semanales que gana cada uno de ellos.
7. Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones
(a) ( (x 1)(x3+ 2) < x4 x3 3x + 1 > 0 (b) 8 < : x 1 3 + 2(x+1) 6 > 2x 2x 1 2 + 3x 1 3 < x 1
8. Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. (a) x2+ x 12 < 0. (b) x2 5x + 6 > 0. (c) x < x2. (d) x4 2x2 0. (e) (x 6)2(x 3) > 0. (f) x2< x3. (g) x 12 2<254 2x. (h) (x + 2)(2x 1)(3x + 7) 0 (i) (2x + 3)(3x 1)2(2x 1) > 0 (j) x3 5x2 6x < 0 (k) x3 x2 x + 1 > 0
9. Se construye una caja recortando unos cuadrados de lado x unidades en cada esquina de una pieza de carton de 1o cm de ancho y de 15 cm de largo. Determine el valor de x para que el volumen de la caja sea menor que 63 cm3
10. Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones
(a) ( x + 5 > 0 x2 3x + 2 > 0 (b) ( x2 2p2x + 2 > 0 x2+ 3x 1 < 0 (c) 8 < : x2+3 3 x < 2x + 1 3x 2 + 2x 1 3 < x2+ 1
(f) 2 x2+2 > 0.
(g) 4x 13 x 32. (h) x 12 4 1 x3 .
(i) x+12x + 3x >3xx+12+1.
12. La Ley de Boyle establece que para un cierto gas a temperatura constante P:V = 400, donde P es la presión a la que esta sometida el gas y V su volumen. Si tenemos que el volumen del gas varía a un rango de valores mayores o iguales que 20 y menores ques que 49. ?‘Cuál es el rango correspondiente de variación para la presión P ? 13. La fórmula R1 = R1 1 + 1 R2 + 1 R3 da la resistencia
total R de un circuito eléctrico que contiene tres resistencias R1, R2 y R3 conectadas en paralelo.
Si 10 R1 20, 20 R2 30 y 30 R3 40,
encuentre el rango de valores para R.
14. Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. (a) p2x 1 < 12. (b) p4x + 2 > 5. (c) 1 2+ q 1 4+ x < 1 + x. (d) px + 1 +p1 x p2 + x. (e) 2 x 1px+3 <13.
4
Valor absoluto
En el cálculo es frecuente tener que operar con de-sigualdades. Son de particular importancia las que se relacionan con la noción de valor absoluto.
Si x es un número real, el valor absoluto de x es un número real no negativo que se designa por jxj y se de…ne como sigue:
jxj =
( x; si x 0; x; si x < 0:
Si los números reales están representados geométri-camente en la recta real, el número jxj se denomina distancia de x a 0.
Observaciones
1. ja bj representa la distancia entre los puntos a y b sobre la recta numérica.
2. Si x1e x2 son los extremos de un intervalo de la
recta numérica, la coordenada del punto medio es
x1+ x2
2
Teoremas
1. jxj = j xj.
2. jxj = jyj, si y sólo si, x = y o x = y.
3. Si a 0, entonces jxj = a, si y sólo si, x = a o x = a. 4. jxj2= x2. 5. jxj =px2. 6. jxj x jxj. 7. jxyj = jxjjyj. 8. x y = jxj jyj, con y 6= 0. 9. jx + yj jxj + jyj. 10. jjxj jyjj jx yj. 11. jxj < a, si y sólo si, a < x < a. 12. jxj > a, si y solo si, x < a o x > a.
Ejercicios
1. Determine en cada caso la verdad o falsedad. De-muestre con un contraejemplo las proposiciones falsas.
(a) Si tanto x como y son negativos, entonces jx + yj = jxj + jyj.
(b) Si x < 5, entonces jxj < 5. (c) jaj jbj = a b.
(d) Si a < b, entonces ja bj = b a.
2. Demuestre la regla del producto, jxyj = jxjjyj para el caso en que x < 0 y y > 0.
3. Demuestre la regla del cociente, jx yj =
jxj jyj para el
caso en que x < 0 y y < 0.
4. ?‘Bajo que condiciones jx + yj = jxj + jyj??‘Cuándo no es cierta esa igualdad?
5. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones.
(c) j4 2xj = 0. (d) j7xj = 4 x. (e) j2x 5j = j3x + 5j. (f) 2x + 3 = j4x + 1j. (g) jxjx = 1. (h) jxjx = 1. (i) x2 2jxj 3 = 0. (j) jx2 x2 4j = 2.
6. Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. (a) jx + 2j < 3. (b) j2x 6j 10. (c) j2x 5j < jx + 4j. (d) jx 2 1j 1 2. (e) j6 10xj < 1. (f) j3x 1j 2. (g) jxj > 2 + x 2. (h) x 1 jx 1 2j < 2. (i) j3x 4j2x 5 0. (j) jx 1j x+1 2 . (k) 1 j4 xj < 2.
7. resuelva los sistemas de ineecuaciones siguientes.
(a) ( jxj < x jx + 2j > 1 (b) ( jxj > x 2x 1 > 3
8. Demuestre que cada implicación es verdadera
(a) jx 3j < 0:5 ! j5x 15j < 2; 5 (b) jx + 2j < 0:3 ! j4x + 8j < 1:2
(c) jx 2j < "
6 ! j6x 12j < "
(d) jx + 4j < "2 ! j2x + 8j < "
9. En cada caso encuentre (que depende de ") de modo que la implicación sea verdadera
(a) jx 5j < ! j3x 15j < " (b) jx 2j < ! j4x 8j < "
(c) jx + 6j < ! j6x + 36j < " (d) jx + 5j < ! j5x + 25j < "
5
Sistema de coordenadas
rec-tangulares
El sistema coordenado rectangular, indicado en la …gura , consta de dos rectas reales X y Y , llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre sí. La recta X se llama eje X o eje de las abscisas, La recta Y es el eje Y o eje de las ordenadas; y su punto de intersección 0, el origen. Estos ejes coordenados div-iden al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes tal como se indica en la …gura . La dirección positiva del eje x es hacia la derecha; la dirección positiva del eje Y , hacia arriba.
X
Y
0 1
1
x
y
I(+,+)
P(x,y)
II(-,+)
III(-,-)
IV(+,-)
A cada punto P del plano se le puede asignar un par de números, llamados coordenadas del punto. Si una recta horizontal y una vertical que pasen por P intersecan los ejes X e Y en x e y, respectivamente, entonces P tiene coordenadas (x; y) . Llamaremos a (x; y) un par ordenado de números debido a que tiene importancia cual de los dos va primero. El primer número, x, es la abscisa; el segundo número, b, es la ordenada.
Recíprocamente, tómese un par ordenado de números cualesquiera (x; y). La recta vertical que pasa por x en el eje de las abscisas y la horizontal que pasa por y en el eje de las ordenadas se cortan en un punto P , cuyas coordenadas son (x; y).
Es evidente que a cada punto P del plano coor-denado le corresponden uno y solamente un par de coordenadas (x; y). Recíprocamente, un par de coordenadas (x; y) cualesquiera determina uno y solamente un punto en el plano coordenado.
5.1
Distancia entre dos puntos
Consideremos dos puntos cualesquiera P y Q, con co-ordenadas (x1; y1) y (x2; y2), respectivamente. Junto
con R; el punto de coordenadas (x2; y1); P y Q, son
X
Y
0
x
1x
2y
1y
2P
Q
R
Las longitudes de los segmentos P R y RQ son jx2
x1j y jy2 y1j, respectivamente. Cuando se aplica el
teorema de Pitágoras obtenemos que la distancia d entre los puntos P y Q es
d =p(x2 x1)2+ (y2 y1)2
5.2
Punto medio de un segmento
Sean P (x1; y1) y Q(x2; y2), con x1< x2, los extremos
del segmento P Q como en la …gura .
X
Y
A
B
C
P
M
Q
x
x
1x
2y
y
1y
2Sea M (x; y) el punto medio de dicho segmento. Los tres segmentos paralelos P A, M B y QC, determinan dos segmentos P M y M Q de igual longitud, por los tanto; por la geometría elemental; los segmentos AB y CB también tienen la misma longitud, esto es:
x x1= x2 x:
De donde, despejando x se tiene que x = x1+x2
2 :
En forma análoga se deduce que y = y1+y2
2 :
De esto se concluye que las coordenadas del punto medio del segmento de extremos P (x1; y1) y Q(x2; y2)
son x1+ x2 2 ; y1+ y2 2
Ejercicios
1. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1; 3), (7; 3), (9; 8) y (3; 8). Demuestre que el cuadrilátero es un paralelogramo.
2. Demuestre que los puntos ( 5; 0), (0; 2) y (0; 2) son los vértices de un triángulo isósceles. 3. Demostrar que los puntos (2; 2), ( 8; 4) y (5; 3) son los vértices de un triángulo rectángulo. 4. Demuestre que los puntos (2; 2 + p3), (5; 2) y (2; 2 p3)son los vértices de un triángulo equilátero.
5. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3; 2). Si la abscisa del otro ex-tremo es 6 hallar su ordenada. (dos soluciones.) 6. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7; 8), y su punto medio es (4; 3). Hallar el otro extremo.
7. Los vértices de un triángulo son A( 1; 3), B(3; 5) y C(7; 1). Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC. Demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del segmento AC.
6
Grá…ca de una ecuación o
lu-gar geométrico
Supongamos que se nos da una ecuación de dos vari-ables, x e y, que podemos escribir, brevemente, en la forma
f (x; y) = 0:
En general, hay un número in…nito de pares de valores de x e y que satisfacen esta ecuación. Cada uno de tales pares de valores reales se toman como las coordenadas (x; y) de un punto en el plano real. El conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan la ecuación f (x; y) = 0 , se llama grá…ca de la ecuación, o bien, su lugar geométrico.
La ecuación f (x; y) = 0 se llama ecuación de un lugar geométrico plano. Sus soluciones reales para valores correspondientes de x e y son todas las coordenadas de aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que de…nen el lugar geométrico.
En lo sucesivo haremos un estudio de la ecuación genera de segundo grado,
7
La recta
7.1
Pendiente de una recta
Se llama ángulo de inclinación de una recta el for-mado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba. Así, el ángulo de inclinación de la recta L (Ver …gura ) es , y de L1 es 1.
X
Y
α
α
1L
L
1Evidentemente, puede tener cualquier valor com-prendido entre 0o y 180o; es decir, su intervalo de
variación está dado por 00 180o
Se llama pendiente de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación.
La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m. Por tanto, podemos escribir
m = tan :
La pendiente puede tomar todos los valores reales. Si es agudo, la pendiente es positiva, como para la recta L e la …gura anterior; si 1 es obtuso, como
para la recta L1, la pendiente es negativa; Si = 00
o = 180o, la pendiente es cero. Cualquier recta que
coincida o sea paralela al eje Y será perpendicular al eje X, y su ángulo de inclinación será de 90o. Como
tan 90o no está de…nida, la pendiente de una recta
paralela al eje Y no existe.
Teorema
Si P1(x1; y1) y P2(x2; y2) son dos puntos diferentes
cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es
m = y2 y1 x2 x1
; x16= x2:
Prueba: Consideremos la recta L de la …gura , de-terminada por los puntos P1 y P2, y sea su ángulo
de inclinación. X Y L P1 P2 A α α x1 x2 y1 y2
En el triángulo rectángulo P1P2A que se muestra
en la …gura , la longitud del segmento P1A es x2
x1 y, la longitud del segmento P2A es y2 y1. Por
trigonometría, tendremos
m = tan = y2 y1 x2 x1
; x16= x2:
El valor de m dado por la fórmula anterior no está de…nido analíticamente para x1 = x2. En este caso,
la interpretación geométrica es que una recta deter-minada por dos puntos diferentes con abscisas iguales es paralela al eje Y , por tanto, como se a…rmó ante-riormente, no tiene pendiente.
El orden en que se toman las ordenadas en la fór-mula anterior no tiene importancia, ya que y2 y1
x2 x1 =
y1 y2
x1 x2. Se debe evitar, en cambio, el error muy
fre-cuente de tomar las ordenadas en un orden y las ab-scisas en el orden contrario. Ya que esto cambia el signo de m.
7.2
Diferentes formas de la ecuación
de una recta
1. Forma punto y pendiente.. La recta que pasa por el punto dado P1(x1; y1) y tiene la pendiente
dada m, tiene por ecuación
y y1= m(x x1)
2. Una recta que coincide o es paralela al eje Y no tiene pendiente. Por la tanto, la ecuación ante-rior no puede representar a una recta de tal nat-uraleza. Para este caso, la ecuación de la recta es de la forma
x = a
en donde a e una constante real y representa la intersección de la recta con el eje X (Abscisa en elorigen).
si no es paralela a dicho eje, su pendiente está de…nida y su ecuación es de la forma punto pen-diente. Como todas las rectas caen bajo una de estas clasi…caciones, cualquiera otra forma de la ecuación de una recta debe deducirse, necesaria-mente, a una de estas dos formas anteriores.
3. Una recta que coincide o es paralela al eje X tiene pendiente 0. Por lo tanto, aplicando la fórmula punto y pendiente, se deduce que la ecuación de una recta de esta naturaleza es de la forma
y = b
en donde b es una constante real y representa la intersección de la recta con el eje Y (Ordenada en el origen)
4. Ecuación de la recta dada su pendiente y su or-denada en el origen. La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen, es decir, su intersección con el eje Y , es b tiene por ecuación
y = mx + b:
5. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. La recta que pasa por dos puntos dados P1(x1; y1)
y P2(x2; y2) tiene por ecuación
y y1=
y1 y2
x1 x2
(x x1); x16= x2:
Si x1= x2, la ecuación no puede usarse. En este
caso, la recta es paralela al eje Y , y su ecuación es x = x1.
6. Ecuación simétrica de la recta. La recta cuyas inteanterior rsecciones con los ejes X e Y son a 6= 0 y b 6= 0, respectivamente, tiene por ecuación
x a+
y b = 1:
Si a = 0, entonces también b = 0, y la forma simétrica no puede usarse. En este caso, sola-mente se conoce un punto, el origen, y no es su-…ciente para determinar una recta.
Como una recta queda perfectamente determinada por dos cualesquiera de sus puntos, la manera más conveniente de trazar una recta a partir de su ecuación es determinar las dos intersecciones con los ejes. Si la recta pasa por el origen, basta determinar otro punto cuyas coordenadas satisfagan la ecuación.
7.3
Forma general de la ecuación de
una recta
Hemos visto que la ecuación de una recta cualquiera, en el plano coordenado, es de la forma lineal
Ax + By + C = 0;
en donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero. La ecuación anterior se llama la forma general de la ecuación de una recta. Ahora consideraremos el problema inverso, a saber, la ecuación lineal Ax + By + C = 0, ¿representa siem-pre una linea recta? Para contestar a esta siem-pregunta examinaremos las dos formas posibles de la ecuación con respecto al coe…ciente de y, es decir, las formas para B = 0 y B 6= 0.
CASO I. B = 0. Si B = 0, entonces A 6= 0, y la ecuación Ax + By + C = 0 se reduce a la forma
x = C A;
que es la ecuación de una recta paralela al eje Y . CASO II. B 6= 0. Si B 6= 0, podemos dividir la ecuación Ax + By + C = 0 por B, y entonces por transposición se reduce a la forma
y = A Bx
C B;
que es la ecuación de una recta cuya pendiente es AB y cuya ordenada en el origen es C
B. En consecuencia,
vemos que en todos los casos la ecuación Ax + By + C = 0 representa una recta.
Teorema
Toda ecuación de la forma linea Ax + By + C = 0, donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero, representa una recta, y recíprocamente, la ecuación de toda recta del plano real se puede escribir de esa forma.
Observación
Ya que dos puntos determinan una recta, para trazar la grá…ca de una recta a partir de su ecuación, únicamente es necesario determinar las coordenadas de dos puntos en la recta, situar ambos puntos y luego trazar la recta. Cualesquiera dos puntos bastan, pero conviene generalmen utilizar aquellos donde la recta corta a los ejes.
f (x; y) = 0:
Como la intersección con el eje X es la abscisa de un punto que está sobre el eje de las X, la ordenada de ese punto es cero. Por tanto, haciendo y = 0 en la ecuación anterior las soluciones reales de la ecuación resultante en x nos darán las intersección con el eje de las X. Análogamente, haciendo en la ecuación anterior x = 0, las soluciones reales de la ecuación resultante en y nos darán las intersecciones con el eje Y .
7.4
Paralelismo y perpendicularidad
Teorema
Si L1 y L2 son dos rectas no verticales diferentes
con pendientes m1 y m2, respectivamente, entonces
L1 y L2 son paralelas si y sólo si m1= m2.
Prueba. Sean las ecuaciones de L1 y L2;
respecti-vamente
y = m1x + b1 y y = m2x + b2
La …gura muestra las dos rectas cortando al eje Y en los punto A(0; b1) y B(0; b2):
X Y X Y X Y X Y A B C D L L2 X=1 0
La recta vertical x = 1 corta a la recta L1 en
C(1; m1+ b1), y a L2 en D(1; m2+ b2): Entonces,
las rectas L1 y L2 son paralelas si y sólo si
d(A; B) = d(C; D)
b2 b1 = m2+ b2 (m1+ b1)
0 = m2 m1
m1 = m2
Por consiguiente, L1 y L2 son paralelas sólo cuando
m1= m2:
Observación
Dos puntos distintos cualesquiera determinan una recta. Tres puntos distintos pueden o no encontrarse en la misma recta. Si tres o más puntos se localizan en la misma recta, se dice que son colineales. Por lo tanto, tres punto A; B y C son colineales si y sólo si la recta que pasa por los puntos A y B es la misma que la que pasa por los puntos : Como la recta que pasa por A y B y la que pasa por B y C contienen ambas el punto B, so la misma recta si y sólo si sus pendientes son iguales.
Teorema
Si L1 y L2 son dos rectas no verticales diferentes
con pendientes m1 y m2, respectivamente, entonces
L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si m1m2= 1.
Prueba. Se seleccionan ejes coordenados tales que el origen coincida con el punto de intersección de L1
y L2; como se muestra en la …gura
L
L2
X=1
0
A
B
Sean las ecuaciones de L1 y L2; respectivamente
y = m1x + b1 y y = m2x + b2
Puesto que ninguna de las rectas es vertical cortana la línea x = 1; en los punto A(1; a) y B(1; b), respec-tiuvamente.
Puesto que L1contiene los puntos O(0; 0) y A(1; a);
y su pendiente es
m1=
a 0 1 0
entonces a = m1: De manera análoga se obtiene que
b = m2:
A partir del Teorema de Pitágoras y su recíproco, la recta L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si
(d(O; A))2+ (d(O; B))2 = (d(A; B))2 1 + m21+ 1 + m22 = (m1 m2)2
2 + m21+ m22 = m21 2m1m2+ m22
Puesto que m1m2= 1; se tiene que m1= 1 m2 y m2= 1 m1
Por lo tanto, el teorema indica que dos rectas no verticales son perpendiculares entre sí si y sólo si la pendiente de una de ellas es la inversa negativa de la pendiente de la otra.
7.5
Ecuaciones factorizables
Si la ecuación
f (x; y) = 0
es f actorizable, es decir, se puede escribirse como el producto de dos o más factores variables, su grá…ca constará de las grá…cas de las ecuaciones obtenidas al igualar a cero cada uno de estos factores.
7.6
Intersecciones de curvas
Consideremos dos ecuaciones independientes
f (x; y) = 0;
g(x; y) = 0
:Si sus grá…cas se cortan en uno o más puntos, cada uno de estos puntos se llama punto de intersección. Como un punto de intersección de las dos curvas está sobre cada una de dichas curvas, sus coordenada deben satisfacer, simultáneamente, ambas ecuaciones. La interpretación analítica de un punto de intersec-ción es obvia, es un punto cuyas coordenadas repre-sentan una solución común de las dos ecuaciones. Como las coordenadas de un punto deben ser ambas números reales, una solución común (x; y) de las dos ecuaciones no puede representar un punto de inter-sección en el sistema coordenado real a menos que ambos valores de x e y sean reales. Además, si las dos ecuaciones son incompatibles, es decir, no tienen solución común, sus grá…cas no se cortan.
7.7
Posiciones relativas de dos rectas
Consideremos dos rectas, cuyas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
( Ax + By + C = 0; A0x + B0y + C0= 0;
1. El sistema tiene solución única, si y sólo si, las dos rectas se cortan en uno y solamente en un punto.
2. El sistema tiene solución in…nita, si y sólo si, las dos rectas son coincidentes.
3. El sistema no tiene solución, si y sólo si, las dos rectas son paralelas y no coincidentes.
7.8
Distancia de una recta a un punto
dado
La distancia d de una recta, cuya ecuación es Ax + By + C = 0, a un punto dado P1(x1; y1), viene dada
por
d =jAxp1+ By1+ Cj A2+ B2 :
Geométricamente, d representa la longitud del seg-mento de recta perpendicular de la recta al punto P1.
7.9
Familia de rectas
Una recta y su ecuación quedan determinadas per-fectamente por dos condiciones independientes. Por tanto, una recta que satisface solamente una condi-ción no es una recta única; hay in…nidad de rectas que la cumplen, cada una de las cuales tienen la propiedad común asociada con esa única condición. La totali-dad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia o haz de rectas.
Por ejemplo, consideremos todas las rectas que tienen pendiente 5. La totalidad de estas rectas forman una familia de rectas paralelas, teniendo todas la propiedad común de que su pendiente es igual a 5. Analíticamente esta familia de rectas puede represen-tarse por la ecuación
y = 5x + k;
en donde k es una constante arbitraria, llamada parámetro, que puede tomar todos los valores reales. Así, podemos obtener la ecuación de cualquier recta de la familia asignando únicamente un valor particu-lar a k en la ecuación . Este número k representa la ordenada en el origen de cada recta.
8
Inecuaciones en el plano
Trataremos inecuaciones cuya soluciones se represen-tan geométricamente como una región en el plano.
Toda recta
Ax + By + C = 0
basta hallar su valor numérico para un punto M de algunos de los dos semiplanos. Los valores numéricos correspondientes a los puntos del mismo semiplano que contiene a M tienen el mismo signo que el hallado para M . Los valores numéricos correspondientes a los puntos del semiplano que no contiene a M tienen signo contrario.
Ejercicios
1. Demostrar que los tres puntos (12; 1), ( 3; 2) y (2; 1) son colineales.
2. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3; 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada.
3. Halar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2; 4) y
(a) Tiene pendiente 167.
(b) Es paralela a la recta 5x 3y = 3. (c) Es perpendicular a la recta 5x 3y = 3. (d) Es paralela al eje X.
(e) Es paralela al eje Y . (f) Pasa por el origen.
4. Una recta L1 pasa por los puntos (3; 2) y
( 4; 6) y otra recta L2 pasa por el punto
( 7; 1) y el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que L1 es
perpendicular a L2.
5. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -4, y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x + y 8 = 0 y 3x 2y + 9 = 0. 6. Hallar el valor de k para que la recta
kx + (k 1)y 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0.
7. En las ecuaciones ax + (2 b)y 23 = 0 y (a 1)x + by + 15 = 0 hallar los valores de a y b para que representan rectas que pasen por el punto (2; 3).
8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (a; b) y por el punto de intersección de las rectas xa +yb = 1 y xb +ya = 1.
9. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x 4y + 8 = 0 y 6x 8y + 9 = 0. 10. La distancia de la recta 4x 3y + 1 = 0 al
punto P es 4. Si la ordenada de P es 3, hallar su abscisa. (Dos soluciones.)
11. Escríbase la ecuación de la familia de rectas que poseen la propiedad dada en los ejercicios siguientes. En cada caso asignase dos valores al parámetro y grafíquese las rectas correspondi-entes.
(a) Pasan por (3; 4).
(b) La intersección con el eje Y es el doble de la intersección con el eje X.
(c) Son perpendiculares a la recta 3x 4y = 5. (d) La abscisa al origen es igual a 3.
(e) La suma de las intersecciones con los ejes coordenados es igual a 5.
12. Trazar la representación grá…ca de las siguientes ecuaciones.
(a) x+23 +y21 = 1.
(b) (y x + 2)(2y + x 4) = 0. (c) jxj + jyj = 1.
(d) jxj jyj = 1.
13. Las medidas de temperaturas Fahrenheit (F ) y Celcius (C) están relacionadas por una ecuación lineal.
(a) Hallar la ecuación que relaciona F y C, teniendo en cuenta que C = 0 cuando F = 32 y C = 100 cuando F = 212. (b) ¿Existe alguna temperatura para la que
C = F ? De ser así, ¿qué temperatura es?.
14. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y trazar la representación grá…ca correspondiente a cada ecuación.
(a)
( 2x y 1 = 0 3x + y 9 = 0
15. Dibuje la región que contiene los puntos cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad dada.
(a) y > 1. (b) x > 3. (c) 1 < y < 1. (d) x y > 2. (e) 2x y < 2. (f) jxj + jyj < 1. (g) jxj jyj 1.
16. Represente grá…camente el conjunto solución del sistema de inecuaciones indicado a continuación.
9
La circunferencia
Una Circunferenci a es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto …jo de ese plano.
El punto …jo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio.
Designemos por C y r, como se muestra en la …gura, el centro y el radio de una circunferencia, respectivamente.
.
X Y C rTeorema
La circunferencia cuyo centro es el punto (h; k) y cuyo radio es la constante positiva r, tiene por ecuación
(x h)2+ (y k)2= r2
:Para el caso particular en que el centro C está en el origen, h = k = 0, y tenemos la ecuación
x2+ y2= r
Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones ordinarias o formas ordinarias de la ecuación de una circunferencia. En general, des-ignaremos como forma ordinaria aquella ecuación de una curva que nos permite obtener más rápida y fácilmente sus características importantes. Así, por ejemplo, en el caso de la ecuaciones anteriores, podemos obtener, inmediatamente, las coordenadas del centro y el radio.
Teorema
(Forma general de la ecuación de una cir-cunferencia)Si los coe…cientes A y C son iguales y no nulos, la ecuación
Ax2+ Cy2+ Dx + Ey + F = 0;
representa una circunferencia, un punto, o no repre-senta ningún lugar geométrico real.
Si se da la ecuación de una circunferencia en la forma general„ es conveniente que se reduzca la ecuación a la forma ordinaria por el método de completar cuadrados, para obtener el centro y el radio.
Observación
Los pares de coordenadas de los puntos exteriores a la circunferencia
(x h)2+ (y k)2= r2 son soluciones de la inecuación
(x h)2+ (y k)2> r2
y los pares de coordenadas de los interiores lo son de (x h)2+ (y k)2< r2:
Ejercicios
1. Para cada caso, encuentre la ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas.
(a) Centro (3; 4) y radio 6.
(b) El segmento que une (0; 0) con (6; 8) es un diámetro.
(c) Pasa por ( 3; 5) y el centro está en (1; 3). 2. Una cuerda de la circunferencia x2+y2= 25 está
sobre la recta cuya ecuación es x 7y + 25 = 0. Hallar la longitud de la cuerda.
3. Determine que lugar geométrico representa cada ecuación. Trazar la representación grá…ca correspondiente para cada una.
(a) x2+ y2+ 1 = y.
(b) 2x2+ 2y2 6x + 10y + 7 = 0:
(c) 4x2+ 4y2+ 28x 8y + 53 = 0. (d) 16x2+ 16y2 64x + 8y + 177 = 0.
4. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones y trazar la representación grá…ca correspondiente a cada ecuación. (a) ( (x 2)2+ (y + 1)2= 8 y = x 1 (b) ( x2+ y2 2x + 6y = 6 x2+ y2+ 4x + 2y = 8
5. Dibuje la región que contiene los puntos cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad dada.
(a) x2+ y2< 4.
(b) (x 1)2+ (y + 2)2> 9.
6. Represente grá…camente el conjunto solución del sistema de inecuaciones indicado a continuación.
(a)
( x2+ y2> 1
10
La elipse
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos …jos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, mayor que la distancia entre los focos.
. . L1 L2 V1 V2 A1 A2 F1 C F2 P B1 B2 D1 D2 E1 E2
En la …gura anterior se ha dibujado una elipse. Los focos están designados por F1 y F2. La recta L1 que
pasa por los focos se llama eje focal. El eje focal corta a la elipse en dos puntos V1 y V2, llamados vértices.
La porción del eje focal comprendido entre los dos vér-tices, el segmento V1V2, se llama eje mayor. El punto
medio C del eje mayor se lama centro. La recta L2que
pasa por C y es perpendicular al eje focal, se llama eje normal. El eje normal corta a la elipse en dos puntos, A1 y A2, el segmento A1A2 se llama eje menor. El
segmento B1B2 que une dos puntos diferentes
cua-lesquiera de la elipse se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por un foco, tal como D1D2 se
llama cuerda focal. una cuerda focal, tal como E1E2,
perpendicular al eje focal se llama lado recto; eviden-temente, por tener dos focos, la elipse tiene dos lados rectos. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos F1P y F2P que unen los focos con el punto
P se llaman r adios vectores de P .
Teorema
La ecuación de una elipse de centro en el origen y eje focal el eje x es
x2
a2 +
y2
b2 = 1
:si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y , la ecuación de la elipse es
x2
b2 +
y2
a2 = 1
:Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b la del eje menor, y a, by c están ligadas por la relación
a2= b2+ c2:
Donde c es la distancia del centro a cada foco. Tam-bién, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es 2ba2 y la excentricidad e está dada por la fórmula
e = c a = p a2 b2 a < 1:
Teorema
La ecuación de la elipse de centro el punto (h; k) y eje focal paralelo al eje X, es
(x h)2
a2 +
(y k)2
b2 = 1:
Si el eje focal es paralelo al eje Y ; su ecuación es (x h)2
b2 +
(y k)2
a2 = 1:
Teorema
Si los coe…cientes A y C son no nulos del mismo signo, la ecuación
Ax2+ Cy2+ Dx + Ey + F = 0
representa una elipse de ejes paralelos a los ejes co-ordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.
Observación
Los pares de coordenadas de los puntos exteriores a la elipse
(x h)2
a2 +
(y k)2
b2 = 1
son soluciones de la inecuación (x h)2
a2 +
(y k)2 b2 > 1
y los pares de coordernadas de los interiores lo son de: (x h)2 a2 + (y k)2 b2 < 1:
Ejercicios
1. Para cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Dibujar cada curva.
(a) Centro en (0; 0), un foco en (34; 0), un vértice en (1; 0).
(c) Vértices en ( 1; 2) y ( 7; 2), eje menor de longitud 2.
(d) Vértices en (3; 2) y (13; 2), focos en (4; 2) y (12; 2).
2. Determine que lugar geométrico representa cada ecuación. Trazar la representación grá…ca correspondiente para cada una.
(a) x2+ 4y2 6x + 16y + 21 = 0. (b) 4x2+ 9y2+ 32x 18y + 37 = 0. (c) x2+ 4y2 10x 40y + 109 = 0. (d) 9x2+ 4y2 8y 32 = 0. (e) 3x2+ 2y2 6p2x 4p3y + 6 = 0. (f) (x2+ 4y)(x2+ 4y2 4) = 0. (g) (2x 1)4 2 + (2 y)2= 1.
3. Represente grá…camente el conjunto solución del sistema de inecuaciones indicado a continuación. 8 < : x2 9 + y2 4 < 1 x2+ y2> 4
11
La parábola
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta …ja, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto …jo del plano y que no pertenece a la recta. El punto …jo se llama foco y la recta …ja directriz de la parábola.
L1 L2 A V F B1 B2 C1 C2 D1 D2 E
Designemos por F y L1 (ver …gura anterior), el
foco y la directriz de una parábola, respectivamente. La recta L2 que‘pasa por F y es perpendicular a
L1 se llama eje de la parábola. Sea A el punto de
intersección del eje y de la directriz. El punto V , punto medio del segmento AF , está, por de…nición, sobre la parábola; este punto se llama vértice. El segmento de recta B1B2, que une dos puntos
cua-lesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda;
en particular, una cuerda que pasa por el foco como C1C2, se llama cuerda focal. La cuerda focal D1D2
perpendicular al eje se llama l ado recto. Si E es un punto cualquiera de la parábola, el segmento F P se radio r adio focal de E, o radio vector.
Teorema
La ecuación de un parábola de vértice en el origen y eje el eje X, es
y2= 4px;
en donde el foco es el punto (p; 0) y la ecuación de la directriz ea x = p. Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.
Si el eje de una parábola coincide con el eje Y , y el vértice está en el origen, su ecuación es
x2= 4py;
en donde el foco es el punto (0; p), y la ecuación de la directriz es y = p. Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. En cada caso, la longitud del lado recto es j4pj.
Teorema
La ecuación de un parábola de vértice (h; k) y eje paralelo al eje X, es de la forma
(y k)2= 4p(x h);
siendo jpj la longitud del segmento del eje compren-dido entre el foco y el vértice. Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.
Si el eje de la parábola es paralelo al eje Y , y el vértice es el punto (h; k), su ecuación es de la forma
(x h)2= 4p(y k):
Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.
11.1
Forma general de la ecuación de
una parábola
1. Toda ecuación de la forma
Ax2+ Dx + Ey + F = 0;
donde A 6= 0 y E 6= 0, representa una parábola cuyo eje es paralelo o coincidente con el eje Y . Si, en cambio, E = 0, la ecuación toma la forma
que es una ecuación cuadrática en la única vari-able x. Si las raíces de esa ecuación son reales y desiguales, digamos r1 y r2, entonces lpuede
escribirse en la forma
(x r1)(x r2) = 0;
y el lugar geométrico correspondiente consta de dos rectas diferentes, cuyas ecuaciones son x = r1 y x = r2, paralelas ambas al eje Y . Si la
raíces son reales e iguales, el lugar geométrico consta de dos recta coincidentes representadas geométricamente por una sola recta paralela al eje Y . Finalmente, Si no tiene raíces reales, no representa ningún lugar geométrico.
2. Toda ecuación de la forma
Cy2+ Dx + Ey + F = 0;
donde C 6= 0 y D 6= 0, representa una parábola cuyo eje es paralelo o coincidente con el eje X. Si, en cambio, D = 0, la ecuación toma la forma
Cy2+ Ey + F = 0;
que es una ecuación cuadrática en la única vari-able y. Si las raíces de esa ecuación son reales y desiguales, digamos r1 y r2, entonces puede
es-cribirse en la forma
(y r1)(y r2) = 0;
y el lugar geométrico correspondiente consta de dos rectas diferentes, cuyas ecuaciones son y = r1 y y = r2, paralelas ambas al eje X. Si la
raíces son reales e iguales, el lugar geométrico consta de dos recta coincidentes representadas geométricamente por una sola recta paralela al eje X. Finalmente, Si no tiene raíces reales, no representa ningún lugar geométrico.
Observación
La parábola
(x h)2= 4p(y k)
divide al plano en dos regiones, la que contiene al foco y la que no lo contiene.
Si un punto (x; y) de una de las regiones (que no pertenezca a la curva) satisface la inecuación
(x h)2< 4p(y k)
también lo satisfarán todos los puntos de la misma región. Si no la satisface, serán soluciones las coordenadas de los puntos de la otra región.
Ejercicios
1. Para cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuación para la parábola que satisface las condiciones dadas y dibujar la curva.
(a) Vértice en (3; 2), foco en (3; 4). (b) Vértice en (4; 1), directriz x = 2.
(c) Vértice en (4; 1), directriz y = 3.
(d) Vértice en (4; 2), lado recto 8, abre hacia la derecha.
2. Determine que lugar geométrico representa cada ecuación. Trazar la representación grá…ca correspondiente para cada una.
(a) 4y2 48x 20y = 71. (b) 4x2+ 48y + 12x = 159. (c) 2(1 y) = (3x 1)2). (d) (2y 3)2+ 6(1 3x). (e) 2x2+ x 3 = 0. (f) y2+ y + 1 = 0.
3. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones y trazar la representación grá…ca correspondiente a cada ecuación. (a) ( y2 x = 0 2x y 6 = 0 (b) ( x2+ y2= 8 y2= 2x (c) ( y = x2 6x + 9 (x 3)2+ (y 9)2= 9
12
La hipérbola
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos …jos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.
La hipérbola consta de dos ramas diferentes, cada una de longitud in…nita. En la …gura anterior se ha dibujado una posición de cada una de estas ramas; los focos están designados por F1 y F2. La recta L1
que pasa por los focos se llama eje focal. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos V1 y V2,
llama-dos vértices. La porción del eje focal comprendido entre los dos vértices, el segmento V1V2, se llama eje
transverso. El punto medio C del eje transverso se lama centro. La recta L2 que pasa por C y es
per-pendicular al eje focal, se llama eje normal. El eje normal no corta a la hipérbola; sin embargo, una porción de…nida de este eje, el segmento A1A2 , se
llama eje conjugado. En forma análoga que en una elipse, el segmento que une dos puntos diferentes cua-lesquiera de la hipérbola se llama cuerda. En particu-lar, una cuerda que pasa por un foco, se llama cuerda focal. Una cuerda focal, perpendicular al eje focal se llama lado recto; evidentemente, por tener dos focos, la hipérbola tiene dos lados rectos. Si P es un punto cualquiera de la hipérbola, los segmentos F1P y F2P
que unen los focos con el punto P se llaman r adios vectores de P . Las rectas L3y L4, son asíntotas de la
hipérbolas. Estas rectas son las prolongaciones de las diagonales del rectángulo de centro C que se muestra en la …gura.
Teorema
La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal coincidente con el eje X, es
x2
a2
y2
b2 = 1
y sus asíntotas son las rectas dadas por las ecuaciones ax by = 0 y bx + ay = 0.
Si el eje focal coincide con el eje Y , entonces la ecuación es
y2
a2
x2
b2 = 1
y sus asíntotas son las rectas dadas por las ecuaciones bx ay = 0 y ax + by = 0.
Para cada hipérbola, 2a es la longitud del eje transverso, 2b la del eje conjugado, c la distancia del centro a cada foco, y a, b y c están ligados por la ecuación
c2= a2+ b2:
También, para cada hipérbola, la longitud de cada uno de sus lados rectos es 2ba2 y la excentricidad e está dada por la fórmula
e = c a = p a2+ b2 a > 1:
Teorema
La ecuación de la hipérbola de centro el punto (h; k) y eje focal paralelo al eje X, es de la forma
(x h)2
a2
(y k)2
b2 = 1:
Si el eje focal es paralelo al eje Y , su ecuación es y2
a2
x2
b2 = 1:
12.1
Asíntotas
Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja inde…nida-mente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva.
Esta de…nición implica dos cosas:
1. Una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión …nita, sino que se extiende in-de…nidamente.
2. Una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el plano coordenado.
Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares. Si es paralela o coincide con el eje x, se llama asín-tota horizontal ; si es paralela o coincide con el eje Y , asíntota vertical ; y si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, asíntota oblicua. Se debe tener presente que una curva no tiene necesariamente una o más asíntotas. Hay muchas curvas que no tienen asíntotas. sin em-bargo, si una curva tiene asíntotas, su determi-nación será, como veremos más adelante, una gran ayuda para construir su grá…ca.
Teorema
Si los coe…cientes A y C son no nulos y di…eren en el signo, la ecuación
Ax2+ Cy2+ Dx + Ey + F = 0
representa una hipérbola de ejes paralelos a los coor-denados, o un par de rectas que se cortan
divide al plano en tres regiones, una de ellas contiene al centro, cada una de las otras dos contiene un foco.
Los pares de coordenada de los puntos de una de las regiones que contiene un foco son soluciones de la inecuación
(x h)2 a2 +
(y k)2 b2 > 1
y los pares de coordenas de los puntos de la región que contiene al centro, lo son de:
(x h)2
a2 +
(y k)2
b2 < 1
Ejercicios
1. Para cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuación para la parábola que satisface las condiciones dadas y dibujar la curva.
(a) Vértice en (3; 2), foco en (3; 4). (b) Vértice en (4; 1), directriz x = 2.
(c) Vértice en (4; 1), directriz y = 3.
(d) Vértice en (4; 2), lado recto 8, abre hacia la derecha.
2. Determine que lugar geométrico representa cada ecuación. Trazar la representación grá…ca correspondiente para cada una.
(a) x2 9y2 4x + 36y 41 = 0. (b) 4x2 9y2+ 32x + 36y + 64 = 0. (c) x2 4y2 2x + 1 = 0. (d) 9x2 4y2+ 54x + 16y + 29 = 0. (e) 3x2 1y2+ 30x + 78 = 0. (f) 2y2 x2 4 = 5. (g) x42 2y2= 0.
3. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y trazar la representación grá…ca.
(a)
( x2+ 4y2= 36
2x2 y2= 8
