9. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones, para las variables que se indican:

ii) - 2x 4 + 10x + 132; x - 3 iv) x4 + 5x 3 - X2 + 5; x + 2

, iv) y v): - 10/3, O, - 65, - 23, O , respectivamente) polinomio p{X)=3 X5 +3x 4 -14x3 +4x 2 -24x y esultado (Dos factores).

,

1_. \ r 4 - - >

3)

9. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones, para las variables que se indican: a - S a - S

+

Sr

i)

S

= (a

-rL

)

/

(1- r ) para r y luego para

L

(R!. r = ,

L

= . )

L-S . r

2 10000P

ii) P

=

Po (1 + R/IOO) para Po Y luego para R (R!. Po =

)2 '

(100+ R R

=

100(-1

±

P Po

».

2z+a 9z+a z- a 4a

10. Resolver para a: - - - = - - + - (R!. a = -2z).

3x 6x 2x 3x

11. Hallar la solución de

~

= x (Ayuda: O

~

x

~

2. ¿Por qué?) (R!. x =1). 12. Hallar las raÍCes de p(x)= 8x 4 + 6x3 -19x 2 + 3x + 2 (R!. 1,1/2, - 2, - 1/4).

13. Un área rectangular de trabajo debe ser 3 .metros más larga que ancha y medir 2

46.75 m . ¿ Cuáles son las dimensiones del rectángulo? (R!. 5.5

Y

8.5 metros)

14. La velocidad v de un objeto que cae únicamente bajo el efecto de la gravedad g está dada por v =

~v~

- 2g h donde V _o es la velocidad inicial y h la altura de la caída.

2

Despejar h (R!. h =

(v~

- v ) (2g).

15. La fórmula para convertir temperatura Celsius a temperatura · Fahrenheit es F =

2c

+ 32, donde F representa la temperatura Fahrenheit y C la temperatura Celsius.

5

Obtener C en términos de F (R!. C = 5 (F - 32) )'.

9

16. Para que una columna cilíndrica de longitud L resista una fuerza de compresión F, debe tener un diámetro

d

dado por la siguiente expresión: d = 1.12 (10-2

}VFL.

Determinar

F

cuando d = 1.2 metros y

L

= 5 metros (R!.

F

~ 245991.25).

17. Un laboratorista dispone de 50 mI. de una solución al 86 % de ácido sulfúrico. ¿Cuántos mI. de agua debe agregarle para diluirla y obtener una solución al 40 % de ácido sulfúrico que es la necesaria para generar hidrógeno? (R!. 57.5 ml.).

(Ayuda: si x es el número de mI de agua, entonces 40

(x

+ 50) = 86 (50). O también

lOO 100

14 60 ,

x + (50) = (50 + x) ¿por que?).

lOO lOO

MATEMÁTICAS BÁSICAS

y 3.2 Y en el seguimiento 4.6. ¿Qué nota debe sacar en el último parcial para obtener

una calificación definitiva de 2.95? ( RJ. 3.0 ). POTENCIACIÓN

19. Un tanque vacío se puede llenar por una tubería en 4 horas y por otra en 3 horas. El En lo que sigue a y b denotan números reales.

tanque tiene un desagüe por donde sale el agua y se desocupa en 2 horas si estuviese

lleno. ¿En cuánto tiempo se llena el tanque si estando vacío se abren simultáneamente 1. Potencias enteras

las dos tuberías y el desagüe? ( RJ. 12 h.).

Empezamos definiendo a n para n E N :

20. Un avión de una compañía tiene cupo para 100 pasajeros. La compañía cobra, para una excursión, $800000 a cada pasajero más $10000 por cada puesto que vaya vacío. Si viajan x pasajeros, cuánto dinero pagará cada uno? ¿Cuánto pagarán todos los x

pasajeros? (RJ. 800000 + 10000(100 - x) y [800000 + 10000(100 - x )]x ).

Ahora,

21. Un avión de cierta compañía sale de un aeropuerto internacional cada 3 días para

Estados Unidos, otro sale ,cada 7 días para Argentina y otro sale cada 9 días para el

Brasil, a partir del primero de enero. ¿Cuándo deben salir los tres aviones

simultáneamente, por segunda vez? ¿Cuántos viajes habrá realizado cada uno? (RJ. 63

días después del primero de enero; 21, 9 y 7 viajes, respectivamente).

22. Un muro tiene 3.6m de largo y l.08m de ancho. Se trata de colocarle baldosas

cuadradas de mayor área posible. ¿Cuál es la medida del lado de cada baldosa? ¿Cuántas baldosas son necesarias? (RJ. 0.36m, 30 baldosas).

nota debe sacar en el último parcial para obtener 'J. 3.0 ).

una tubería en 4 horas y por otra en 3 horas. El de el agua y se desocupa en 2 horas si estuviese

.anque si estando vacío se abren simultáneamente

.).

para 100 pasajeros. La compañía cobra, para una ás $10000 por cada puesto que vaya vacío. Si

gará cada uno? ¿Cuánto pagarán todos los

x

x)

y [800000

+

10000(100 -

x)]x ).

e un aeropuerto iotem cional I'l:ul ".,\í para

a

el les

b3

I

s

POTENCIACIÓN

En lo que sigue a y b denotan números reales. 1. Potencias enteras

Empezamos definiendo a n para n E N :

...

, a n =aa ... a '--y---'

n-veces

Ahora, si a

*-

O definimos a

o

y a -n con n E N como sigue:

a o

= 1 Y

a-

n

o ·

-n N

Para a = O no se de

fi

me a nI a , n E . Propiedades. Para n, m E Z se tiene:

i) ana m =a n+m a n n-m

..

ii) - = a m a iii) (a n

t

= a nm iv) (ab)" = a n bn 2.

(Teniendo presente las correspondientes restricciones) Observación: En general (a n

r

*-

a

(n

111 ) . Por ejemplo,

(52)

Cuando se escribe a nm se entiende que se trata de a (n m ).

Potencias racionales

= 56 Y

5(

2

3 ) =

5

8.

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Empezamos definiendo el concepto de raíz n-ésima de un número real dado a, concepto que usaremos para definir a I/n y posterionnente usaremos a I/n para definir a r , r E Q .

Sea n E N . Todo número real x tal que x n

=

a , se dice una raíz n-ésima real de a.

Definición de a I/n para a > O Y n E N

Supongamos a > O

Y

n E N. En este caso se puede probar que existe una única raíz n­ ésima real de a, la cual es positiva. Es dicha raíz el número que se denota a I/n o también

Va

en el caso a > O

Y

n E N .

Ejemplo:

321

/

5

=

?J32

=

2,

ya que

25

=

32

.

Definición de Ol/n para n E N

Sea n E N dado. Es claro que x

=

O es la única solución de la ecuación xn

=

O; en otras

palabras, x

=

O es la única raíz n-ésima de

o

.

Con el símbolo Ol/n denotamos esa única raíz; así que Ol/n

=

O .

Definición de a I/n para a < O Y n E N, n impar

Supongamos a < O

Y

que n es un número natural impar ( n E { 1, 3, 5, ... }). En este caso a

tiene una única raíz n-ésima real,la cual es negativa. Es dicha raíz el número que se denota aI/n o también

Va

cuando a

<

O Y n es impar.

Ejemplo:

(_8)1

/

3

=

v-

8

=

-

2,

ya que (-

2?

=

-8.

y ·2 ... - 8 3 y=x x 3 (-2) =-8

Nótese que si a

<

O

Y

n es par, no existe n-ésimas reales. En este caso a n no está defin

En resumen: Cuando un número a tiene alguna es dicha raíz n-ésima la que se denota a I/n o n a I/n esté definido, se tiene que (a I/n)"

=

(rif;f

Definición de a r , r E Q

Si r E Q , entonces r e n E N

Y

m

Y

n sin di

entonces se define a f

=

Tenemos así que a m/n

. m/n (m

)1

/

tiene que a

=

a denota la raíz n-ésima d Ejemplo:

(8r

/

3

=

(8 1/

(- 8

y

/3

=

((-

8?

r

.

Si a I/n no está definido si a > O, entonces a r est Propiedades. Para r y s i)

a

f

a

s

=

a

r+s ii) -a r ==a r .. s aS iii) (a f

y

== ar s iv) (abY==afbf

raíz n-ésima de un número real dado a, concepto mente usaremos a 1/n para definir a r , r E Q .

"n = a , se dice una raíz n-ésima real de a.

" o se puede probar que existe una única raíz n-ha raíz el númprl' ~ I/n o también

Nótese que si a < O Y n es par, no existe x E R tal que x n = a , es decir, a no tiene raíces n-ésimas reales. En este caso a 1/n no está definido en R.

En resumen: Cuando un número a tiene alguna raíz n-ésima real, entonces tiene sólo una y es dicha raíz n-ésima la que se denota a I/n o na. Así que en todos los casos en los cuales

a I/n esté definido, se tiene que (a 1/n)" =

(V;)"

= a .

Definición de

a

r ,

r

E

Q

m

Si rE

Q

,

entonces r se puede escribir de manera única en la forma r = - con m E Z , n

n E N Y m Y n sin divisores comunes mayores que l. Pues bien, si a I/n está definido, entonces se define a r = (a I/n

r

=

(V;r '

exceptuando el caso en que al n =O Y m

~

O .

Tenemos así que a m/n = (a I/n

t

= (v;)m con las restricciones ya indicadas. También se tiene que a m/n = (a m

t

n =

~

a m , siempre y cuando estén definidos tanto (a

m)

n (que denota la raíz n-ésima de a m) como a 1/n .

Ejemplo:

(8y

/

3

= (8 1/3)2 = 22 = 4;

(_ 8 )

2

/

3

= ((_

8)

2

)1

/

3 .

Si a I/n no está definido o al n = O Y m ~ O , entonces a f no está definido. Señalamos que si a > O, entonces a r está definido para todo r E

Q .

Propiedades. Para r y s números racionales, se tiene que:

ara s

=

a r+s i) f a r-s ii) - = a · aS iii) (a r ) = a rs iv) (ab)' =a rbf