Integrales impropias dependientes de un par´
ametro
1. Definici´on (convergencia uniforme de integrales impropias dependientes de un par´ametro). Sea Y un conjunto y sea f : [a, b) × Y → C. Se supone que para todo y en Y la funci´on x 7→ f (x, y) es integrable en todo intervalo [a, t], donde a ≤ t < b. Se dice que la integral impropia R→b
a f (x, y) dx es uniformemente convergente si existe el l´ımite
uniforme respecto a y en Y de la expresi´onRatf (x, y) dx, cuando t → b.
2. Proposici´on (criterio de convergencia uniforme de integrales impropias de-pendientes de un par´ametro). Supongamos que se cumplen las condiciones de la Definici´on 1. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) la integral impropiaRa→bf (x, y) dx es uniformemente convergente;
(b) para cada y la integral impropiaRa→bf (x, y) dx es convergente y, adem´as, para cada ε > 0 existe un u ∈ (a, b) tal que para cada t en (u, b) y cada y en Y
→b Z t f (x, y) dx < ε.
Demostraci´on. 1. Supongamos que la integral impropia R→b
a f (x, y) dx converge
unifor-memente a una funci´on h : Y → C, es decir,
lim t→bsupy∈Y t Z a f (x, y) dx − h(y) = 0. (1)
Entonces para cada y en Y tenemos
lim t→b t Z a f (x, y) dx − h(y) = 0,
lo cual implica que la integral impropia Ra→bf (x, y) dx converge a g(y). Adem´as, el valor absoluto de la diferencia de las integrales en (1) se puede escribir como
→b Z t f (x, y) dx .
3. Teorema (criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de integrales impropias). Sea f como en la Definici´on1. Entonces las siguientes condiciones son equi-valentes:
(a) la integral impropiaRa→bf (x, y) es uniformemente convergente;
(b) ∀ε > 0 ∃t ∈ (a, b) tal que
∀u, v ∈ [t, b) ∀y ∈ Y v Z u f (x, y) dx < ε.
Demostraci´on. Definimos g : [a, b) × Y → C mediante la siguiente regla: g(u, y) :=
u
Z
a
f (x, y) dif x.
Entonces la condici´on (b) se puede escribir de la siguiente manera:
(b’) para cada ε > 0 existe t ∈ (a, b) tal que para cualesquiera u, v en [t, b) y cada y en Y
|g(u, y) − g(v, y)| < ε.
1. Supongamos que la integral impropia converge uniformemente a una funci´on h. Enton-ces para cada ε > 0 existe t ∈ (a, b) tal que para cada u ∈ [t, b) y cada y ∈ Y
|g(u, y) − h(y)| < ε 2. Luego para cualesquiera u, v ≥ t tenemos
|g(u, y) − g(v, y)| ≤ |g(u, y) − h(y)| + |h(y) − g(v, y)| < ε.
Hemos demostrado que se cumple la condici´on (b’), pero (b’) es equivalente a (b). 2. Supongamos que se cumple (b). Entonces para cada y en Y la funci´on u 7→ g(u, y) cumple con las condiciones de Cauchy para la existencia del l´ımite de una funci´on, as´ı que existe un l´ımite finito h(y) := limu→bg(u, y). Adem´as, pasando en (b’) al l´ımite cuando
v → b, obtenemos
∀u ∈ [t, b) ∀y ∈ Y |g(u, y) − h(y)| < ε, lo cual significa que g(u, y)==⇒y∈Y
u→b h(y).
4. Ejemplo. Mostrar que la integral impropia
→+∞
Z
0
5. Teorema (intercambio del l´ımite con la integraci´on impropia). Sea (fν)ν∈N
una sucesi´on de funciones (a, b) → C. Se supone: (i) ∀ν ∈ N ∀t ∈ [a, b) fν|(a,t) ∈ L1((a, t)).
(ii) lim
ν→∞fν(x) = g c.t.p. en (a, b).
(iii) ∀t ∈ (a, b) g|(a,t)∈ L1((a, t)) y lim ν→∞ t Z a fν = t Z a g.
(iv) la integral impropia R→b
a fν(x) dx converge uniformemente con respecto a ν ∈ N.
Entonces la integral impropiaRa→bg(x) dx es convergente y
→b Z a g(x) dx = lim ν→∞ →b Z a fν(x) dx. (2)
Demostraci´on. 1. Usando el criterio de Cauchy demostremos que la integral impropia R→b
a g(x) dx converge. Sea ε > 0. Usando la condici´on (d) y el criterio de Cauchy de la
convergencia uniforme para integrales impropias, encontramos t en (a, b) tal que para cualesquiera u, v con t < u < v y cualquier ν en N se cumple la desigualdad
v Z u fνdµ < ε 3.
Sean u, v tales que t < u < v. Usando la condici´on (iii), encontramos ν en N tal que u Z a fνdµ − u Z a g dµ < ε 3, v Z a fνdµ − v Z a g dµ < ε 3. Entonces obtenemos v Z u g dµ < ε.
Por el criterio de Cauchy, la integral impropia Ra→bg converge.
2. Demostremos la f´ormula (2). Sea ε > 0. Usando la convergencia de la integral impropia R→b
a g, encontramos t1 ∈ (a, b) tal que para cada u en (t1, b) se cumple
Usando la convergencia uniforme (respecto a ν) de la integral impropiaRa→bfν,
encontra-mos t2 ∈ (a, b) tal que para cada u en (t2, b) se cumple
u Z a fν− →b Z a fν < ε 3.
Elegimos u en (max{t1, t2}, b). Usando la condici´on (iii) encontramos ν0 en N tal que para
cada ν ≥ ν0 se cumple la desigualdad
u Z a fν− u Z a g < ε 3. Entonces para cada ν ≥ ν0 se cumple
→b Z a fν − →b Z a g ≤ u Z a fν − →b Z a fν + u Z a fν− u Z a g + u Z a g − →b Z a g < ε.
Notemos que los razonamientos de la demostraci´on son muy comunes en an´alisis y se conocen como “razonamientos con ε/3”.
6. Observaci´on. La condici´on (iii) del teorema anterior se cumplir´a, en particular, en cada uno de los siguientes casos:
(iii’) si para todo t en (a, b) existe una funci´on ht∈ L1((a, t)) tal que |fν(x)| ≤ ht(x) para
cada ν en N y cada x en (a, t);
(iii”) si a ∈ R (i.e. a es un punto finito) y la sucesi´on (fν)ν∈N converge a g uniformemente
en (a, t) para cada t en (a, b).
7. Teorema (continuidad de una funci´on definida por una integral impropia). Sea Y un espacio m´etrico, z ∈ Y , f : (a, b) × Y → C. Se supone:
(i) Para cada y en Y y cada t en (a, b), la funci´on x 7→ f (x, y) es integrable en (a, t) (ii) Para casi todo x en (a, b), la funci´on y 7→ f (x, y) es continua en el punto z. (iii) Para cada t en (a, b), la funci´on y 7→Ratf (x, y) es continua en el punto z.
Esta condici´on se cumple, en particular, para cada t en (a, b) existe una funci´on ht∈ L1((a, t)) tal que |f (x, y)| ≤ ht(x) para casi todo x ∈ (a, t) y todo y ∈ Y .
Entonces la funci´on Φ : Y → C, definida por Φ(y) := →b Z a f (x, y) dx, es continua en el punto z.
Demostraci´on. Sea (yn)n∈N una sucesi´on en Y que converge a z. Pongamos fν(x) :=
f (x, yn), g(x) := f (x, z). Entonces se cumplen las condiciones del Teorema5, y obtenemos
que Φ(yn) → Φ(z). Por el criterio de Heine, concluimos que la funci´on Φ es continua en
z.
8. Ejemplo. Mostrar que la funci´on
Φ(y) := →+∞ Z 0 e−xy sen x x dx (y ≥ 0)
