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CUADERNOS UNIVERSITARIOS

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Academic year: 2022

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ISSN – 0325 – 6308

CUADERNOS UNIVERSITARIOS

Universidad Nacional del Comahue

Centro Regional Universitario Bariloche

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Editor Responsable:

Secretaría de Investigación

Centro Regional Universitario Bariloche Universidad Nacional del Comahue Unidad Postal UNC

8400 Bariloche ARGENTINA

TE: ++54-944-26368 FAX: ++54-944-22111 ISSN - 0325 – 6308

Agosto 2006

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Resumen:

Este trabajo, dirigido a un público no matemático, es una aproximación a la lógica a través de un análisis del paralelismo entre el razonamiento cotidiano y el razonamiento formal propio de las ciencias. Distinto tipo de razonamientos impregnan la vida cotidiana, aunque muchas veces se diferencian sustancialmente del razonamiento lógico formal. Intentamos usar este hecho como punto de partida para la formalización de algunos conceptos que dan las bases para la estructura del razonamiento lógico formal.

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Índice

Introducción... 6

Lógica formal y Lógica informal... 8

¿Qué saben de lógica los que no saben lógica? ... 9

Usos de la palabra “lógica” en el lenguaje coloquial ... 9

Proposiciones... 15

Las proposiciones y los conjuntos ... 17

Cuantificadores... 18

Los cuantificadores en el lenguaje coloquial... 20

El valor de verdad de las proposiciones categóricas ... 22

Una breve digresión acerca de la verdad en las ciencias... 22

Operadores lógicos ... 24

La negación ... 26

Valor de verdad de la negación ... 26

La negación como relación entre conjuntos: ... 27

La negación en el lenguaje coloquial ... 27

La negación de proposiciones categóricas ... 29

Los conectivos ... 30

El conectivo “∧” ... 30

Valor de verdad de una conjunción ... 32

La conjunción como una operación entre conjuntos ... 32

El conectivo “∨” ... 34

Valor de verdad de una disyunción ... 34

La disyunción como una operación entre conjuntos ... 35

El “o” excluyente... 36

La conjunción y la disyunción en el lenguaje coloquial... 37

Resumen de las relaciones entre operadores lógicos y conjuntos ... 39

Algunos ejercicios relativos A los conectivos “∧” y “∨” y la negación... 40

La implicación ... 41

El valor de verdad de la implicación ... 43

La implicación en el lenguaje coloquial ... 45

La implicación como una relación entre conjuntos ... 48

Condiciones necesarias y suficientes... 51

Algo más sobre el valor de verdad de las implicaciones... 54

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L L a a l l ó ó g g i i c c a a l l l l e e n n a a e e l l m m u u n n d d o o ; ; l l o o s s l l í í m m i i t t e e s s d d e e l l m m u u n n d d o o s s o o n n ta t am mb bi én n s su us s l ím mi it te es s. .

LuLudwdwiigg WWiittttggeennststeeiinn TrTraactctaattuus s LLooggicicoo--PPhhililoososopphhiiccusus,, 55..661 1

Introducción

El lenguaje cotidiano tiene una gran riqueza porque ofrece la posibilidad de ser usado analógicamente. Cuando hablamos hacemos uso de metáforas, de símbolos, de sinónimos y podemos abundar en matices. Tenemos códigos de comunicación que nos permiten sobreentender cosas que no están dichas. Podemos ser breves y aún así ser entendidos. Usamos el lenguaje para transmitir sentimientos o ideas que no pueden expresarse con exactitud. Más aún, iguales expresiones pueden cambiar de significado según las circunstancias, nuestro interlocutor, o nuestra intencionalidad. Una misma palabra puede ser usada con humor, ironía, rabia, ternura...

Esta flexibilidad del lenguaje cotidiano, es la que permite construir expresiones de gran belleza como un poema.

El lenguaje utilizado para la comunicación en las ciencias, el lenguaje científico, es un depuración y, en algún sentido, un empobrecimiento del lenguaje ordinario.

El lenguaje científico es un lenguaje carente de ambigüedad, de un alto nivel de corrección y una marcada sencillez sintáctica, objetividad y universalidad. Es por eso especialmente cuidadoso con el orden expositivo y la coherencia interna de lo expuesto.

Cada ciencia posee su jerga y su lenguaje propio. En la matemática predomina el uso de un lenguaje formal que se distancia, en mayor grado que en otras ciencias, del lenguaje cotidiano. En muchas ciencias, los objetos de los que se ocupan suelen ser

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están sometidos a la opinión pero admiten cierto grado de interpretación. La matemática trabaja con objetos ideales que son creados por el hombre, que existen en su mente. Sus formulaciones suelen ser muy concisas en cuanto a la forma. El lenguaje matemático puede ser considerado un “idioma”, ya que dispone de un sistema de escritura complejo, regido por reglas y sintaxis propias. Otra característica de este lenguaje, reside en el uso de símbolos sin distinción de los objetos que representan y en la naturaleza abstracta de esos objetos.

Esta cualidad de “forma compacta” hace que, desde el punto de vista del experto que conoce “el idioma matemático”, la comunicación sea más sencilla, pero pone en juego la comprensión de aquellas personas que se aproximan a la esta ciencia.

Desde el lenguaje cotidiano hasta el que utilizan los profesionales matemáticos en la comunicación de sus resultados hay infinidad de grises. El lenguaje matemático formal debería ser la culminación de un proceso de construcción personal que permita separarse paulatinamente del lenguaje cotidiano.

Así como hay un lenguaje matemático, también hay una “forma de pensar matemática” . La matemática se basa en procesos deductivos, en razonamientos válidos que permiten inferir con rigurosidad una verdad de la validez de otras. Tanto el pensamiento como el lenguaje cotidiano, presentan aparentes similitudes con esta forma de pensar, aunque en el fondo, hay diferencias radicales.

Nos proponemos un análisis de los razonamientos básicos de la matemática y de sus “aparentes pares” en el la forma de pensar de todos los días, para explotar sus similitudes, en aras de facilitar el recorrido hacia la comprensión, y clarificar las diferencias, que muchas veces se convierten en obstáculos “invisibles” en el

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Lógica formal y Lógica informal

El término lógica deriva del griego clásico logos el cual significaba palabra o lo que se habla, sin embargo, en la época contemporánea, se interpreta como pensamiento o razonamiento. La lógica se remonta a la antigua China, India y Grecia, entre el siglo V a.c. y el siglo I a.c.

Hemos denominado a este trabajo “Lógica Informal”. La “lógica informal”

existe como rama de la lógica, y nació como el estudio metódico de los argumentos (Aristóteles la llamaba “el arte de la argumentación correcta y verdadera”), investigada principalmente por la retórica, la oratoria y la filosofía, especializándose en la identificación de falacias y paradojas, así como en la construcción correcta de los razonamientos. Tradicionalmente esta lógica parte de la base de que el pensamiento humano es muchas veces falaz. Así, ha tenido como finalidad una búsqueda de la verdad por lo que se ha dedicado a clasificar los razonamientos en correctos y falaces.

A diferencia de la anterior, la lógica formal se refiere al estudio de argumentos racionales en forma estrictamente esquematizada y organizada. Se basa en razonamientos correctos e intenta llegar a niveles superiores de razonamiento. La lógica matemática o simbólica está inmersa dentro del campo de la lógica formal [1].

Este trabajo no es entonces un apunte de lógica formal ni de lógica informal. No estamos usando el nombre de “informal” en el sentido que hemos descripto, sino que pretendemos señalar algunas diferencias entre el razonamiento propio de la matemática y el razonamiento cotidiano, y en este sentido, nuestro trabajo es más bien un estudio de una lógica “sin corbata”1. Para una aproximación más formal al estudio de esta disciplina, puede el lector consultar el texto “Elementos de lógica proposicional” [2] de esta misma serie o el libro “Elementos de lógica simbólica” [3].

En este trabajo se encontrarán actividades que aparentemente poco tienen que ver con la matemática (como por ejemplo un análisis de varios fragmentos tomados de la literatura, los periódicos o libros de texto), pero que aportan elementos de reflexión acerca de lo que significa el pensamiento lógico deductivo, propio de la matemática.

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¿Qué saben de lógica los que no saben lógica?

Todos los seres humanos tenemos necesidad de hacer inferencias, de uno u otro tipo. Dondequiera que hay necesidad de realizar inferencias hay lógica, por tanto, todos practicamos cotidianamente algún tipo de lógica. Si lo anterior es cierto, entonces es falso que un estudiante que por vez primera se enfrenta a un curso de lógica, vaya a aprender, por primera vez en su vida, a realizar inferencias lógicas. En un sentido, se trata siempre de “falsos principiantes”. En particular, parece un error suponer que la tarea de un curso de lógica sea “enseñar a pensar”. Los estudiantes ya saben pensar (y cosas muy interesantes). La tarea del profesor de lógica es, más bien, orientarlos para pensar mejor. Darles herramientas para un mejor análisis del pensamiento de los otros, y una mejor articulación del propio. Ayudar al estudiante a “pensar mejor”

primordialmente supone: 1) Hacerle ver la necesidad de discutir y resolver problemas de manera argumentada, lógica y racional, y crear la disposición a seguir vías racionales y 2) Ayudarle a detectar los modos inadecuados de inferencia y argumentación, presentes tanto en su propio discurso como en el de los otros [4]. Este cuadernillo, precisamente, busca abrir las puertas en este sentido.

Usos de la palabra “lógica” en el lenguaje coloquial

Como primera actividad proponemos la lectura de un texto [5] acerca de los distintos usos y acepciones de la palabra “lógica” en el lenguaje coloquial, de modo de intentar una reflexión acerca de las diferencias entre el pensamiento y razonamiento cotidianos, y en las ciencias.

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en función del escándalo que éste genere. Asimismo, se emplea el término “lógica”

como sinónimo de sentido común, buen sentido, razón o actitud racional, cuando se afirma, por ejemplo, que “felizmente prevaleció la lógica”. Se hace uso del sustantivo

“lógica”, también para significar una determinada estructura de ordenamiento o la forma en que se encuentran dispuestas ciertas partes o ciertos elementos de un conjunto o ámbito. Así, ese es el sentido que toma en el siguiente texto: “Me he visto obligado - dijo - a creer que la lógica de sus acciones estaba desequilibrada” (G. Flaubert, Madame Bovary). Suele también significar, en otro contexto, coherencia o sentido; así podemos leer: “Aunque todo es mentira, no deja de tener lógica todo lo que dice” (Shakespeare, Hamlet).

En su uso como adjetivo, la palabra “lógica” pasa a significar “natural”, en el sentido de previsible; es decir, hace referencia a un hecho o acción que se esperaba sucediese como consecuencia necesaria de un evento determinado; y así se dice: “es lógico que el anciano reaccione de la siguiente manera si le robaste las manzanas” (M.

de Vasconcelos, Mi planta de naranja lima). También suele usarse para significar algo

“obvio” o “evidente”: “no podía haber más que un solo significado lógico tras las palabras de Luisa Bourget” (A.Chirstie, Poirot en Egipto). Asimismo, pasa a significar, en otros casos, “necesario”, como en el texto siguiente: “como consecuencia lógica de su buena actuación en las tablas, comenzó a trabajar en el cine” (M. Paján, Grandes estrellas del cine). En otras ocasiones, con este término se hace referencia al carácter coherente que algo posee; en este sentido, por ejemplo, se dice que “los ingenieros hidráulicos participantes en el proyecto propusieron soluciones lógicas al problema” (El Comercio, 03-08-02, p. 10). Además, cuando se dice que algo tiene un orden lógico se hace referencia a aquello que tiene un orden riguroso, sistemático y coherente, aunque en este caso, tal vez, el uso del término sea redundante, pues todo orden, por definición, es riguroso, sistemático y coherente. El empleo de la palabra “lógico” también sirve para caracterizar una actitud como “razonable” o “sensata”, y así se dice, por ejemplo, de un determinado funcionario que “lo más lógico sería que deje su cargo mientras goza de cierta aprobación”.

Referencias

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