Serie de potencias
En matemáticas, una serie de potencias es una serie de la forma:
alrededor de x=c, en el cual el centro es c, y los coeficientes son los términos de una sucesión y que usualmente corresponde con la serie de Taylor de alguna función conocida.
En ocasiones, el centro c de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina serie de Maclaurin y toma la forma simple
Es de utilidad al momento de construir conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de 2° orden cuyos coeficientes son funciones de una variable independiente.
Convergencia de series de potencias[1]
Primera parte del teorema de convergencia de series de potencias, demostración.
Ejemplos Véase también Referencias Enlaces externos
Sea : serie de potencias, obtenemos su representación como una serie de potencias convergente estableciendo el Teorema de Taylor, el cual nos dice que si es analítica en un disco abierto centrado en entonces la serie de Taylor de , converge en el disco y es igual a en todo ese disco.
Teorema de convergencia de series de potencias
Índice
Convergencia de series de potencias 1
Sea: una serie de potencias. Existe un único número , quizá mayor a infinito ; llamado el radio de convergencia, tal que si , la serie converge y si , la serie diverge. Específicamente la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado en
. No podemos generalizar la convergencia si . Demostración:
Siendo , donde sup es la cota superior más chica de ese
conjunto de números reales.
Para continuar con la demostración auxiliándonos del Lema de Abel-Weierstrass donde suponiendo que y que para toda n, donde M es una constante. Para
converge uniforme y absolutamente en el disco cerrado . Su demostración
menciona lo siguiente: para tenemos, . Sea
ya que converge. Gracias al criterio de M de Weierstrass la serie converge uniforme y absolutamente en .
Sea . Por la definición de R, existe una con tal que converge. Por lo tanto, converge, gracias al criterio de comparación. Los términos están acotados (a cero) y, por tanto, por el lema
de Abel-Weierstrass, la serie converge uniforme y absolutamente en para cualquier . Puesto que cualquier con está en alguna y viendo que
siempre podemos escoger tal que , tenemos la convergencia en .
Supongamos ahora que y converge. Deduciendo una contradicción.
Los términos están acotados en valor absoluto porque se aproximan al O. Así, por el lema de
Abel-Weierstrass, si , entonces converge absolutamente si . Por
lo tanto. converge. Esto significa, por la definición de , que .
Hemos demostrado que la convergencia es uniforme y absoluta en cada disco cerrado estrictamente menor y, por tanto, en cualquier disco cerrado en A.
La serie geométrica
Primera parte del teorema de convergencia de series de potencias, demostración.
Ejemplos
La función exponencial (en azul), y la suma de sus primeros n+1 términos de su serie de Maclaurin (en rojo).
es una serie de potencias, absolutamente convergente si y divergente si o y es uno de los ejemplos más importantes de este tipo de series, como también lo son la fórmula de la función exponencial
y la fórmula del seno
válidas para todos los reales x. Estas series de potencias son ejemplos de series de Taylor.
Serie (matemáticas) Serie formal de potencias Serie de Laurent
Convergencia
Radio de convergencia Fórmula de Euler-Maclaurin Anexo:Series matemáticas
1. «Jerrold E. Marsden, Michael J. Hoffman-Análisis Básico de Variable Compleja-Trillas (1996)| Funciones trigonométricas | Número complejo» (https://es.scribd.com/document/274 247094/Jerrold-E-Marsden-Michael-J-Hoffman-Analisis-basico-de-variable-compleja-Trillas- 1996-pdf). Scribd. Consultado el 26 de junio de 2022.
Weisstein, Eric W. «Power Series» (http://mathworld.wolfram.com/PowerSeries.html). En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
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Véase también
Referencias
Enlaces externos
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