Coeficiente de reflexión

LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

LÍNEAS DE TRANSMISIÓN CON Y SIN PÉRDIDAS

Coeficiente de reflexión

( ) ( )

( )

iL ^{z L 2 z} z

rL

i

r

e

e V

e V z V

z

z V

_γ ^{− γ}

γ

−

ρ

=

=

= ρ

En general: Líneas sin pérdidas

Es el cociente entre la tensión reflejada y la tensión incidente

Coeficiente de reflexión en la carga: (z = 0)

0 L L

0 L L

0 L L

0 L L

iL rL L

I Z V

I Z V Z I V

Z I V V V

+

= − +

= −

=

ρ

L 0

0 L

L

Z Z

Z Z

+

= − ρ

( ) z = ρ

_L

e

^jφL

e

^−2γz

= ρ

_L

e

^−2αz

e

^{j(φL−2βz)}

ρ ( )

L ^{j( 2 z)}

e

L

z = ρ

^{φ − β}

ρ

jL

L L

= ρ e

^φ

ρ

Tensión y corriente en la línea

( ) [ ( ) ] (

L ^{2 z}

)

z iL z

iL z rL z

iL

e V e V e 1 z V e 1 e

V z

V =

^γ

+

^−γ

=

^γ

+ ρ =

^γ

+ ρ

^−γ

( ) (

L ^{2 z j( 2 z)}

)

z j z iL

e

L

e 1 e e V z

V =

^{α β}

+ ρ

^{− α φ − β}

( ) (

L ^{2 z j( 2 z)}

)

0 z j z

iL

1 e e

L

Z e e z V

I

^{− α φ − β}

β

α

− ρ

=

( ) ^{z V e 1 e 2 e cos} ( ^{2 z} )

V =

_iL ^αz

+ ρ

_L^{2 −4αz}

+ ρ

_L ^−2αz

φ

_L

− β

( ) ^{z V e e 2 cos} ( ^{2 z} )

V =

_iL ^2αz

+ ρ

_L^{2 −2αz}

+ ρ

_L

φ

_L

− β

( ) ^{e e 2 cos} ( ^{2 z} )

Z z V

I

^{2 z} _L ^{2 2 z} _{L L}

0

iL

+ ρ − ρ φ − β

=

^{α − α}

Tensión y corriente en la línea

( ) ( )

i

( )

MV

[ ( )

MV

]

z 2 L z

max

V

iL

e 1 e V z 1 z

z

V =

^αMV

+ ρ

^{− α MV}

= + ρ

( ^{2 z} ) ¹

cos φ

_L

− β =

n 2 z

_MV

4

^L

± λ

π λ

= φ

( ) ( )

i

( )

mV

[ ( )

mV

]

z 2 L z

min

V

iL

e 1 e V z 1 z

z

V =

^{α mV}

− ρ

^{− α mV}

= − ρ

( ^{2 z} ) ¹

cos φ

_L

− β = −

⎟ λ

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + π ±

λ

= φ

2 n 4 1 z

_mV

4

^L

Máximos de tensión:

Mínimos de tensión:

Tensión y corriente en la línea

( ) ( ) ^{( )} [ ( )

MI

]

0 MI i z

2 L z

0 iL

max

1 z

Z z e V

1 Z e

z V

I =

^αMI

+ ρ

^{− α MI}

= + ρ

( ^{2 z} ) ¹

cos φ

_L

− β =

n 2 z

_mI

4

^L

± λ

π λ

= φ

( ) ( ) ^{( )} [ ( )

mI

]

0 mI i z

2 L z

0 iL

min

1 z

Z z e V

1 Z e

z V

I =

^{α mI}

− ρ

^{− α mI}

= − ρ

( ^{2 z} ) ¹

cos φ

_L

− β = −

⎟ λ

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + π ±

λ

= φ

2 n 4 1 z

_MI

4

^L

Máximos de corriente:

Mínimos de corriente:

Tensión y corriente en la línea

En una línea de transmisión:

Los máximos de tensión coinciden con los mínimos de corriente Los mínimos de tensión coinciden con los máximos de corriente La separación entre máximos consecutivos de tensión (mínimos

consecutivos de corriente) es λ/2

La separación entre mínimos consecutivos de tensión (máximos consecutivos de corriente) es λ/2

La separación entre un máximo y el siguiente mínimo (en

tensión y en corriente) es λ/4

Tensión y corriente en la línea

( ) [ ( ) ] (

L ^{2j z}

)

z j iL z

j iL z j rL z j

iL

e V e V e 1 z V e 1 e

V z

V =

^β

+

^−β

=

^β

+ ρ =

^β

+ ρ

^{− β}

( ) (

L ^{j( 2 z)}

)

z j iL

e

L

1 e V z

V =

^β

+ ρ

^{φ − β}

( ) (

L ^{j( 2 z)}

)

0 z j

iL

1 e

L

Z e z V

I

^{φ − β}

β

ρ

−

=

( ) z V 1 2 cos ( 2 z )

V =

_iL

+ ρ

_L²

+ ρ

_L

φ

_L

− β

( ) ^{1 2 cos} ( ^{2 z} )

Z z V

I

_L² _{L L}

0

iL

+ ρ − ρ φ − β

=

Línea sin pérdidas:

α = 0

Tensión y corriente en la línea

( ) z

max

V

iL

( 1

L

) V

i

( ) z

MV

[ 1 ( ) z

MV

]

V = + ρ = + ρ

( ^{2 z} ) ¹

cos φ

_L

− β =

n 2 z

_MV

4

^L

± λ

π λ

= φ

( ) z

min

V

iL

( 1

L

) V

i

( ) z

mV

[ 1 ( ) z

mV

]

V = − ρ = − ρ

( 2 z ) 1 cos φ

_L

− β = −

⎟ λ

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + π ±

λ

= φ

2 n 4 1 z

_mV

4

^L

Máximos de tensión:

Mínimos de tensión:

Línea sin pérdidas:

α = 0

Tensión y corriente en la línea

( ) ( ) ^{( )} [ ( )

MI

]

0 MI i L 0

iL

max

1 z

Z z 1 V

Z z V

I = + ρ = + ρ

( 2 z ) 1 cos φ

_L

− β =

n 2 z

_mI

4

^L

± λ

π λ

= φ

( ) ( ) ^{( )} [ ( )

mI

]

0 mI i L 0

iL

min

1 z

Z z 1 V

Z z V

I = − ρ = − ρ

( 2 z ) 1 cos φ

_L

− β = −

⎟ λ

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + π ±

λ

= φ

2 n 4 1 z

_MI

4

^L

Máximos de corriente:

Mínimos de corriente:

Línea sin pérdidas:

α = 0

Tensión y corriente en la línea

En una línea de transmisión sin pérdidas:

Los máximos de tensión coinciden con los mínimos de corriente Los mínimos de tensión coinciden con los máximos de corriente La separación entre máximos consecutivos de tensión (mínimos

consecutivos de corriente) es λ/2

La separación entre mínimos consecutivos de tensión (máximos consecutivos de corriente) es λ/2

La separación entre un máximo y el siguiente mínimo (en tensión y en corriente) es λ/4

El módulo de la tensión (y de la corriente) en todos los máximos tiene el mismo valor

El módulo de la tensión (y de la corriente) en todos los mínimos

tiene el mismo valor

Relación de onda estacionaria

( )

(

^mV

)

mV

MV MV

z 2 L z

z 2 L z

e 1 e

e 1

SWR e

_{α − α}

α

− α

ρ

− ρ

= +

( ) ( ) ( ) ( )

^max_min

min max

z I

z I z

V z SWR V

S = ≡ =

Es el cociente entre el módulo de la tensión (o de la corriente) de un máximo y de un mínimo

R.O.E. = Relación de Onda Estacionaria S.W.R.= Standing Wave Ratio

Indica el grado de adaptación de una línea de transmisión

Líneas sin pérdidas:

L L

1 SWR 1

ρ

− ρ

= +

∞

≤

≤ SWR 1

Impedancia en la línea

( ) ( )

( ) ( )

( ) ^z

1 z Z 1

z I

z z V

Z

₀

ρ

− ρ

= +

≡

La impedancia de la línea en cada punto es el cociente entre la tensión y la corriente en ese punto

Líneas sin pérdidas:

En función de las ecuaciones hiperbólicas:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ^z

tanh Z Z

z tanh Z Z Z

z senh Z z cosh Z

z senh Z z cosh Z Z

z Z

L 0

0 L 0 L

0

0 L

0

+ γ

γ

= + γ +

γ

γ +

= γ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) z tan Z j Z

z tan Z j Z Z

z sen Z j z cos Z

z sen Z j z cos Z Z

z Z

L 0

0 L 0 L

0

0 L

0

+ β

β

= + β +

β

β +

= β

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + λ

= Z z 2 z

Z

Impedancia en la línea

( ) ( )

( ) d 1

d Z 1

d

Z

₀

ρ

− ρ

= +

Significado de la impedancia y el coeficiente de reflexión en cada punto de una línea de transmisión:

Carga Z

_L

d 0

( )

d Z Z_eq=

( )

d

eq=ρ ρ

Potencia en la línea

( ) ^{= Re} [ ^V ( ) ( ) ^{z ⋅ I z}

^∗

]

2 z 1 P

Potencia media que fluye a través de la línea, calculada en un punto a una distancia z de la carga:

Potencia suministrada por el generador a la línea de transmisión:

Generador Línea

V

_G

Z

_G

Z

_in

V

_in

I

_in

in G

in G

in

Z Z

V Z

V = +

in G G

in

Z Z

V 1

I = +

[ ^⋅

^∗

]

=

_{in in}

in

Re V I

2 P 1

Potencia instantánea:

( ) ^{z , t V} ( ) ( ) ^{z , t I z , t}

P = ⋅

Potencia en la línea

La potencia suministrada a la línea de transmisión es máxima cuando la impedancia equivalente que presenta la línea es la conjugada de la impedancia interna del generador

Máxima potencia si:

Z

_G

= Z

^∗_in

Generador Carga

V

_G

Z

_G

Z

_L

Z

_in

Línea de transmisión

Potencia en la línea

( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ] ^{( )} [ ( ) ]

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ + ρ − ρ

=

⋅

=

^{∗ ∗}_∗

1 z

^∗

Z z z V 1 z V 2 Re z 1

I z V 2 Re z 1 P

0 i i

Potencia media que fluye a través de la línea, calculada en un punto a una distancia z de la carga:

Línea de bajas pérdidas(impedancia característica real):

( ) (

^{( )}

) (

^{( )}

)

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ + ρ − ρ

=

^{− α φ − β ∗}

β

− α

∗ β

− φ α

− β

α 2 z j 2 z

L 0

z j z z

2 j z 2 L z j z iL

iL L

L

1 e e

Z e e e V

e 1 e e V 2 Re z 1 P

( )

_iL ^{2 2 z}

0 2 L z 2 2 iL 0

e Z V

2 e 1

Z V 2 z 1

P =

^α

− ρ

^{− α}

Potencia incidente Potencia reflejada

P

_r

( ) z = ρ ( ) ( ) z

²

P

_i

z

Potencia en la línea

Línea sin pérdidas(impedancia característica real y constante de atenuación nula):

( ) (

^{( )}

) (

^{( )}

)

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ + ρ − ρ

=

^{φ − β ∗}

β

−

∗ β

− φ

β j 2z

L 0

z j z

2 j L z j iL

iL L

L

1 e

Z e e V

1 e V 2 Re z 1 P

( )

_iL²

0 2 L 2 iL 0

Z V 2 V 1

Z 2 z 1

P = − ρ

Potencia incidente Potencia reflejada

i 2 L

r

P

P = ρ

( ) z P P ≠

Casos especiales

Carga adaptada

L

= 0 ρ

0

L

Z

Z =

Z

₀

d

( ) d Z

₀

Z =

1 SWR =

Z

₀

( ) d = 0

ρ

Casos especiales

Cortocircuito

L

= − 1 ρ

0 Z

_L

=

Z

_L

= 0

d

( ) d Z tanh ( ) d

Z =

₀

γ

∞

= SWR

Z

₀

Sin pérdidas:

( ) d j Z tan ( ) d

Z =

₀

β

( ) d = − e

^−2αd

e

^−2jβd

ρ ρ ( ) d = − e

^−2jβd

Casos especiales

Circuito abierto

L

= 1 ρ

∞

L

= Z

Z

_L

= ∞

d

( ) d Z coth ( ) d

Z =

₀

γ

∞

= SWR

Z

₀

Sin pérdidas:

( ) d j Z cot ( ) d

Z = −

₀

β

( ) d = e

^−2αd

e

^−2jβd

ρ ρ ( ) d = e

^−2jβd

Casos especiales

Carga imaginaria pura

L

= 1 ρ

L

L

jX

Z =

jX

_L

d Z

₀

∞

= SWR

Sin pérdidas:

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

φ

₂

0 2 L

0 L

L

X Z

Z X arctan 2

( ) ( )

( ) ^d

tanh jX Z

d tanh Z Z jX

d Z

L 0

0 L

0

+ γ

γ

= + ( ) ( )

( ) ^d

tan Z j Z

d tan Z j Z Z

d Z

L 0

0 L

0

+ β

β

= +

( ) d = e

^−2αd

e

^−2jβd

e

^jφL

ρ ρ ( ) d = e

^−2jβd

e

^jφL

LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

PÉRDIDAS EN LA LÍNEA

Pérdidas por atenuación

Si consideramos que la carga está adaptada (no existe onda reflejada):

Potencia que suministra el generador:

( )

_iL^{2 2 L}

0

GEN

V e

Z 2 L 1 z P

P = = =

^α

Potencia que se disipa en la carga:

( )

_iL ² _GEN ^{2 L}

0

L

V P e

Z 2 0 1 z P

P = = = =

^{− α}

Atenuación: ^{2 L}

L

GEN

e

P . P

Ate = =

^α

En dB:

( ) 10 log e 20 log e L ( dB / m ) ( ) L m P

log P 10 dB .

Ate

^{2 L}

L

GEN

⎟⎟ ⎠ = = ⋅ ⋅ α ⋅ = α ⋅

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

^α

( dB / m )

α

Pérdidas por desadaptación

Potencia incidente en la carga _iL²

0

iL

V

Z 2 P = 1

Potencia reflejada en la carga

Potencia disipada en la carga

iL 2 L 2 iL 0 2 L

rL

V P

Z 2

P = ρ 1 = ρ

( )

iL

2 L rL

iL

absL

P P 1 P

P = − = − ρ

2 L iL rL

P P = ρ

2 L iL

absL

1 P

P = − ρ

( )

²

^{( )}

rL

L L

iL

R.L. 10 log P 10 log 20 log P

⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟ = − ρ = − ρ

⎝ ⎠

(

L ²

)

iL

absL

10 log 1 P

log P

10 ⎟⎟ ⎠ = − ρ

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛