Lección 1: Modelo del Aparato Vocal

Lecci´ on 1:

Modelo del Aparato Vocal

Dr. Jes´us Savage Dr. Carlos Rivera

6 de septiembre de 2021

1 Modelo del Aparato Vocal

2 Modelo Cavidad Glotal

3 Tracto Vocal

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Modelo del Aparato Vocal

Un modelo lineal de producci´on de voz para sonidos vocales fue propuesto por Fant en 1959.

Figura:Modelo del Aparato Vocal.

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Modelo del Aparato Vocal

Figura:Diagrama de bloques del aparato vocal.

La excitaci´on e(n) es modelada como una serie de impulsos unitarios escalados y espaciados con un per´ıodo que corresponde al tono (pitch) para sonidos vocales.

Figura

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Modelo de la Excitaci´ on e(n)

Figura:Gr´afica de la vocal A, se observa que es quasiperiodica

Figura:Gr´afica de la consonante S, se observa que es parecido a una se˜nal aleatoria.

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Modelo de la Excitaci´ on e(n)

Para se˜nales tipo vocal:

e(n) = ε0

∞

X

j =0

δ(n − j ρ)

donde ρ es el tono del parlante o el periodo del tren de pulsos y la delta de Dirac es :

δ(n) =1 n = 0 0 n 6= 0



La transformada Z de e(n) Z {e(n)} =

∞

X

n=0

e(n)z⁻ⁿ

=

∞

X

n=0

ε0(

∞

X

j =0

δ(n − jp))z⁻ⁿ

= ε0

∞

X

j =0

∞

X

n=0

δ(n − j ρ)z⁻ⁿ

= ε0

∞

X

j =0

z^−jp= ε0

∞

X

j =0

(z^−p)^j Haciendo:

A =

∞

X

j =0

(z^−p)^j (1)

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Modelo de la Excitaci´ on e(n)

Multiplicando (1) por z^−p:

z^−p· A =

∞

X

j =0

(z^−p)^{j +1}

Haciendo j + 1 = k, entonces para j = 0 ⇒ k = 1

=

∞

X

k=1

(z^−p)^k =

∞

X

j =1

(z^−p)^j (2)

(1) − (2) = A − z^−pA =

∞

X

j =0

(z^−p)^j −

∞

X

j =1

(z^−p)^j = 1

⇒ A = 1

1 − z^−p

Entonces la transformada Z de la excitaci´on e(n) es:

Z {e(n)} = Z {ε0

∞

X

j =0

δ(n − j ρ)} = ε₀ 1 − z^−p

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Modelo Cavidad Glotal

La cavidad glotal se modela con la siguiente expresi´on:

g (n) = G0(n + 1)e^−cnT = G0ne^−cnT + G0e^−cnT (3) La transformada Z de g (n) es:

Z {g (n)} = Z {G0ne^−cnT+ G0e^−cnT} (4) Separando esta transformada en dos partes, para el segundo termino:

Z {G0e^−cnT} =

∞

X

n=0

G0e^−cnTz⁻ⁿ = G0

∞

X

n=0

(e^−cTz⁻¹)ⁿ (5) Recordar que

∞

X

n=0

Aⁿ= 1

1 − A (6)

Por lo tanto:

G0

∞

X

n=0

(e^−cTz⁻¹)ⁿ= G0

1 − e^−cTz⁻¹ (7)

Por otra parte la transformada Z para el primer termino de g (n)

Z {G0ne^−cnT} = G₀

∞

X

n=0

n · e^−cnTz⁻ⁿ = A (8)

= 0 + G₀

∞

X

n=1

n · (e^−cTz⁻¹)ⁿ

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Modelo Cavidad Glotal

Haciendo

n = k + 1; n = 1 ⇒ k = 0

= G₀

∞

X

k=0

((k + 1) · (e^−cTz⁻¹)^k+1

= G₀

∞

X

k=0

k · (e^−cTz⁻¹)^k+1+ G₀

∞

X

k=0

(e^−cTz⁻¹)^k+1

= G0(e^−cTz⁻¹)·

∞

X

k=0

k ·(e^−cTz⁻¹)^k+G0(e^−cTz⁻¹)·

∞

X

k=0

(e^−cTz⁻¹)^k (9)

De la definici´on de A en (9) entonces (10):

⇒ A = (e^−cTz⁻¹) · A +G₀(e^−cTz⁻¹) 1 − e^−cTz⁻¹

A(1 − (e^−cTz⁻¹)) = G₀(e^−cTz⁻¹) 1 − e^−cTz⁻¹

A = G₀(e^−cTz⁻¹) (1 − (e^−cTz⁻¹))²

Entonces la transformada Z en la expresi´on (5)

G (z) = A + G₀ 1 − e^−cTz⁻¹

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Modelo Cavidad Glotal

= G₀(e^−cTz⁻¹)

(1 − (e^−cTz⁻¹))² + G₀ 1 − e^−cTz⁻¹

= G₀(e^−cTz⁻¹) + G₀(1 − e^−cTz⁻¹) (1 − e^−cTz⁻¹)²

= G0

(1 − e^−cTz⁻¹)²

La transformada Z del tracto vocal:

V (z) =

k

Y

i =1

1

(1 − z⁻¹zi)(1 − z⁻¹z_i^∗) Efecto de los Labios (Lip Radiateur):

L(z) = L₀(1 − z⁻¹) Modelo total

S (z) = L(z)V (z)G (Z )e(Z ) (10)

= L0G0E0[1 − z⁻¹][1 − e^−cTz⁻¹]⁻²[1 − z^−P]⁻¹ Qk

i =1(1 − z⁻¹zi)(1 − z⁻¹z_i^∗) (11)

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Tracto Vocal

[1 − z⁻¹] se cancela con [1 − e^−cTz⁻¹]⁻¹

[1 − e^−cTz⁻¹]⁻¹ se incluye en el producto del denominador

S (z) = L₀G₀E₀[1 − z^−P]⁻¹ Qk

i =1(1 − z⁻¹z_i)(1 − z⁻¹z_i^∗)

= σ · E (z) PM

i =0a_i · z⁻ⁱ = E (z)H(z)

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Tracto Vocal

H(z) = σ

PM

i =0a_i · z⁻ⁱ S (z) = σ · E (z)

PM

i =0ai· z⁻ⁱ

S (z)

M

X

i =0

ai· z⁻ⁱ = S (z)a0+ S (z)a1z⁻¹+ ... + S (z)amz^−m= σ · E (z)

Si a0= 1

S (z) = σ · E (z) − S (z)a1z⁻¹− ... − S(z)a_mz^−m

Obteniendo la transformada Z inversa de S (z):

Z⁻¹{S(z)} = s[n] = σe[n] − a₁s[n − 1] − a2s[n − 2] · · · − ams[n − m]

Dada una se˜nal de voz el objetivo es encontrar los siguientes componentes del modelo para cada bloque de la se˜nal j que representan ´esta:

a^j, σ_j, e^j[n]

En donde el vector para el bloque j esta definido como:

a^j = [1 a^j₁a^j₂ ... a^j_m]

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