Problemario para el curso Matemáticas I Problemario para el curso Matemáticas I
1.
1. NÚMEROS NATURALES.NÚMEROS NATURALES.
1.1.
1.1. Definición.Definición.
1.2.
1.2. Operaciones.Operaciones.
2.
2. NÚMEROS ENTEROS.NÚMEROS ENTEROS.
2.1.
2.1. Definición.Definición.
2.2.
2.2. Orden.Orden.
2.3.
2.3. OperacionesOperaciones 3.
3. NÚMEROS RACIONALES.NÚMEROS RACIONALES.
3.1.
3.1. Definición.Definición.
3.2.
3.2. Orden.Orden.
3.3.
3.3. Expresión decimal.Expresión decimal.
3.4.
3.4. Equivalencias.Equivalencias.
3.5.
3.5. Operaciones Operaciones fundamentalesfundamentales..
3.6.
3.6. Razones y proporcionesRazones y proporciones..
4.
4. NÚMEROS IRRACIONALES.NÚMEROS IRRACIONALES.
4.1.
4.1. Definición.Definición.
5.
5. NÚMEROS REALES.NÚMEROS REALES.
5.1.
5.1. Definición.Definición.
5.2.
5.2. Representación geométrica.Representación geométrica.
5.3.
5.3. Definición de igualdad y sus propiedades.Definición de igualdad y sus propiedades.
6.
6. APLICACIONES.APLICACIONES.
6.1.
6.1. Mínimo común múltiplMínimo común múltiplo ( M. C. o ( M. C. M.)M.) 6.2.
6.2. Máximo Común Divisor. (M. C. D.)Máximo Común Divisor. (M. C. D.) 6.3.
6.3. Potencia y radicación.Potencia y radicación.
6.4.
6.4. Notación Notación científicacientífica.. 2.
2. LENGUAJE ALGEBRAICO.LENGUAJE ALGEBRAICO.
2.1.
2.1. Definición de Álgebra.Definición de Álgebra.
2.2.
2.2. Notación algebraica (lenguaje algebraico).Notación algebraica (lenguaje algebraico).
2.3.
2.3. Signos algebraicos de operación, de relación y de Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación.agrupación.
2.4.
2.4. Término algebraico y sus partes.Término algebraico y sus partes.
2.5.
2.5. Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó nono semejantes.
semejantes.
2.6.
2.6. Clasificación de las expresiones algebraicas por su número deClasificación de las expresiones algebraicas por su número de términos.
términos.
2.7.
2.7. Grado de una expresión algebraica.Grado de una expresión algebraica.
2.8.
2.8. Ordenamiento de una expresión Ordenamiento de una expresión algebraica.algebraica.
2.9.
2.9. Valor numérico de Valor numérico de una expresión algebraica.una expresión algebraica.
3.
3. OPERACIONES ALGEBRAICAS.OPERACIONES ALGEBRAICAS.
3.1.
3.1. Adición y sustracción de monomios y polinomios con coeficientes,Adición y sustracción de monomios y polinomios con coeficientes, enteros y fraccionarios.
enteros y fraccionarios.
3.2.
3.2. Introducción y supresión de signos de agrupación.Introducción y supresión de signos de agrupación.
3.3.
3.3. Leyes de los exponentes enteros para Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación.la multiplicación.
3.4.
3.4. MultiplicaciMultiplicación ón por polinomios.por polinomios.
3.5.
3.5. Definición de producto y producto notable.Definición de producto y producto notable.
3.5.1.
3.5.1. Cuadrado de un binomio.Cuadrado de un binomio.
3.5.2.
3.5.2. Binomios conjugados.Binomios conjugados.
3.5.3.
3.5.3. Binomio con un término común.Binomio con un término común.
3.5.4.
3.5.4. Cubo de un binomio.Cubo de un binomio.
3.5.5.
3.5.5. Teorema del binomio.Teorema del binomio.
3.6.
3.6. Leyes de los exponentes enteros para Leyes de los exponentes enteros para la división.la división.
3.7.
3.7. División de División de polinomios.polinomios.
3.8.
3.8. División sintética.División sintética.
3.9.
3.9. Factorización.Factorización.
3.9.1.
3.9.1. Factor común.Factor común.
3.9.2.
3.9.2. Diferencia de cuadrados.Diferencia de cuadrados.
3.9.3.
3.9.3. Trinomios con término de segundo grado.Trinomios con término de segundo grado.
3.9.4.
3.9.4. Suma y diferencia de cubos.Suma y diferencia de cubos.
3.9.5.
3.9.5. Por agrupación.Por agrupación.
4.
4. FRACCIONES ALGEBRAICAS.FRACCIONES ALGEBRAICAS.
4.1.
4.1. Definición y clasificación.Definición y clasificación.
4.2.
4.2. Propiedades.Propiedades.
4.3.
4.3. Simplificación.Simplificación.
4.4.
4.4. MultiplicaciMultiplicación ón de fracciones.de fracciones.
4.5.
4.5. División de fracciones.División de fracciones.
4.6.
4.6. Obtener el mínimo común Obtener el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicasmúltiplo de expresiones algebraicas 4.7.
4.7. Suma y resta de fracciones.Suma y resta de fracciones.
4.8.
4.8. SimplificaciSimplificación ón de fracciones de fracciones complejas.complejas.
5.
5. EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALESEXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES..
5.1.
5.1. Propiedades de los Propiedades de los exponentes fraccionarios.exponentes fraccionarios.
5.2.
5.2. Operaciones con exponentes Operaciones con exponentes fraccionarios.fraccionarios.
5.3.
5.3. Definición de raízDefinición de raíz 5.4.
5.4. Propiedades de los Propiedades de los radicales.radicales.
5.5.
5.5. SimplificaciSimplificación de ón de un radical.un radical.
5.6.
5.6. Suma de radicales.Suma de radicales.
5.7.
5.7. MultiplicaciMultiplicación y ón y división de radicales.división de radicales.
5.8.
5.8. Racionalización.Racionalización.
6.
6. ECUACIONESECUACIONES..
6.1.
6.1. Definición, partes y clasificación en base al grado de Definición, partes y clasificación en base al grado de número denúmero de incógnitas.
incógnitas.
6.2.
6.2. Propiedades de las ecuaciones.Propiedades de las ecuaciones.
6.3.
6.3. Solución de ecuaciones de primer grado con Solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.una incógnita.
6.4.
6.4. Problemas que conducen a ecuaciones de Problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con unaprimer grado con una incógnita.
incógnita.
6.5.
6.5. Solución gráfica de una ecuación de Solución gráfica de una ecuación de primer grado con dosprimer grado con dos incógnitas.
incógnitas.
6.6.
6.6. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
6.7.
6.7. Método de solución (eliminación y por determinantes) eMétodo de solución (eliminación y por determinantes) e interpretación geométrica.
interpretación geométrica.
6.8.
6.8. Problemas que conducen a un Problemas que conducen a un sistema de ecuaciones de linealessistema de ecuaciones de lineales con dos
con dos incógnitas.incógnitas.
6.9.
6.9. Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con unauna incógnita por:
incógnita por:
6.9.1.
6.9.1. Factorización.Factorización.
6.9.2.
6.9.2. Formula cuadrática.Formula cuadrática.
6.9.3.
6.9.3. Completando el trinomio cuadrado perfecto.Completando el trinomio cuadrado perfecto.
Objetivo Objetivo
Realizar una recopilación de los problemas propuestos por los libros de
Realizar una recopilación de los problemas propuestos por los libros de texto relativos atexto relativos a cada uno de los
cada uno de los subtemas señalados por el programa analítico de la materia desubtemas señalados por el programa analítico de la materia de matemáticas.
matemáticas.
Problemas tipo sobre números enteros Problemas tipo sobre números enteros
1.
1. Di que número debes sumar en cada situación:Di que número debes sumar en cada situación:
a)
a) Bajó 3 kilos de peso.Bajó 3 kilos de peso.
b)
b) Su dieta tiene 200 calorías menos.Su dieta tiene 200 calorías menos.
c)
c) La bolsa perdió 153 puntos.La bolsa perdió 153 puntos.
d)
d) La temperatura bajó 17º C.La temperatura bajó 17º C.
e)
e) Retiró $35.50 de sus ahorros.Retiró $35.50 de sus ahorros.
f)
f) Se contrajo 0.15 metros la barra de acero.Se contrajo 0.15 metros la barra de acero.
g)
g) El ritmo cardíaco aumentó 5 latidos por minuto.El ritmo cardíaco aumentó 5 latidos por minuto.
h)
h) La presión atmosférica subió0.16 atm.La presión atmosférica subió0.16 atm.
i)
i) El resorte se estiró 5 centímetros.El resorte se estiró 5 centímetros.
j)
j) Este pan lleva 100 gramos menos de levadura.Este pan lleva 100 gramos menos de levadura.
k)
k) Este barco tiene 5 metros más de estribor.Este barco tiene 5 metros más de estribor.
l)
l) CrecióCreció 112020 de metro.de metro.
m)
m) Una pérdida de $320.Una pérdida de $320.
n)
n) La tela encogióLa tela encogió
4 14
1 de metro.de metro.
o)
o) El café subió $0.70 el kilo.El café subió $0.70 el kilo.
p)
p) Un descuento de $9.Un descuento de $9.
q)
q) Un aumento de $52.Un aumento de $52.
r)
r) Se hundió 4.25 metros.Se hundió 4.25 metros.
s)
s) La longitud aumentó 10 centímetros.La longitud aumentó 10 centímetros.
t)
t) Se cortó el cabello 8 centímetros.Se cortó el cabello 8 centímetros.
u)
u) SubióSubió
4 4 3 23
2 kilos de peso.kilos de peso.
2.
2. La suma de dos números es 450 y su cociente 8. Hallar los números.La suma de dos números es 450 y su cociente 8. Hallar los números.
R:
R: 400 y 50400 y 50 3.
3. Un ejército retrocedió 2300 metros. Después de reagruparse, avanzóUn ejército retrocedió 2300 metros. Después de reagruparse, avanzó 1750 metros. Al día siguiente ganó otros 1875 metros. Calcula la 1750 metros. Al día siguiente ganó otros 1875 metros. Calcula la ganancia o pérdida total de ese ejército.
ganancia o pérdida total de ese ejército.
4.
4. La suma de dos números es 3768 y su cociente 11. Hallar losLa suma de dos números es 3768 y su cociente 11. Hallar los números.
números. R:R:3454 y 3143454 y 314 5.
5. Juan gana $8 por hora peinando caballos. Después de trabajar 8 horasJuan gana $8 por hora peinando caballos. Después de trabajar 8 horas tenía $94. ¿Cuánto tenía antes de comenzar a trabajar?
tenía $94. ¿Cuánto tenía antes de comenzar a trabajar?
6.
6. El doble de la suma de dos números es 100 y el cuádruplo de suEl doble de la suma de dos números es 100 y el cuádruplo de su cociente es 36. Hallar los números.
cociente es 36. Hallar los números. R:R: 45 y 545 y 5 7.
7. Determina el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 23.5, 37.2Determina el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 23.5, 37.2 y 39.7 pies.
y 39.7 pies.
8.
8. 800 excede en 60 unidades a la suma de dos números y en 727 a su800 excede en 60 unidades a la suma de dos números y en 727 a su cociente. Hallar los números.
cociente. Hallar los números. R:R: 730 y 10730 y 10 9.
9. Determina el perímetro de un trapezoide cuyos lados miden 43.27,Determina el perímetro de un trapezoide cuyos lados miden 43.27, 47.37, 50.21 y 52.93 centímetros.
47.37, 50.21 y 52.93 centímetros.
10.
10. La edad de A es 4 veces la de B y ambas edades suman 45 años. ¿QuéLa edad de A es 4 veces la de B y ambas edades suman 45 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
edad tiene cada uno? R:R:A, 36 años; 9 años.A, 36 años; 9 años.
11.
11. Entre A y B tienen $12,816.00, y B tiene la tercera parte de lo queEntre A y B tienen $12,816.00, y B tiene la tercera parte de lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno?
tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno? R:R:A, $9,612 y B, $3,204A, $9,612 y B, $3,204 12.
12. Durante cinco días de invierno se registraron las siguientesDurante cinco días de invierno se registraron las siguientes temperaturas a mediodía:
temperaturas a mediodía: – – 15ºC, 6ºC,15ºC, 6ºC, – – 5ºC y5ºC y – – 8ªC. ¿Cuál fue la8ªC. ¿Cuál fue la temperatura promedio de esos cinco días?
temperatura promedio de esos cinco días?
13.
13. La bolsa de valores tuvo las siguientes fluctuaciones durante unaLa bolsa de valores tuvo las siguientes fluctuaciones durante una semana. Ganó 132 puntos, perdió 57 puntos, perdió 86 puntos, ganó semana. Ganó 132 puntos, perdió 57 puntos, perdió 86 puntos, ganó 27 puntos y perdió 50 puntos. ¿Cuántos puntos ganó o perdió durante 27 puntos y perdió 50 puntos. ¿Cuántos puntos ganó o perdió durante la semana?
la semana?
14.
14. Un día de invierno, la temperatura en la madrugada era de 8ºC.Un día de invierno, la temperatura en la madrugada era de 8ºC.
Durante la mañana subió 12ºC, en la tarde descendió 5ºC y en la Durante la mañana subió 12ºC, en la tarde descendió 5ºC y en la noche bajó 3ºC. ¿Qué temperatura había en la noche?
noche bajó 3ºC. ¿Qué temperatura había en la noche?
15.
15. Un submarino se encuentra a 210 metros bajo el nivel del mar. DebidoUn submarino se encuentra a 210 metros bajo el nivel del mar. Debido a las fuertes corrientes tiene que descender 74 metros. Más tarde a las fuertes corrientes tiene que descender 74 metros. Más tarde decide subir 50 metros. ¿ A qué profundidad se encuentra el decide subir 50 metros. ¿ A qué profundidad se encuentra el submarino?
submarino?
16.
16. María tenía $897. Tuvo que pagar una cuenta de $78.65, una de $53 yMaría tenía $897. Tuvo que pagar una cuenta de $78.65, una de $53 y una de $8.50. Juan le pagó $101.80 que le debía. ¿Cuánto dinero tiene una de $8.50. Juan le pagó $101.80 que le debía. ¿Cuánto dinero tiene ahora María?
ahora María?
17.
17. Un avión subió a una altura de 8825 metros. Debido al mal tiempoUn avión subió a una altura de 8825 metros. Debido al mal tiempo tuvo que elevarse 1547 metro. Después descendió 1239 metros para tuvo que elevarse 1547 metro. Después descendió 1239 metros para continuar su viaje. ¿Qué altura llevaba?
continuar su viaje. ¿Qué altura llevaba?
18.
18. Un elevador estaba en el piso 12. Bajó 5 pisos, subió 13 y bajó 2 ¿EnUn elevador estaba en el piso 12. Bajó 5 pisos, subió 13 y bajó 2 ¿En que piso se encuentra ahora?
que piso se encuentra ahora?
19.
19. Ricardo tiene una tarjeta de crédito con un saldo a favor de $229.Ricardo tiene una tarjeta de crédito con un saldo a favor de $229.
Pagó con la tarjeta $296, $103 y $76. Como había gastado mucho, Pagó con la tarjeta $296, $103 y $76. Como había gastado mucho, depositó $130. ¿Qué saldo tiene ahora en la tarjeta de crédito?
depositó $130. ¿Qué saldo tiene ahora en la tarjeta de crédito?
20.
20. Un alpinista se encuentra en la cima del Popocatepetl cuya altura esUn alpinista se encuentra en la cima del Popocatepetl cuya altura es de 5452 metros. Desciende 476 metros. Otro alpinista se encuentra al de 5452 metros. Desciende 476 metros. Otro alpinista se encuentra al pie del volcán y asciende 892 metros. ¿Cuál es la diferencia entra las pie del volcán y asciende 892 metros. ¿Cuál es la diferencia entra las alturas a las que se encuentran los dos alpinistas?
alturas a las que se encuentran los dos alpinistas?
21.
21. La Ciudad de México tiene una altitud de 2303 metros sobre el nivelLa Ciudad de México tiene una altitud de 2303 metros sobre el nivel del mar. Un helicóptero de noticias sobrevuela la ciudad. Sube 193 del mar. Un helicóptero de noticias sobrevuela la ciudad. Sube 193 metros, desciende 24 metros, baja 9 metros y se eleva 38 metros.
metros, desciende 24 metros, baja 9 metros y se eleva 38 metros.
Después de todos estos movimientos, ¿qué altura tiene sobre el nivel Después de todos estos movimientos, ¿qué altura tiene sobre el nivel del mar?
del mar?
22.
22. El área de un rectángulo es igual a 24 centímetros cuadrados. Si seEl área de un rectángulo es igual a 24 centímetros cuadrados. Si se deforma el rectángulo disminuyendo la altura y permaneciendo el área deforma el rectángulo disminuyendo la altura y permaneciendo el área constante, ¿qué le sucede a la base?
constante, ¿qué le sucede a la base?
23.
23. Divide el número 403 327 884 entre 280 869, 270 327 y 267 814Divide el número 403 327 884 entre 280 869, 270 327 y 267 814 respectivamente. La solución que encontrarás en los tres casos es un respectivamente. La solución que encontrarás en los tres casos es un número entero y corresponden al año en el que nació Cristóbal Colón, número entero y corresponden al año en el que nació Cristóbal Colón, el año en que descubrió América y el año en que murió, el año en que descubrió América y el año en que murió, respectivamente.
respectivamente.
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Dos correos salen de dos ciudades, A y B, distantes entre sí 150 kms. a las Dos correos salen de dos ciudades, A y B, distantes entre sí 150 kms. a las 7 a.m., y van uno hacia el otro. El que sale de A va a 8 kms. por hora y el 7 a.m., y van uno hacia el otro. El que sale de A va a 8 kms. por hora y el sale de de B va a 7 kms. por hora. ¿A qué hora se encontrarán y a que sale de de B va a 7 kms. por hora. ¿A qué hora se encontrarán y a que distancia de A y B?
distancia de A y B?
El que sale de A anda 8 kms/h y el de B anda 7 kms/h, luego de una El que sale de A anda 8 kms/h y el de B anda 7 kms/h, luego de una hora se acercan 8+7=15 kms. y como la distancia que separa A de B hora se acercan 8+7=15 kms. y como la distancia que separa A de B es de 150 kms., se encontraran al cabo de 150 kms ÷ 15 kms. = 10 es de 150 kms., se encontraran al cabo de 150 kms ÷ 15 kms. = 10 horas.
horas.
En las 10 horas que se ha estado moviendo el móvil que salió de A En las 10 horas que se ha estado moviendo el móvil que salió de A ha recorrido 8 kms × 10 horas = 80 kms.; luego, el punto de
ha recorrido 8 kms × 10 horas = 80 kms.; luego, el punto de encuentro dista de A 80 kms. y de B distará 150 kms
encuentro dista de A 80 kms. y de B distará 150 kms – – 80 kms. =7080 kms. =70 kms.
kms.
Comprobación Comprobación
El que salió de B, en las 10 horas que ha estado andando para El que salió de B, en las 10 horas que ha estado andando para encontrar al de A, ha recorrido 10 × 7 kms = 70 kms., que es la encontrar al de A, ha recorrido 10 × 7 kms = 70 kms., que es la distancia del punto de encuentro al punto B.
distancia del punto de encuentro al punto B.
——————————
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Dos autos salen de dos ciudades, A y B, situadas a 1400 Kms. de Dos autos salen de dos ciudades, A y B, situadas a 1400 Kms. de distancia, y van uno hacia el otro. El de A sale a las 6 a.m. a 100 Kms./h.
distancia, y van uno hacia el otro. El de A sale a las 6 a.m. a 100 Kms./h.
¿A qué hora se encontrarán y a qué distancia de los puntos A y B?
¿A qué hora se encontrarán y a qué distancia de los puntos A y B?
El que sale de A, de 6 a 8 de la mañana recorre 2×100 Kms. = 200 El que sale de A, de 6 a 8 de la mañana recorre 2×100 Kms. = 200 Kms.; luego a las 8 a.m., cuando sale el de B, la distancia que los Kms.; luego a las 8 a.m., cuando sale el de B, la distancia que los separa es de 1,400 Kms. - 200 Kms. = 1,200 Kms.
separa es de 1,400 Kms. - 200 Kms. = 1,200 Kms.
A partir de las 8 a.m., en cada hora se acercan 100 Kms. + 50 Kms.
A partir de las 8 a.m., en cada hora se acercan 100 Kms. + 50 Kms.
= 150 Kms.; luego, para encontrarse, necesitarán 1,200 Kms. ÷ 150
= 150 Kms.; luego, para encontrarse, necesitarán 1,200 Kms. ÷ 150 Kms. = 8 horas, a partir de las 8 a.m.; luego se encontrarán a las 4 Kms. = 8 horas, a partir de las 8 a.m.; luego se encontrarán a las 4 p.m.
p.m.
El que salió de A ha estado andando desde las 6 a.m. hasta las 4 El que salió de A ha estado andando desde las 6 a.m. hasta las 4 p.m., o sea 10 horas, a razón de 100 Kms. por hora, para encontrar p.m., o sea 10 horas, a razón de 100 Kms. por hora, para encontrar al otro; luego, ha recorrido 10 × 100 Kms. = 1,000 Kms.; luego, el al otro; luego, ha recorrido 10 × 100 Kms. = 1,000 Kms.; luego, el punto de encuentro E dista 1,000 kms. de A y 1,400-1,000 = 400 punto de encuentro E dista 1,000 kms. de A y 1,400-1,000 = 400 Kms. de B.
Kms. de B.
Comprobación Comprobación
De 8 a.m. a 4 p.m., o sea en 8 horas, el que salió de B ha recorrido De 8 a.m. a 4 p.m., o sea en 8 horas, el que salió de B ha recorrido 8×50 Kms. = 400 Kms., que es la distancia hallada del punto de 8×50 Kms. = 400 Kms., que es la distancia hallada del punto de encuentro al punto B.
encuentro al punto B.
a)
a) Dos autos salen de dos ciudades A y B distantes entre sí 840 Kms. yDos autos salen de dos ciudades A y B distantes entre sí 840 Kms. y van al encuentro. El de A va a 50 Kms./h. y el de B a 70 Kms./h. Si van al encuentro. El de A va a 50 Kms./h. y el de B a 70 Kms./h. Si salieron a las 6 p.m., ¿a qué hora se encontrarán y a qué distancia de salieron a las 6 p.m., ¿a qué hora se encontrarán y a qué distancia de A y de B?
A y de B? R:R: A la 1 p.m.; a 350 Kms. de A y 490 Kms. de BA la 1 p.m.; a 350 Kms. de A y 490 Kms. de B b)
b) Dos móviles salen de dos puntos A y B que distan 236 Kms. y van alDos móviles salen de dos puntos A y B que distan 236 Kms. y van al encuentro. Si el de A sale a las 5 a.m. a 9 Kms./h. y el B a las 9 a.m. a encuentro. Si el de A sale a las 5 a.m. a 9 Kms./h. y el B a las 9 a.m. a 11 Kms./h. ¿a qué hora se encontrarán y a qué distancia de A y B?
11 Kms./h. ¿a qué hora se encontrarán y a qué distancia de A y B? R:R:
A las 7
A las 7 p.m.; a 126 Kms. p.m.; a 126 Kms. de A y de A y 110 Kms. de 110 Kms. de B.B.
c)
c) Un auto sale de Sta. Clara hacia La Habana a las 6 a.m. a 30 Kms./h. yUn auto sale de Sta. Clara hacia La Habana a las 6 a.m. a 30 Kms./h. y otro de la Habana hacia Sta. Clara a las 6½ a.m. a 20 Kms./h. ¿A qué otro de la Habana hacia Sta. Clara a las 6½ a.m. a 20 Kms./h. ¿A qué
distancia se hallarán a las 9 a.m. sabiendo que entre Sta. Clara y la distancia se hallarán a las 9 a.m. sabiendo que entre Sta. Clara y la Habana hay 300 Kms.?
Habana hay 300 Kms.? R:R:A 160 Kms.A 160 Kms.
d)
d) A las 6 a.m. sale un auto de A a 60 Kms./h. y va al encuentro de otroA las 6 a.m. sale un auto de A a 60 Kms./h. y va al encuentro de otro que sale de B a 80 Kms./h., a la misma hora. Sabiendo que se que sale de B a 80 Kms./h., a la misma hora. Sabiendo que se encuentran a las 11 a.m., ¿cuál es la distancia entre A y B?
encuentran a las 11 a.m., ¿cuál es la distancia entre A y B? R:R: 700700 Kms.
Kms.
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Un hacendado lleva al Banco tres bolsas con dinero. La 1ª y la 2ª juntas Un hacendado lleva al Banco tres bolsas con dinero. La 1ª y la 2ª juntas tienen $350; la 2ª y la 3ª juntas $300, y la 1ª y la 3ª juntas, $250 ¿Cuánto tienen $350; la 2ª y la 3ª juntas $300, y la 1ª y la 3ª juntas, $250 ¿Cuánto tiene cada bolsa?
tiene cada bolsa?
1ª bolsa + 2ª 1ª bolsa + 2ª bolsa
bolsa
= $ 350
= $ 350 2ª bolsa + 3ª
2ª bolsa + 3ª bolsa
bolsa
= $ 300
= $ 300 1ª bolsa + 3ª
1ª bolsa + 3ª bolsa
bolsa
= $ 250
= $ 250 Suma:
Suma: $ $ 900900
La suma $900 contiene dos veces lo de la primera bolsa, más dos La suma $900 contiene dos veces lo de la primera bolsa, más dos veces lo de la segunda, más dos veces lo de la tercera, luego la veces lo de la segunda, más dos veces lo de la tercera, luego la mitad de la suma $900 ÷ 2 = $450 = 1ª bolsa + 2ª bolsa + 3ª bolsa.
mitad de la suma $900 ÷ 2 = $450 = 1ª bolsa + 2ª bolsa + 3ª bolsa.
Si las tres juntas tienen $450, y la 1ª y la 2ª , $350, la tercera tendrá Si las tres juntas tienen $450, y la 1ª y la 2ª , $350, la tercera tendrá
$450-$350=$100.
$450-$350=$100.
La segunda tendrá $300 - $100 = $200 La segunda tendrá $300 - $100 = $200 La primera tendrá $350- $200 = $150 La primera tendrá $350- $200 = $150
La primer bolsa contiene $150, la segunda $200 y la tercera $100 La primer bolsa contiene $150, la segunda $200 y la tercera $100
Comprobación Comprobación
La 1ª y la 2ª bolsa tendrán $150 + $200 = $350 La 1ª y la 2ª bolsa tendrán $150 + $200 = $350 La 2ª y la 3ª bolsa tendrán $200 + $100 = $300 La 2ª y la 3ª bolsa tendrán $200 + $100 = $300 La 1ª y la 3ª bolsa tendrán $150 + $100 = $250 La 1ª y la 3ª bolsa tendrán $150 + $100 = $250 1)
1) En un colegio hay tres aulas. La 1ª y la 2ª juntas tienen 85 alumnos; laEn un colegio hay tres aulas. La 1ª y la 2ª juntas tienen 85 alumnos; la 2ª y la 3ª, 75 alumnos; la 1ª y la 3ª, 80 alumnos ¿Cuántos alumnos hay 2ª y la 3ª, 75 alumnos; la 1ª y la 3ª, 80 alumnos ¿Cuántos alumnos hay en cada clase?
en cada clase?R:R: 1ª, 45; 2ª, 40; 3ª, 351ª, 45; 2ª, 40; 3ª, 35 2)
2) La edad de pedro y la de Juan suman 9 años; la de Juan y la deLa edad de pedro y la de Juan suman 9 años; la de Juan y la de Enrique, 13 años y la de Pedro y la de Enrique, 12 años. Hallar las tres Enrique, 13 años y la de Pedro y la de Enrique, 12 años. Hallar las tres edades.
edades. R:R: Pedro, 4 años; Juan, 5; Enrique, 8Pedro, 4 años; Juan, 5; Enrique, 8 3)
3) Un saco y un pantalón valen 75 bolívares; el pantalón y su chaleco, 51Un saco y un pantalón valen 75 bolívares; el pantalón y su chaleco, 51
4)
4) Un hacendado lleva al banco tres bolsas que contienen dinero. ElUn hacendado lleva al banco tres bolsas que contienen dinero. El duplo de lo que contiene la 1ª y la 2ª bolsa es 14,000 bolívares; el duplo de lo que contiene la 1ª y la 2ª bolsa es 14,000 bolívares; el triplo de lo que contiene la 1ª y la 3ª es 24,000 bolívares y la mitad de triplo de lo que contiene la 1ª y la 3ª es 24,000 bolívares y la mitad de lo que contiene la 2ª y la 3ª es 4,500 bolívares ¿Cuánto contiene cada lo que contiene la 2ª y la 3ª es 4,500 bolívares ¿Cuánto contiene cada bolsa?
bolsa? R:R:la 1ª 3,000; la 2ª 4,000; la 3ª 5,000 bolívares.la 1ª 3,000; la 2ª 4,000; la 3ª 5,000 bolívares.
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Un depósito se puede llenar por dos llaves. Una vierte 150 litros en 5 Un depósito se puede llenar por dos llaves. Una vierte 150 litros en 5 minutos y la otra 180 litros en 9 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en minutos y la otra 180 litros en 9 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito, estando vacío y cerrado el desagüe, si se abren a un llenarse el depósito, estando vacío y cerrado el desagüe, si se abren a un tiempo las dos llaves, sabiendo que su capacidad es de 550 litros?
tiempo las dos llaves, sabiendo que su capacidad es de 550 litros?
La 1ª llave vierte 150 litros en 5 minutos; luego, en un minuto vierte La 1ª llave vierte 150 litros en 5 minutos; luego, en un minuto vierte 150 ÷ 5 = 30 litros.
150 ÷ 5 = 30 litros.
La 2ª llave vierte 180 litros en 5 minutos; luego, en un minuto vierte La 2ª llave vierte 180 litros en 5 minutos; luego, en un minuto vierte 180 ÷ 9 = 20 litros.
180 ÷ 9 = 20 litros.
Las dos llaves juntas vierten en un minuto 30 + 20 = 50 litros.
Las dos llaves juntas vierten en un minuto 30 + 20 = 50 litros.
Como la capacidad del depósito es de 550 litros, tardarán en llenarlo Como la capacidad del depósito es de 550 litros, tardarán en llenarlo 550 ÷ 50 = 11 minutos.
550 ÷ 50 = 11 minutos.
Comprobación Comprobación
La 1ª llave, en 11 minutos, vierte 11× 30 = 330 litros.
La 1ª llave, en 11 minutos, vierte 11× 30 = 330 litros.
La 2ª llave, en 11 minutos, vierte 11× 20 = 220 litros.
La 2ª llave, en 11 minutos, vierte 11× 20 = 220 litros.
Las dos llaves juntas, en 11 minutos, echarán 330 + 220 = 550 Las dos llaves juntas, en 11 minutos, echarán 330 + 220 = 550 litros, que es la capacidad del depósito.
litros, que es la capacidad del depósito.
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Un estanque tiene dos llaves, una de las cuales vierte 117 litros en 9 Un estanque tiene dos llaves, una de las cuales vierte 117 litros en 9 minutos y la otra en 112 litros en 8 minutos, y un desagüe por el que salen minutos y la otra en 112 litros en 8 minutos, y un desagüe por el que salen 42 litros en 6 minutos. El estanque contenía 500 litros de agua y abriendo 42 litros en 6 minutos. El estanque contenía 500 litros de agua y abriendo las dos llaves y el desagüe al mismo tiempo se acabó de llenar en 48 las dos llaves y el desagüe al mismo tiempo se acabó de llenar en 48 minutos. ¿Cuál es la capacidad del estanque?
minutos. ¿Cuál es la capacidad del estanque?
La 1ª llave vierte 117 ÷ 9 = 13 litros por minuto.
La 1ª llave vierte 117 ÷ 9 = 13 litros por minuto.
La 2ª llave vierte 112 ÷ 8 = 14 litros por minuto.
La 2ª llave vierte 112 ÷ 8 = 14 litros por minuto.
Las dos llaves juntas vierten 13 + 14 = 27 litros por minuto.
Las dos llaves juntas vierten 13 + 14 = 27 litros por minuto.
Por el desagüe 42 ÷ 6 = 7 litros por minuto Por el desagüe 42 ÷ 6 = 7 litros por minuto
Si en un minuto las dos llaves echan 27 litros y salen 7 litros por el Si en un minuto las dos llaves echan 27 litros y salen 7 litros por el desagüe, quedan en el estanque 20 litros en cada minuto; luego, en desagüe, quedan en el estanque 20 litros en cada minuto; luego, en 48 minutos, que es el tiempo en que acaba de llenarse el estanque, 48 minutos, que es el tiempo en que acaba de llenarse el estanque, se han quedado 20 × 48 = 960 litros, y como éste tenía ya 500 litros, se han quedado 20 × 48 = 960 litros, y como éste tenía ya 500 litros, la capacidad del estanque es 500 + 960 = 1,460 litros.
la capacidad del estanque es 500 + 960 = 1,460 litros.
Comprobación Comprobación
La capacidad total es 1460 litros. Quitando los 500 litros que ya La capacidad total es 1460 litros. Quitando los 500 litros que ya había en el estanque, quedan 1460-500=960 litros de capacidad.
había en el estanque, quedan 1460-500=960 litros de capacidad.
Estos 960 litros se llenan en 960 ÷ 20 = 48 minutos.
Estos 960 litros se llenan en 960 ÷ 20 = 48 minutos.
A.
A. Un estanque cuya capacidad es de 300 litros está vacío y cerrado suUn estanque cuya capacidad es de 300 litros está vacío y cerrado su desagüe. ¿En cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo tiempo desagüe. ¿En cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo tiempo tres llaves que vierten, la 1ª, 36 litros en 3 minutos; la 2ª, 48 litros en 6 tres llaves que vierten, la 1ª, 36 litros en 3 minutos; la 2ª, 48 litros en 6 minutos y la 3ª, 15 litros en 3 minutos?
minutos y la 3ª, 15 litros en 3 minutos? R:R: 12 minutos.12 minutos.
B.
B. Un lavabo tiene una llave que vierte 24 litros en 4 minutos y unUn lavabo tiene una llave que vierte 24 litros en 4 minutos y un desagüe por el que salen 32 litros en 16 minutos. Si estando vacío el desagüe por el que salen 32 litros en 16 minutos. Si estando vacío el lavabo y abierto el desagüe por el que salen 32 litros en 16 minutos. Si lavabo y abierto el desagüe por el que salen 32 litros en 16 minutos. Si estando vacío el lavabo y abierto el desagüe se abre la llave, ¿en estando vacío el lavabo y abierto el desagüe se abre la llave, ¿en cuánto tiempo se llenará el lavabo si su capacidad es de 84 litros?
cuánto tiempo se llenará el lavabo si su capacidad es de 84 litros? R:R:
21 min.
21 min.
C.
C. Si un estanque de 480 litros de capacidad que está lleno se le abre elSi un estanque de 480 litros de capacidad que está lleno se le abre el desagüe, se vacía en 1 hora. Si estando vacío y cerrado el desagüe, se desagüe, se vacía en 1 hora. Si estando vacío y cerrado el desagüe, se abre su llave de agua, se llena en 40 minutos. ¿en cuánto tiempo se abre su llave de agua, se llena en 40 minutos. ¿en cuánto tiempo se llenará, si estando vacío y abierto el desagüe, se abre la llave?
llenará, si estando vacío y abierto el desagüe, se abre la llave? R:R: 2 h.2 h.
D.
D. Un tinaco de 1200 litros se llena en 5 horas. ¿Cuántos litros porUn tinaco de 1200 litros se llena en 5 horas. ¿Cuántos litros por minuto arroja la llave?
minuto arroja la llave? R:R:
E.
E. Un estanque se puede llenar por dos llaves, una de las cuales vierteUn estanque se puede llenar por dos llaves, una de las cuales vierte 200 litros en 5 minutos y la otra 150 litros en 6 minutos. El estanque 200 litros en 5 minutos y la otra 150 litros en 6 minutos. El estanque tiene un desagüe por el que salen 8 litros en 4 minutos. ¿En cuánto tiene un desagüe por el que salen 8 litros en 4 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío, se abren al mismo tiempo se llenará el estanque, si estando vacío, se abren al mismo tiempo las dos llaves y el desagüe, sabiendo que su capacidad es de tiempo las dos llaves y el desagüe, sabiendo que su capacidad es de 441 litros?
441 litros? R:R: 7 min.7 min.
F.
F. Un estanque tiene tres grifos que vierten: el 1º, 50 litros en 5 minutos;Un estanque tiene tres grifos que vierten: el 1º, 50 litros en 5 minutos;
2º, 91 litros en 7 minutos y el 3º, 108 litros en 12 minutos, y dos 2º, 91 litros en 7 minutos y el 3º, 108 litros en 12 minutos, y dos desagües por los que salen 40 litros en 5 minutos y 60 litros en 6 desagües por los que salen 40 litros en 5 minutos y 60 litros en 6 minutos, respectivamente. Si estando vacío el estanque y abiertos los minutos, respectivamente. Si estando vacío el estanque y abiertos los desagües, se abren la tres llaves al mismo tiempo, necesita 40 minutos desagües, se abren la tres llaves al mismo tiempo, necesita 40 minutos para llenarse. ¿Cuál es su capacidad?
para llenarse. ¿Cuál es su capacidad?R:R: 560 l.560 l.
G.
G. Un estanque cuya capacidad es de 53,227 litros tiene dos llaves queUn estanque cuya capacidad es de 53,227 litros tiene dos llaves que vierten una 654 lts. en 3 minutos y la otra 1260 lts. en 4 minutos y dos vierten una 654 lts. en 3 minutos y la otra 1260 lts. en 4 minutos y dos desagües por los que salen, respectivamente, 95 lts. en 5 minutos y desagües por los que salen, respectivamente, 95 lts. en 5 minutos y 102 lts. en 6 minutos. Si en el estanque hay ya 45,275 litros de agua y 102 lts. en 6 minutos. Si en el estanque hay ya 45,275 litros de agua y se abren a un tiempo las dos llaves y los desagües, ¿en cuánto tiempo se abren a un tiempo las dos llaves y los desagües, ¿en cuánto tiempo se acabará de llenar?
se acabará de llenar? R:R: 16 min.16 min.
H.
H. Un depósito tiene tres llaves que vierten: la 1ª, 68 lts en 4 minutos; laUn depósito tiene tres llaves que vierten: la 1ª, 68 lts en 4 minutos; la
las tres llaves al mismo tiempo, el depósito se llena en 53 minutos.
las tres llaves al mismo tiempo, el depósito se llena en 53 minutos.
¿En cuánto tiempo puede vaciarlo el desagüe estando lleno y cerradas
¿En cuánto tiempo puede vaciarlo el desagüe estando lleno y cerradas las llaves?
las llaves? R:R:5 h. 18 min.5 h. 18 min.
I.
I. Si estando lleno un depósito se abre un desagüe por el que salen 54 ltsSi estando lleno un depósito se abre un desagüe por el que salen 54 lts en 9 minutos, el depósito, se vacía en 5 horas. Sí estando vacío y en 9 minutos, el depósito, se vacía en 5 horas. Sí estando vacío y abierto el desagüe se abren dos llaves que vierten juntas 21 litros por abierto el desagüe se abren dos llaves que vierten juntas 21 litros por minuto, ¿en cuánto tiempo se llenará el estanque?
minuto, ¿en cuánto tiempo se llenará el estanque? R:R: 2 h.2 h.
J.
J. Un estanque tiene agua hasta su tercera parte, y si ahora abrieran unaUn estanque tiene agua hasta su tercera parte, y si ahora abrieran una llave que echa 119
llave que echa 119 lts en 7 minutos lts en 7 minutos y un y un desagüe por el que le desagüe por el que le salensalen 280 litros en 8 minutos, el depósito se vaciaría en 53 minutos ¿Cuál es 280 litros en 8 minutos, el depósito se vaciaría en 53 minutos ¿Cuál es la capacidad del estanque?
la capacidad del estanque? R:R:2,862 lts.2,862 lts.
K.
K. Si en un estanque que está vacío y cuya capacidad es de 3,600 litros,Si en un estanque que está vacío y cuya capacidad es de 3,600 litros, se abrieran al mismo tiempo tres llaves y un desagüe, el estanque se se abrieran al mismo tiempo tres llaves y un desagüe, el estanque se llenaría en 15 minutos. Por el desagüe salen 240 litros en 4 minutos.
llenaría en 15 minutos. Por el desagüe salen 240 litros en 4 minutos.
Si el estanque tiene 600 litros de agua y está cerrado el desagüe, ¿en Si el estanque tiene 600 litros de agua y está cerrado el desagüe, ¿en cuánto tiempo lo acabarán de llenar las tres llaves?
cuánto tiempo lo acabarán de llenar las tres llaves? R:R: 10 min.10 min.
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Un comerciante compró 30 trajes a $20 pesos cada uno. Vendió 20 trajes Un comerciante compró 30 trajes a $20 pesos cada uno. Vendió 20 trajes a $18 cada uno. ¿A cómo tiene que vender los restantes para no perder?
a $18 cada uno. ¿A cómo tiene que vender los restantes para no perder?
Costo de los 30 trajes a $20 uno: 30 × 20 = $ 600 Costo de los 30 trajes a $20 uno: 30 × 20 = $ 600
Para no perder, es necesario que de la venta saque estos $600 que Para no perder, es necesario que de la venta saque estos $600 que gastó.
gastó.
De la venta de 20 trajes a $18 uno, sacó: 20 × $ 18 = $360; luego lo De la venta de 20 trajes a $18 uno, sacó: 20 × $ 18 = $360; luego lo que le tiene que sacar de los trajes restantes para no perder es $600 que le tiene que sacar de los trajes restantes para no perder es $600 – –
$360 = $240.
$360 = $240.
Habiendo vendido 20 trajes, le quedan 30
Habiendo vendido 20 trajes, le quedan 30 – – 20 = 10 trajes20 = 10 trajes
Si de estos 10 trajes tiene que sacar $240, cada traje tendrá que Si de estos 10 trajes tiene que sacar $240, cada traje tendrá que venderlo a $240 ÷ 10 = $24
venderlo a $240 ÷ 10 = $24
Comprobación Comprobación
Al vender los trajes que le quedaban a $24, obtuvo 10 × 24 = $240, Al vender los trajes que le quedaban a $24, obtuvo 10 × 24 = $240, y de los 20 trajes que ya había vendido antes a $18 obtuvo 20 × $18 y de los 20 trajes que ya había vendido antes a $18 obtuvo 20 × $18
= $360; luego, en total obtuvo las ventas $240 + $360 = $600, que
= $360; luego, en total obtuvo las ventas $240 + $360 = $600, que es el costo; luego, no pierde.
es el costo; luego, no pierde.
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Compré cierto número de bueyes por $5600. Vendí 34 bueyes por $2210, Compré cierto número de bueyes por $5600. Vendí 34 bueyes por $2210, perdiendo en cada uno $5. ¿A cómo hay que vender el resto para que la perdiendo en cada uno $5. ¿A cómo hay que vender el resto para que la ganancia total sea de $2130?
ganancia total sea de $2130?
