La gráfica representa una recta numérica, en la que hemos resaltado algunos de sus puntos. En ella la variable “x” puede tomar cualquiera de sus valores.

FACULTAD DE ECONOMÍA CÁLCULO DIFERENCIAL.

Diariamente somos espectadores de muchos tipos de cambios que experimentan las magnitudes con las cuales nos toca vivir: cambios de temperatura, cambios en el valor del dólar, cambios en el crecimiento de una planta, etc. El cambio que sufre una magnitud cuando pasa de un valor inicial hasta uno final, se denomina incremento y su valor se determina mediante una resta.

INCREMENTOS.

La gráfica representa una recta numérica, en la que hemos resaltado algunos de sus puntos. En ella la variable “x” puede tomar cualquiera de sus valores. Si x_i representa el valor inicial y x_f el valor final de la variable, llamaremos incremento en “x” y lo representaremos con la letra griega delta (Δ), escri- biendo x, al cambio que experimenta la variable al pasar de x_i a x_f, es decir: Δ𝑥 = 𝑥_𝑓− 𝑥_𝑖

ACTIVIDADES.

1. De la gráfica anterior, escoge cuatro pares de valores para “x” (de los representados por las letras ) y completa la siguiente tabla:

Valor inicial x_i

valor final x_f

incremento en “x”

x

2. Considera la función definida en los números reales mediante la expresión y = f(x) = x²: a) Si x_i = 2 y x_f = 2.5, Halla x.

b) Si y_i = f(x_i) y y_f = f(x_f), Halla y.

c) Taza la gráfica de la función en el intervalo [0, 3].Resalta los valores para x_i, y_i, x_f, y_f y mues- tra los segmentos correspondientes a x y y.

3. El salario mensual de una persona puede determinarse mediante la función S = f(x) = 5000x + 40000, donde “x” corresponde al número de artículos que vende y S, el salario. La cantidad de artículos vendidos durante las tres últimas semanas del mes pasado fue: Primera semana 40, segun- da semana: 43 y tercera semana 35:

a. ¿Cuál es el incremento en el número de artículos vendidos:

i. ¿Durante las dos primeras semanas?

ii. ¿Durante las dos últimas semanas?

iii. ¿En la primera semana con relación a los vendidos en la última?

iv. ¿En la primera semana, comparados con el total de artículos vendidos hasta la última sema- na?

b. ¿Cuál es el incremento en el salario, considerando las cuatro alternativas anteriores?

c. Traza una gráfica de “S” contra “x” y muestra los incrementos en el número de artículos y en el salario.

RAZÓN O TASA DE CAMBIO PROMEDIO.

El cociente ^Δ𝑦

Δ𝑥 se conoce con el nombre de Cociente Diferencial, Rapidez de cambio promedio de “y”

con relación a “x”, Razón o tasa de Cambio Promedio o Cociente de Incrementos.

ACTIVIDADES.

1. Con relación a la función S = F(x) = 5000x + 40.000, de la actividad anterior:

a. Completa la siguiente tabla de valores, donde se observe el salario correspondiente a las si- guientes cantidades de artículos vendidos:

b. Halla el cociente ^ΔS

Δ𝑥 teniendo en cuenta dos columnas de la tabla anterior. Agota todas las po- sibilidades.

c. ¿Cómo son los cocientes hallados en cada uno de los casos anteriores?

d. ¿Qué significado o interpretación puede darse al cociente ^ΔS Δ𝑥?

2. La siguiente tabla muestra el crecimiento de cierta población. La letra P representa la población presente en el tiempo “t”. “t = 0”, significa el número de individuos en el instante de iniciar la ob- servación; “t = 1” el año siguiente y así sucesivamente

Si se mantiene el ritmo de crecimiento:

a. ¿Cuál sería la población en el sexto año?

b. Halla la razón ^ΔP

Δt correspondiente a : i. Cada dos años consecutivos.

ii. Dos años asociados con tiempos impares.

iii. Dos años asociados con tiempos pares

c. ¿Cómo son los cocientes anteriores? ¿Qué significado puedes darle a cada uno de ellos?

3. En la siguiente tabla se muestra la distancia “d” recorrida por un móvil (en Km), en función del tiempo “t” ( en horas):

Halla el cociente ^Δd Δt:

a. Para cada par de horas consecutivas.

b. Para cada dos horas.

c. Cuando han transcurrido 4 horas.

d. ¿Qué significado podemos darle a cada cociente?

4. La siguiente tabla tiene los valores anuales (en millones de dólares) obtenidas por una empresa, durante cierto período:

Año 1983 1984 1985 1986

Ventas 100.8 105.4 109.8 116.5

¿A qué tasa promedio se incrementaron las ventas anuales entre:

a. 1983 y 1985? b. 1984 y 1985? c. 1984 y 1986?

x 100 200 300 400

S

t 0 1 2 3 4 5 6

P 3 4 7 12 19 28

t 0 1 2 3 4 5

d 0 24 72 144 240 360

La velocidad, la tasa de crecimiento de una población, el costo y la utilidad marginal, son algunos casos especiales del concepto matemático denominado la derivada.

En las siguientes gráficas se muestra una función f y dos de sus puntos señalados con las letras P y Q, con sus correspondientes coordenadas. La letra h representa un pequeño cambio positivo de la variable x cuando pasa desde x hasta x + h. Observemos que si h disminuye hacia cero, el punto Q se aproxima a P y la recta que pasa por P y por Q tiende a convertir en tangente a la curva, en el punto P.

El cociente

x y h

x f h x f



 



 ) ( )

(

mide el valor de la pendiente de la recta que pasa por P y por Q.

DEFINICIÓN. Sea f una función definida en un intervalo (a, b) del eje x. Se escoge un número x

que se encuentre en el intervalo (a, b) y se forma el cociente de diferencias

x y h

x f h x f



 



 ) ( ) (

donde h es un número positivo o negativo (pero no cero) de modo que x + h también quede en el inter- valo (a, b), el cual se denomina razón de cambio promedio. El numerador de este cociente mide la variación de la función (valor de y) cuando x pasa a x + h.

La derivada de f, representada por 𝑓^′ 𝑥 𝑜 𝑦′, se define por 𝑓^′(𝑥)

h x f h x Lim f

h

) ( ) (

0



 

 , siempre

que el limite exista. El número 𝑓^′(𝑥) se llama coeficiente de variación de f en x.

EJEMPLOS:

1) Si representamos con C(x) el costo total que una empresa tiene cuando produce x artículos; C(x) es llamada la función de costos. El cociente 𝐶 𝑥+𝑕 −𝐶(𝑥)

𝑕

=

^Δ𝐶

Δ𝑥 es la razón de cambio promedio y en economía se conoce con el nombre de costo marginal al límite de esa razón de cambio, cuando h se aproxima a cero, esto es: Costo marginal = 𝐶^′(𝑥)

h x C h x Lim C

h

) ( ) (

0



 



2) Derivada de la función constante.

Si f ( x) = c, para todo x, el cociente de diferencias es

(  )  ( )    0 h

c c h

x f h x f

Por lo tanto 𝑓^′ 𝑥 = 0

0 ) ( ) ( 0

 

 



 

 h

c Lim c h h

x f h x Lim f h

Es decir, la derivada de una función cons- tante es cero:

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑐 → 𝑦

^′

= 𝑜

3) Derivada de una función potencia con exponente un entero positivo.

Sea f ( x ) = x². El cociente de diferencias es:

(𝑥 + 𝑕)²− 𝑥²

𝑕 =𝑥²+ 2𝑥𝑕 + 𝑕²− 𝑥²

𝑕 =2𝑥𝑕 + 𝑕²

𝑕 =𝑕(2𝑥 + 𝑕)

𝑕 = 2𝑥 + 𝑕



^{x h}



^{x x}

h Lim x f h x Lim f x f

h h

2 0 2 ) 2

( ) ) (

(

0 0

'        





x x

x

f

^'

( )  2

^21

 2

En general si

NOTACIÓN: Para indicar la derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) suelen emplearse una de las siguien- tes expresiones: 𝑓^′(𝑥), 𝑦^′, o, ^𝑑𝑦

𝑑𝑥

TEOREMA. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo común. En cada punto (número) en el cual f y g tienen derivadas, las siguientes funciones también tienen derivadas las cuales están dadas por:

1. ( f + g )‟ = f’ + g’

2. ( f – g )‟ = f’ – g’

3. ( f  g )‟ = f’ g’

4.

' ' en los puntos en los cuales ( ) 0

2 ,

 



 

 

 



 g x

g g f f g g

f

ACTIVIDADES.

1. Si 𝑓 𝑥 = 3, hallar f „(x) 2. Si 𝑓 𝑥 = 5𝑥² hallar f „(x)

3. Si 𝑓 𝑥 = 𝑥²+ 3𝑥 + 2, hallar f „(x) 4. Si f (x) = 2x³ + 5x² –7x + 8, hallar f „(x) 5.

Si f ( x )  x

²³

hallar f ' ( x )

6. Si f(x)2xx²hallar f'(0), f'(1/2), f'(1), f'(10) 7. Si

𝑓 𝑥 =

¹

3

𝑥

³

+

¹

2

𝑥

²

− 2𝑥

, hallar todos los valores de x tales que:

a. f’( x ) = 0 b. f’( x ) = - 2 c. f’( x ) = 10

8. Sea

1 para todo ,

2 1 3 ) 2

( x x

³

x

²

x x

f    

hallar los puntos de la gráfica de f en los

que la pendiente es a) 0; b) – 1 ; c) 5 9. Si 𝑓 𝑥 = 𝑥²(3𝑥 − 2), hallar f „(x) 10. Si

𝑓 𝑥 =

¹

𝑥, hallar f „(x) 11. Si

𝑓 𝑥 =

^𝑥2

𝑥+1, hallar f „(x)

𝑦 = 𝑥

^𝑛

→ 𝑦

^′

= 𝑛𝑥

^{𝑛 −1}

REGLA DE LA CADENA.

Cuando se tiene una función que es la compuesta de otras dos, para derivar se utiliza el siguiente TEOREMA. Dado

y  f ( z ) , y, z  g ( x ) tendremo s que y  f [ g ( x )]  ( f  g )( x )

es la función compuesta de f y g. Si existen f „ y g‟ entonces también existe la derivada de la función compuesta:

NOTA: g‟( x ) es llamada derivada interna.

EJEMPLOS:

1) Hallar y’ si y = (x² – 1)³. Solución.













 y ( ) 1 ; ( )( ) [ ( )] ( 1 ) )

(

Si f x x

³

g x x

²

f  g x f g x f x

² ( x² – 1 )³

Por lo tanto:

2 2 2

2

'

( ) ' ( ) ' [ ( )] 2 [ 3 ( 1 ) ] 6 ( 1 )

)

( f  g x  g x  f g x  x x   x x 

2) Con la notación 𝑓^′ 𝑥 =^𝑑𝑦

𝑑𝑥 , la regla de la cadena queda así:

Si y = f (z) y z = g(x), tendremos:

dx dz dz dy dx x dy

g f z f

y  ( )  [ ( )], entonces  

El ejemplo anterior se resuelve así:

Hagamos 𝑧 = (𝑥²− 1) mientras que 𝑦 = 𝑧³

Tendremos:   (3z²)(2x)3(x²1)²(2x)6x(x²1)² dx

dz dz dy dx dy

3) Cuando una variable no está “despejada” en una expresión, se dice que se halla definida implícita- mente y cuando derivamos, el proceso se denomina derivación implícita. Si y es función de x, y te- nemos la expresión x² + y² = 4, cuando derivamos tenemos: 2𝑥^𝑑𝑥

𝑑𝑥+ 2𝑦^𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 0 que es equivalente a 2x + 2yy‟ = 0. Si resolvemos para y‟, nos queda

y y '   x

ACTIVIDADES.

Hallar f „(x) para cada una de las siguientes funciones:

1)

f ( x )  ( 2 x  1 )

³ 2)

f ( x )  ( x

²

 2 x )

³

3)

2

2 ) 7

( 



 







  x x x

f

4)

f ( x )  ( 6 x

³

 2 )

⁵ 5)

f ( x )  1  x

² 6)

𝑓 𝑥 =

¹

(1−2𝑥)²

Hallar

dx

dy

por diferenciación implícita:

1)

x

³

 y

³

 8 xy

2)

x

²

 y

²

 9  0

3)

x

²

 xy  y

²

 7

4)

1  1  1 y x

5)

x

²

y

²

 x

²

 y

²

𝑦 = 𝑓 𝑔(𝑥) → 𝑦

^′

= 𝑓

^′

𝑔(𝑥) 𝑔

^′

(𝑥)

DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

DEFINICIÓN: 𝐥𝐢𝐦𝒁→∞ 𝟏 +^𝟏

𝒛 𝒛

= 𝒆

Si 𝑓 𝑥 = 𝐿𝑜𝑔_𝑏𝑥 entonces

𝑓

^′

𝑥 =

¹

𝑥𝑙𝑛 𝑏 Demostración:

𝑓^′ 𝑥 =

0 h

Lim

log

_b

x + h − log

_b

x

h =

0 h

Lim

1

h log

_b

x + h

x =

0 h

Lim

1

h log

_b

1 + h x

Ahora haciendo ^𝑕

𝑥=¹

𝑧, resulta que ¹

𝑕=^𝑧

𝑥 y reemplazando en la expresión anterior tendremos:

𝑓^′ 𝑥 =

0 h

Lim

z

x log

_b

1 + 1 z

= 1

x

hLim0

z log

_b

1 + 1 z

= 1

x

Limh0

log

_b

1 + 1 z

z

Como la función logaritmo es continua, se cumplirá que:

𝑓^′ 𝑥 =

1 x log

_b

0 h

Lim

1 + 1 z

z

Cuando 𝑕 → 0,^𝑕

𝑥=¹

𝑧→ 0, y 𝑧 → ∞ por lo que podemos escribir:

𝑓^′ 𝑥 =

1 x log

_b



 z

Lim

1 + 1 z

z

= 1

x Log

_b

e = Log

_b

e

x =

ln 𝑒

ln 𝑏 𝑥 = 1 𝑥 ln 𝑏

Cuando cambiamos la base por e, tendremos:

𝑦 = 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 →𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1

𝑥 ln 𝑒=1 𝑥 En general:

Ejemplo. Halla la derivada de la función 𝑦 = ln(𝑥²+ 5) Solución:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = ¹

(𝑥²+5) 𝑑

𝑑𝑥 𝑥²+ 5 = ¹

𝑥²+5 2𝑥 = ^2𝑥

𝑥²+5

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE e.

Demostración:

Si 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑒^𝑥 tendremos que ln 𝑦 = 𝑥, que al derivar implícitamente nos queda ^𝑑𝑥

𝑑𝑥 =¹

𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 y al despejar obtenemos ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦. Al reemplazar ^{𝑑 𝑒𝑥}

𝑑𝑥 = 𝑒^𝑥

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE DIFERENTE DE e.

Por definición de logaritmo si 𝑎^𝑥= 𝑏, tendremos que 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 = 𝑥. Sustituyendo esta expresión en la primera, nos queda 𝑎^{𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏} = 𝑏. En los logaritmos naturales, tendremos que 𝑒^{ln 𝑏} = 𝑏. Si ahora eleva- mos a la potencia x, nos queda 𝑒^{(ln 𝑏)𝑥} = 𝑏^𝑥. Si hacemos que 𝑦 = 𝑒^{(ln 𝑏)𝑥} = 𝑏^𝑥 y aplicamos la regla de la cadena: ^𝑑

𝑑𝑥 𝑦 = ^𝑑

𝑑𝑥 𝑏^𝑥 = ^𝑑

𝑑𝑥 𝑒^{(ln 𝑏)𝑥} = 𝑒^{(ln 𝑏)𝑥}ln 𝑏 = 𝑏^𝑥ln 𝑏. Es decir que:

𝑦 = ln 𝑓 𝑥 → 𝑦^′ =𝑓 ´(𝑥)

𝑓(𝑥)

Si 𝑓 𝑥 = 𝑒^𝑥 entonces 𝑓 ^′ 𝑥 = 𝑒^𝑥

𝑦 = 𝑏^𝑥→ 𝑦^′ = 𝑏^𝑥ln 𝑏

ACTIVIDADES.

Derivar cada una de las siguientes funciones:

1. 𝑦 = ln(1 − 𝑥) 2. 𝑦 = ln(𝑥²− 2𝑥) 3. 𝑦 = ln( 𝑥)

4. 𝑦 = x³ln 𝑥 5. 𝑦 = ln 𝑥 6. 𝑦 = ln(𝑥 + ln 𝑥)

7. 𝑓 𝑥 = 𝑒^2𝑥 8. 𝑓 𝑥 = 𝑒^𝑥+2 9. 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒^𝑥

10. 𝑓 𝑥 = 𝑒^𝑥2

COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS: VALORES EXTREMOS.

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES.

Una función f, definida en un intervalo de números reales, tiene un valor que es un máximo relativo en un número 𝑚𝑖 de dicho intervalo si se cumple f ( x )  f ( 𝑚_𝑖 ) para toda x que este en dicho interva- lo. El número f ( 𝑚_𝑖 ), se llama máximo relativo. En el dibujo, la función alcanza valores máximos (cuando i = 1,3) relativos en el número 𝑚1 del intervalo (a, b) y en el número 𝑚3 del intervalo (c, d).

El mayor de todos los máximos relativos, se denomina máximo absoluto.

Una función f, definida en un intervalo de números reales, tiene un valor que es un mínimo relativo en un número 𝑚𝑖 de dicho intervalo si se cumple que f ( 𝑚𝑖 )  f ( x ) para toda x que esté en el intervalo.

El número f ( 𝑚_𝑖 ), se llama mínimo relativo. En el dibujo, la función alcanza valores mínimos (cuando i = 2,4) relativos en el número 𝑚₂ del intervalo (b, c) y en el número 𝑚₄ del intervalo (d, e). El menor de todos los mínimos relativos, se llama mínimo absoluto.

NOTA: Un número que sea máximo o mínimo relativo de una función, se llama valor extremo o sim- plemente extremo de f.

Ejemplo:

Consideremos la función definida en el intervalo −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 mediante la expresión 𝑓 𝑥 = 𝑥³− 3𝑥 cuya gráfica se muestra a continuación, tiene los siguientes valores mínimos y máximos:

 Mínimos 𝑓 −2 = −2 = 𝑓(−1), en 𝑥 = −2 y en 𝑥 = 1.

 Máximos 𝑓 −1 = 2 = 𝑓(2), en 𝑥 = −1 y en 𝑥 = 2..

TEOREMA. (Anulación de la derivada en un valor extremo interior)

Sea f una función definida en un intervalo abierto I. Si c es un punto de I tal que f tiene un máximo o un mínimo relativo en él y f ’ (c) existe, entonces f ’ (c) = 0.

Este teorema nos indica que cuando la función toma un valor extremo, es posible trazar una recta que pasando por dicho valor, se encuentra horizontalmente, ya que su pendiente es cero.

Ejemplo:

La función 𝑓 𝑥 = 12 − 12𝑥 + 𝑥³, tiene valores extremos en 𝑥 = −2 y en 𝑥 = 2. Si hallamos su derivada tendremos 𝑓 ′ 𝑥 = −12 + 3𝑥² y cuando se calcula el valor de esta derivada en los números donde se presentan los valores extremos nos da: 𝑓 ′ −2 = −12 + 3(−2)²= 0 y 𝑓 ′ 2 = −12 + 3(2)²= 0. Ver gráfica a continuación:

Los valores del dominio (valores de x) en los cuales la derivada se hace cero o la derivada no existe, se denominan puntos críticos. En este caso los puntos críticos son 𝑥 = −2 y 𝑥 = 2.

NOTA: El inverso de este teorema no siempre es cierto, es decir que si f ’ (c) = 0 entonces la función tiene un valor extremo en c. Por ejem- plo la función 𝑓 𝑥 = 𝑥³ cuya derivada es 𝑓 ^′ 𝑥 = 3𝑥² no tiene valores extremos en x = 0 a pesar de que 𝑓 ^′ 0 = 0. Observar que en la gráfica la recta horizontal pasa por 0 pero aquí no existen valores extremos.

METODO PARA ENCONTRAR MÁXIMOS O MÍNIMOS RELATIVOS.

Como sabemos que la derivada corresponde al valor de la pendiente de la curva en dicho punto, usa- remos este hecho para asociarlo con las funciones crecientes y decrecientes:

 Si 𝑚 = 𝑓 ^′ 𝑥 > 0 entonces la función es creciente en x.

 Si 𝑚 = 𝑓 ^′ 𝑥 < 0 entonces la función es decreciente en x

Ahora podemos indicar los pasos para determinar los valores máximos o mínimos relativos:

2. Hallar los valores críticos, esto es las soluciones de la ecuación 𝑓 ^′ 𝑥 = 0 3. Para cada solución a, chequear el signo de 𝑓 ^′ 𝑥 en su alrededor:

a.

x₁

.

a x₁

f ' (x)>0 f ' (x)<0 Si 𝑓 ^′ 𝑥 cambia de + a – en x = a, entonces f tiene un máximo.

En este caso se dice que la gráfica es “cóncava” hacia abajo.

b.

x₁

.

a f ' (x)>0x₁

f ' (x)<0 Si 𝑓 ^′ 𝑥 cambia de – a+ en x = a, entonces f tiene un mínimo.

En este caso se dice que la gráfica es “cóncava” hacia arriba.

c. Si 𝑓 ^′ 𝑥 no cambia de signo en x = a, entonces f no tiene ni máximo ni mínimo en x = a.

Ejemplo. Determinar los valores máximo o mínimos relativos de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥³−³

2𝑥² Solución:

1. Puntos críticos: 𝑓 ^′ 𝑥 = 3𝑥²− 3𝑥 = 3𝑥 𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 0, ó, 𝑥 = 1 2. Signo de 𝑓 ^′ 𝑥 en el entorno de 0 y de 1:

-1 0 1

x (x -1)

f ' (x) =3x (x -1) +

+ -

- -

-

.

0

f ' (x)>0 f ' (x)<0 +

+ +

.

1 f ' (x)>0 f ' (x)<0

máximo relativo mínimo relativo

Mostramos la gráfica de esta función, donde pueden apreciarse los resultados obtenidos:

ACTIVIDADES.

Determinar los valores máximos o mínimos relativos de cada una de las siguientes funciones:

1. 𝑓 𝑥 = 𝑥⁴− 6𝑥²

2. 𝑓 𝑥 = 2𝑥³− 3𝑥²− 12𝑥 + 13 3. 𝑓 𝑥 =^𝑥3

3 −^𝑥2

2 − 6𝑥

TEOREMA DEL VALOR EXTREMO.

Si f es una función continúa en el intervalo [a, b] entonces:

 f (c) es un valor máximo absoluto, para algún valor c del intervalo [a, b]

 f (d) es un valor mínimo absoluto, para algún valor c del intervalo [a, b]

MÉTODO PARA ENCONTRAR VALORES EXTREMOS ABSOLUTOS.

Para hallar los valores máximos o mínimos absolutos de una función continúa en un intervalo cerrado [a, b]:

1. Encontrar los valores de la función en los números críticos 2. Hallar los valores de la función en los extremos del intervalo.

3. El mayor de los valores encontrados en los pasos anteriores, es el máximo absoluto (M) y el menor valor, es el mínimo absoluto (m).

Ejemplo:

Encontrar los valores máximos y mínimos abso- lutos de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥²− 2𝑥 + 2 en el intervalo [0, 3]:

4. Hallamos los valores críticos:

𝑓^′ 𝑥 = 2𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 = 1.

Encontramos 𝑓 1 = 1²− 2 1 + 2 = 1 5. Valores de la función en los extremos:

𝑓 0 = 2 y 𝑓 3 = 5 6. M = 5 y m = 1 Ver gráfico de la derecha.

ACTIVIDADES.

Hallar los valores máximo y mínimo absoluto de cada función, en el intervalo dado:

1. 𝑓 𝑥 = 𝑥²− 5𝑥 + 6 en [0, 4]

2. 𝑓 𝑥 = 𝑥³− 12𝑥 + 1 en [−3, 5]

3. 𝑓 𝑥 = 3𝑥⁵− 5𝑥³− 1 en [−3, 2]

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA LOS EXTREMOS.

En ocasiones una función puede derivarse consecutivamente. Así: 𝑓 ^′′(𝑥) es la segunda derivada de 𝑓(𝑥). Por ejemplo si 𝑓 𝑥 = 3𝑥⁵− 10𝑥³− 4𝑥²− 9𝑥 + 20 entonces 𝑓^′ 𝑥 = 15𝑥⁴− 30𝑥²− 8𝑥 − 9 y 𝑓 ^′′ 𝑥 = 60𝑥³− 60𝑥 − 8

TEOREMA. Sea c  (a , b ) un punto crítico de una función f que tiene segunda derivada en ( a , b ), se cumple:

i) Si f ‟‟ ( c ) > 0 entonces f tiene un mínimo relativo en c.

ii) Si f ‟‟ ( c ) < 0 entonces f tiene un máximo relativo en c.

Ejemplo. Emplear el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores máximos o mínimos relativos de la función 𝑓 𝑥 =^𝑥3

3 −^𝑥2

2 − 6𝑥.

Solución:

 Encontramos los puntos críticos: 𝑓 ^′ 𝑥 = 𝑥²− 𝑥 − 6 = 𝑥 − 3 𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −2

 Hallamos la segunda derivada: 𝑓^′′ 𝑥 = 2𝑥 − 1

 Verificamos los signos de la segunda derivada cuando se sustituyen por los valores críticos:

𝑓^′′ 3 = 2 3 − 1 = 5 > 0 . La función tiene un valor mínimo en x = 3, el cual es f (3) = ⁻²⁷

2

𝑓^′′ −2 = 2 −2 − 1 = −5 < 0. La función tiene un valor máximo en x = - 2, el cual es 𝑓 −2 =

22 3

ACTIVIDADES.

Usar el criterio de la segunda derivada para determinar si la función tiene un máximo o mínimo:

1. f ( x ) = x² – x³ 2. f ( x ) = x² – 8 x + 12 3. f ( x ) = x⁴ – 2 x²

EJEMPLOS DE APLICACIONES A LA ECONOMIA.

1. Una compañía estima que el costo en dólares para elaborar x artículos está dado por la expresión 𝐶 𝑥 = 2600 + 2𝑥 + 0.001𝑥². ¿Cuál es el costo marginal para producir 1000 artículos? ¿A qué nivel el costo promedio será el más bajo y cuál es ese costo promedio?

 Recordemos que el costo marginal es ^𝑑

𝑑𝑥 𝐶 𝑥 = 2 + 0.002𝑥 y por lo tanto para producir 1000 artículos, el costo marginal será 2 + 0.002(1000) = 4 dólares.

 El costo promedio c(x) está dado por el cociente ^{𝐶(𝑥 )}

𝑥 =²⁶⁰⁰

𝑥 + 2 + 0.001𝑥. Para determinar el nivel más bajo, debemos encontrar los valores mínimos de la función. Derivando tenemos:

𝑐

^′

𝑥 =

⁻²⁶⁰⁰

𝑥²

+ 0.001,

cuyos puntos críticos son:

𝑐

^′

𝑥 =

⁻²⁶⁰⁰

𝑥²

+ 0.001 = 0 ↔ 𝑥

²

=

²⁶⁰⁰

0.001

↔ 𝑥 = 2600000 ≈ 1612

Hallando la segunda derivada:

𝑐

^′′

𝑥 =

⁵²⁰⁰_𝑥3

> 0,

lo que significa que 𝑐^′(𝑥) es cóncava hacia arriba y por lo tanto se tendrá un mínimo, cuyo valor es:

𝑐 1612 =^𝐶(𝑥)

𝑥 =²⁶⁰⁰

1612+ 2 + 0.001 1612 = 5.22/𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜

2. ¿Cuál es el nivel de producción que maximiza la utilidad de una empresa cuyas funciones de costo y demanda o función de precio son 𝐶 𝑥 = 84 + 1.26𝑥 − 0.01𝑥²+ 0.00007𝑥³ y 𝑝 𝑥 = 3.5 − 0.01𝑥 respectivamente.

 La función de ingreso o función de ventas es 𝐼 𝑥 = 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 = 𝑥 · 𝑝(𝑥), por lo tanto 𝐼 𝑥 = 𝑥 · 3.5 − 0.01𝑥 = 3.5𝑥 − 0.01𝑥²

 La derivada de la función Ingreso se denomina función de ingreso marginal y corresponde a la razón de cambio del ingreso respecto a la cantidad de artículos vendidos. De esta manera, la función de ingreso marginal será: 𝐼^′ 𝑥 = 3.5 − 0.02𝑥

 Ahora, la función de costo marginal es: 𝐶^′ 𝑥 = 1.26 − 0.02𝑥 + 0.00021𝑥²

 La función de utilidad está dada por la expresión:

𝑈 𝑥 = 𝐼 𝑥 − 𝐶 𝑥 = 3.5𝑥 − 0.01𝑥² − (84 + 1.26𝑥 − 0.01𝑥²+ 0.00007𝑥³) por lo tanto 𝑈 𝑥 = −0.00007𝑥³+ 2.34𝑥 − 84. Debemos maximizar esta función. Por ello, derivando:

𝑈^′ 𝑥 = −0.00021𝑥²+ 2.34 cuya segunda derivada es 𝑈^′′ 𝑥 = −0.00042𝑥 < 0. Como la segunda derivada es negativa, esto significa que se tendrá un valor máximo.

Hallamos los puntos críticos:

𝑈^′ 𝑥 = −0.00021𝑥²+ 2.34 = 0 ↔ 0.00021𝑥²= 2.34 ↔ 𝑥 = ^2.34

0.0021 ≈ 103

Por lo tanto cuando la producción alcance a 103 unidades, se tendrá una utilidad máxima con valor de:

𝑈 𝑥 = −0.00007𝑥³+ 2.34𝑥 − 84 = −0.00007 103³ + 2.34 103 − 84 ≈ 48.6 u.m 3. Un almacén vende 200 minicomponentes semanalmente a 350 u.m cada una. Una investigación de

mercado señala que por cada 10 u.m de descuento que se ofrezca a los compradores, la cantidad de artículos vendidos se incrementa en semanalmente en 20 unidades. Hallar las funciones de deman- da y de ingreso. ¿Qué tan grande debe ser el descuento para maximizar el ingreso?

 Designando con x los minicomponentes vendidos semanalmente, el incremento semanal será 𝑥 − 200. Como el aumento en la cantidad vendida de aparatos es de 20, por cada 10 u.m de descuento, la disminución en el precio es de ¹

20 10 = 0.5 por cada minicomponente adicional y la función de demanda o de precio es 𝑝 𝑥 = 350 − 0.5 𝑥 − 200 = 450 − 0.5𝑥

 La función de ingreso es: 𝐼 𝑥 = 𝑥 · 𝑝 𝑥 = 𝑥 450 − 0.5𝑥 = 450𝑥 − 0.5𝑥²

 Para maximizar el ingreso, encontramos la derivada del la función ingreso:

𝐼^′ 𝑥 = 450 − 𝑥, cuyo punto crítico es 450 − 𝑥 = 0 ↔ 𝑥 = 450 . Este valor corresponde a uno máximo ya que la gráfica de la función ingreso es una parábola que abre hacia abajo porque el coeficiente del término cuadrático es negativo.

 El precio correspondiente al valor anterior es 𝑝 450 = 450 − 0.5 450 = 225

 El descuento será de 350 − 225 = 125, es decir que para maximizar el ingreso se debe ofrecer un descuento de 125 u.m

ACTIVIDADES.

1. La función de costo de una empresa está dada por la expresión 𝐶 𝑥 = 1600 + 8𝑥 + 0.01𝑥². En- contrar:

a. El costo, el costo promedio y el costo marginal cuando el nivel de producción es de 1000 uni- dades.

b. El nivel de producción que minimizará el costo promedio c. El costo promedio mínimo.

2. En una empresa determinan que la función de costo es 𝐶 𝑥 = 680 + 4𝑥 + 0.01𝑥²+ 0.0003𝑥³ y la de demandas 𝑝 𝑥 = 12 − ^𝑥

500. Hallar el nivel de producción que maximizará la utilidad.

3. Una empresa constructora de aviones desea conocer l mejor precio de venta de un nuevo avión. La compañía estima que el costo inicial para diseñar el avión y montar las fabricas en que se han de construir será de 500 millones de dólares y que el costo adicional para producir cada unidad se puede modelar mediante la función 𝑘 𝑥 = 20𝑥 − 5𝑥³⁴+ 0.01𝑥², siendo x la cantidad de avio- nes producidos y k el costo de fabricación, en millones de dólares. La empresa considera que si el precio unitario por avión es p, podrán vender 𝑥 𝑝 = 320 − 7.7𝑝 aviones.

a. Encontrar las funciones de costo, demanda e ingreso.

b. Hallar el nivel de producción y el precio de venta asociado al avión que maximice la utilidad.