Dto de Economía Aplicada Cuantitativa I Basilio Sanz Carnero
Tendencia estocástica y determinista
• Una serie de tiempo tiene tendencia estocástica (o también denominadas estacionarias en diferencias) cuando se convierten en estacionarias aplicando diferencias. El caso más sencillo es, , ya que al
aplicar una diferencia (integrada de orden uno), se convierte en estacionaria. .
• Una serie es estacionaria en tendencia si se convierten en
estacionaria al eliminarles una tendencia determinística, el caso más sencillo es, donde t toma los valores (1, 2, …,t).
• Retardando en un periodo tenemos que y restando de la anterior se tiene donde Ut es un
MA(1) con parámetro unitario y por tanto no invertible. De manera que se rechaza la transformación en diferencias si la serie es estacionaria en tendencia.
• Las series de tiempo que son estacionarias en diferencias y tendencias se denominan procesos mixtos, el caso más sencillo es,
1
t t t
Z Z V
1
t t t
Z Z V
t t
Z t V
1 ( 1) 1
t t
Z
t V1 1
t t t t t
Z Z
V V
U1
t t t
Z Z
t V
Proceso camino aleatorio
• El proceso camino aleatorio se define como, Zt = Zt-1 + Vt , es decir, el proceso camino aleatorio es un proceso cuya diferencia de valores sucesivos, Zt – Zt-1 = Vt , es ruido blanco.
• En notación compacta, Zt – Zt-1 = (1 – B) Zt = ∆ Zt = Vt
• Retardando un periodo, Zt-1 = Zt-2 + Vt-1 , y sustituyendo tenemos, Zt = Zt-2 + Vt-1 + Vt , haciendo este proceso iterativamente tenemos que,
. , de manera que también se puede definir el proceso camino aleatorio como la suma de variables puramente aleatorias (sumas de
números aleatorios).
• Cuyos momentos son:
•
• En el caso de que la media sea distinta de cero, en cuyo caso el proceso se denomina camino aleatorio con deriva [recuérdese que el proceso puramente aleatorio o ruido blanco se define como en el que suponíamos, sin pérdida de generalidad, que la media era nula] , es decir, si suponemos que la media es, por ejemplo, α, entonces la esperanza es,
1 t
t i i
Z
V
t
ti 1 i 1
2 ...
t 0
E Z E
V E V E V E V t t
Z Z V
t it 1
i
1
2
...
t
E Z E
V E
V E
V E
V t
1 2
12 22
2 2var t t i ... t
Z E
i V E V E V E V t
Proceso camino aleatorio
• Como la esperanza y la varianza dependen del tiempo, el proceso camino aleatorio no es estacionario. Cuestión que ya sabíamos, puesto que el proceso camino aleatorio es un proceso AR(1) de parámetro unitario (raíz unitaria).
• La predicción es:
• Camino aleatorio sin deriva (Zt = Zt-1 + Vt)
• Adelantando un periodo tenemos, Zt+1 = Zt + Vt+1 , y aplicando
esperanzas, se tiene que, E(Zt+1)=E[Zt+1/(Zt, …, Z2, Z1 )]=E(Zt+Vt+1)=Zt
• Adelantando dos periodos tenemos, Zt+2 = Zt+1 + Vt+2 = Zt + Vt+2 + Vt+1, y
aplicando esperanzas, se tiene que, E(Zt+2) = E[Zt+2/(Zt, …, Z2, Z1 )] =
=E(Zt + Vt+2 + Vt+1) = Zt
• E(Zt+h) = Zt
• Camino aleatorio con deriva (Zt = α + Zt-1 + Vt)
• Adelantando un periodo tenemos, Zt+1 = α + Zt + Vt+1 , y aplicando esperanzas, E(Zt+1) = E[Zt+1/(Zt, …, Z2, Z1 )] = E(α + Zt + Vt+1) = α + Zt
• Adelantando dos periodos tenemos, Zt+2=α+Zt+1+Vt+2=2α+Zt+Vt+2+Vt+1, y
aplicando esperanzas, se tiene que, E(Zt+2) = E[Zt+2/(Zt, …, Z2, Z1 )] =
=E(2α + Zt + Vt+2 + Vt+1) = 2α + Zt
• E(Zt+h) = hα + Zt
Proceso camino aleatorio (M. Eficientes)
• El proceso camino aleatorio se asocia con la idea de mercados
eficientes, rendimientos diarios incorrelados (Zt – Zt-1 = Vt), planteada tanto para los mercados de acciones como de futuros, la hipótesis de mercados eficientes plantea que los inversores no pueden obtener beneficios de correlación alguna después de descontar los costes de transacciones y ajustar los riesgos, la eficiencia estricta implica que los precios reflejan toda la información relevante.
2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010
Close
IBEX, valor de cierre (1995-2011)
Proceso camino aleatorio (ejemplo del IBEX)
MCO, usando las observaciones 1995/01/04-2011/04/22 (T = 4098) Variable dependiente: IBEX (Close)
Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p --- const 15,2112 6,77160 2,246 0,0247 **
IBEX (Close)_1 0,998519 0,000710778 1405 0,0000 ***
Media de la vble. dep. 9041,293 D.T. de la vble. dep. 3007,735 Suma de cuad. residuos 76764257 D.T. de la regresión 136,8988 R-cuadrado 0,997929 R-cuadrado corregido 0,997928 F(1, 4096) 1973538 Valor p (de F) 0,000000 Log-verosimilitud -25972,86 Criterio de Akaike 51949,73 Criterio de Schwarz 51962,36 Crit. de Hannan-Quinn 51954,20 rho -0,008105 h de Durbin -0,519338
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500
1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010
residuo
Residuos de la regresión (= IBEX (Close) observada - estimada)
Residuos del proceso camino aleatorio del IBEX diario
• Regresión que presenta parámetro unitario, con coeficientes significativos y buen ajuste.
• La h de Durbin es inferior en términos absolutos de 1,96, es decir, no podemos rechazar la hipótesis nula H0: ρ = 0 (no autocorrelación de las perturbaciones) y en consecuencia el IBEX diario se comporta
como un proceso camino aleatorio de
acuerdo con la teoría de mercados eficientes.
Raíces unitarias
• Puesto que la tendencia estocástica más simple es camino aleatorio y éste es un proceso autorregresivo con raíz unitaria, entonces el
contraste de estacionariadad se puede reducir al contraste de raíces unitarias. Dicho de otra forma, toda serie no estacionaria presenta raíz unitaria.
• Conviene aclarar que el proceso camino aleatorio es un caso particular de tendencia estocástica, así tenemos que:
ARIMA(1,1,1) : ∆Wt = Wt – Wt-1 = αZt-1 + βVt-1 + Vt , y operando se llega a, Wt = Wt-1 + (αZt-1 + βVt-1 + Vt)
ARIMA(1,2,1) : ∆Wt – ∆Wt-1 = (Wt – Wt-1) – ∆Wt-1 = αZt-1 + βVt-1 + Vt , y operando, Wt = Wt-1 + (∆Wt-1 + αZt-1 + βVt-1 + Vt)
SARIMA(1,1,1)(1,1,1) : ∆Wt – ∆Wt-s= α1Zt-1+α2Zt-s+β1Vt-1+β2Vt-s+Vt , y operando, Wt=Wt-1+(∆Wt-s+α1Zt-1+α2Zt-s+β1Vt-1+β2Vt-s+Vt)
Todos los procesos anteriores presentan raíz unitaria, de manera que podemos reducir el contraste de estacionaridad al contraste de raíz
unitaria. Puede ocurrir que la no estacionaridad sea estacional y entonces el contraste sería de raíces unitarias estacionales, pero cuestiones
didácticas nos referiremos sólo al contraste de raíces unitarias de la parte regular (Zt = Zt-1 + Ut , en el que Ut no tiene por qué ser ruido blanco).
Raíces unitarias (ejemplo PIB español)
8,6 8,8 9 9,2 9,4 9,6 9,8 10
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
l_PIBC
España. PIB a precios constantes de 2000 en logaritmos
Raíces unitarias (ejemplo PIB español)
MCO, usando las observaciones 1970:2-2010:4 (T = 163) Variable dependiente: PIBC
Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p
--- const 59,0760 21,1419 2,794 0,0058 ***
PIBC_1 1,00171 0,00162093 618,0 1,22e-273 ***
Media de la vble. dep. 12478,33 D.T. de la vble. dep. 4071,283 Suma de cuad. residuos 1131524 D.T. de la regresión 83,83376 R-cuadrado 0,999579 R-cuadrado corregido 0,999576 F(1, 161) 381906,2 Valor p (de F) 1,2e-273 Log-verosimilitud -952,1810 Criterio de Akaike 1908,362 Criterio de Schwarz 1914,550 Crit. de Hannan-Quinn 1910,874 rho 0,800048 h de Durbin 10,18512
• Que presenta raíz unitaria, coeficientes significativos y buen ajuste, pero una h de Durbin mayor que 1,96 en términos absolutos y en
consecuencia podemos rechazar la hipótesis nula (H0: ρ = 0) es decir, las perturbaciones presentan autocorrelación. De manera que el PIB
presenta raíz unitaria pero no se comporta como un proceso camino aleatorio.
Contraste de raíces unitarias
El contraste de raíces unitarias es un contraste de estacionaridad. Una idea intuitiva del contraste de raíces unitarias se puede obtener a partir del análisis de un proceso autorregresivo de primer orden, tal y como hicimos con el PIB,
• Zt = α + ρZt-1 + Vt [1], en el que se contrasta H0: ρ = 1, frente a H1: ρ < 1.
• En la práctica esto significa que 0 <ρ≤1, ya que es poco frecuente que ρ < 0 para una serie de la que sospechamos que no es estacionaria y tampoco se considera ρ > 1 ya que con α > 0 y ρ > 1, Zt tiene una tendencia exponencial en media y no es necesario realizar ningún contraste de estacionaridad. Por todo ello se utilizan las hipótesis nula y alternativa anteriores, que implica un contraste de una sola cola.
• Sin embargo no se puede estimar un autoregresivo de primer orden y contrastar la hipótesis de ρ = 1 porque esa prueba tiene un sesgo muy marcado en caso raíz unitaria. Dicho de otra forma, cuando realizamos una regresión entre series no estacionarias la aplicación de la inferencia es
problemática y puede dar resultados no fiables. Por ello se transforma [1]
restando Zt a ambas lados de la igualdad,
• Zt–Zt-1=α+ρZt-1 –Zt-1+Vt es decir, ∆Zt = α + (ρ– 1)Zt-1 + Vt ; haciendo ρ–1=δ,
∆Zt = α + δZt-1 + Vt , es el contraste de raíces unitarias o DF en el que se contrasta H0: δ = 0, frente a H1: δ < 0, si rechazamos H0 entonces Zt es estacionaria.
Contraste de raíces unitarias
• De manera que el contraste de raíces unitarias o de Dickey y Fuller (DF) es, ∆Zt = α + δZt-1 + Vt , si delta (δ) es significativo y entonces Zt no tiene raíz unitaria y por tanto la serie es estacionaria.
• La distribución en el muestreo de delta (δ) no sigue una t de student usual sino que mediante simulación Dickey y Fuller elaboraron la tabla de
valores críticos extendida por MacKinnon. La distribución de delta (δ) se denomina τ , la forma es parecida a la t de estudent pero con valores críticos mayores. El contraste se realiza de la misma forma que el usual de la t de estudent pero sustituyendo los valores críticos de la t por los de la τ. Las hipótesis son:
• Ho: δ = 0 , que es lo mismo que contrastar Ho: ρ=1, puesto que ρ–1=δ=0
• H1: δ < 0 , que es lo mismo que H1: ρ < 1
• Que es un contraste de una sola cola.
• De manera que si,
rechazamos Ho de raíz unitaria y Zt
es estacionaria.
ˆ
ˆ
valor crítico de
S
Contraste aumentado raíces unitarias (ADF)
• El contraste de raíces unitarias o DF, ∆Zt = α + δZt-1 + Vt , supone que los residuos son ruido blanco, sin embardo generalmente los residuos
presentan autocorrelación, para evitar esta situación se añaden términos autorregresivos hasta que desaparece la autocorrelación de los residuos.
• ,este nuevo contraste se denomina
contraste aumentado de raíces unitarios o ADF. El contraste se realiza de la misma forma. Las hipótesis son:
• Ho: δ = 0
• H1: δ < 0
• De manera que si,
rechazamos Ho de raíz unitaria y Zt
es estacionaria.
ˆ
ˆ
valor crítico de
S
1 1
j
t t i i t i t
Z Z Z V
Raíces unitarias, ADF (ejemplo PIB español)
Que es el contraste ADF del PIB en logaritmos. Se han añadido 4 retardos de la variable endógena para evitar autocorrelación de los residuos. Puesto que el h de Durbin tiene un valor, en términos absolutos, inferior a 1,96, aceptamos la hipótesis de no autocorrelación. El valor crítico de delta, al 95% de
confianza, es -2,88 (τα = -2,88), rechazamos Ho: δ = 0 si, , es decir si, -1,378<-2,88, como no es así, no podemos rechazar HO de raíz unitaria. El
PIB tiene raíz unitaria y en consecuencia no es estacionario.
Modelo 7: MCO, usando las observaciones 1971:2-2010:4 (T = 159) Variable dependiente: d_l_PIBC
Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p
--- const 0,0146816 0,00965720 1,520 0,1305
l_PIBC_1 -0,00140418 0,00101879 -1,378 0,1701
d_l_PIBC_1 0,680414 0,0779505 8,729 4,13e-015 ***
d_l_PIBC_2 0,0594119 0,0925165 0,6422 0,5217 d_l_PIBC_3 0,293871 0,0923478 3,182 0,0018 ***
d_l_PIBC_4 -0,256519 0,0776357 -3,304 0,0012 ***
Media de la vble. dep. 0,006898 D.T. de la vble. dep. 0,006565 Suma de cuad. residuos 0,002361 D.T. de la regresión 0,003928 R-cuadrado 0,653359 R-cuadrado corregido 0,642031 F(5, 153) 57,67586 Valor p (de F) 1,74e-33 Log-verosimilitud 658,2431 Criterio de Akaike -1304,486 Criterio de Schwarz -1286,073 Crit. de Hannan-Quinn -1297,009 rho -0,008161 h de Durbin -0,513258
ˆ Sˆ
Contraste de raíces unitarias
• Las series de tiempo pueden ser estacionarias en diferencias (tendencia estocástica) o en tendencia (tendencia determinística), el contraste de raíces unitarias o DF también se puede utilizar para discriminar si la serie es estacionaria en diferencias o en tendencia o presenta un proceso mixto, el contraste es el mismo pero añadiendo una tendencia,
∆Zt = α + δZt-1 + βt + Vt . Si delta (δ) y beta (β) son significativos entonces Zt es estacionaria en tendencia. Si delta (δ) y beta (β) no son significativos entonces Zt es estacionaria en diferencias (raíz unitaria). Si delta (δ) no es significativo y beta (β) si es significativo, entonces Zt es un proceso mixto.
Y si (δ) es significativo y beta (β) no es significativo, entonces Zt es un proceso estacionario.
• Si añadimos términos autorregresivos hasta que desaparece la
autocorrelación de las perturbaciones entonces nos encontramos ante el contraste aumentado o ADF, Zt Zt1 t
ij1iZt i VtRaíces unitarias, ADF (ejemplo PIB español)
Que es el contraste ADF del PIB en logaritmos. Se han añadido 4 retardos de la variable endógena para evitar autocorrelación de los residuos. Puesto que el h de Durbin tiene un valor, en términos absolutos, inferior a 1,96, aceptamos la hipótesis de no autocorrelación. El valor crítico de delta, al 95% de confianza, es -3,44 (τα = -3,44), rechazamos Ho: δ = 0 si, , es decir si, -3,107<-3,44, de manera que no rechazarmos HO de raíz unitaria. El PIB tiene raíz unitaria y en consecuencia QRes estacionario en diferencias.
ˆ Sˆ
Modelo 12: MCO, usando las observaciones 1971:2-2010:4 (T = 159) Variable dependiente: d_l_PIBC
Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p
--- const 0,227181 0,0724584 3,135 0,0021 ***
l_PIBC_1 -0,0255874 0,00823621 -3,107 0,0023 ***
time 0,000167217 5,65338e-05 2,958 0,0036 ***
d_l_PIBC_1 0,635736 0,0775342 8,199 9,39e-014 ***
d_l_PIBC_2 0,0653387 0,0902814 0,7237 0,4703 d_l_PIBC_3 0,309951 0,0902585 3,434 0,0008 ***
d_l_PIBC_4 -0,188727 0,0791333 -2,385 0,0183 **
Media de la vble. dep. 0,006898 D.T. de la vble. dep. 0,006565 Suma de cuad. residuos 0,002232 D.T. de la regresión 0,003832 R-cuadrado 0,672225 R-cuadrado corregido 0,659287 F(6, 152) 51,95550 Valor p (de F) 2,10e-34 Log-verosimilitud 662,6920 Criterio de Akaike -1311,384 Criterio de Schwarz -1289,902 Crit. de Hannan-Quinn -1302,660 rho 0,008816 h de Durbin 0,494704
Regresión espuria
• La no estacionaridad afecta a la inferencia estadística, como ya vimos en los modelos ARIMA, y en consecuencia cuando realizamos regresiones entre series no estacionarias podemos incurrir en el denominado
problema de las regresiones espurias, es decir, regresiones
aparentemente válidas pero que en realidad son falsas o sin sentido (t y F significativas junto DW bajos son un indicador de regresión espuria).
• De manera que cuando nos encontramos con series no estacionarias y con estadísticos significativos pero DW bajos se recomienda no estimar la regresión en niveles, , sino entre series
estacionarias, es decir en diferencias, , supuesto que Y y X sean I(1).
• El problema de esta especificación en diferencias es que al hacer las series estacionarias, se elimina la tendencia y los ciclos de mayor duración (movimientos a largo y medio plazo) movimientos que pueden ser relevantes desde el punto de vista económico, de manera que
desde el punto de vista económico la estimación de la regresión entre series estacionarias puede no ser adecuada.
t t t
Y a bX V
t t t
Y a b X V
Regresión espuria (ejemplo)
• Se reproducen a continuación el consumo y el PIB a precios constantes de España y Argentina en logaritmos.
11,8 12 12,2 12,4 12,6 12,8 13
1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010
Argentina
l_PIBA l_CA
11,8 11,9 12 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6
1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010
ESPAÑA l_PIBE
l_CE
Regresión espuria (ejemplo)
MCO, usando las observaciones 1995:1-2010:4 (T = 64) Variable dependiente: Ln[CONSUMO (ESPAÑA)]
Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p
--- const 4,97644 0,969210 5,135 3,03e-06 ***
Ln[PIB (ARGENTINA)] 0,571066 0,0768926 7,427 3,91e-010 ***
Media de la vble. dep. 12,17384 D.T. de la vble. dep. 0,150467 Suma de cuad. residuos 0,754823 D.T. de la regresión 0,110338 R-cuadrado 0,470797 R-cuadrado corregido 0,462262 F(1, 62) 55,15740 Valor p (de F) 3,91e-10 Log-verosimilitud 51,27291 Criterio de Akaike -98,54583 Criterio de Schwarz -94,22806 Crit. de Hannan-Quinn -96,84484 rho 0,846447 Durbin-Watson 0,285858
Que es una regresión sin sentido o espuria puesto que obviamente el consumo español depende de la renta española y no de la Argentina. Sin embargo la regresión presenta valores aceptables, los dos coeficientes son significativos, lo mismo ocurre con la F, sólo el DW presenta un valor claramente inadecuado. Los resultados de las regresiones entre series no estacionarias pueden no ser fiables.
Regresión espuria (ejemplo)
Realizando la misma regresión pero en diferencias [hemos realizado una diferencia regular y otra estacional y supuesto que las variables son I(1,1)].
MCO, usando las observaciones 1996:2-2010:4 (T = 59) Variable dependiente: ∆∆4{Ln[CONSUMO(ESPAÑA)]}
Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p
--- const -0,000481016 0,00192584 -0,2498 0,8037 ∆∆4{Ln[PIB(Argentina)]} 0,0958819 0,0677257 1,416 0,1623 Media de la vble. dep. -0,000328 D.T. de la vble. dep. 0,014897
Suma de cuad. residuos 0,012434 D.T. de la regresión 0,014769 R-cuadrado 0,033969 R-cuadrado corregido 0,017021 F(1, 57) 2,004314 Valor p (de F) 0,162293 Log-verosimilitud 165,9970 Criterio de Akaike -327,9939 Criterio de Schwarz -323,8388 Crit. de Hannan-Quinn -326,3719 rho -0,060231 Durbin-Watson 2,100612
Ahora se aprecia con claridad que consumo español y renta Argentina no están relacionadas (coeficientes no significativos).
Regresión espuria (ejemplo)
Si realizamos la mismas regresiones pero utilizando como variable exógena la renta española tenemos que:
MCO, usando las observaciones 1995:1-2010:4 (T = 64) Variable dependiente: Ln[CONSUMO(ESPAÑA)]
Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p --- const 0,217486 0,351085 0,6195 0,5379
ln[PIB(ESPAÑA)] 0,967922 0,0284198 34,06 7,59e-042 ***
Media de la vble. dep. 12,17384 D.T. de la vble. dep. 0,150467 Suma de cuad. residuos 0,072371 D.T. de la regresión 0,034165 R-cuadrado 0,949261 R-cuadrado corregido 0,948443 F(1, 62) 1159,945 Valor p (de F) 7,59e-42 Log-verosimilitud 126,3027 Criterio de Akaike -248,6054 Criterio de Schwarz -244,2876 Crit. de Hannan-Quinn -246,9044 rho -0,726840 Durbin-Watson 3,369344
Regresión espuria (ejemplo)
y en diferencias (diferencia regular y estacional).
De manera que el consumo y la renta española están relacionadas.
Modelo 6: MCO, usando las observaciones 1996:2-2010:4 (T = 59) Variable dependiente: ∆∆4{Ln[CONSUMO(ESPAÑA)]}
Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p
--- const -9,22397e-05 0,00153581 -0,06006 0,9523
∆∆4{Ln[PIB(ESPAÑA)]} 0,964275 0,161731 5,962 1,66e-07 ***
Media de la vble. dep. -0,000328 D.T. de la vble. dep. 0,014897 Suma de cuad. residuos 0,007927 D.T. de la regresión 0,011793 R-cuadrado 0,384103 R-cuadrado corregido 0,373298 F(1, 57) 35,54799 Valor p (de F) 1,66e-07 Log-verosimilitud 179,2754 Criterio de Akaike -354,5508 Criterio de Schwarz -350,3957 Crit. de Hannan-Quinn -352,9288 rho -0,296100 Durbin-Watson 2,585696
Dto de Economía Aplicada Cuantitativa I Basilio Sanz Carnero