D de Economía Aplicada Cuantitativa I Basilio Sanz Carnero to

D^to de Economía Aplicada Cuantitativa I Basilio Sanz Carnero

Tendencia estocástica y determinista

• Una serie de tiempo tiene tendencia estocástica (o también denominadas estacionarias en diferencias) cuando se convierten en estacionarias aplicando diferencias. El caso más sencillo es, , ya que al

aplicar una diferencia (integrada de orden uno), se convierte en estacionaria. .

• Una serie es estacionaria en tendencia si se convierten en

estacionaria al eliminarles una tendencia determinística, el caso más sencillo es, donde t toma los valores (1, 2, …,t).

• Retardando en un periodo tenemos que y restando de la anterior se tiene donde U_t es un

MA(1) con parámetro unitario y por tanto no invertible. De manera que se rechaza la transformación en diferencias si la serie es estacionaria en tendencia.

• Las series de tiempo que son estacionarias en diferencias y tendencias se denominan procesos mixtos, el caso más sencillo es,

1

t t t

Z  Z _ V

1

t t t

Z  Z _ V

t t

Z   t V

1 ( 1) 1

t t

Z _  

 

1 1

t t t t t

Z  Z _   





1

t t t

Z  Z

  t V 

Proceso camino aleatorio

• El proceso camino aleatorio se define como, Z_t = Z_t-1 + V_t , es decir, el proceso camino aleatorio es un proceso cuya diferencia de valores sucesivos, Z_t – Z_t-1 = V_t , es ruido blanco.

• En notación compacta, Z_t – Z_t-1 = (1 – B) Z_t = ∆ Z_t = V_t

• Retardando un periodo, Z_t-1 = Z_t-2 + V_t-1 , y sustituyendo tenemos, Z_t = Z_t-2 + V_t-1 + V_t , haciendo este proceso iterativamente tenemos que,

^. , de manera que también se puede definir el proceso camino aleatorio como la suma de variables puramente aleatorias (sumas de

números aleatorios).

• Cuyos momentos son:

•

• En el caso de que la media sea distinta de cero, en cuyo caso el proceso se denomina camino aleatorio con deriva [recuérdese que el proceso puramente aleatorio o ruido blanco se define como en el que suponíamos, sin pérdida de generalidad, que la media era nula] , es decir, si suponemos que la media es, por ejemplo, α, entonces la esperanza es,

1 t

t i i

Z 



 



 ^{ }

^{ }

^{ }

E Z  E



t t

Z  Z V

 



 

 







E Z  E ^













 

   

 

var _t ^t _i ... _t

Z  E ^





Proceso camino aleatorio

• Como la esperanza y la varianza dependen del tiempo, el proceso camino aleatorio no es estacionario. Cuestión que ya sabíamos, puesto que el proceso camino aleatorio es un proceso AR(1) de parámetro unitario (raíz unitaria).

• La predicción es:

• Camino aleatorio sin deriva (Z_t = Z_t-1 + V_t)

• Adelantando un periodo tenemos, Z_t+1 = Z_t + V_t+1 , y aplicando

esperanzas, se tiene que, E(Z_t+1)=E[Z_t+1/(Z_t, …, Z₂, Z₁ )]=E(Z_t+V_t+1)=Z_t

• Adelantando dos periodos tenemos, Z_t+2 = Z_t+1 + V_t+2 = Z_t + V_t+2 + V_t+1, y

aplicando esperanzas, se tiene que, E(Z_t+2) = E[Z_t+2/(Z_t, …, Z₂, Z₁ )] =

=E(Z_t + V_t+2 + V_t+1) = Z_t

• E(Z_t+h) = Z_t

• Camino aleatorio con deriva (Z_t = α + Z_t-1 + V_t)

• Adelantando un periodo tenemos, Z_t+1 = α + Z_t + V_t+1 , y aplicando esperanzas, E(Z_t+1) = E[Z_t+1/(Z_t, …, Z₂, Z₁ )] = E(α + Z_t + V_t+1) = α + Z_t

• Adelantando dos periodos tenemos, Z_t+2=α+Z_t+1+V_t+2=2α+Z_t+V_t+2+V_t+1, y

aplicando esperanzas, se tiene que, E(Z_t+2) = E[Z_t+2/(Z_t, …, Z₂, Z₁ )] =

=E(2α + Z_t + V_t+2 + V_t+1) = 2α + Z_t

• E(Z_t+h) = hα + Z_t

Proceso camino aleatorio (M. Eficientes)

• El proceso camino aleatorio se asocia con la idea de mercados

eficientes, rendimientos diarios incorrelados (Z_t – Z_t-1 = V_t), planteada tanto para los mercados de acciones como de futuros, la hipótesis de mercados eficientes plantea que los inversores no pueden obtener beneficios de correlación alguna después de descontar los costes de transacciones y ajustar los riesgos, la eficiencia estricta implica que los precios reflejan toda la información relevante.

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

Close

IBEX, valor de cierre (1995-2011)

Proceso camino aleatorio (ejemplo del IBEX)

MCO, usando las observaciones 1995/01/04-2011/04/22 (T = 4098) Variable dependiente: IBEX (Close)

Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p --- const 15,2112 6,77160 2,246 0,0247 **

IBEX (Close)_1 0,998519 0,000710778 1405 0,0000 ***

Media de la vble. dep. 9041,293 D.T. de la vble. dep. 3007,735 Suma de cuad. residuos 76764257 D.T. de la regresión 136,8988 R-cuadrado 0,997929 R-cuadrado corregido 0,997928 F(1, 4096) 1973538 Valor p (de F) 0,000000 Log-verosimilitud -25972,86 Criterio de Akaike 51949,73 Criterio de Schwarz 51962,36 Crit. de Hannan-Quinn 51954,20 rho -0,008105 h de Durbin -0,519338

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

residuo

Residuos de la regresión (= IBEX (Close) observada - estimada)

Residuos del proceso camino aleatorio del IBEX diario

• Regresión que presenta parámetro unitario, con coeficientes significativos y buen ajuste.

• La h de Durbin es inferior en términos absolutos de 1,96, es decir, no podemos rechazar la hipótesis nula H₀: ρ = 0 (no autocorrelación de las perturbaciones) y en consecuencia el IBEX diario se comporta

como un proceso camino aleatorio de

acuerdo con la teoría de mercados eficientes.

Raíces unitarias

• Puesto que la tendencia estocástica más simple es camino aleatorio y éste es un proceso autorregresivo con raíz unitaria, entonces el

contraste de estacionariadad se puede reducir al contraste de raíces unitarias. Dicho de otra forma, toda serie no estacionaria presenta raíz unitaria.

• Conviene aclarar que el proceso camino aleatorio es un caso particular de tendencia estocástica, así tenemos que:

ARIMA(1,1,1) : ∆W_t = W_t – W_t-1 = αZ_t-1 + βV_t-1 + V_t , y operando se llega a, W_t = W_t-1 + (αZ_t-1 + βV_t-1 + V_t)

ARIMA(1,2,1) : ∆W_t – ∆W_t-1 = (W_t – W_t-1) – ∆W_t-1 = αZ_t-1 + βV_t-1 + V_t , y operando, W_t = W_t-1 + (∆W_t-1 + αZ_t-1 + βV_t-1 + V_t)

SARIMA(1,1,1)(1,1,1) : ∆W_t – ∆W_t-s= α₁Z_t-1+α₂Z_t-s+β₁V_t-1+β₂V_t-s+V_t , y operando, W_t=W_t-1+(∆W_t-s+α₁Z_t-1+α₂Z_t-s+β₁V_t-1+β₂V_t-s+V_t)

Todos los procesos anteriores presentan raíz unitaria, de manera que podemos reducir el contraste de estacionaridad al contraste de raíz

unitaria. Puede ocurrir que la no estacionaridad sea estacional y entonces el contraste sería de raíces unitarias estacionales, pero cuestiones

didácticas nos referiremos sólo al contraste de raíces unitarias de la parte regular (Z_t = Z_t-1 + U_t , en el que U_t no tiene por qué ser ruido blanco).

Raíces unitarias (ejemplo PIB español)

8,6 8,8 9 9,2 9,4 9,6 9,8 10

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

l_PIBC

España. PIB a precios constantes de 2000 en logaritmos

Raíces unitarias (ejemplo PIB español)

MCO, usando las observaciones 1970:2-2010:4 (T = 163) Variable dependiente: PIBC

Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p

--- const 59,0760 21,1419 2,794 0,0058 ***

PIBC_1 1,00171 0,00162093 618,0 1,22e-273 ***

Media de la vble. dep. 12478,33 D.T. de la vble. dep. 4071,283 Suma de cuad. residuos 1131524 D.T. de la regresión 83,83376 R-cuadrado 0,999579 R-cuadrado corregido 0,999576 F(1, 161) 381906,2 Valor p (de F) 1,2e-273 Log-verosimilitud -952,1810 Criterio de Akaike 1908,362 Criterio de Schwarz 1914,550 Crit. de Hannan-Quinn 1910,874 rho 0,800048 h de Durbin 10,18512

• Que presenta raíz unitaria, coeficientes significativos y buen ajuste, pero una h de Durbin mayor que 1,96 en términos absolutos y en

consecuencia podemos rechazar la hipótesis nula (H₀: ρ = 0) es decir, las perturbaciones presentan autocorrelación. De manera que el PIB

presenta raíz unitaria pero no se comporta como un proceso camino aleatorio.

Contraste de raíces unitarias

El contraste de raíces unitarias es un contraste de estacionaridad. Una idea intuitiva del contraste de raíces unitarias se puede obtener a partir del análisis de un proceso autorregresivo de primer orden, tal y como hicimos con el PIB,

• Z_t = α + ρZ_t-1 + V_t [1], en el que se contrasta H₀: ρ = 1, frente a H₁: ρ < 1.

• En la práctica esto significa que 0 <ρ≤1, ya que es poco frecuente que ρ < 0 para una serie de la que sospechamos que no es estacionaria y tampoco se considera ρ > 1 ya que con α > 0 y ρ > 1, Zt tiene una tendencia exponencial en media y no es necesario realizar ningún contraste de estacionaridad. Por todo ello se utilizan las hipótesis nula y alternativa anteriores, que implica un contraste de una sola cola.

• Sin embargo no se puede estimar un autoregresivo de primer orden y contrastar la hipótesis de ρ = 1 porque esa prueba tiene un sesgo muy marcado en caso raíz unitaria. Dicho de otra forma, cuando realizamos una regresión entre series no estacionarias la aplicación de la inferencia es

problemática y puede dar resultados no fiables. Por ello se transforma [1]

restando Z_t a ambas lados de la igualdad,

• Z_t–Z_t-1=α+ρZ_t-1 –Z_t-1+V_t es decir, ∆Z_t = α + (ρ– 1)Z_t-1 + V_t ; haciendo ρ–1=δ,

∆Z_t = α + δZ_t-1 + V_t , es el contraste de raíces unitarias o DF en el que se contrasta H₀: δ = 0, frente a H1: δ < 0, si rechazamos H0 entonces Z_t es estacionaria.

Contraste de raíces unitarias

• De manera que el contraste de raíces unitarias o de Dickey y Fuller (DF) es, ∆Z_t = α + δZ_t-1 + V_t , si delta (δ) es significativo y entonces Z_t no tiene raíz unitaria y por tanto la serie es estacionaria.

• La distribución en el muestreo de delta (δ) no sigue una t de student usual sino que mediante simulación Dickey y Fuller elaboraron la tabla de

valores críticos extendida por MacKinnon. La distribución de delta (δ) se denomina τ , la forma es parecida a la t de estudent pero con valores críticos mayores. El contraste se realiza de la misma forma que el usual de la t de estudent pero sustituyendo los valores críticos de la t por los de la τ. Las hipótesis son:

• H_o: δ = 0 , que es lo mismo que contrastar H_o: ρ=1, puesto que ρ–1=δ=0

• H₁: δ < 0 , que es lo mismo que H₁: ρ < 1

• Que es un contraste de una sola cola.

• De manera que si,

rechazamos H_o de raíz unitaria y Z_t

es estacionaria.

 

ˆ

ˆ

valor crítico de

S_ ^



 

Contraste aumentado raíces unitarias (ADF)

• El contraste de raíces unitarias o DF, ∆Z_t = α + δZ_t-1 + V_t , supone que los residuos son ruido blanco, sin embardo generalmente los residuos

presentan autocorrelación, para evitar esta situación se añaden términos autorregresivos hasta que desaparece la autocorrelación de los residuos.

• ,este nuevo contraste se denomina

contraste aumentado de raíces unitarios o ADF. El contraste se realiza de la misma forma. Las hipótesis son:

• H_o: δ = 0

• H₁: δ < 0

• De manera que si,

rechazamos H_o de raíz unitaria y Z_t

es estacionaria.

 

ˆ

ˆ

valor crítico de

S_ ^



 

1 1

j

t t i i t i t

Z  Z _{ }  Z _ V

   



Raíces unitarias, ADF (ejemplo PIB español)

Que es el contraste ADF del PIB en logaritmos. Se han añadido 4 retardos de la variable endógena para evitar autocorrelación de los residuos. Puesto que el h de Durbin tiene un valor, en términos absolutos, inferior a 1,96, aceptamos la hipótesis de no autocorrelación. El valor crítico de delta, al 95% de

confianza, es -2,88 (τ_α = -2,88), rechazamos Ho: δ = 0 si, , es decir si, -1,378<-2,88, como no es así, no podemos rechazar H_O de raíz unitaria. El

PIB tiene raíz unitaria y en consecuencia no es estacionario.

Modelo 7: MCO, usando las observaciones 1971:2-2010:4 (T = 159) Variable dependiente: d_l_PIBC

Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p

--- const 0,0146816 0,00965720 1,520 0,1305

l_PIBC_1 -0,00140418 0,00101879 -1,378 0,1701

d_l_PIBC_1 0,680414 0,0779505 8,729 4,13e-015 ***

d_l_PIBC_2 0,0594119 0,0925165 0,6422 0,5217 d_l_PIBC_3 0,293871 0,0923478 3,182 0,0018 ***

d_l_PIBC_4 -0,256519 0,0776357 -3,304 0,0012 ***

Media de la vble. dep. 0,006898 D.T. de la vble. dep. 0,006565 Suma de cuad. residuos 0,002361 D.T. de la regresión 0,003928 R-cuadrado 0,653359 R-cuadrado corregido 0,642031 F(5, 153) 57,67586 Valor p (de F) 1,74e-33 Log-verosimilitud 658,2431 Criterio de Akaike -1304,486 Criterio de Schwarz -1286,073 Crit. de Hannan-Quinn -1297,009 rho -0,008161 h de Durbin -0,513258

ˆ S_ˆ _





Contraste de raíces unitarias

• Las series de tiempo pueden ser estacionarias en diferencias (tendencia estocástica) o en tendencia (tendencia determinística), el contraste de raíces unitarias o DF también se puede utilizar para discriminar si la serie es estacionaria en diferencias o en tendencia o presenta un proceso mixto, el contraste es el mismo pero añadiendo una tendencia,

∆Z_t = α + δZ_t-1 + βt + V_t . Si delta (δ) y beta (β) son significativos entonces Z_t es estacionaria en tendencia. Si delta (δ) y beta (β) no son significativos entonces Z_t es estacionaria en diferencias (raíz unitaria). Si delta (δ) no es significativo y beta (β) si es significativo, entonces Z_t es un proceso mixto.

Y si (δ) es significativo y beta (β) no es significativo, entonces Z_t es un proceso estacionario.

• Si añadimos términos autorregresivos hasta que desaparece la

autocorrelación de las perturbaciones entonces nos encontramos ante el contraste aumentado o ADF,   ^Z_t  ^Z_t1  ^t 



Raíces unitarias, ADF (ejemplo PIB español)

Que es el contraste ADF del PIB en logaritmos. Se han añadido 4 retardos de la variable endógena para evitar autocorrelación de los residuos. Puesto que el h de Durbin tiene un valor, en términos absolutos, inferior a 1,96, aceptamos la hipótesis de no autocorrelación. El valor crítico de delta, al 95% de confianza, es -3,44 (τ_α = -3,44), rechazamos Ho: δ = 0 si, , es decir si, -3,107<-3,44, de manera que no rechazarmos H_O de raíz unitaria. El PIB tiene raíz unitaria y en consecuencia QRes estacionario en diferencias.

ˆ S_ˆ _





Modelo 12: MCO, usando las observaciones 1971:2-2010:4 (T = 159) Variable dependiente: d_l_PIBC

Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p

--- const 0,227181 0,0724584 3,135 0,0021 ***

l_PIBC_1 -0,0255874 0,00823621 -3,107 0,0023 ***

time 0,000167217 5,65338e-05 2,958 0,0036 ***

d_l_PIBC_1 0,635736 0,0775342 8,199 9,39e-014 ***

d_l_PIBC_2 0,0653387 0,0902814 0,7237 0,4703 d_l_PIBC_3 0,309951 0,0902585 3,434 0,0008 ***

d_l_PIBC_4 -0,188727 0,0791333 -2,385 0,0183 **

Media de la vble. dep. 0,006898 D.T. de la vble. dep. 0,006565 Suma de cuad. residuos 0,002232 D.T. de la regresión 0,003832 R-cuadrado 0,672225 R-cuadrado corregido 0,659287 F(6, 152) 51,95550 Valor p (de F) 2,10e-34 Log-verosimilitud 662,6920 Criterio de Akaike -1311,384 Criterio de Schwarz -1289,902 Crit. de Hannan-Quinn -1302,660 rho 0,008816 h de Durbin 0,494704

Regresión espuria

• La no estacionaridad afecta a la inferencia estadística, como ya vimos en los modelos ARIMA, y en consecuencia cuando realizamos regresiones entre series no estacionarias podemos incurrir en el denominado

problema de las regresiones espurias, es decir, regresiones

aparentemente válidas pero que en realidad son falsas o sin sentido (t y F significativas junto DW bajos son un indicador de regresión espuria).

• De manera que cuando nos encontramos con series no estacionarias y con estadísticos significativos pero DW bajos se recomienda no estimar la regresión en niveles, , sino entre series

estacionarias, es decir en diferencias, , supuesto que Y y X sean I(1).

• El problema de esta especificación en diferencias es que al hacer las series estacionarias, se elimina la tendencia y los ciclos de mayor duración (movimientos a largo y medio plazo) movimientos que pueden ser relevantes desde el punto de vista económico, de manera que

desde el punto de vista económico la estimación de la regresión entre series estacionarias puede no ser adecuada.

t t t

Y   a bX  V

t t t

Y a b X V

    

Regresión espuria (ejemplo)

• Se reproducen a continuación el consumo y el PIB a precios constantes de España y Argentina en logaritmos.

11,8 12 12,2 12,4 12,6 12,8 13

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

Argentina

l_PIBA l_CA

11,8 11,9 12 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

ESPAÑA l_PIBE

l_CE

Regresión espuria (ejemplo)

MCO, usando las observaciones 1995:1-2010:4 (T = 64) Variable dependiente: Ln[CONSUMO (ESPAÑA)]

Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p

--- const 4,97644 0,969210 5,135 3,03e-06 ***

Ln[PIB (ARGENTINA)] 0,571066 0,0768926 7,427 3,91e-010 ***

Media de la vble. dep. 12,17384 D.T. de la vble. dep. 0,150467 Suma de cuad. residuos 0,754823 D.T. de la regresión 0,110338 R-cuadrado 0,470797 R-cuadrado corregido 0,462262 F(1, 62) 55,15740 Valor p (de F) 3,91e-10 Log-verosimilitud 51,27291 Criterio de Akaike -98,54583 Criterio de Schwarz -94,22806 Crit. de Hannan-Quinn -96,84484 rho 0,846447 Durbin-Watson 0,285858

Que es una regresión sin sentido o espuria puesto que obviamente el consumo español depende de la renta española y no de la Argentina. Sin embargo la regresión presenta valores aceptables, los dos coeficientes son significativos, lo mismo ocurre con la F, sólo el DW presenta un valor claramente inadecuado. Los resultados de las regresiones entre series no estacionarias pueden no ser fiables.

Regresión espuria (ejemplo)

Realizando la misma regresión pero en diferencias [hemos realizado una diferencia regular y otra estacional y supuesto que las variables son I(1,1)].

MCO, usando las observaciones 1996:2-2010:4 (T = 59) Variable dependiente: ∆∆⁴{Ln[CONSUMO(ESPAÑA)]}

Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p

--- const -0,000481016 0,00192584 -0,2498 0,8037 ∆∆⁴{Ln[PIB(Argentina)]} 0,0958819 0,0677257 1,416 0,1623 Media de la vble. dep. -0,000328 D.T. de la vble. dep. 0,014897

Suma de cuad. residuos 0,012434 D.T. de la regresión 0,014769 R-cuadrado 0,033969 R-cuadrado corregido 0,017021 F(1, 57) 2,004314 Valor p (de F) 0,162293 Log-verosimilitud 165,9970 Criterio de Akaike -327,9939 Criterio de Schwarz -323,8388 Crit. de Hannan-Quinn -326,3719 rho -0,060231 Durbin-Watson 2,100612

Ahora se aprecia con claridad que consumo español y renta Argentina no están relacionadas (coeficientes no significativos).

Regresión espuria (ejemplo)

Si realizamos la mismas regresiones pero utilizando como variable exógena la renta española tenemos que:

MCO, usando las observaciones 1995:1-2010:4 (T = 64) Variable dependiente: Ln[CONSUMO(ESPAÑA)]

Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p --- const 0,217486 0,351085 0,6195 0,5379

ln[PIB(ESPAÑA)] 0,967922 0,0284198 34,06 7,59e-042 ***

Media de la vble. dep. 12,17384 D.T. de la vble. dep. 0,150467 Suma de cuad. residuos 0,072371 D.T. de la regresión 0,034165 R-cuadrado 0,949261 R-cuadrado corregido 0,948443 F(1, 62) 1159,945 Valor p (de F) 7,59e-42 Log-verosimilitud 126,3027 Criterio de Akaike -248,6054 Criterio de Schwarz -244,2876 Crit. de Hannan-Quinn -246,9044 rho -0,726840 Durbin-Watson 3,369344

Regresión espuria (ejemplo)

y en diferencias (diferencia regular y estacional).

De manera que el consumo y la renta española están relacionadas.

Modelo 6: MCO, usando las observaciones 1996:2-2010:4 (T = 59) Variable dependiente: ∆∆⁴{Ln[CONSUMO(ESPAÑA)]}

Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p

--- const -9,22397e-05 0,00153581 -0,06006 0,9523

∆∆⁴{Ln[PIB(ESPAÑA)]} 0,964275 0,161731 5,962 1,66e-07 ***

Media de la vble. dep. -0,000328 D.T. de la vble. dep. 0,014897 Suma de cuad. residuos 0,007927 D.T. de la regresión 0,011793 R-cuadrado 0,384103 R-cuadrado corregido 0,373298 F(1, 57) 35,54799 Valor p (de F) 1,66e-07 Log-verosimilitud 179,2754 Criterio de Akaike -354,5508 Criterio de Schwarz -350,3957 Crit. de Hannan-Quinn -352,9288 rho -0,296100 Durbin-Watson 2,585696

D^to de Economía Aplicada Cuantitativa I Basilio Sanz Carnero