MA 2113 Practica 2 pdf

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(1)Práctica 2 Integrales de funciones escalares y vectoriales. 1.

(2) con. uar. la semi-esfera superior de radio .. Evaluar. con. la semi-esfera superior de radio .. Problema 1.. ución Problema 1 Solución (d) Definición. Las coordenadas deluna centro de masa de son: rata de calcular (una integral de campo escalar sobre superficie). Se trata de calcular (una integral de campo escalar sobre una superficie).. roblema podría haberElsido propuesto estasido otrapropuesto manera: de esta otra manera: problema podríade haber. (d) Definición. Las coordenadas del centro de son: conconde masa la semi-esfera Evaluar con Evaluar. uar. superior de . (ver fig. ). radio (ver fig.. ).. Solución (e) Las coordenadas del centroide de son: (e) Las coordenadas del centroide de son: Se trata de calcular (una integral de campo escalar sobre una superfi. 2.2. El problema podría haber sido propuesto de esta otra manera:. 2.2resueltos Ejercicios Ejercicios con. Evaluar. Problema 1. Problema 1. Evaluar. con. resueltos. (ve. la semi-esfera superior de radio .. Evaluar. con. la semi-esfera superior de radio .. Figura 2.1:. Solución Figura 2.1: Se trata de calcularSolución (una integral de campo escalar sobre una superficie).. El problema podría haber sido propuesto de esta otra manera: Se trata calcular (una integral de campo(puesto escalar superficie). Aquí de podemos usar la parametrización en cartesianas quesobre) yuna poner con (ver fig. ). Evaluar se calcula El problema podría haber sido propuesto de esta otra manera:. Aquí podemos usar la parametrización en cartesianas (puesto que seEvaluar calcula con. ) y poner. (ver fig.. Por lo tanto, 2.

(3) Aquí podemos usar la parametrización en cartesianas (puesto que se calcula. ) y poner. Por lo tanto,. Recuerde que la parametrización no es única, por ejemplo Problema 2 pero usandousar la parametrización general. Repita el ejercicio aquí se podría una parametrización en coordenadas 28 esféricas (coordenadas esféricas), con la dificultad de Solución tener que sustituir el integrando: Aquí Se calcula. con. pero y. Solución. Por lo tanto, Aquí. con. pero. ya que Se calcula. el cual es de tipo I y tipo II.. y 3.

(4) Aquí. con. Se calcula. pero y. ya que. Por lo tanto, ya que. es un rectángulo. el cual es de tipo I y tipo II. Entonces,. Problema 3 Calcular. la frontera de la esfera dada por. Solución Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podríala esfera: mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja para la semi-esfera superior y como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera inferior. Así que. 4.

(5) Problema Problema33 Calcular Calcular. Problema 2. Aquí. con. lalafrontera fronterade delalaesfera esferadada dadapor por. Se calcula. Solución Solución Observe define aauna esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes alalinterior dede Observeque queelelconjunto conjuntodado dado define una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes interior Por lo tanto, y los de (o(osea, lala esfera: y los delalasuperficie: superficie: sea,lalafrontera fronterao oborde). borde).PodríaPodría esfera: mos con (Se mos hacer hacerlos loscálculos cálculosutilizando utilizando con (Sedeja deja para como paralalasemi-esfera semi-esferasuperior superiory y comoejercicio). ejercicio). OObien bienutilizando utilizandocoordenadas coordenadascartesianas cartesianascon con para paralalasemi-esfera semi-esferainferior. inferior.. el cual es de tipo I y tipo II.. Así Asíque que. Entonces, Antes. de continuar preste especial atención a el integrando. Por Porlolotanto, tanto,. Problema 3 Ahora, Ahora,. Calcular. porla lo que por lofrontera que. Solución Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son: Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:. de la esfera dada p. Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, 5e.

(6) es,. Problema Problema33 Entonces, Calcular ma 3 Calcular. ya que. es un rectángulo. Problema 2. Problema 3. el cual es de tipo I y tipo II. lalafrontera fronterade delalaesfera esferadada dadapor por. Calcular. la frontera de la esfera dada por. la frontera de la esfera dada por. r. Solución Solución Observe que elelconjunto dado define aauna esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes alalinterior dede Observe que conjunto dado define una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes interior Solución Problema 3 ón yylos de lalasuperficie: (o(osea, lalafrontera o oborde). Podríalala esfera: los de superficie: sea, frontera borde). Podría esfera: Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los emos que hacer el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de los cálculos utilizando con (Se deja la frontera de la esfera dada por Calcular mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja y los la de la superficie: (o sea, lade frontera o borde). Podríaa: y los la superficie: esfera: para superior como ejercicio). OObien paralalasemi-esfera semi-esfera superiory y como ejercicio). bienutilizando utilizandocoordenadas coordenadascartesianas cartesianascon con con cer los cálculos utilizando (Se deja mos hacer losinferior. cálculos utilizando para la semi-esfera para la semi-esfera inferior. con para la semi-esfera superior y jercicio). coordenadas cartesianas SoluciónO bien utilizando como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera inferior. Observe sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de Así Asíque que que el conjunto dado define a una esfera para la semi-esfera inferior. y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podríaela esfera: mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja Así que para la semi-esfera superior y como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera inferior.. Así que. Por Porlolotanto, tanto, anto,. Ahora, Ahora, Por lo tanto,. Por lo tanto,. por lo que por lo que por lo que. Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie. Pero, recordando que las coordenadas deldecentroide de una son: superficie ecordando que las coordenadas del centroide una superficie Ahora,. Ahora,. son: son:. por lo que. por lo q 6.

(7) Así que. o, Por lo tanto,. or lo tanto,. por lo que. Por lo tanto,. Ahora,. rdando que las coordenadas del centroide de una superficie. hora,. son:. por lo que. Pero, recordando que las coordenadas d. Ahora,. por lo que. ero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie. Obser vemos la relación entre las regiones D1 y D2.. Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie. 29. son: son:. Usando dicha relación encontramos:. 7.

(8) Por lo tanto,. Ahora,. por lo que Ahora,. Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie. son:. Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una supe. Recordemos:. y como serían. en nuestro caso (ya que. es una superficie esférica) resulta que 29. Por ser S una superficie para el hemisferio superior y para el hemisferio29inferio esférica.. Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta. 8.

(9) También por ser S un hemisferio, de la esfera, entonces:. sulta que. y. io inferior.y como. s, resulta y. serían. y. y como. en nuestro caso (ya qu. serían. para el hemisferio sup. Pero,esestando cada semi-esfera conque ce en nuestro caso (ya que una superficie esférica) resulta . Por lo tanto, para el hemisferio superior y para el hemisferio inferio. Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta . Por lo tanto,. ser que un hemisferio ficie esférica)Por resulta encontraremos:. para el hemisferio inferior.. de coordenadas, resulta (estamos usandoy. y Problema 4 El promedio P de una función. . Por lo tanto,. sobre u. Problema 4 una de las notaciones dadas en la pa la superficie función El promedio P desobre una función sobre una superficie se definede por P descrita por la porción cilindro (estamos usando con una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre ladescrita superficie 9 Solución interior a la esfera por la porción de cilindro.

(10) y como serían. en nuestro caso (ya que. es una superficie esférica) resulta que. Finalmente: para el hemisferio superior y. para el hemisferio inferior. y. Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta. Problema 4 El promedio P de una función. sobre una superficie. se define por P. una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función interior a la esfera descrita por la porción de cilindro Solución Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste: Obsérvese que aquí. con. (Ver ejercicio. 10.

(11) Problema 4 El promedio P de una función. Problema3. una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre una superficie. se define por P. (estamos usa. sobre la supe. Problema 4 interior a la esfera descrita por la porción de cilindro El promedio P de una función sobre una superficie se define por P. una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función Solución interior aparametrizar la esfera descrita por porción departe cilindro Como (verlafig. ) es del cilindro, debemos éste: Obsérvese que aquí Solución Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste: Obsérvese que aquí. con. (estamos usando sobre la superficie. con. (Ver ejercicio (Ver ejercicio. del capítulo. del capítulo ).. Figura 2.2: Figura 2.2:. 11.

(12) Problema 4 El promedio P de una función. Problema3. una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre una superficie. se define por P. (estamos usa. sobre la supe. Problema 4 interior a la esfera descrita por la porción de cilindro El promedio P de una función sobre una superficie se define por P. una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función Solución interior aparametrizar la esfera descrita por porción departe cilindro Como (verlafig. ) es del cilindro, debemos éste: Obsérvese que aquí Solución Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste: Obsérvese que aquí. con. (estamos usando sobre la superficie. con. (Ver ejercicio (Ver ejercicio. del capítulo. del capítulo ).. Figura 2.2: Figura 2.2:. 12.

(13) Comenzaremos calculando la integral sobre el área, recordando la clase anterior, lo primero que calcularemos es el PVF:. Figura 2.2:. Se calcula Figura 2.2:. o bien. Entonces:. En todo caso,. y. Se calcula. o bien En todo caso, y. obser ve:. 30. 13.

(14) y como. en nuestro caso (ya que. es una superficie esférica) resulta que. serían. para el hemisferio superior y. y. para el hemisferio inferior.. o origen bien de coordenadas, resulta Pero, estando cada semi-esfera con centro en el una superficie. se define por P. y. . Por lo tanto,. (estamos usando. las dos integrales son equivalentes Problema 4 ndro, éste: pues lo que se ha El debemos promedioparametrizar P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usand (Ver ejercicio del capítulo ). la superfic una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función hecho essobre reinterior a la esfera con descrita por la porción de cilindro 30 escribir uno de los Solución inter valos Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:. y (a)). Hallar el promedio de la función arte interior a la esfera. sobre la superficie. con. Obsérvese que aquí. Finalmente luego del calculo de las integrales: Figura 2.2:. Se calcula. (Ver ejercicio. del capítulo ).. En todo caso, y. 14.

(15) Ahora continuamos Se calcula o bien calculando. o bi En todo caso,. y. y. 30. El calculo de esta ultima integral requiere que usemos recuerde la practica anterior.. 30. Figura 2.3:. 15.

(16) Figura 1.12:. Obser ve la relacion entre las regiones.. tenemos entonces que limitar los valores de para que parametrice a la superficie en cue Para ello, despejamos de la ecuación de la esfera: y como esférica) resulta que es una superficie y. y como. en nuestro caso (ya que. serían. para el hemisferio superior y. para el hemisferio inferior.. (b) Se calcula. y. Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta Ahora,. Problema 4 El promedio P de una función. sobre una superficie. la contraimagen (o imagen inversa) por. se define por P. una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función interior a la esfera descrita por la porción de cilindro Solución Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste: Obsérvese que aquí. Figura 2.3:. . Por lo tanto, de. se muestra en la fig.. :. (estamos usando sobre la superficie con. (Ver ejercicio. del capítulo ).. Figura 1.13:. función continua de . Por lo tanto,. queda como se muestra en la figura. ción. .. 15. sobre la superficie descrita por la porción de cilindro 16.

(17) Problema 4. Problema 6 Sea. la región de. acotada lateralmente por. de ecuaciones. inferior y superiormente por los planos. respectivamente. Calcular. (es decir,. ).. Solución. Ver fig . Para Podemos usar, por ejemplo, Para. Así que. en el plano. viene dada por (ver fig. ):. aquí. Para (En el ejercicio. del capítulo , se usó otra parametrización para. .). Ahora, con. y. 31. 17.

(18) Problema 6 Sea la región de. Problema 6 inferior superiormente los planos Sea y la región de por acotada late. acotada lateralmente por. de ecuaciones. respectivamente. Calcular. Solución. (es decir, de ecuaciones).. re. Solución. Ver fig . Para Podemos usar, por ejemplo, Para. Así que aquí. Ver fig . en el planoPara viene dada por (ver fig ): Podemos usar, por ejemplo, Para. Para (En el ejercicio. del capítulo , se usó otra parametrización para Para. .). (En el ejercicio. Ahora,. Ahora,. con. y. 31. 18.

(19) Hallar el promedio P de la función interior a la esfera dada por. sobre la superficie descrita p. Solución P. Problema 6 Sea la región de de ecuaciones. acotada lateralmente por. infe. respectivamente. Calcular. (es de. Solución Figura 2.4:. Ver fig . Para Podemos por ejemplo, Para la segunda y tercerausar, integral se tiene respectivamente, aquí Para. Así que. en el plano. Para 19.

(20) Problema 6 Sea la región de. acotada lateralmente por. de ecuaciones. inferior y superiormente por los planos. respectivamente. Calcular. Antes de integrar hay que Solución parametrizar las superficies involucradas: Ver fig . Para Podemos usar, por ejemplo, Para. Así que. (es decir,. en el plano. ).. viene dada por (ver fig. ):. aquí. Para (En el ejercicio. del capítulo , se usó otra parametrización para. .). Ahora, con. y. 31. Figura 2.5:. Problema 7 Sea la superficie dada por. limitada por el plano de ecuación. en el primer octante. Calcular. 20.

(21) Solución Ver fig Solución . Para Podemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver fig aquí Para Ver fig . Ver fig . Para Para Para Podemos usar, porejercicio ejemplo, del capítulo , se usó otra parametrización Así que en el plano viene dada por (En el para Podemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver.)fig aquí Para aquí Para Ahora, Para Para Ahora, Ahora,. con (En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización (En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización para para. y. .). 31 con con. y. y. 31 31. 21.

(22) Para Podemos usar, por ejemplo, Para. Así que. aquí Continuando, ahora integramos:. Para. (En el ejercicio Ahora,. en el plano. viene dada por (ve. del capítulo , se usó otra parametrización para Figura 2.4: Figura 2.4:. con. y. 31 Para la segunda y tercera integral se tiene respectivamente,. Para la segunda y tercera integral se tiene respectivamente,. (Recordar que. (Recordar que. si. es impar).. si. es impar).. Y. Y. Nota didáctica: También. Nota didáctica: También. si se utiliza el hech centroide de una lámina plana. si se utiliza el. , aquí en este problema. 22.

(23) , puesto que aquí. e: Finalmente:. 32. 32. 23.

(24) hora, intersectando. por lo que, pr. Problema 5. Problema 7. (ver fig. obre el plano Sea. la superficie dada por. ).. limitada por el plano de ecuación. Ahora, ampliando la intersección del plano. con el paraboloide. en el primer octante. Calcular. y la proyección de. Solución. Ahora, intersectando sobre el plano Ahora, ampliando la intersección del plano. por lo que, proyectando (ver fig. ).. con el paraboloide. y la proyección de. sobre el. Figura 2.6:. ano , se obtiene la fig Por lo tanto, 24.

(25) Solución erficie dada por. Figura 2.5:en el primer octante. Calcular limitada por el plano de ecuación Figura 2.5:. Ahora, intersectando. por lo qu. Intersectando las superficies:. Problema 7 Sea la superficie dada por. Problema 7 Sea el la superficie dada por sobre plano. limitada (ver fig por). el plano de ecuación. ectando Solución Ahora, ampliando la intersección del plano. o Solución. limitada por el plano de ecuación. (ver fig. con el paraboloide. en el pri. en el pr. por lo que, proyectando y la proyecció. Ahora, ). intersectando. po. Si proyectamos sobre el eje xy: iando la intersección del plano con el paraboloide. (ver fig. sobre el plano. ).. y la proyección de. Ahora, ampliando la intersección del plano. con el paraboloide. sobre el. y la pro. Ahora, intersectando. p (ver fig. sobre el plano Ahora, ampliando la intersección del plano. ).. con el paraboloide. y la pr. Figura 2.6:. Figura 2.6:. plano , se obtiene la fig Por lo tanto,. 25.

(26) Figura 2.7:. 26.

(27) evaluada en. es y pasando a coordenadas polares, tenemos,. evaluada en. es. y. y pasando a coordenadas polares, tenemos, en el primer cuadrante y : transformación en polares (ver. con. ). or lo tanto, y. con. en el primer cuadrante y. : transformación en polares (v. ). Por lo tanto,. Figura 2.8: 27.

(28) Ahora,. con. Por lo tanto,. Problema 8 Calcular. con. comprendida entre los planos de ecuaciones y ).. y y. es la porción de hiperboloide dado p. , respectivamente. (Expresar el resul. Solución 28.

(29) 3.2. Ejercicios resueltos. Problema 6 Problema 1 Calcular el flujo total del campo. a través de la superficie cerrada. con en dirección de la. normal exterior de . Solución flujo total. orientado hacia exterior. hacia exterior de. (Obsérvese que se podría usar la notación. . Ver fig.. ). y este vector apunta hacia exterior Por lo tanto, Se obtiene entonces, con. Por lo tanto,. Figura 413.3:. 29.

(30) normal exterior de esueltos. .. Solución flujo total. hacia exterior a través deorientado la superficie cerrada. campo. (Obsérvese que se podría usar la notación. hacia exterior de. con. Ver fig. en dirección de la ). y este vector apunta hacia exterior Recordemos la notación. orientado hacia exterior. hacia exterior de. . Ver fig.. Por lo tanto,. a usar notación Sela obtiene entonces,. ) con. y este vector apunta hacia exterior Por lo tanto, 41. con. 41. 30.

(31) normal exterior de . Solución 3.2 Ejercicios flujo total. resueltos. orientado hacia exterior. Problema 1 (Obsérvese que se podría usar la notación Calcular el flujo total del campo. hacia exterior de. . Ver fig.. ) a través de la superficie cerrada. en dirección. normal exterior de . Solución flujo Por lototal tanto,. Si utilizamos una y este vector apunta hacia exterior parametrización cartesiana orientado hacia exterior hacia exterior de encontramos:. Se obtiene entonces, (Obsérvese que se podría usar la notación. . Ver fi. ) con. y este vector apunta hacia exterior Por lo tanto, Por lo tanto,. Se obtiene entonces,. 41. con. Ahora integramos: Por lo tanto, 41 31.

(32) normal exterior de . Una propiedad importante de la integral de un campo vectorial. 3.2Solución Ejercicios resueltos 3.2 Ejercicios resueltos flujo total Problema 1 Calcular el3.2 flujo del camporesueltos Ejercicios Problema 1 total. (Obsérvese que se podría usar la notación Calcular el flujo total del campo Problema normal exterior de .1. sobre una superficie. orientado hacia exterior. hacia exterior de. . Ver fig.. a través de la superficie cerrada con ) en dirección de la a través de la superficie cerrada en dirección a través de la superficie cerrada en dirección y este vector apunta hacia exterior orientado hacia exterior hacia exterior de . Ver fig.. Si utilizamos una parametrización cartesiana orientado hacia exterior flujo Por lototal tanto, Solución encontramos: (Obsérvese que se podría usar la notación Calcular el flujo total del campo. normal exterior de . Solución normal exterior de . flujoSolución total. es que si. orientado hacia exterior. flujo total Se obtiene entonces, (Obsérvese que se podría usar la notación (Obsérvese que se podría usar la notación. hacia exterior de ). hacia exterior de. . Ver fi. . Ver fig. ) con). y este vector apunta hacia exterior Por lo tanto, Por lo tanto, Se Por obtiene entonces, lo tanto, Por lo tanto, Se obtiene entonces, Se obtiene entonces,. y este vector apunta hacia exterior y este vector apunta hacia exterior 41. con. con. con. Por lo tanto,. Por lo tanto, Por lo tanto,. 41. 41 41 32.

(33) Figura 3.3:. Figur. Continuando hacemos la siguiente integral: cia de cia el el exterior exterior de. se coloca coloca se. Figura 3.3:. pero para apunte pero para queque apunte ha- halo que porpor lo que. Estevector vector Este eses. entonces: Finalmente, el flujo total de Finalmente, el flujo total de. cia el exterior de pero que apunte Obsérvese que para no usamos usamos ni , ,ya yahaqueen ental talcaso casosesetendría tendría Obsérvese ni que. por lo que. con con. se coloca. Este vecto. conlalaorientación orientaciónadecuada; adecuada;enensusu lugar, usamos con lugar, usamos. donde este comillas aa donde estevector vectorentre entre comillassustituye sustituye se coloca cia el exterior de Finalmente, el flujo total de dimiento análogo se utiliza dimiento utiliza para para. Obsérvese no usamos Finalmente el flujo totalquedel campo vectorial Fcones: Problema 2 2 Problema. . Un proce. Un proce-. ni. , ya que en tal caso se tendría. con la orientación adecuada; en su luga. Sea la la superficie superficie dada Si Si el desplazamiento de un Sea dada por por el desplazamiento de fluido un fluido viene dado dado por por donde este vector entre comillas sustituye a viene (a) Dibujar Dibujar la la superficie superficie .. (a) dimiento análogo se utiliza para . (b) Hallar una expresión para una normal unitaria a (b) Hallar una expresión para una normal unitaria a . (c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cada . Unel proce(c) Hallar flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cada punto de hacia el exterior. punto de hacia el exterior.. Finalmente, el flujo total de Obsérvese que no usamos. Solución Solución (a) Para. Problema es el segmento de recta que va de2. a. ni. , ya que en tal caso se 33.

(34) Problema 7.. Problema 2 Sea la superficie dada por Si el desplazamiento de un fluido viene dado por (a) Dibujar la superficie . (b) Hallar una expresión para una normal unitaria a . (c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cada punto de hacia el exterior. Solución es el segmento de recta que va de a (a) Para Al aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje . lo tanto, de una rama del helicoide de la fig. hasta la altura. (b) hacia el exterior de , puesto que. pero como es siempre. Se trata, por apunta. (la tercera componente). 42. 34.

(35) cia el exterior de. se coloca. Este vector es. Problema 2 Sea la superficie dada por Si el desplazamiento de un fluido Finalmente, el flujo total de viene dado por (a) Dibujar la superficie . Obsérvese que no usamos ni , ya que en tal caso se tendría (b) Hallar una expresión para una normal unitaria a . de , conociendo quecon ésta, está orientada de manera (c) Hallar el flujo total de a travéscon la orientación adecuada; en suque lugar, apunte usamosen cada punto de hacia el exterior. donde este vector entre comillas sustituye a Solución dimiento análogo se utiliza para es el segmento de recta que va de a (a) Para Al aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje hasta la altura . lo tanto, de una rama del helicoide de la fig. .U. Se trata, por. a). (b). pero como apunta Problema 2 Sea la superficie dada por Si el d (la tercera componente). hacia el exterior de , puesto que es siempre viene dado por (a) Dibujar la superficie . 42 una normal unitaria a . (b) Hallar una expresión para (c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de man punto de hacia el exterior. Solución es el segmento de recta que va de a (a) Para Al aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje . lo tanto, de una rama del helicoide de la fig. hasta la altura. (b) hacia el exterior de , puesto que. pero co es siempre. (la tercera componente).. Figura 3.4: 42. 35.

(36) Solución es el segmento de recta que va de a (a) Para Al aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje . lo tanto, de una rama del helicoide de la fig. hasta la altura. Figura 3.4:. (b) hacia el exterior de , puesto que. pero como es siempre. Se trata, por apunta. (la tercera componente). 42. (c) flujo. Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que es apunta hacia el exterior.. igu. Problema 3 Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a a tra densidad de flujo promedio del campo vectorial en dirección normal exterior a la esfera, con por. Solución Demuestre que con. se36o.

(37) Problema 8.. Obsérvese que utilizamos. en luga. Problema 3 es una superficie apunta haciatotal)/ el exterior. Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre a (flujo . Hallar la a través de toda la esfera dada densidad de flujo promedio del campo vectorial en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales por. z Solución Demuestre que con. Problema 3 Se define densidad de flujo promedio de u se obtiene densidad de flujo promedio del campo vecto Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar en por el cual apunta hacia el exterior de , puesto que por lo que la tercera componente. En efecto, cuando. .. lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de . Solución. Demuestre que con lo que implica que la tercera componente. Para ser en el hemisferio sur de. (ver fig.. como debe. ).. Ahora, ya sabemos que esa parametrizació e En efecto, cuando. La densidad de flujo promedio viene dada por:. y. lo cual corresponde a. x. Para impar. fig. ser en el hemisferio sur decon (ver. Compruebe el resultado usando el hecho de que 43. lo ).. La densidad de flujo promedio viene dada 37.

(38) ensidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ a través de toda la e flujo promedio del campo vectorial La parametrización la exterior a la esfera, con en direcciónde normal consta. esfera del problema es:. Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que es apunta hacia el exterior.. igual a la t. se obtiene. que con. abemos que esa Problema 3 parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar Obser vecampo queel vectorial no es la parametrización cual apunta exterior de que . to Se define densidad de flujo el promedio de unhacia sobre, puesto una superficie a (flujo través de densidad de flujo promedio del campo vectorial usual delolaqueesfera que definimos la aclase por la tercera componente uando por. lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de . anterior, esta es mucho. mas general. en dirección normal exterior a la esfera, con. Ahora. Solución misferio sur deque(ver Demuestre config.. lo que implica que la tercera componente ).. se obtiene. d de flujo promedio viene dada por:. Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de el cual apunta hacia el exterior de , puesto que por lo que la tercera componente En efecto, cuando. Ober ve que la parametrización tiene una normal que apunta al interior de lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de . la esfera, asi que adoptaremos como lo que implica que la tercera componente Para vector normal a: ). ser en el hemisferio sur de (ver fig.. ruebe el resultado usando el hecho de que. La densidad de flujo promedio viene dada por:. con. im 38.

(39) Ahora, yainvierte sabemos que esade parametrización invierte la orientació abemos que esa parametrización la orientación , por lo tanto, hemos de tomar el cual apunta hacia el exterior de , puesto . hacia el elque cual apunta n= por lo que la tercera componente uando por lo que la En efecto, cuando lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .. lo cual corresponde a los puntos del hemisfe. Este vector apunta en que la la tercera componente lo que implica como d lo que implica que la ter Para ). que para una dirección correcta fig. misferio sur de (ver en el hemisferio esser eldada exterior de lasur de (ver fig. ). d de flujo esfera promedio viene por: La densidad de flujo promedio viene dada por: misma. pruebe el resultado usando el hecho de que. con. impar.. Compruebe 43 el resultado usando el hecho de que 43. Figura 3.5: 39.

(40) lo cual corresponde a los puntos del puntos hemisferio norte de norte . lo cual corresponde a los del de del hemisferio hemisferio norte de Para ... Para Para fig.de misferio de (versur ser en en el elsur hemisferio ser hemisferio. ser en el hemisferio lo que implica que la tercera componente lo que implica implica que que la la tercera tercera componente componente La densidad de flujo ).(ver fig. ).. n. La densidad densidad de flujo promedio ad La de flujo promedio viene dada viene por: dada por: de. Compruebe el. Compruebe el el resultado resultado usando usando el hecho de que Compruebe el hecho de que pruebe el resultado usando el hecho de que. 43. con 43 43. 40.

(41) Ejercicio 1.. Problema 4 Sea la porción de superficie cónica. interior al cilindro. Calcular. si la tercera componente de. Sea el campo vectorial es negativa. ¿ Cuál es el significado. físico del resultado? Solución Si utilizamos. para la superficie cónica (ver fig.. Ejercicio 2. Problema 6 Sea debe ser negativa, que no estántomamos en el plano. ). se obtiene. pero como se dice en el enunciado que la tercera componente de consiste de las cinco caras del cubo . El vector. apunta en cada cara hacia el exterior de . Calcular. Por lo tanto, el flujo de viene dado por: Solución (ver fig. ). 45. Ahora, de Por lo tanto,. se tiene. y. . 41.

(42)

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