Multiplicación y división de números con signo

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(3) secuencia 1. Propósito del programa integrador. Mostrar casos en los que se resuelvan problemas de multiplicación y división de números con signo.. Multiplicación y división de números con signo. Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican efectuar sumas y restas de números con signo.. En esta secuencia resolverás problemas que impliquen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números con signo.. En esta sesión se hace un repaso de lo que se estudió en las secuencias 25 y 33 del libro Matemát icas I. La secuencia va a servir también como repaso de las operaciones y de las tablas de multiplicar.. SESIóN 1. Organización del grupo. Se sugiere resolver la sesión en parejas.. Para empezar Los números con signo. En las secuencias 25 y 33 de tu libro Matemáticas i Volumen ii resolviste problemas en los que utilizaste sumas y restas de números con signo. En esta sesión recordarás cómo hacer esas operaciones. Los números con signo son los números positivos y los números negativos. El cero no tiene signo. Los números positivos se ubican a la derecha del cero en la recta numérica. Pueden aparecer con el signo + o sin él. Cuando llevan el signo + es porque se desea resaltar que . son positivos. Por ejemplo: +3, +16, +7.9, +10.35, + 25 , + 37 3 Los números negativos se ubican a la izquierda del cero en la recta numérica y siempre . se escriben anteponiéndoles el signo –. Por ejemplo: –7, –1, –4.1, –12.73, – 83 , – 81 5. – 81 5. –12.73. –7. –1 0. –4.1 – 83. Sugerencia didáctica. En el libro de primero muchas veces se escribieron los números positivos anteponiéndoles el signo +. Comente con los alumnos que en esta secuencia no se hará así.. Sesión. 48. Libro para el mae s t r o. +16 + 37 3. Propósitos de la sesión. Recursos Aula de medios Video “Los números con signo”. 1. Los números con signo Resolver problemas que implican efectuar sumas y restas de números con signo.. 2. Multiplicaciones de números con signo Resolver multiplicaciones de un número entero positivo por un número negativo, de la forma 5 × (–3).. 3. Más multiplicaciones de números con signo Resolver multiplicaciones de un número negativo por un número positivo, de la forma (–7) × 4.. 4. La regla de los signos 1 Identificar y utilizar la regla de los signos para multiplicar.. Interactivo. 5. La regla de los signos 2 Identificar y utilizar la regla de los signos para dividir.. Interactivo. Antecedentes. En primer grado los alumnos ubicaron números con signo en la recta numérica e hicieron operaciones de suma y resta con ellos. En esta secuencia aprenderán a multiplicarlos y a dividirlos.. +10.35. Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.. Sentido numérico y pensamiento algebraico.. Significado y uso de las operaciones.. +7.9. 12. Eje Tema. +3. + 25. Interactivo. Programa integrador 1. Descripción del video. El video es de introducción, por lo cual puede ser observado antes de iniciar con la sesión. En él se hace un breve recorrido histórico para conocer quiénes y cuándo utilizaron por primera vez los números negativos, y se proveen los distintos contextos que provocaron su uso a lo largo de la historia. Se complementa la información sobre los distintos conjuntos de números, en particular de los naturales y los enteros.. LOS NÚMEROS CON SIGNO.

(4) MATEMÁTICAS. II. Cuando se hacen operaciones de números con signo, los números se escriben entre paréntesis para no confundir los signos de los números con los signos de la operación. Por ejemplo: (–4) + (+5) – (–15).. Sugerencia didáctica. Comente esta información con los alumnos. Es frecuente que confundan el signo del número con el de la operación, así que conviene que lo repasen y que aclaren dudas.. Se puede escribir 5 en vez de +5 y entonces no son necesarios los paréntises: (–4) + 5 – (–15).. Lo que aprendimos 1. Una sustancia química que está a una temperatura de –5 °C se calienta en un mechero hasta que alcanza una temperatura de 12 °C.. ¿Cuántos grados subió la temperatura de la sustancia?. Sugerencia didáctica. Al final de la sesión haga una puesta en común para que se revisen los resultados.. 2. En una tienda de abarrotes se realizó el balance bimestral de todo un año. Se indicaron las ganancias con números negros y las pérdidas con números rojos. El saldo para un periodo se calcula sumando las ganancias y restando las pérdidas:. Ene-Feb. Mar-Abr. May-Jun. Jul-Ago. Sept-Oct. Nov-Dic. 960.60. 773.50. 1 755.75. 441.80. 2 997.25. 4 647.00. Balance bimestral. Respuesta. Subió 17° C. Puede sugerir a los alumnos que utilicen el termómetro para efectuar la operación o verificar su resultado.. a) Respondan sin hacer la cuenta, ¿el saldo anual fue positivo o negativo?. b) ¿De cuánto fue el saldo anual en la tienda? c) En otra tienda, el saldo anual fue de $9 550.60. En el bimestre enero-febrero tuvieron pérdidas por $845.25.. ¿Cuál fue el saldo en esta tienda de marzo a diciembre?. 3. Escriban mayor que (>) o menor que (<) según corresponda.. <. 18. c) (–19). <. 1. d) (–7). e) (–27). >. (–35). f) (–11). a) 7. b) 12. >. (–5). < <. 14. Recuerden que: El número mayo r es el que está más a la de recha en la recta numérica.. (–3). 13. Respuestas. a) El saldo es positivo, a simple vista puede observarse que hay más ganancias que pérdidas. b) El saldo anual fue de $8 771.10. Para resolverlo lo mejor es sumar primero las ganancias, luego las pérdidas y restar los resultados. También puede hacerse sumando o restando el saldo de cada bimestre, uno por uno. Es importante que permita que los alumnos lo intenten de la manera que a ellos les parezca mejor. c) El saldo de marzo a diciembre fue de $10 395.85. Este saldo tiene que ser mayor al saldo anual debido a que en enero-febrero hubo pérdidas. Es posible que muchos alumnos resten 9 550.60 – 845.25 y obtengan $8 705.35. Una manera de que se den cuenta de que ese cálculo es erróneo es obteniendo el saldo de marzo a diciembre en la primera tienda (el saldo en ese periodo es de $9 731.70).. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 49.

(5) secuencia 1 Recuerden que: • Los números simétricos son los que están a la misma distancia del cero. • El valor absoluto de un número siempre es un número positivo, se representta utilizando dos barras verticales.. e: Recuerden qu os del r dos númer ma su ra Pa • se pueden mismo signo os lores absolut sumar los va y el signo del s, ro me de los nú el signo de los resultado es se suman. e qu s ro me nú os de do r s númer • Para suma os, se puede signos distint diferencia de encontrar la solutos de los ab es lor los va signo del el y s, ro me nú el signo del resultado es yor valor número de ma absoluto.. Sugerencia didáctica. En el libro de primero no se hicieron ejercicios en los que hubiera que sumar más de dos números con signo, por ello puede ser útil que ponga un par de ejemplos en el pizarrón en los que se utilice el método de sumar por separado los positivos y los negativos, de esta manera se convierte en una suma de números con distinto signo. Sin embargo, aclare a los alumnos que también pueden decidir realizar las sumas una por una en cualquier orden.. Recuerden que: eros con Para hacer restas de núm simétrico: signo se puede sumar el = –7. (–2) – 5 = (–2) + (–5) = 2. (–3) – (–5) = (–3) + 5. 4. Escriban el simétrico o el valor absoluto de los siguientes números con signo, según corresponda: a) El simétrico de 29.3 es. –29.3. de ( b) El simétrico. 19 7. – 19 7. c) |25.1| = d). |. 2 – 13. |=. ) es. 25.1 2 13. 5. Resuelvan las siguientes sumas: a) (–8) + (–15) = –23 b) 24 + (–24) =. 0. c) (–31) + 48 =. 17. d) 59 + (–81) =. –22 –4.4. e) 4.3 + (–8.7) = f). (– 21 ) +. 7 9. =. 14 5 = 18 (– 189 ) + 18. 6. Resuelvan las siguientes restas: a) (–31) – 14 =. – 45. b) 46 – (–10) =. 46 + 10 = 56. c) (–2) – (–65) =. (– 2) + 65 = 63. d) (–52) – (–19) =. (– 52) + 19 = -33. e) (–15.7) – (–17.9) = f). (– 15.7) + 17.9 = 2.2. (– 74 ) – (– 13 ) = (– 21 12 ) +. 4 12. 7. Resuelvan las siguientes sumas: Recuerden que: Para realizar una suma de varios números con signo podemos sumar primero todos los números positivos, después todos los números negativos y por último sumar los resultados. Por ejemplo: (–18) + 31 + (–24) = 31 + (–42) = –11. (–15) + 11 + (–8) + 28 = 39 + (–23) = 16.. a) (–10) + 17 + (–15) = b) 28 + (–4) + 11 =. – 8. 35. c) (–10) + (–21) + 86 =. 55. d) (–47) + (–12) + (–33) =. – 92. e) 14 + (–25) + (–39) + 32 =. – 18. f) (–10) + (–33) + (–38) + (–9) = 14. 50. Libro para el mae s t r o. 7 = – 12. – 90.

(6) MATEMÁTICAS. II. Respuestas. a) Observe que al dibujar la recta los alumnos sitúen al cero, y que todas las unidades midan lo mismo.. 8. El municipio de Temósachic, localizado en el noroeste del estado de Chihuahua, es uno de los municipios con las temperaturas más bajas del país. En el año 2006, en esa localidad se registraron las siguientes temperaturas mínimas promedio por mes (en grados centígrados):. Temperatura mínima promedio. Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. Dic. –7. –2. 0. 2. 5. 12. 13. 14. 10. 4. –3. –6. b) Al sumar las temperaturas promedio registradas se obtiene 42. El promedio anual de la temperatura mínima son 3.5° C (porque 42 ÷ 12 = 3.5).. a) Dibujen una recta numérica y coloquen en ella todas las temperaturas.. b) Con los datos mensuales del cuadro, calculen el promedio anual de la temperatura mínima. 9. El faro de Alejandría es una de las siete maravillas del mundo antiguo. Ptolomeo I, rey de Egipto, mandó construirlo en el año 291 antes de nuestra era, en la isla de Faro. Consistía en una torre de 134 metros de altura; en su parte superior, una hoguera permanente marcaba la posición de la ciudad a los navegantes. a) La construcción del faro tardó 12 años en completarse. ¿En qué año se terminó de construir?. b) Ptolomeo I tenía 76 años cuando mandó construir el faro, ¿en qué año nació?. c) El sucesor de Ptolomeo I fue su hijo, Ptolomeo II, quien se convirtió en rey en el año 285 antes de nuestra era, a la edad de 24 años. Se sabe que Ptolomeo II nació cuando su madre tenía 31 años. ¿En qué año nació la madre?. 15. Respuestas. a) En el año 279 antes de nuestra era, porque (– 291) + 12 = –279. b) Nació en el año 367 antes de nuestra era, porque (–291) – 76 = –367. c) La madre de Ptolomeo II nació en el año 340 antes de nuestra era. Para responder esta pregunta es necesario averiguar primero en qué año nació Ptolomeo II. Hay que restar su edad en ese momento al año en que se convirtió en rey, es decir, (–285) – 24 = –309. Después, para averiguar en qué año nació su madre, hay que restar (–309) – 31 = –340. Posibles dificultades. Quizá muchos alumnos consideren que la respuesta a la pregunta a) es el año 303. Sugiérales que sitúen los años en una línea de tiempo para que vean que la cuenta se hace de distinta manera cuando se trata de los años antes de nuestra era. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 51.

(7) Propósito de la sesión. Resolver multiplicaciones de un número entero positivo por un número negativo, de la forma 5 × (–3).. s e c uencia 1 SESIóN 2. Organización del grupo. Se propone resolver la sesión individualmente y hacer comentarios grupales.. MULTIPLICACIONES DE NÚMEROS CON SIGNO. Para empezar. Los números tienen su origen en la necesidad de contar y de medir. Los primeros números que fueron utilizados son los llamados números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…. Al conjunto formado por los números naturales, los simétricos de los números naturales y el cero, se le llama conjunto de los números enteros: …, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4…. Propósito de la actividad. Que los alumnos puedan seguir el patrón de las multiplicaciones con positivos para responder las de los negativos. Se les da la pista en el resultado de 6 × (–4) para que puedan confirmar o rectificar sus resultados.. Consideremos lo siguiente Las siguientes tablas son parte de las tablas de multiplicar del 4 y del 6. Completa los resultados:. Es importante que usted no anticipe la regla de la multiplicación de un positivo por un negativo, deje que los alumnos encuentren los resultados de la manera que crean conveniente. Posibles procedimientos. Una posible respuesta es que continúen las tablas hacia los positivos: 4 × (−1) = 4, 4 × (−2) = 8, etcétera. Aunque se les da la pista de 6 × (−4) = −24, alguno podría pensar que es un error. Un procedimiento correcto es ver que los resultados van disminuyendo de 4 en 4 en la primera tabla, y de 6 en 6 en la segunda tabla, de esta manera pueden completar los resultados.. 3. Libro para el mae s t r o. 24 . 6×6=. 36. 4×5=. 20 . 6×5=. 30. 4×4=. 16 . 6×4=. 24. 4×3=. 12. 6×3=. 18. 4×2=. 8. 6×2=. 12. 4×1=. 4. 6×1=. 6. 4×0=. 0 . 6×0=. 0. 4 × (–1) =. –4. 6 × (–1) =. 4 × (–2) =. –8. 6 × (–2) =. –6 –12. 4 × (–3) =. –12. 6 × (–3) =. –18. 4 × (–4) =. –16. 6 × (–4) =. –24. 4 × (–5) =. –20. 6 × (–5) =. –30. 4 × (–6) =. –24. 6 × (–6) =. –36. 4 × (–7) =. –28. 6 × (–7) =. –42. Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que siguieron para llenar las tablas.. 16. 52. 4×6=.

(8) MATEMÁTICAS. II. Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos se den cuenta del patrón que aparece en las tablas: los resultados siempre van disminuyendo (de 4 en 4 en la primera tabla y de 6 en 6 en la segunda).. Manos a la obra I. Observa las tablas y responde las preguntas: a) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 4 × 5 al resultado de 4 × 4?. Si hay dificultades, escriba en el pizarrón las restas correspondientes. Por ejemplo:. b) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 4 × 1 al resultado de 4 × 0? c) Para pasar del resultado de 4 × 0 al resultado de 4 × (–1), se resta lo mismo.. 0–4=. ¿Cuánto es 4 × (–1)?. (–4) – 4 =. d) Entre dos renglones consecutivos de la tabla del 4, siempre se resta lo mismo.. (–8) – 4 =. ¿Cuánto es 4 × (–5)? e) ¿Cuánto se resta entre dos renglones consecutivos de la tabla del 6?. 0–6=. f) ¿Cuánto es 6 × (–2)?. (–6) – 6 =. g) ¿Cuánto es 6 × (–5)?. Respuestas. a) Se resta 4.. Comparen sus respuestas.. b) Se resta 4. II. Multiplicar 4 × 2 es lo mismo que sumar cuatro veces 2:. c) Se hace la resta 0 – 4 = –4.. 4 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8.. d) -20. Se sigue restando –4 cada vez.. Se suma cuatro veces 2.. e) Se resta 6. f) –12.. Expresa cada multiplicación como sumas: a) 5 × 3 =. g) –30.. =. Se suma. veces 3.. b) 4 × 0 = 0 + 0 + 0 + 0 =. Se suma. veces 0.. 17. Propósito del interactivo. Interpretar las multiplicaciones de números con signo como sumas. Sugerencias didácticas. Permita que los alumnos modifiquen los factores presentados en el interactivo para que recuerden que la multiplicación se puede interpretar como una suma repetida. Puede comenzar con los dos factores positivos y después ir cambiando el signo del segundo factor para mostrar que la idea de la suma repetida también sirve cuando se multiplican números con signo. Pida a los alumnos que relacionen los números que se están multiplicando con el resultado, llame su atención hacia los signos.. Permita que una vez que hayan elaborado alguna conjetura la validen modificando los números a multiplicar (éstos se pueden modificar aumentando o disminuyendo el grado de dificultad de acuerdo con las necesidades de sus alumnos).. Propósito de la actividad. Se quiere que los alumnos recuerden que una multiplicación puede verse como una suma repetida, y que esta idea sirve también para cuando se multiplica un entero positivo por un número negativo.. Recuerde que puede explorar el resto del interactivo por si alguna actividad anterior o posterior le sirve para reafirmar algunos conceptos con sus estudiantes, esto no necesariamente deberá ser delante del grupo, puede explorar previamente el interactivo y seleccionar, si lo considera oportuno, algunas otras actividades.. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 53.

(9) secuencia 1 iii. Cuando en una multiplicación el primer factor es un número entero positivo y el segundo factor es un número negativo, también se hace una suma repetida, por ejemplo: 2 × (–5) = (–5) + (–5) = –10.. Se suma dos veces –5. O también: 4 × (–3.7) = (–3.7) + (–3.7) + (–3.7) + (–3.7) = –14.8.. Se suma cuatro veces –3.7. Expresa las siguientes multiplicaciones como sumas repetidas y encuentra el resultado: a) 3 × (–8) = ( b). (-4). c) 5 ×. –8. )+(. –8. )+(. –8. )=. × (–11) = (–11) + (–11) + (–11) + (–11) =. e) 6 × (–. 4 3. (–12) + (–12) + (–12). = –36.. Comparen sus respuestas y comenten: en otro grupo encontraron el resultado de 6 × (–7) diciendo que 6 × 7 = 42 y que, entonces, 6 × (–7) = –42. ¿Están de acuerdo con este procedimiento? ¿Cómo usarían este procedimiento para encontrar el resultado de 4 × (–1.2) y de 6 × (– 34 )? iV. Realiza las siguientes multiplicaciones: a) 8 × (–10) =. –80. b) 12 × (–4) =. –48. c) 7 × (–5.8) =. –40.6. d) 10 × (– 18. Libro para el mae s t r o. –42. g) 3 × (–12) =. Se esperaría que después de la discusión resolvieran las multiplicaciones del número IV sin tener que hacer las sumas repetidas.. 54. –4.8. 24 ) = (– 43 ) + (– 43 ) + (– 43 ) + (– 43 ) + (– 43 ) + (– 34 ) = –  3. f) 6 × (–7) =. Si es necesario, recuerden cómo se hacen las multiplicaciones con fracciones.. –44. (–2) = (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) = –10. d) 4 × (–1.2) = (–1.2) + (–1.2) + (–1.2) + (–1.2) =. Sugerencia didáctica. Pida a algunos alumnos que opinen al respecto. Y que comenten si están de acuerdo o no en que no es necesario hacer todas las sumas repetidas.. –24. 1 7. ) = – 10 7.

(10) MATEMÁTICAS. II. Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien esta información en sus cuadernos. Dígales que pongan algunos ejemplos de multiplicaciones con dos factores de signos distintos en las que empleen números enteros, decimales y fracciones.. A lo que llegamos Cuando en una multiplicación el primer factor es un número entero positivo y el segundo factor es un número negativo, se suma varias veces el número negativo. Por ejemplo:. 5 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) = –20. Se suma cinco veces –4. 3 × (–6.4) = (–6.4) + (–6.4) + (–6.4) = –19.2. Se suma tres veces –6.4. 4 × (–. 7 3. ) = (– ) + (– 37 ) + (– 73 ) + (– 37 ) = (– 283 ) . 7 3. Se suma cuatro veces –. 7 3. .. En general, para encontrar el resultado de una multiplicación de este tipo se multiplican los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo –. Por ejemplo:. 6 × (–3) = –18. Se hace la multiplicación 6 × 3 = 18, se le antepone el signo –, y el resultado es –18.. 10 × (–8.32) = –83.2 Se hace la multiplicación 10 × 8.32 = 83.2, se le antepone el signo –, y el resultado es –83.2.. Sugerencia didáctica. Si no queda tiempo en la clase, deje esta actividad de tarea.. Lo que aprendimos 1. Completa la expresión de cada una de las siguientes multiplicaciones como una suma y encuentra el resultado.. a) 4 × 8 b) 8 × 0 = c) 3 × (–7) =. =. 8. +. 8. +. 8. 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 (−7) + (−7) + (−7). +. 8. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a estas actividades y revíselas para ver si han comprendido. Si lo considera necesario, repasen la información de A lo que llegamos.. = 32. =. 0. = –21. d) 9 × (–1) = (−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1) = –9 e). 7. f) 4 × (−3) =. × (–2) = (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) = –14. (−3) + (−3) + (−3) + (−3). = –12. 19. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 55.

(11) secuencia 1 g) 5 × (–10.4) =. h) 6 × (–. 2 5. (-10.4)+(-10.4)+(-10.4)+(-10.4)+(-10.4). (. –  25. )=. )+(. –  25. )+(. –  25. )+(. –  25. )+(. –  25. )+(. –  25. =. –52. ) = (– 125 ). 2. Realiza las siguientes multiplicaciones: 5 × (–8) =. –40. 8 × (–7) =. 11 × 0 =. 0. 2 × (–13) =. 6 × (–4.8) = –28.8. Propósito de la sesión. Resolver multiplicaciones de un número negativo por un número positivo, de la forma (–7) × 4.. SESIóN 3. –26. 8 × (–2.25) =. 0. 14 × (–3) =. (. –18. –27. 3 × (–9) =. –42. ) – 21 4 . 7 × – 34 =. 10 × 0 =. 0. ) – 44 3. (. 4 × – 11 3 =. MÁS MULTIPLICACIONES DE NÚMEROS CON SIGNO En esta sesión vas a continuar haciendo multiplicaciones de números negativos con positivos.. Consideremos lo siguiente. Propósito de la actividad. Se presentan nuevamente dos tablas, pero ahora en la segunda hay números negativos como primer factor. Se espera que los alumnos resuelvan la primera tabla utilizando lo que aprendieron en la sesión anterior, y que resuelvan la segunda encontrando un patrón en los resultados (va disminuyendo de 8 en 8) y viendo que dichos resultados coinciden renglón a renglón con los de la primera tabla (propiedad conmutativa, aunque no se maneja con ese nombre).. Las siguientes tablas son parte de las tablas de multiplicar del 8. Encuentra los resultados:. Permita que los alumnos saquen sus propias conclusiones sin anticiparles la regla de los signos ni la conmutatividad.. 3. 8×6=. 48. 6×8=. 48. 8×5=. 40. 5×8=. 40. 8×4=. 32. 4×8=. 32. 8×3=. 24. 3×8=. 24. 8×2=. 16. 2×8=. 16. 8×1=. 8. 1×8=. 8. 8×0=. 0. 0×8=. 8 × (–1) =. − 8. (–1) × 8 =. 0 −8. 8 × (–2) =. −16. (–2) × 8 =. −16. 8 × (–3) =. −24. (–3) × 8 =. −24. 8 × (–4) =. − 32. (–4) × 8 =. − 32. 8 × (–5) =. − 40. (–5) × 8 =. − 40. 8 × (–6) =. − 48. (–6) × 8 =. − 48. Comparen sus respuestas. Comenten cómo van cambiando los resultados en las tablas. 20. Libro para el mae s t r o. 2×0=. Para empezar. Organización del grupo. Esta sesión también se resuelve de manera individual.. 56. –56.

(12) MATEMÁTICAS. II. Propósito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta del patrón que aparece en las tablas: los resultados siempre van disminuyendo.. Manos a la obra I. Observa las tablas y responde las preguntas:. Si hay dificultades, escriba en el pizarrón las restas correspondientes. Por ejemplo:. a) En la tabla de la izquierda, de arriba hacia abajo, ¿los resultados aumentan o disminuyen?. 0–8=. b) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 4 × 8 al resultado de 3 × 8?. (–8) – 8 =. c) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 2 × 8 al resultado de 1 × 8?. (–16) – 8 =. d) Para pasar del resultado de 0 × 8 al resultado de (–1) × 8, se resta lo mismo.. Respuestas.. ¿Cuánto es (–1) × 8?. a) Se resta 8.. e) Entre dos renglones consecutivos de la tabla del 8, siempre se resta lo mismo.. b) Se resta 8.. ¿Cuánto es (–5) × 8? f) ¿Cómo son los resultados en cada renglón de las dos tablas? ¿Son iguales o son. c) –8.. distintos?. d) –40.. Comparen sus respuestas. Comenten: si 8 × (–9) = –72, ¿cuánto es (–9) × 8?. e) Los resultados son iguales.. II. Completa los siguientes resultados: 10 × 5 =. 50. 5 × 10 =. 50. 10 × 4 =. 40. 4 × 10 =. 40. 10 × 3 =. 30. 3 × 10 =. 30. 10 × 2 =. 20. 2 × 10 =. 20. 10 × 1 =. 10. 1 × 10 =. 10. 10 × 0 =. 0. 0 × 10 =. 1. 0. 10 × (–1) =. −10. (–1) × 10 =. −10. 10 × (–2) =. −20. (–2) × 10 =. −20. 10 × (–3) =. − 30. (–3) × 10 =. − 30. 10 × (–4) =. − 40. (–4) × 10 =. − 40. 10 × (–5) =. − 50. (–5) × 10 =. − 50. a) En las tablas, ¿los resultados aumentan o disminuyen? b) Los resultados, en cada renglón de ambas tablas, ¿son iguales o son diferentes?. 21. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 57.

(13) secuencia 1 iii. Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones:. a) 7 × (–4) =. –28. b) (–4) × 7 =. –28. c) 11 × (–9) =. –99. d) (–9) × 11 =. –99. e) 5 × (–12) =. –60. f) (–12) × 5 =. –60. g) 4 × (–27) =. –108. h) (–27) × 4 =. –108. i) 15 × (–4) =. –60. j) (–2) × 18 =. –36. k) 10 × (–16) =. –160. l) (–14) × 13 =. –182. Comparen sus respuestas. Comenten cuál es el signo del resultado cuando multiplicamos un número negativo con uno positivo.. Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que en las sesiones 2 y 3 han trabajado la multiplicación de un número positivo por uno negativo, y que el resultado es igual si el primer factor es positivo y el segundo negativo, o al revés, si el primero es negativo y el segundo positivo.. A lo que llegamos Cuando en una multiplicación el primer factor es un número negativo y el segundo factor es un número entero positivo, se multiplican los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo –. Por ejemplo:. 3 × (–8) = –24. (–8) × 2 = –16 Se hace la multiplicación 8 × 2 = 16, se le antepone el signo –, y el resultado es –16.. (–8) × 3 = -24. iV. Cuando se multiplica un número entero positivo por una fracción o un número decimal negativo, se hace lo mismo: se multiplican los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo –. Realiza las siguientes multiplicaciones:. a) 3 × (–4.1) =. –12.3. b) (–9.47) × 10 =. –19.47. c) (–. – 12 5. d) 5 × (– 10 7)=. – 50 7. 4 5. )×3=. Comparen sus respuestas. 22. 58. Libro para el mae s t r o.

(14) MATEMÁTICAS. II. Lo que aprendimos 1. Realiza las siguientes multiplicaciones:. 0×5=. 0. 7 x (–1) =. –7. 3 × (–16) =. –48. (–1) × 14 =. –14. (–7) × 11 =. –77. 1 × (–4) =. –4. (–17) × 7 =. –119. 16 × (–12) =. –192. (–3.5) × 4 =. –14. 8 × (–6.2) =. –49.6. (– 29 ) × 6 = – 12 9. (. ). 8 × – 13 4 =. – 104 4 Propósito de la sesión. Identificar y utilizar la regla de los signos para multiplicar.. LA REGLA DE LOS SIGNOS 1. SESIóN 4. Para empezar. Cuando se multiplican números con signo se utiliza la regla de los signos. En esta sesión vas a conocer y a utilizar esta regla.. Consideremos lo siguiente. Propósito de la actividad. Al llenar esta tabla se pretende que los alumnos utilicen lo que aprendieron en las dos sesiones anteriores para que continúen encontrando los patrones. De esta manera podrán concluir que un número negativo multiplicado por un número negativo da como resultado un número positivo. Es importante que no les anticipe cuál es el resultado de multiplicar un número negativo por un número negativo.. Encuentra los resultados que hacen falta en la siguiente tabla y anótalos. ×. 4. 3. 2. 1. 0. –1. –2. –3. –4. 4. 16. 12. 8. 4. 0. –4. –8. –12. –16 –12. 3. 12. 9. 6. 3. 0. –3. –6. –9. 2. 8. 6. 4. 2. 0. –2. –4. –6. –8. 1. 4. 3. 2. 1. 0. –1. –2. –3. –4. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. –1. –4 –3 –2. –1. 0. 1. 2. 3. 4. –2. –8 –6 –4. –2. 0. 2. 4. 6. 8. –3. –12 –9 –6. –3. 0. 3. 6. 9 12. –4. –16 –12 –8. –4. 0. 4. 8. 12 16. Organización del grupo. Los alumnos trabajan de manera individual y comentan sus resultados con los demás.. Comparen sus respuestas. Comenten cómo van cambiando los resultados en cada renglón y en cada columna. 23. 3. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 59.

(15) Propósito de la actividad. Se quiere que los alumnos se den cuenta del patrón que aparece en las tablas: los resultados en unas columnas/ renglones siempre aumentan o siempre disminuyen.. secuencia 1. Manos a la obra i. Observa las tablas y responde las preguntas: a) ¿Cuánto se suma para pasar del resultado de 4 × (–3) al resultado de 3 × (–3)?. Si ve que hay dificultades escriba en el pizarrón las sumas:. b) ¿Cuánto se suma para pasar del resultado de 1 × (–3) al resultado de 0 × (–3)?. (−12) + 3 = −9 (−9) + 3 = −6. c) Entre dos resultados consecutivos de la tabla del (–3) siempre se suma lo mismo.. (−6) + 3 = −3. ¿Cuánto es (–1) × (–3)?. (−3) + 3 = 0. d) ¿Cuánto es (–2) × (–3)?. 0+3=3 ii. Responde las siguientes preguntas:. Respuestas.. a) En la tabla del (–1), para pasar de un resultado al siguiente ¿se suma o se resta?. a) Se suma 3.. . ¿Cuánto se suma o cuánto se resta?. b) Se suma 3.. b) En la tabla del 1, para pasar de un resultado al siguiente ¿se suma o se resta? . ¿Cuánto se suma o cuánto se resta?. c) 3.. c) En la tabla del 2, ¿cuánto se suma o cuánto se resta para pasar de un resultado al. d) 6.. siguiente? d) En la tabla del (–4), ¿cuánto se suma o cuánto se resta para pasar de un resultado. Respuestas.. al siguiente?. a) Se suma 1.. e) ¿Cuál es el signo del resultado de multiplicar dos números negativos?. b) Se resta 1.. Comparen sus respuestas. Comenten cuál es el resultado de multiplicar (–3) × (–7).. c) Se resta 2. d) Se suma 4.. iii. Realiza las siguientes multiplicaciones:. e) Es positivo.. a) 7 × (–2) = c) (–3) × (–6) = e) 3 × (–15) =. 24. 60. Libro para el mae s t r o. –14 18 –45. b) (–12) × 4 =. –48. d) (–9) × 2 =. –18. f) (–17) × (–4) =. 68.

(16) MATEMÁTICAS. II. Respuestas. a) Negativo.. IV. Completa las afirmaciones con positivo o negativo: a) Cuando multiplicamos un número positivo por uno negativo el resultado es. b) Negativo. c) Positivo.. b) Cuando multiplicamos un número negativo por uno el resultado es positivo.. d) Positivo. por uno positivo. c) Cuando multiplicamos un número el resultado es positivo. d) Cuando multiplicamos un número negativo por uno el resultado es negativo. Comparen sus respuestas.. A lo que llegamos Para multiplicar números con signo se multiplican los valores absolutos de los números y luego se determina el signo del resultado utilizando la regla de los signos:. Sugerencia didáctica. Copie esta información en una cartulina y péguela en el salón.. cuando multiplicamos Positivo por positivo el resultado es positivo. Positivo por negativo el resultado es negativo. Negativo por positivo el resultado es negativo. Negativo por negativo el resultado es positivo. Por ejemplo, para multiplicar (–4) × 11, primero se hace la multiplicación:. 4 × 11 = 44, y utilizando la regla de los signos sabemos que el resultado es negativo. Entonces,. (–4) × 11 = –44.. V. Cuando se multiplican fracciones o números decimales con signo, también se utiliza la regla de los signos. Realiza las siguientes multiplicaciones:. a) (–5) × 8.4 =. –42 . c) (–5.8) × (–3.6) = e) (–. 1 7. ) × (– 149 ) =. b) (–10.35) × (–4) =. 20.88 14 63. =. 2 9. d). 4 11. × (–3) =. f). 12 5. × – 21 =. (. ). 41.4. – 12 11 12 – 10 = –  65 25. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 61.

(17) secuencia 1. Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de los alumnos a esta actividad. Si los alumnos tienen dificultades repasen la información de los apartados A lo que llegamos de las últimas tres sesiones.. Lo que aprendimos 1. Realiza las siguientes multiplicaciones:. Propósito del interactivo. Resolver multiplicaciones de números con signo.. (–8) × 0 =. Sugerencias didácticas. Si desea realizar más ejercicios con los alumnos, el interactivo presenta aleatoriamente los números a multiplicar. Una forma de utilizar el interactivo es formando equipos para resolver las tablas y antes de presionar el botón Verificar pregunte a los alumnos si las respuestas son correctas, en caso de no serlo, que ellos mismos expliquen por qué. Puede ocupar la actividad para evaluar lo aprendido por sus alumnos.. 0. 1 × (–15) =. –15. 0 × (–4) =. –39. (–12) × (–8) =. (–17) × 1 =. –17. (–3) × 13 =. (–16) × 2 =. –32. (–13) × (–15) =. (–2.5) × 4.1 =. (– ) × (– 1 2. 10.25. SESIóN 5. 1 8. 195. 1 ) =  16. 0. 7 × (–1.3) = 4×. (. – 21 8. 96. –9.1. ) = – 84 8. LA REGLA DE LOS SIGNOS 2. Para empezar. La regla de los signos también se utiliza para hacer divisiones entre dos números con signo.. Consideremos lo siguiente Completen los datos y los resultados que faltan en las siguientes multiplicaciones:. Propósito de la sesión. Identificar y utilizar la regla de los signos para dividir.. × 7 –4 –12 2 14 –8 –24 –4 16 −28 48 35 −20 −60 5 –56 −8 32 96 –52 −156 13 91 –105 −15 60 180 −18 −126 72 216. Organización del grupo. En esta sesión hay trabajo tanto individual como de parejas. Los comentarios sobre las respuestas y procedimientos son con todo el grupo. Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos utilicen la regla de los signos para saber cuál es el signo del resultado de una multiplicación o el de uno de los factores. En algunos casos es necesario dividir.. Comparen sus respuestas. Comenten qué hicieron para encontrar el signo de los números que faltaban.. Si observa los alumnos que cometen errores aritméticos en las divisiones no los corrija, es mejor pedirles que ellos realicen, al final, todas las multiplicaciones para verificar los resultados.. Manos a la obra i. Respondan las siguientes preguntas: a) Un número multiplicado por 17 da como resultado 204, ¿cuál es la operación que se puede hacer para encontrar ese número? 26. 3 Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos extiendan a los números negativos lo que ya saben hacer con las multiplicaciones y divisiones de números positivos. Se extiende la regla de los signos a la divisiones para que se siga cumpliendo la regla de los signos en las multiplicaciones. Respuestas. a) Se divide 204 entre 17. b) Es 12. c) 12 × 17 = 204. d) La división es 184 ÷ (−8). e) 23. f) 23 × (−8) = −184.. 62. Libro para el mae s t r o. Posibles dificultades. Quizá en los incisos g) e i) los alumnos no escriban los paréntesis. Recuérdeles lo que se vio en la sesión 1, en el apartado Para empezar : los paréntesis se utilizan para no confundir el signo del número con los signos de la operación..

(18) II. MATEMÁTICAS b) ¿Cuál es el número que buscamos? c) Esto es cierto porque:. × 17 = 204.. d) Para encontrar el número que multiplicado por –8 da como resultado 184, ¿cuál es la operación que se puede hacer? e) ¿Cuál es el número que buscamos? f) Esto es cierto porque:. × (–8) = 184.. II. En la siguiente tabla se presentan algunos problemas. Complétenla: División que se hace para encontrar el número. Problema. ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 3 da –78?. (–78) ÷ 3 =. ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por –9 da 171?. 171 ÷ (−9) = −19. −26. ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por. −25 da −75 ?. (–75) ÷ (–25) =. Verificación. −26. × 3 = –78. (−19) × (−9) = 171. 3. 3. Respuestas.. × (−25) = –75. a) Negativo.. a) ¿Cuál es el signo del resultado de dividir un número negativo entre uno positivo?. b) Negativo. c) Positivo.. b) ¿Cuál es el signo del resultado de dividir un número positivo entre uno negativo?. c) ¿Cuál es el signo del resultado de dividir un número negativo entre uno negativo?. III. Encuentren el resultado de las siguientes divisiones: a) 12 ÷ (–6) =. –2. b) (–18) ÷ 6 =. –3. c) (–44) ÷ (–4) =. 11. d) (–20) ÷ 5 =. –4. e) (–16) ÷ (–8) =. 2. f) 28 ÷ (–28) =. –1. Comparen sus respuestas. Comenten qué hicieron para encontrar el signo de los resultados.. 3 27. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 63.

(19) secuencia 1. A lo que llegamos Sugerencia didáctica. Copie esta información en una cartulina y péguela en el salón.. Para hacer divisiones entre números con signo se dividen los valores absolutos de los números y luego se encuentra el signo del resultado utilizando la regla de los signos: Cuando dividimos, Positivo entre positivo el resultado es positivo. Positivo entre negativo el resultado es negativo. Negativo entre positivo el resultado es negativo. Negativo entre negativo el resultado es positivo. Por ejemplo, para dividir (–110) ÷ (–5) , primero se hace la división: 110 ÷ 5 = 22, y utilizando la regla de los signos, sabemos que el resultado es positivo. Entonces,. (–110) ÷ (–5) = 22.. Sugerencia didáctica. Puede ser útil recordar cómo se hacen las divisiones con fracciones.. iV. Cuando se dividen fracciones o números decimales con signo, también se utiliza la regla de los signos. Realicen las siguientes operaciones: a) (–7.4) ÷ 2 =. Integrar al portafolios. Seleccione una de las actividades de este apartado y pida a los alumnos que le entreguen una copia de sus respuestas. Sugerencia didáctica. Utilicen la calculadora de la computadora para verificar los resultados de estas operaciones. Hay que dar un clic en Inicio, luego ir a Programas, y en Accesorios encontrarán la calculadora. También pueden hacerlo con cualquier calculadora que haya en el salón. Es importante que los alumnos aprendan a distinguir entre las teclas de operadores (+ – ÷ ×) y la de cambio de signo (+/–). Para realizar la operación 6× (–5.3) hay que oprimir: [ 6 ] [×] [ 5.3 ] [ +/– ] [ = ] Dé a los alumnos un tiempo para explorar cómo funciona la calculadora y posteriormente pida a algunos que expliquen paso por paso las teclas que hay que oprimir para obtener el resultado correcto en la operación 16 ÷ (–5), por ejemplo. Proponga otras sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números con signo.. 64. Libro para el mae s t r o. –3.7. b) (–15.5) ÷ (–5) =. 3.1. c) (–10) ÷ (– 11 4)=. 40 11 . 2 d) (– 32 ) ÷ 7 = – 21. e) (–. 32 21 . f). 8 3. ) ÷ (– 74 ) =. 2 3. ) –  63 = – 2. (. ÷ – 13 =. Lo que aprendimos 1. Realiza las siguientes operaciones:. ×0= (–9). 0. (–1) × 17 =. ×7= (–2). –14. 6 × (–8) =. × (–1) = 12. –12. ÷ (–11) = 44. –4. –17 –48 45. (–9) × (–5) = (–48) ÷ (–2) =. 24. ÷8= (–35). –4.375. 16 ÷ (–5) =. –3.2. 6 × (–5.3) =. –31.8. (–3) x 2.4 =. –7.2. 28. Propósito del interactivo. Practicar las reglas para multiplicar y dividir números con signo. Sugerencias didácticas. Si desea realizar más ejercicios con los alumnos, el interactivo presenta aleatoriamente los números a multiplicar o dividir. Una forma de utilizar el interactivo es formando equipos para resolver las actividades propuestas y antes de presionar el botón Verificar, pregunte a los alumnos si las respuestas son correctas, en caso de no serlo que ellos mismos expliquen por qué. Puede ocupar la actividad para evaluar lo aprendido por sus alumnos.. 1 × (–29) = (–7) × 3 =. –29. –21. (–15) × (–1) = (–56) ÷ 8 =. 15. –7. (–29) ÷ (–4) =. 7.25. (–3.75) ÷ (–5) =. 0.75. 0 × (–24) =. 0. 11 × (–4) =. –44 130. (–10) × (–13) = (–18) ÷ (–4) =. 4.5. (–71) ÷ (–10) =. 7.1. (–34.2) ÷ (–9) =. 3.8.

(20) MATEMÁTICAS 3   (–3) × – 61 = 6. (. ). (– 132 ) × 5 = – 65 2 . 7 8. ÷ (–4) =. 7 – 32. 8 6. (. 72 33. (–11) ÷ (– 10 ) – 12 = 6   3 ) = 10. × – 92 =. 2 3. ) (. (. (. ). ). =42. 13. ). ÷ – 58 =. Respuestas.. 84 (–12) ÷ – 27 =  2. 54 (–7.4) × 5.1 = –37.74 (–2.7) × (–10.5) =28.35 – 65 × – 95 = 25 . (. II (– 71 ) × 13 = –  7. b) Es −6.84° C porque la suma de las temperaturas mínimas es −34.2° C y (−34.2) ÷ 5 = -6.84.. 3 – 16 (– 14 ) ÷ (– 103 ) = 40 15  . 2. Del 25 al 29 de diciembre de 2006 se registraron las siguientes temperaturas en Temósachic, Chihuahua: 25. 26. 27. 28. c) Del día 25 / XII / 06 es −1° C porque 8 + (−10) = –2 y –2 ÷ 2 = −1.. 29. Temperatura máxima. 8. 17.4. 20.2. 16. 7. Temperatura mínima. –10. –9.4. –8.8. 0. –6. Del día 26 / XII / 06 es 4° C porque 17.4 + (−9.4) = 8 y 8 ÷ 2 = 4. Del día 27 / XII / 06 es 5.7° C porque 20.2 + (−8.8) = 11.4 y 11.4 ÷ 2 = 5.7.. a) Encuentra el promedio de las temperaturas máximas en esos días. b) Encuentra el promedio de las temperaturas mínimas en esos días.. Del día 28 / XII / 06 es 8° C porque 16 + 0 = 16 y 16 ÷ 2 = 8.. c) Encuentra la temperatura promedio de cada día (el promedio calculado entre la temperatura máxima y la mínima de ese día).. Del día 29 / XII / 06 es 0.5° C porque 7 + (−6) = 1 y 1 ÷ 2 = 0.5.. 3. Coloca los números que faltan para que todas las operaciones sean correctas:. 24. ×. ÷. −8. =. × ÷. = –3. −1. 4. −4. −24 ÷. =. = ×. a) Es 13.72° C porque la suma de las temperaturas mínimas es 68.6° C y 68.6 ÷ 5 = 13.72.. –2 =. =. 12. Para saber más Sobre los números enteros consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Números enteros”, “Suma y resta de números enteros” y “Multiplicación y división de enteros”, en Una ventana al infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Sobre los números con signo: Marván, Luz María. “Números con signo”, “¿Mayor o menor?”, “El valor absoluto” y “Reglas para operar con negativos”, en Representación numérica. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002. Sobre los egipcios consulta: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/faro/home.htm Sobre héroes, tumbas y sabios El periódico Egipcio Ruta: Menú [Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007]. Red Escolar, Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa. 29. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 65.

(21) secuencia 2. Problemas aditivos con expresiones algebraicas Propósito del programa integrador. Mostrar casos en los que se resuelvan problemas aditivos con expresiones algebraicas.. En esta secuencia resolverás problemas de adición y sustracción de expresiones algebraicas.. Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen la suma de monomios.. SESIóN 1. Organización del grupo. En esta sesión se sugiere que los alumnos trabajen de manera individual y que haya momentos de intercambio grupal.. LOS GALLINEROS. Consideremos lo siguiente Don Lencho es un granjero que desea construir un gallinero de forma rectangular. El técnico avícola de la región le ha recomendado que el largo del gallinero mida el doble que su ancho. Para determinar las dimensiones del gallinero, don Lencho tiene una gran cantidad de posibilidades que respeten la recomendación anterior.. Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, pase a algunos alumnos al pizarrón a que dibujen rectángulos que cumplan dicha condición.. a. Posibles respuestas. Puede haber distintas respuestas correctas, como 6 a, 3 a + 3 a, a + 2 a + a + 2 a.. Si el número de metros que tiene el ancho se representa con la letra a, escribe una expresión algebraica que represente el perímetro del gallinero.. Es importante que lo comenten y que los alumnos tengan claro que todas las respuestas correctas son expresiones equivalentes a 6 a.. Perímetro = Comparen sus expresiones algebraicas. Comenten: ¿Cuál es el perímetro del gallinero si el ancho mide 1 metro?. 1. 30. Eje. Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.. Tema Significado y uso de las operaciones.. Antecedentes. En primero de secundaria los alumnos aprendieron a usar incógnitas como números generales y a resolver problemas aditivos con números enteros. En esta secuencia aprenderán a sumar y restar monomios y binomios.. 66. Libro para el mae s t r o. Sesión. Propósitos de la sesión. Recursos. 1. Los gallineros Resolver problemas que impliquen la suma de monomios.. Interactivo Aula de medios. 2. A medir contornos Resolver problemas que impliquen la suma de binomios.. Aula de medios. 3. La tabla numérica Resolver problemas que impliquen la suma o resta de monomios con coeficientes positivos y negativos.. Interactivo. 4. Cuadrados mágicos y números consecutivos Resolver problemas con números consecutivos que impliquen la suma de expresiones algebraicas.. Video “La magia de los chinos” Interactivo. Programa integrador 2. Sentido numérico y pensamiento algebraico..

(22) MATEMÁTICAS. II. Propósito del interactivo. Ejemplificar el uso de expresiones algebraicas.. Manos a la obra. Que los alumnos se familiaricen con el uso de expresiones algebraicas.. I. Completa la siguiente tabla para ayudar a don Lencho a decidir el tamaño del gallinero.. Medida en metros del ancho. Medida en metros del largo. Operaciones que se realizan para calcular el perímetro del gallinero. 1 2 1. 6. 3 . 9. 2 4. 12. 1 2. 3. Sugerencias didácticas. Esta parte del interactivo presenta la traducción de enunciados en expresiones algebraicas; puede ocuparse para mostrar a los alumnos más ejemplos de cómo representar algebraicamente un problema. Conviene realizar las dos actividades ya que en la primera sólo se trabaja aritméticamente y en la segunda se hace la representación algebraica de los procedimientos realizados.. Perímetro del gallinero en metros. 6 . 18. 4 8. 24. 4.5. 9 . 8. 16 . 48. a. 2 × a . 6a. 27. Comparen sus tablas. Si es necesario, verifiquen sus respuestas dibujando en su cuaderno los rectángulos correspondientes (utilicen una escala de 1cm = 1m). Comenten: a) ¿Qué operación hicieron para obtener la medida del largo del gallinero cuando a representa la medida del ancho en metros?. b) ¿Qué operaciones hicieron para obtener el perímetro del gallinero cuando a representa la medida del ancho en metros?. Respuestas. Con excepción de la primera, las demás expresiones representan la medida del perímetro.. II. Contesta lo siguiente: a) En las siguientes expresiones algebraicas la letra a representa el número de metros que tiene el ancho del gallinero. Subraya las expresiones que, al sumarse, permiten obtener el perímetro. ¡Cuidado, puede haber más de una que sea correcta!. a+a+a a + a + 2a + 2a a+a+a+a+a+a 3a + 3 a. e: Recuerda qu ) signo × (por confundir el , Para evitar n la literal x co n ió ac lic de la multip ibe. ” no se escr el signo “por o: Por lo mism +a sa=a+a 3a = 3 vece. 31. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 67.

(23) secuencia 2 b) El resultado de la suma a + a es 2a, o sea, 2 veces a. Completa el siguiente esquema para encontrar el resultado de la suma a + a + 2a + 2a.. a + a. +. 2a. a + a. + ( a + a) +. +. 2a = (a + a). c) ¿Cuántas veces aparece a en la expresión a + a + (a + a) + (a + a)?. 3. Comenten las soluciones que obtuvieron.. A lo que llegamos. Propósito del interactivo. Identificar las partes que forman un término.. En una suma de expresiones algebraicas los sumandos se llaman términos. Por ejemplo, a y 2a son términos de la suma. a + a + 2a + 2a. Introducir el concepto de términos semejantes.. Los términos tienen coeficiente, literales y exponentes.. Sugerencias didácticas. El interactivo es una animación que presenta términos semejantes a un término dado, el cual se puede modificar. Pida a los alumnos que obseven qué es lo que se mantiene constante y lo qué es que cambia al presentarles los términos semejantes al término dado. Puede pedir a los alumnos que modifiquen el término para validar sus conjeturas respecto de qué es un término semejante a otro.. El término 2a tiene: Coeficiente: 2. Literal: a Exponente: 1. El término a tiene: Coeficiente: 1. Literal: a Exponente: 1. El término 3a 2 tiene: Coeficiente: 3. Literal: a Exponente: 2. A los términos que tienen la misma literal con igual exponente como. a, 3a, 2a, 1.5a, se les llama términos semejantes. Los términos numéricos son semejantes entre sí. Por ejemplo, 8 y –5 son términos semejantes.. Sugerencia didáctica. Haga ver a los alumnos que un término puede tener varias literales con sus respectivos exponentes, por ejemplo en 3 a 2 b 3 el coeficiente es 3 y hay dos variables a cuyo exponente es 2 y b cuyo exponente es 3.   . 3a 2 y 2a aunque tienen la misma literal no son semejantes porque no tienen el mismo exponente. 32. Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que mientras a representa una unidad lineal (para medir longitudes), a 2 representa una unidad de superficie (para medir áreas) y a 3 es una unidad cúbica (para medir volumen). También puede preguntar a los alumnos si 2 a y a 2 representan lo mismo o no, y si es el caso, en qué son distintas. Pídales algún ejemplo en el que se utilicen una u otra.. 68. Libro para el mae s t r o.

(24) MATEMÁTICAS. II. III. Un hijo de don Lencho le presentó a su papá otros diseños para construir el gallinero.. Respuestas. Al rectángulo le corresponde la expresión 8 x  y al trapecio la expresión 6.5x.. Une con una línea cada figura con la expresión de la derecha que representa su perímetro. 3x 8x x 6x. 1.5x 2x. 4.5x. 2x. 6.5x. x. Comparen las soluciones que obtuvieron. Comenten:. 3. ¿Cómo sumar términos semejantes cuando los coeficientes son decimales?. A lo que llegamos Para sumar términos semejantes se suman los coeficientes y se conserva la parte literal. Por ejemplo:. 5.2x + 7.3x = 12.5x 5.2 + 7.3 = 12.5. IV. El perímetro del triángulo ABC es 13x. C. 3x. A. 4x. B. ¿Cuál es la medida del lado BC? Comparen sus respuestas y comenten: ¿Qué operación hicieron para encontrar la medida del lado BC? 33. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 69.

(25) Propósito de la actividad. Lo que se plantea aquí tiene la intención de que los alumnos exploren la solución de problemas que involucran una resta de expresiones algebraicas utilizando algunos de sus conocimientos geométricos.. s e c uencia 2. A lo que llegamos Para restar términos semejantes se restan los coeficientes y se conserva la parte literal. Por ejemplo:. 7x – 4x = 3x. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas y procedimientos a cualquiera de las actividades del apartado Lo que aprendimos y guárdela en el portafolios.. 7–4=3. Lo que aprendimos 1. El ancho de un rectángulo es 15x, y el largo tiene la medida del ancho más 3x. Dibuja en tu cuaderno el rectángulo con la medida de sus lados y escribe la expresión que corresponde a su perímetro.. Si tienen dificultades analice a qué se deben, ya que pueden estar relacionadas con algunos conocimientos geométricos, o bien con la suma de expresiones algebraicas. Si ocurre esto último, revisen nuevamente la información de A lo que llegamos y propóngales otras sumas y restas de expresiones algebraicas.. 2. Escribe la expresión del perímetro para cada uno de los siguientes polígonos regulares.. 2x. Respuesta. El largo del rectángulo se obtiene sumando 15x + 3 x = 18 x ; por lo tanto, el perímetro del rectángulo es 66 x (perímetro = 15x + 15x + 18 x +18 x = 66 x).. P=. a). Libro para el mae s t r o. P=. 2.4y. P=. 12 y. b). y. y El perímetro del triángulo isósceles es 5y. ¿Cuánto mide cada uno de los lados iguales? El perímetro del rectángulo es 8y. ¿Cuánto mide de largo?. 34. Posibles dificultades. Si los alumnos no saben cómo hallar las medidas faltantes de los lados del triángulo isósceles recuérdeles que esa figura tiene dos lados iguales y uno desigual; por lo tanto, si el desigual mide y, cada uno de los otros debe medir 2 y.. 70. 3.6 z. 3. Encuentra el valor faltante en cada una de las figuras siguientes.. Posibles dificultades. A algunos alumnos puede serles difícil esta actividad porque no saben cuánto vale x ni tienen manera de averiguarlo. Si esto ocurre dígales que x puede ser cualquier medida, pero que el problema puede resolverse aunque ésta no se conozca, lo importante es que cumplan con la condición de que el largo sea 3 x mayor que el ancho. Una vez que hayan hecho el dibujo pídales que lo comparen con el de otros compañeros. Si no hubo errores, todos los rectángulos serán proporcionales.. 1.2z. 12 x.

(26) MATEMÁTICAS A MEDIR CONTORNOS. II SESIóN 2. Para empezar. Organización del grupo. En esta sesión se propone que el alumno trabaje de manera individual y en parejas, y que las discusiones sean grupales.. Son binomios expresiones algebraicas con dos términos como las siguientes:. x+3 x+z 5 3. y–. Propósito de la sesión. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen la suma de binomios.. Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos en qué es distinto un monomio de un binomio y pídales que escriban ejemplos en el pizarrón.. 2x + 7 2. Consideremos lo siguiente. Respuestas.. En el siguiente rectángulo se han determinado las medidas de la base y la altura. Ancho = x + 2. a) Los alumnos pueden escribir distintas expresiones correctas, como: P = 2 x + (x + 2) + 2 x + (x + 2) P = 4x + (x + 2) + (x + 2) P = 2x + x + 2 + 2x + x + 2 P = 6x + 4. Largo = 2x. P = 6x + 2 + 2. a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del rectángulo?. P=x+x+x+x+x+x+2+2 Pida a los alumnos que escriban en el pizarrón todas las expresiones distintas que hayan encontrado y comenten cuáles son correctas, es decir, cuáles son equivalentes.. Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo obtuvieron el perímetro del rectángulo?. Manos a la obra I. ¿Cuáles de las siguientes expresiones permiten encontrar el perímetro del rectángulo anterior? Subráyenlas.. x + 2 + 2x 2x + 2x + (x +2) + (x + 2) 2x + (x +2) + 2x +(x + 2) (3x + 2) + (3x + 2). e: Recuerden qu es son semejant os in rm té s Do cuando: misma parte 1) tienen la . mo 3w y 2w co , al er lit icos, ér m nu os in 2) son térm como -2, 8. 35. Respuestas. Con excepción de la primera, las demás expresiones representan el perímetro del rectángulo.. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 71.

(27) secuencia 2. 3. Comparen sus respuestas y comenten: ¿por qué las expresiones que señalaron representan lo mismo (el perímetro del rectángulo)? ii. En la sesión anterior aprendieron a sumar términos semejantes: sumar los coeficientes y conservar la parte literal. ¿Cómo sumarían los términos semejantes de las expresiones anteriores? Contesten las siguientes preguntas.. Respuestas.. a) Para hacer la suma 2x + 2x + (x + 2) + (x + 2) se suman los términos semejantes. Completen:. a) 2 x, 2 x, x, x . b) La expresión quedaría 6 x + 4. c) 2 x + (x + 2) + 2 x + (x + 2) = 6 x + 4 (3 x + 2) + (3 x + 2) = 6 x + 4 Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué las expresiones obtenidas dan como resultado el mismo binomio (6 x + 4). Pueden dar una variedad de respuestas, como “porque todas representan el perímetro del rectángulo”, “porque todas son iguales”, “porque dan lo mismo”, etcétera, lo importante es que se aseguren de que, efectivamente, las expresiones que escribieron son equivalentes a 6 x + 4.. en (x + 2) se El paréntesis r que x + 2 ca di in ra usa pa del a de un lado se es la medid is y el paréntes lo gu án ct re r. puede quita. 2x +. 2x + (x + 2) + (x + 2) =. 2x + 2x + x + x =. +. 2+2=. b) Suma los términos semejantes de las siguientes expresiones: 2x + (x +2) + 2x +(x + 2) =. x + 2 + 2x =. +. +. (3x + 2) + (3x + 2) =. +. Comparen sus resultados.. Respuesta. La expresión es 8 x + 2.. iii. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del siguiente rectángulo?. x+2. 3x – 1. 3. Comparen las soluciones que obtuvieron. Sumen los términos semejantes y verifiquen si obtienen el mismo resultado.. 36. 72. Libro para el mae s t r o.

(28) MATEMÁTICAS. II. A lo que llegamos Para sumar binomios se suman los términos que son semejantes. (2x +. 3) + (x – 2) = 3x + 1. 2x + x = 3x. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos que le entreguen una copia de sus respuestas a cualquiera de las dos actividades del apartado Lo que aprendimos.. 3–2= 1. Lo que aprendimos. Sugerencia didáctica. Si el tiempo es insuficiente deje como tarea las actividades de este apartado.. 1. La altura de un rectángulo es x, y la base es 5 unidades mayor que la altura. Dibuja en tu cuaderno el rectángulo con la medida de sus lados y escribe la expresión que corresponde a su perímetro. No te olvides de sumar los términos semejantes. P=. Respuestas. 1. El perímetro es 4x + 10, porque la altura mide x  y la base x + 5.. 2. Escribe la expresión que corresponde al perímetro de cada polígono. No te olvides de sumar los términos semejantes. a). b). 2r. r r+1. 2. El perímetro del trapecio es 5 r + 2 y el del hexágono es 6 r + 4.. r+2 r. 3. El largo mide 3 y + 2.. r+1 r r. Perímetro:. r r+2. Perímetro:. 3. El perímetro del rectángulo de la derecha es 10y + 6. ¿Cuál es la medida del largo?. 2y + 1. 37. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 73.

(29) Propósito de la sesión. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen la suma o la resta de monomios con coeficientes positivos y negativos.. secuencia 2 SESIóN 3. LA TABLA NUMÉRICA. Para empezar. En la columna x de la siguiente tabla se encuentran algunos números enteros.. Organización del grupo. Al igual que en la sesión anterior, se sugiere que los alumnos trabajen en parejas, individualmente y en grupo.. e: Recuerda qu rx –x = –1 po. Los números de las columnas: 2x, 3x, –3x, 0x, y –x se obtuvieron al multiplicar el coeficiente de cada expresión algebraica por el valor de x que está en su mismo renglón.. x. 2x. 3x. –3x. 0x. -x. 3x – x. 3x + (–x). 5. 2×5=10. 3×5=15. –3×5=–15. 0×5=0. –1×5=–5. 15 – 5 =10. 15 + (–5) = 10. 4. 8. 12. –12. 0. –4. 8. 8. 3. 6. 9. –9. 0. –3. 6. 6. 4. 2. 4. 6. –6. 0. –2. 1. 2. 3. –3. 0. –1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. (–1)×(1)=+1. (–3) – (–1)= (–3) +(+1)=–2. (–3) +(+1)=–2. –1. 2x (–1) = –2 3x (–1) = –3 (–3)×(1)=+3. 0×(-1)=0. 2. –2. –4. –6. 6. 0. 2. –4. –3. –6. –9. 9. 0. 3. –6. –4. –8. –12. 12. 0. 4. –5. –10. –15. 15. 0. 5. –8 –10. Tabla 1. Completen la tabla y coementen: • ¿Por qué 3x – x equivale a restar el valor de x a 3x? • ¿Por qué el valor de 3x + (– x) equivale a sumar el valor de – x a 3x ?. e: Recuerden qu do s, al minuen meros entero nú r ta res Para l sustraendo: de o ric ét sim se le suma el B) (simétrico de A-B=A+ (-B) A-B=A+. 38. 74. Libro para el mae s t r o. –6.

(30) MATEMÁTICAS. II. Consideremos lo siguiente. Respuestas.. Las expresiones algebraicas del renglón superior de las primeras seis columnas son: x, 2x, 3x, –3x, 0x, y –x.. a) 2 x. a) ¿Cuál de ellas es el resultado de la resta 3x – x?. b) 2 x. b) ¿Cuál es el resultado de la suma 3x + (–x)?. Sugerencia didáctica. En este punto pida a los alumnos que hagan las correcciones de los errores que hubieran podido cometer en las actividades anteriores y aclare dudas. También puede:. Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo hicieron las operaciones?. Manos a la obra. • escribir la tabla en el pizarrón para que los alumnos la vayan llenando;. I. Observen la tabla 1 y contesten: a) ¿Qué columnas tienen los mismos números que la columna 3x + (–x)?. • hacerles preguntas como: ¿En qué columna están los múltiplos de 2?. Si se agregaran la columna 2x + (–3x ) y la columna 2x + (–x ):. Los múltiplos de 2 ¿son múltiplos de –2?. b) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna 2x + (–3x )?. ¿En qué se parecen y en qué son diferentes los números de las columnas 3 x  y –3 x?. c) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna 2x + (–x )?. • plantearles problemas como “si se suma el doble de un número con su triple ¿cuál es el resultado?” Será el quíntuplo de dicho número, es decir, 2 x + 3 x = 5x. Esto será importante posteriormente porque le permitirá al alumno hacer generalizaciones.. Comparen sus respuestas y comenten: ¿Por qué creen que la columna 3x + (–x ) tiene los mismos resultados que la columna 2x?. A lo que llegamos. Sugerencia didáctica. Los comentarios de los alumnos pueden ser diversos, dependiendo de lo que cada uno haya descubierto.. Para sumar términos semejantes con coeficientes que son números con signo, se suman los coeficientes y se conserva la parte literal. Por ejemplo:. 6x + (–8x ) = –2x. Para casos como 2 x – (– x) es importante recordar que una sustracción con números enteros puede realizarse como una adición, cambiándole el signo al sustraendo.. 6 + (–8) = 6 – 8 = –2. (–6) – (–4) = (–6) + (+4) = –2 39. (–6) – (+4) = (–6) + (–4) = –10. Propósito del interactivo. Practicar la suma de términos semejantes. Sugerencias didácticas. El interactivo presenta aleatoriamente ejercicios de suma de términos semejantes. Puede ocupar la actividad para evaluar lo aprendido por sus alumnos. Pídales que expliquen sus resultados, esto le orientará sobre cuales podrían ser las dificultades que tienen.. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 75.

(31) secuencia 2 ii. Agregen a la tabla 1 la columna 2x – (–x ) y escriban los números que deben ir en cada renglón. a) ¿Qué columna tiene los mismos números que la columna 2x – (–x )? b) ¿Cuál es el resultado de la operación 2x – (–x )? Si se agregaran la columna x – (–x ) y la columna –x – (–3x ):. e: Recuerden qu e de -x es -1 El coeficient. c) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna. x – (–x )? d) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna –x – (–3x )?. Comparen sus respuestas y comenten cómo encontraron el resultado de las restas anteriores.. A lo que llegamos Para restar términos semejantes con coeficientes negativos, se restan los coeficientes y se conserva la parte literal.. – 2x – (– 5x ) = 3x. Respuestas.. – 2 – (– 5) = – 2 + (+5) = +3. a) [4 + (–1)] x = 3 x. iii. Apliquen las dos reglas anteriores para encontrar el resultado de las operaciones:. b) (2 – 1)x = x. a) 4x + (–x ) =. c) [1 – (–1)] x = (1 + 1)x = 2 x. b) 2x – x = c) x – (–x ) = Comparen sus respuestas. iV. Completen las siguientes operaciones sumando o restando términos semejantes.. Respuestas.. a) x –. = 0x = 0. b) x +. = –2x. x + (–3 x) = –2 x. c) 2x +. = 0x = 0. 2 x + (–2 x) = 0 x = 0. d) –3x –. = –2x. x – x = 0x = 0. –3 x – (– x) = –2 x. x – (–6 x) = 7x. 76. Libro para el mae s t r o. e) x – 40. = 5x.

(32) MATEMÁTICAS. II. Lo que aprendimos. Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de los alumnos a esta actividad y valore si han aprendido a sumar monomios o es conveniente hacer un repaso.. 1. Para cada operación de la izquierda escoge su resultado de las expresiones que aparecen en la columna de la derecha. Operaciones. Resultados posibles. a) 5x + (–3x) =. 2x. b) –5x – (–3x) =. –8x. c) 5x – (+3x) =. –2x. d) –5x + (3x) =. +8x. Respuestas. a) 2 x – 12.5 b) Los alumnos pueden escribir distintas expresiones, como. e) –3x – (–5x) =. 2(2 x – 12.5) + 2 x. 2. El largo de un terreno rectangular mide 12.5 metros menos que el doble del ancho. La barda que lo rodea mide 197 metros. Si el ancho mide x metros:. 2 x – 12.5 + 2 x – 12.5 + x + x. Ancho = x. Aunque son correctas, pídales que efectúen las operaciones que han aprendido en estas sesiones para llegar a 6 x – 25. c) Si la barda que rodea al terreno mide 197 metros, el perímetro puede expresarse como 6 x – 25 = 197; haciendo las operaciones necesarias se tiene que el ancho mide 37 metros y el largo 61.5 metros.. Largo. a) ¿Qué expresión algebraica corresponde a la medida del largo? b) ¿Qué expresión corresponde al perímetro?. Sugerencia didáctica. Si los alumnos lograron llegar a la expresión 6 x – 25 pero no saben de qué manera continuar resolviendo el problema, plantee las siguientes preguntas:. c) ¿Cuántos metros mide cada lado del terreno? metros. Ancho :. Largo:. metros. 3. Un comerciante vendió cierta cantidad x de aguacate el lunes, el martes vendió 20 kg más que el lunes y el miércoles le faltaron 5 kg para vender el triple de lo que vendió el lunes. Si en los tres días vendió en total 167.5 kg de aguacate:. ¿Qué número al restarle 25 es igual a 197? Y posteriormente:. a) ¿Qué cantidad de esta fruta vendió cada día? Lunes:. kg. Martes:. kg. Miércoles:. ¿Qué número multiplicado por 6 da como resultado 222?. kg. b) ¿Qué día vendió un poco más de 50 kg de aguacate? c) ¿Qué día vendió 86.5 kg?. 41. Respuestas. a) Lo que vendió el lunes puede expresarse como x, lo que vendió el martes x + 20 y lo que vendió el miércoles 3 x – 5.. Sugerencia didáctica. Al igual que en el problema anterior, puede ayudar a los alumnos planteándoles las siguientes preguntas:. Se obtiene la expresión. ¿Qué número al sumarle 15 da como resultado 167.5?. x + (x + 20) + (3 x – 5) = 167.5. Y posteriormente:. 5x + 15 = 167.5. ¿Qué número multiplicado por 5 da como resultado 152.5?. b) El martes (el lunes vendió 30.5 kilos, el martes 50.5 y el miércoles 86.5).. También puede pedirles que revisen la secuencia 18 del libro de primer grado, en la que hay actividades que pueden servirles.. L i b r o p a ra e l m a e s t r o. 77.

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