Transformada de Fourier del n´ucleo de Poisson

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Transformada de Fourier del n´ ucleo de Poisson

Primero recordemos dos propiedades elementales de la transformada de Fourier que se demuestran f´acilmente con cambios de variables.

Proposici´on 1 (sobre la paridad de la transformada de Fourier). Sea f una funci´on integrable y par: f P L1pRq, f p´xq “ f pxq para casi todo x en R. Entonces la funci´on pf tambi´en es par.

Proposici´on 2 (sobre la transformada de Fourier de la funci´on dilatada). Sean f P LpRq, λ ą 0. Pongamos

gpxq :“ f pλxq.

Entonces para cada ξ en R,

pgpξq “ 1 λfpˆ ξ

λ

˙ .

Calculemos la transformada de Fourier de un caso especial del n´ucleo de Poisson.

Proposici´on 3. Sea

f pxq :“ 1

πp1 ` x2q px P Rq.

Entonces

f pξq “ ep ´2π|ξ| pξ P Rq.

Demostraci´on basada en herramientas b´asicas de an´alisis complejo. Sea ξ ą 0. Conside- remos la funci´on Fξ: C Ñ C,

Fξpzq :“ e´2π i ξz πp1 ` z2q.

Para cada R ą 2 vamos a integrar Fξ sobre el contorno ΓR que se muestra en el dibujo.

El contorno consiste de dos partes: 1) el segmento que une los puntos R y ´R; 2) la semicircunferencia inferior con centro 0 y de radio R. El contorno tiene orientaci´on positiva (contra las manecillas del reloj).

´ i

´R 0 R

Transformada de Fourier del n´ucleo de Poisson, p´agina 1 de 3

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En el dominio que se abarca por el contorno ΓR, la funci´on Fξtiene una ´unica singularidad en el punto ´ i. Por el teorema sobre los residuos,

ż

γR

Fξpzq dz “ 2π i respF, ´ iq.

Cambiamos la orientaci´on del contorno, en el segmento horizontal usamos la parametri- zaci´on z “ t, ´R ď t ď R, y en el arco usamos la parametrizaci´on z “ R e´ i t, 0 ď t ď π.

Obtenemos

I1,ξpRq ` I2,ξpRq “ ´2π i respFξ, ´ iq, (1) donde

I1,ξpRq “ żR

´R

Fξptq dt, I2,ξpRq “ żπ

0

FξpR e´ i tq p´ i Rq dt.

Cuando R tiende a `8, la integral I1,ξpRq tiende a la integral que nos interesa:

RÑ`8lim I1,ξpRq “ lim

RÑ`8

żR

´R

Fξptq dt “ pf pξq.

Vamos a demostrar que la segunda integral tiende a cero. Notemos que ˇ

ˇ ˇe

´2π i ξR e´ i tˇ ˇ ˇ “

ˇˇe´2π i ξRpcos t´i sen tqˇ

ˇ“ e´2πξR sen t

ď 1, ˇ

ˇ1 ` R2e´2 i tˇ

ˇ“ R2| e´2 i t| ˇ ˇ ˇ ˇ1 ` 1

R2 e2 i t ˇ ˇ ˇ ˇě R2

ˆ 1 ´ 1

R2

˙ ě 3

4R2, y

|I2,ξpRq| “ ˇ ˇ ˇ ˇ

żπ 0

FξpR e´ i tq p´ i Rq dt ˇ ˇ ˇ ˇď R

żπ 0

| e´2π i ξR e´ i t|

π|1 ` R2e´2 i t|dt ď R

3

4R2 “ 4 3R. Esta cota superior demuestra que I2,ξpRq tiende a cero cuando R tiende a `8. Notamos que ´ i es un polo simple de Fξ, y el residue se calcula de la siguiente manera:

respFξ, ´ iq “ lim

zÑ´ ipz ` iqFξpzq “ lim

zÑ´ i

e´2π i z

πpz ´ iq “ ´ 1

2π ie´2πξ. En la igualdad (1) pasamos al l´ımite cuando R tiende a `8 y obtenemos

f pξq ` 0 “ ep ´2πξ. La f´ormula sigue siendo v´alida tambi´en para ξ “ 0:

f p0q “p 1 π

ż`8

´8

dx

1 ` x2 “ 1 π

ˆ

xÑ`8lim arctanpxq ´ lim

xÑ´8arctanpxq

˙

“ 1.

Finalmente notamos que la funci´on f es par, luego su transformada de Fourier pf es par, y para cualquier ξ en R

f pξq “ pp f p|ξ|q “ e´2π|ξ|.

Transformada de Fourier del n´ucleo de Poisson, p´agina 2 de 3

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La siguiente demostraci´on es m´as r´apida, pero requiere el conocimiento de la respuesta final y la f´ormula de inversi´on de Fourier: si g P L1pRq y pg P L1pRq, entonces

gpξq “ ż

R

pgpxq e2π i xξ dx. (2)

Demostraci´on basada en la f´ormula de inversi´on de Fourier. Tenemos por demostrar que f “ g, dondep

gpξq “ e´2π|ξ|.

Notamos que la funci´on g es integrable. Vamos a calcular su transformada de Fourier:

pgpxq “ ż`8

´8

e´2π|ξ|e´2π i ξx dξ “ ż`8

0

e´2πξ´2π i xξ dξ ` ż0

´8

e2πξ´2π i xξ dξ en la segunda integral hacemos el cambio de variable η “ ´ξ:

“ ż`8

0

e´2πp1`i xqξ dξ ` ż`8

0

e´2πp1´i xqξ

“ 1

2πp1 ` i xq ` 1

2πp1 ´ i xq “ 1

πp1 ` x2q “ f pxq.

Hemos demostrado que pg “ f . Adem´as es obvio que pg P L1pRq. Aplicamos la f´ormula de inversi´on de Fourier:

gpξq “ ż

R

f pxq e2π i xξ dx.

Pongamos ´ξ en vez de ξ. El lado izquierdo no se cambia porque la funci´on g es par:

gpξq “ ż

R

f pxq e´2π i xξ dx “ pf pξq.

Ahora es f´acil calcular la transformada de Fourier del n´ucleo de Poisson el cual se define como la familia de funciones pPyqyą0,

Pypxq :“ y πpx2` y2q.

Proposici´on 4 (transformada de Fourier del n´ucleo de Poisson). Para cada y ą 0 xPypξq “ e´2πy|ξ| pξ P Rq.

Demostraci´on. Sea f la funci´on introducida en la Proposici´on3. Notamos que Pypxq “ 1

πy

´ 1 ` xy22

¯ “ 1 yfˆ x

y

˙ .

Aplicamos la Proposici´on 2 sobre la transformada de Fourier de la funci´on dilatada, con λ “ 1{y:

xPypξq “ 1 y

1 λfpˆ ξ

λ

˙

“ pf pyξq “ e´2πy|ξ| pξ P Rq.

Transformada de Fourier del n´ucleo de Poisson, p´agina 3 de 3

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