Acotar el error global a partir de una cota local

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Acotar el error global a partir de una cota local

Objetivos. Estamos estudiando métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. El objetivo de esta sección es acotar el error global a partir de una cota local.

1. Lema para pasar de una cota recursiva a una cota directa (repaso). Sean c∈ R, b > 1, y sea (ak)^∞_k=0 una sucesi´on de n´umeros reales tal que a₀ = 0y

a_k+1 ≤ c + ba_k (k∈ N).

Entonces

a_k≤ cb^k− 1

b − 1 . (1)

2. Estabilidad de la soluci´on del problema de Cauchy (repaso). Sean A un intervalo acotado de R, L = diam(A), f ∈ C(A × R, R), K > 0 tal que

|f(t, u) − f(t, v)| ≤ K|u − v| (t ∈ A, u, v ∈ R).

Para cada (t0, x0) en A × R denotemos por x^t0,x₀ a la soluci´on del problema de Cauchy x⁰(t) = f(t, x(t)), x(t₀) = x₀. Ya hemos demostrado que para cualesquiera t₀ en A, u, v en R y h > 0 tal que t0+ h∈ A,

|xt₀,u(t0+ h) − xt₀,v(t0+ h)| ≤ |u − v| e^Kh. (2)

3. Ejemplos de métodos de un paso (repaso). En las clases pasadas ya conocimos varios métodos directos de un paso que proponen una aproximación de la solución en el punto t + h usando el valor v en el punto t. Por ejemplo, en el método de Euler se usa la regla

S(t, v, h) = v + hf(t, v),

y en el método de Heun (se conoce también como un método de Runge–Kutta de segundo orden)

S(t, v, h) = v + h

2 f(t, v) + f(t + h, v + hf(t, v)).

Algunos autores prefieren escribir S(t, v, h) en la forma v + hΨ(t, v, h).

En esta representación la función Ψ sirve como una aproximación de la pendiente de la secante y se conoce como la función de incremento.

Acotar el error global a partir de una cota local, p´agina 1 de 4

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4. Teorema (cota global del error a partir de una cota del error de truncamiento local). Sean A un intervalo acotado de R, L = diam(A), f ∈ C(A × R, R), K > 0 tal que

|f(t, u) − f(t, v)| ≤ K|u − v| (t ∈ A, u, v ∈ R).

Para cada (t₀, x₀) en A × R denotemos por xt0,x0 a la solución del problema de Cauchy x⁰(t) = f(t, x(t)), x(t₀) = x₀. Sea S ∈ C(A × R × (0, +∞)) una función que para cada terna (t₀, x₀, h) da una aproximación S(t₀, x₀, h) del número x_t₀_,x₀(t₀ + h), y para cada h > 0existe un número ε_h que

|S(t0, x0, h) − xt₀,x₀(t0+ h)| ≤ εh. (3) Sean t₀ ∈ A, x₀ ∈ R, h > 0 y n ∈ N1 tales que t₀+ nh∈ A. Pongamos t_j = t₀+ jh para cada j en {0, . . . , n}, y definimos v0, . . . , v_n mediante la regla

v₀ := x₀, v_j+1 := S(t_j, v_j, h).

Entonces

0≤j≤nmax|vj− x_t₀_,x₀(t_j)| ≤ ε_h h

e^LK−1

K . (4)

Demostraci´on. Denotemos x_t₀_,x₀ por x. Sea j en {1, . . . , n − 1}. Entonces

|vj+1− x(t_j+1)| ≤ |S(tj, v_j, h) − x_t_j_,v_j(t_j+ h)| + |xtj,vj(t_j+ h) − x(t_j+ h)|.

El primer sumando se puede acotar por (3):

|S(tj, v_j, h) − x_t_j_,v_j(t_j+ h)| ≤ εh. (5) Para acotar el segundo sumando, aplicamos el teorema de estabilidad. Notamos que la funci´on x pasa por el punto (t_j, x(t_j)), y la funci´on x_t_j_,v_j pasa por el punto (t_j, v_j). Aplicamos (2) con t_j en vez de t₀:

|xtj,vj(v_j+ h) − x(v_j+ h)| ≤ |vj− x(t_j)| e^Kh. (6) Combinando (5) con (6) obtenemos

|vj+1− x(t_j+1)| ≤ εh+e^Kh|vj− x(t_j)|.

Aplicamos el Lema 1 con a_j = |vj − x(t_j)|, c = εh y b = e^Kh. Entonces para cada j obtenemos

|vj− x(t_j)| ≤ εh

e^Kjh−1 e^Kh−1.

La expresi´on e^Kjh alcanza su valor m´aximo, cuando j = n. Para el denominador aplicamos la cota e^Kh ≥ 1 + Kh. Entonces

|vj− x(t_j)| ≤ εh

h

e^LK−1 K .

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5. Definición: método de orden p. Se dice que un método para resolver ODE con condiciones iniciales es de orden p, si para cada f bastante suave existe un número C > 0 tal que las aproximaciones calculadas con este método satisfacen

0≤j≤nmax|vj− xt0,x0(tj)| ≤ Ch^p, es decir, el error global es de orden O(h^p).

6. El orden del error local y el orden del error global. El las condiciones del teorema, si ε_h ≤ C₁h^p+1, entonces para el global obtenemos una cota superior de la forma C₂h^p, y el m´etodo es de orden p.

7. Teorema (una cota del error de truncamiento local en el m´etodo de Euler).

Sean A un intervalo acotado de R, f ∈ C(A × R, R). Supongamos que f es absolutamente acotada por un n´umero M:

|f(t, v)| ≤ M (t∈ A, v ∈ R), y que existen K1, K2 > 0tales que

|f(t1, v) − f(t₂, v)| ≤ K1|t1− t₂| (t₁, t₂ ∈ A, v ∈ R);

|f(t, v1) − f(t, v₂)| ≤ K2|v1− v₂| (t ∈ A, v₁, v₂∈ R).

Para cualquier terna (t, v, h) ∈ A × R × (0, +∞) tal que t + h ∈ A, pongamos S(t, v, h) := v + hf(t, v),

y para cualquier par (t, v) ∈ A × R denotamos por xt,v a la soluci´on exacta del problema de Cauchy x⁰(s) = f(s, x(s)) con la condici´on inicial x(t) = v. Entonces

|S(t, v, h) − xt,v(t + h)| ≤ K₁+ MK₂

2 h². (7)

Demostraci´on. Denotamos x_t,v por x. Escribimos x(u) en la forma integral:

x(u) = v + Zu

t

f(s, x(s)) ds. (8)

Como f es absolutamente acotada por M, la f´ormula (8) implica que la funci´on x es Lipschitz continua con el coeficiente M:

|x(u) − x(t)| ≤ M|u − t|. (9)

(4)

Ahora escribimos S(t, v, h) en la forma integral, como una integral de una constante:

S(t, v, h) = v +

t+hZ

t

f(t, v) ds. (10)

Acotamos la resta de las expresiones (8) y (10):

|S(t, v, h) − x(t + h)| ≤

t+hZ

t

|f(t, v) − f(s, x(s))| ds.

Dentro de la integral usamos la cota

≤ K₁(s − t) + K₂M(s − t).

Integrando de t a t + h obtenemos (7).

8. Corolario (una cota global del error en el m´etodo de Euler). En las condiciones del teorema anterior, denotemos por L a la longitud del intervalo A, y supongamos que t₀ ∈ A, x₀∈ R, h > 0 y n ∈ N1 tales que x₀+ nh∈ A. Pongamos x_j = x₀+ jh para cada j en{0, . . . , n}, y definimos v0, . . . , vn mediante la regla

v₀:= x₀, v_j+1:= S(t_j, v_j, h) = v_j+ hf(t_j, v_j).

Entonces

0≤j≤nmax|vj− x_t₀_,x₀(t_j)| ≤ 1 2

K₁ K2

+ M

(e^LK−1) h. (11)