Ajuste de curvas. Regresión.

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Ajuste de curvas.

Regresi ´ on.

Curso: M ´etodos Num ´ericos en Ingenier´ıa Profesor: Dr. Jos ´e A. Otero Hern ´andez Correo: j.a.otero@itesm.mx

web: http://metodosnumericoscem.weebly.com

Universidad: ITESM CEM

T ´ opicos

1

Introducci ´ on

2

Regresi ´ on por m´ınimos cuadrados Regresi ´on lineal por m´ınimos cuadrados Ejemplo

Programa MATLAB: linregr.m

Regresi ´on cuadr ´atica por m´ınimos cuadrados Programa MATLAB: cuadregr.m

Ejemplo

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T ´ opicos

1

Introducci ´ on

2

Regresi ´ on por m´ınimos cuadrados Regresi ´on lineal por m´ınimos cuadrados Ejemplo

Programa MATLAB: linregr.m

Regresi ´on cuadr ´atica por m´ınimos cuadrados Programa MATLAB: cuadregr.m

Ejemplo

Ajuste de curvas

Es com ´un que los datos se den como valores discretos, Se podr´ıa necesitar la estimaci ´on de un punto entre valores discretos,

Se podr´ıa necesitar una curva que ajuste los datos para obtener estimaciones intermedias,

Se podr´ıa necesitar una version simplificada de una funci ´on complicada,

Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.

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M ´etodos generales para el ajuste de curvas

Regresi ´ on: Si los datos exhiben un grado significativo de error

o ”ruido”, entonces la estrategia ser ´a obtener una sola curva

que represente la tendencia general de los datos.

M ´etodos generales para el ajuste de curvas

Interpolaci ´ on: Si se sabe que los datos son muy precisos,

entonces la estrategia ser ´a colocar una curva o una serie de

curvas que pasen por cada uno de los puntos.

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T ´ opicos

1

Introducci ´ on

2

Regresi ´ on por m´ınimos cuadrados Regresi ´on lineal por m´ınimos cuadrados Ejemplo

Programa MATLAB: linregr.m

Regresi ´on cuadr ´atica por m´ınimos cuadrados Programa MATLAB: cuadregr.m

Ejemplo

Regresi ´on lineal por m´ınimos cuadrados

Regresi ´ on lineal por m´ınimos cuadrados

beamer-tu-logo Regresi ´on lineal por m´ınimos cuadrados

Regresi ´ on lineal por m´ınimos cuadrados

Problema: Ajustar a una l´ınea recta (y = a

+ a

x) el conjunto de puntos:

(x

, y

),(x

, y

),· · · ,(x

, y

).

El error (e) es la diferencia entre el modelo (linea recta) y la data, es decir es la diferencia entre el valor verdadero de y y el valor aproximado a

+ a

x. Por lo cual, se puede determinar como:

e = y − a

− a

x

Para cada punto (x

, y

) se define un error e

. La estrategia para ajustar la linea recta consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los errores entre los valores verdaderos y los valores aproximados. Esto es:

S

=

n

X

i=1

e

=

n

X

i=1

(y

− a

− a

x

)

Regresi ´on lineal por m´ınimos cuadrados

Ajuste de una l´ınea recta por m´ınimos cuadrados

Para determinar los valores de a

y a

, hay que derivar S

con respecto a cada uno de los coeficientes (a

, a

) e igual a cero:

∂S

∂a

= −2

n

X

i=1

(y

− a

− a

x

) = 0

∂S

∂a

= −2

n

X

i=1

(y

− a

− a

x

) x

= 0

beamer-tu-logo Regresi ´on lineal por m´ınimos cuadrados

Ajuste de una l´ınea recta por m´ınimos cuadrados

0 =

n

X

i=1

y

−

n

X

i=1

a

−

n

X

i=1

a

x

0 =

n

X

i=1

y

x

−

n

X

i=1

a

x

−

n

X

i=1

a

x

Ajuste de una l´ınea recta por m´ınimos cuadrados

n

X

i=1

y

= na

+

n

X

i=1

x

! a

n

X

i=1

x

y

=

n

X

i=1

x

! a

+

n

X

i=1

x

!

a

Regresi ´on lineal por m´ınimos cuadrados

Ajuste de una l´ınea recta por m´ınimos cuadrados

a

= n

n

P

i=1

x

y

− P

i=1

x

n

P

i=1

y

n

n

P

i=1

x

−



P

i=1

x



a

=

n

P

i=1

y

n − a

n

P

i=1

x

n

beamer-tu-logo Ejemplo

Ejemplo 1

Ajuste a una l´ınea recta los valores de x y y dados en la siguiente tabla:

x

y

1 0.5

2 2.5

3 2.0

4 4.0

5 3.5

6 6.0

7 5.5

Ejemplo

Soluci ´ on

c l e a r;c l c;

x = [ 1 2 3 4 5 6 7 ] ;

y= [ 0 . 5 2 . 5 2 . 0 4 . 0 3 . 5 6 . 0 5 . 5 ] ; n=length( x ) ;

sxy=sum( x . ∗ y ) sx2=sum( x . ∗ x ) sx=sum( x ) sy=sum( y )

a1 = ( n∗ sxy−sx ∗ sy ) / ( n∗sx2 −(sx ) ˆ 2 ) a0=sy / n−a1∗ sx / n

beamer-tu-logo Ejemplo

Soluci ´ on

% S o l u c i o n ejemplo 1 sxy = 119.5000 sx2 = 140

sx = 28

sy = 24

a1 = 0.8393 a0 = 0.0714

y = 0.0714+0.8393∗ x

Programa MATLAB: linregr.m

Programa Matlab

f u n c t i o n [ a ] = l i n r e g r ( x , y )

% l i n r e g r : A j u s t e de c ur va con r e g r e s i o n l i n e a l

% Entrada : x , y−−−−S a l i d a : a = [ a1 , a0 ] n = length( x ) ;

i f length( y ) ˜ = n , e r r o r( ’ x−y d i f e r e n t e s l o n g i t u d e s ’ ) ; end sx = sum( x ) ; sy = sum( y ) ;

sx2 = sum( x . ∗ x ) ; sxy = sum( x . ∗ y ) ; a ( 1 ) = ( n∗ sxy−sx ∗ sy ) / ( n∗sx2−sx ˆ 2 ) ; a ( 2 ) = sy / n−a ( 1 ) ∗ sx / n ;

% P l o t e o de l a data y l i n e a r e c t a a j u s t a d a xp = linspace(min( x ) ,max( x ) , 2 ) ;

yp = a ( 1 ) ∗xp+a ( 2 ) ;

p l o t( x ’ , y ’ , ’ o ’ , xp , yp ) ;g r i d on

beamer-tu-logo Programa MATLAB: linregr.m

Ejemplo 1: Programa Matlab

Regresi ´on cuadr ´atica por m´ınimos cuadrados

Regresi ´ on cuadr ´atica por m´ınimos cuadrados Problema: Ajustar a un polinomio cuadr ´atico (y = a

+ a

x + a

x

) el conjunto de puntos:

(x

, y

),(x

, y

),· · · ,(x

, y

).

El error (e) se puede determinar como:

e = y − a

− a

x − a

x

Para cada punto (x

, y

) se define un error e

.

La estrategia para ajustar el polinomio cuadr ´atico consiste en

minimizar la suma de los cuadrados de los errores entre los

valores verdaderos y los valores aproximados. Esto es:

beamer-tu-logo Regresi ´on cuadr ´atica por m´ınimos cuadrados

Ajuste del polinomio cuadr ´atico por m´ınimos cuadrados Para determinar los valores de a

, a

y a

, hay que derivar S

con respecto a cada uno de los coeficientes (a

, a

, a

) e igual a cero:

∂S

∂a

= −2

n

X

i=1

y

− a

− a

x

− a

x

= 0

∂S

∂a

= −2

n

X

i=1

y

− a

− a

x

− a

x

x

= 0

∂S

∂a

= −2

n

X

i=1

y

− a

− a

x

− a

x

x

= 0

Regresi ´on cuadr ´atica por m´ınimos cuadrados

Ajuste del polinomio cuadr ´atico por m´ınimos cuadrados

n

X

i=1

y

= n a

+

n

X

i=1

x

! a

+

n

X

i=1

x

! a

X

i=1

x

y

=

n

X

i=1

x

! a

+

n

X

i=1

x

! a

+

n

X

i=1

x

! a

n

X

i=1

x

y

=

n

X

i=1

x

! a

+

n

X

i=1

x

! a

+

n

X

i=1

x

!

a

beamer-tu-logo Regresi ´on cuadr ´atica por m´ınimos cuadrados

Programa para la soluci ´ on del sistema

c l e a r;c l c;

syms a0 a1 a2 n sx sy sx2 sxy sx3 sx4 sx2y ; eq1=n∗a0+sx ∗a1+sx2 ∗a2−sy ;

eq2=sx ∗a0+sx2 ∗a1+sx3 ∗a2−sxy ; eq3=sx2 ∗a0+sx3 ∗a1+sx4 ∗a2−sx2y ;

[ a0 a1 a2 ] = s o l v e ( eq1 , eq2 , eq3 , a0 , a1 , a2 )

Regresi ´on cuadr ´atica por m´ınimos cuadrados

Soluci ´ on del sistema

a0 = ( sx2y ∗ sx2ˆ2− sxy ∗ sx2 ∗sx3−sx4 ∗ sy ∗ sx2+sy ∗ sx3ˆ2−sx ∗ sx2y ∗ sx3+sx ∗ sx4 ∗ sxy ) / ( sx4 ∗ sx ˆ2−2∗ sx ∗ sx2 ∗ sx3+sx2ˆ3−n∗ sx4 ∗ sx2+n∗ sx3 ˆ 2 )

a1 = ( sx2 ˆ 2 ∗ sxy+n∗ sx2y ∗sx3−n∗ sx4 ∗ sxy−sx ∗ sx2 ∗ sx2y+sx ∗ sx4 ∗ sy

−sx2 ∗ sx3 ∗ sy ) / ( sx4 ∗ sx ˆ2−2∗ sx ∗ sx2 ∗ sx3+sx2ˆ3−n∗ sx4 ∗ sx2+n

∗ sx3 ˆ 2 )

a2 = ( sx2y ∗ sxˆ2− sxy ∗ sx ∗sx2−sx3 ∗ sy ∗ sx+sy ∗ sx2ˆ2−n∗ sx2y ∗ sx2+n

∗ sx3 ∗ sxy ) / ( sx4 ∗ sx ˆ2−2∗ sx ∗ sx2 ∗ sx3+sx2ˆ3−n∗ sx4 ∗ sx2+n∗

sx3 ˆ 2 )

beamer-tu-logo Programa MATLAB: cuadregr.m

f u n c t i o n [ a ] = c u a d r e g r ( x , y )

% c u a d r e g r : A j u s t e de c ur va con r e g r e s i o n c u a d r a t i c a

% Entrada : x , y−−−−S a l i d a : a = [ a2 , a1 , a0 ] n = length( x ) ;

i f length( y ) ˜ = n , e r r o r( ’ x−y d i f e r e n t e s l o n g i t u d e s ’ ) ; end sx=sum( x ) ; sy=sum( y ) ; sx2=sum( x . ∗ x ) ; sxy=sum( x . ∗ y ) ; sx3=sum( x . ∗ x . ∗ x ) ; sx4=sum( x . ∗ x . ∗ x . ∗ x ) ; sx2y=sum( x . ∗ x . ∗ y ) ; a ( 3 ) = ( sx2y ∗ sx2ˆ2− sxy ∗ sx2 ∗sx3−sx4 ∗ sy ∗ sx2+sy ∗ sx3ˆ2−sx ∗ sx2y

∗ sx3+sx ∗ sx4 ∗ sxy ) / ( sx4 ∗ sx ˆ2−2∗ sx ∗ sx2 ∗ sx3+sx2ˆ3−n∗ sx4 ∗ sx2+n∗ sx3 ˆ 2 ) ;

a ( 2 ) = ( sx2 ˆ 2 ∗ sxy+n∗ sx2y ∗sx3−n∗ sx4 ∗ sxy−sx ∗ sx2 ∗ sx2y+sx ∗ sx4 ∗ sy−sx2 ∗ sx3 ∗ sy ) / ( sx4 ∗ sx ˆ2−2∗ sx ∗ sx2 ∗ sx3+sx2ˆ3−n∗ sx4 ∗ sx2 +n∗ sx3 ˆ 2 ) ;

a ( 1 ) = ( sx2y ∗ sxˆ2− sxy ∗ sx ∗sx2−sx3 ∗ sy ∗ sx+sy ∗ sx2ˆ2−n∗ sx2y ∗ sx2 +n∗ sx3 ∗ sxy ) / ( sx4 ∗ sx ˆ2−2∗ sx ∗ sx2 ∗ sx3+sx2ˆ3−n∗ sx4 ∗ sx2+n∗

sx3 ˆ 2 ) ;

% P l o t e o de l a data y l i n e a r e c t a a j u s t a d a xp = linspace(min( x ) ,max( x ) , 1 0 0 ) ;

yp = a ( 3 ) +a ( 2 ) ∗xp+a ( 1 ) ∗xp . ˆ 2 ; p l o t( x ’ , y ’ , ’ o ’ , xp , yp ) ;g r i d on

Ejemplo

Ejemplo 2

Ajuste a un polinomio cuadr ´atico los valores de x y y dados en la siguiente tabla:

x

y

1 0.5

2 2.5

3 2.0

4 4.0

5 3.5

6 6.0

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Ejemplo 2: Programa Matlab