Sean A, B y C los puntos de la recta

Repaso GEOMETRÍA II Página 1 de 4

REPASO GEOMETRÍA I I

MATEMÁTICAS IIMATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS IIMATEMÁTICAS II

1.

1.

1.

1. S. Dados los puntos A(1, −3, 1), B(2, 3, 1), C(1, 3, −1) se pide:

a) Obtener la ecuación del plano π que los contiene

b) Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano π

c) Determinar el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, y C

Sol.: a) π(A,AB,AC):6x− y−3z−6=0

b) 23

46 3 ) 3 ( ) 1 ( 6 ) 6 ,

( 2 2 2 =

− +

−

= + π O d

c) ^{V =} ₆^1mod[^OA,OB,OC]^{=2 u3}

2.2.

2.2. _{S. Sean} A, B y C los puntos de la recta

3 6 2

12= +6 = −

− y z

x que están en los planos coordenados

, 0 ,

0 ,

0 = =

= y z

x respectivamente.

a) Determinar razonadamente cuál de los tres puntos se encuentra entre los otros dos

b) Siendo D un punto exterior a la recta, indicar razonadamente cuál de los triángulos DAB, DAC o

DBC tiene un área mayor

Sol.: a) A(0, −30, −30), B(15, 0, 15), C(10, −10, 0) C AC

AB AC

AB= = → = →

2 ) 3

30 , 20 , 10 ( ,

) 45 , 30 , 15 (

está entre A y B

b) Area_DAB = Area_DAC +Area_DBC

3.

3.

3.

3. S. Halla la distancia del punto P(1, 2, 3) a la recta

1 2

: 6 = −

−

= y− z x

r determinando el punto de la recta que dista menos de

P.

Sol.: r(A,u) / A(0, 6, 2),u =(1, −1, 1). El plano que pasa por P y es perpendicular a la recta dada: π(P,u):x−y+z−2=0. El punto de la recta que dista menos de P es: Q=π ∩ r

.Luego, Q(2, 4, 4). Y la distancia: d(P,r)=d(P,Q)= PQ = 6

4.

4.

4.

4. S. Sean la recta y el plano dados por: , :2 3 1 0

2 1

: − + + =







=

−

=

−

−

=

z y x t

z

t y

t x

r π

a) Calcula el seno del ángulo que forman la recta y el plano

b) Halla la ecuación de la recta proyección ortogonal de la recta sobre el plano

Sol: a) r(A,u) / A(−1, 0, 0) , u =(−1, −1, 2) ;n=(2, −3, 1) es el vector normal

de π ^:

14 21 14

6 3 .

) , ( cos ) ,

( ⋅ = =

=

=

n u

n u n u r

sen π

b) Sea α el plano que contiene a r y es perpendicular a π . La recta pedida s vendrá dada por la

Repaso GEOMETRÍA II Página 2 de 4 intersección de los planos α ^y π

0 1 :

) ,

;

(Au n x+ y+z+ =

α ^.







−

−

=

=

=





= + +

−

= + +

= +

∩

=

λ λ

λ π

α

5 1 4 0:

1 3

2

0 1

z y x z

y x

z y s x

5.

5.

5.

5. S.: Halla el punto del plano de ecuación x−z =3 que está más cerca del punto P(3, 1, 4), así como la distancia entre el punto P y el plano.

Sol : Hallamos la recta que pasa por P y es perpendicular al plano dado. La intersección de ésta recta con

el plano dado nos dará el punto pedido. ^, (^{5, 1, 2})

4 1 3

: = ∩ =







−

=

= +

=

π r Q t

z y

t x r

2 2 )

, ( ) ,

(P =d P Q = PQ = d π

6.

6.

6.

6. S. Halla el plano de la familia mx+y+z−(m+1)=0 que esté situado a distancia 1 del origen

Sol.: : 2 2 3 0

2 1 1

1 1

) 1 1 (

) ,

( 2 = ⇒ = → + + − =

+ +

+

⇒ −

= m x y z

m O m

d π π

7.

7.

7.

7. S. Hallar la ecuación de la proyección ortogonal r' de la recta

2 1 2 2

: −1= − = z− x y

r sobre el

plano α :x−3y+2z+12=0

Sol.: Hallamos la ecuación del plano πque contiene a r y es perpendicular a α : π(A,u,n) 0

8 7 2 8 : 0

2 3 1

2 1

2

2 1 1

: = → − − + =

−

−

−

−

z y x z

y x

π

π .

La recta pedida vendrá dada por















= +

= +

=

≡

∩

=

t z

t y

t x

r 21

23 21 88

7 9 7 4

' π α

8.

8.

8.

8. S. Se considera la recta





=

− +

=

−

− +

0 1

0 1 2

: 3 y x

z y

r x . Se pide:

a) Determinar la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por P(^{0, 2, 2}) ^{y las}

coordenadas del punto Q intersección de r y s

b) Hallar la ecuación del plano π que contiene a r y s y la recta t perpendicular a π por el punto P

c) Si T es cualquier punto de t , explica sin hacer ningún cálculo, qué relación hay entre las distancias de P

a r, a s y a π ⁾

Sol.: a) ; ( , )

1 2 1

: 1 z r Au

x y

r −

= −

− =

− Sea Q el punto de corte de ambas rectas.

( ^{t t t})

Q1− , , 2− . Se tiene que s(P,PQ) ;PQ⊥r ⇒ PQ⋅u =0 ⇒ t=1

Repaso GEOMETRÍA II Página 3 de 4

Luego, ( )







+

= +

=

= λ

λ 2

2 0 :

; 1 , 1 , 0

z y x s Q

b) 1

2 1

2 :2

) , ( , 0 2

: ) , ,

( −

= −

= −

=

−

+ x y z

n P t z

y x PQ u

π P ^{siendo n} el asociado a π

c) Evidentemente d(T,s)=d(T,π)=d(T,P). Por otra parte, como t⊥r se tendrá que [^d(T,r)] [^{2 = d(T,s)}] [^{2 + d(P,Q)}] [^{2 = d(T,s)}]^{2 +2}

9.

9.

9.

9. S. dadas las rectas





=

− +

= z x

y a r x 1 ( 2)

: y





−

=

−

= +

−

2 2

0 : 1

a z ax

z

s y . Se pide:

a) Averiguar su posición relativa, según los valores de a

b) Tomando a =0 , determinar puntos P∈r ^y Q∈s tales que la distancia entre P y A sea mínima Sol.: a) Consideramos el sistema formado por las cuatro ecuaciones. Se tiene que [ ]^{A* =a2 −1}

Si a≠1 y a≠−1 :rg(A^*)=4 , rg(A)=3 ⇒ las rectas se cruzan Si a=1 :rg(A^*)=3 , rg(A)=2 ⇒ las rectas son paralelas

Si a=−1 :rg(A^*)=rg(A)=3 ⇒ las rectas se cortan b) ^{r(A,u) :}(^{x, y, z}) (^{= 1, 0, 1}) (^{+ 0, 1, 0})^λ

(^{x y z}) ( ) ( )^t

v B

s( , ) : , , = 0, 1, 2 + 1, 0, 0

( ) ( )

( )



→







=

= ⇒

⋅

⊥ ⇒

=

= ⇒

⋅

⊥ ⇒

−

−

= 1, 1, 2

1 , 1 , 1 1

0

1

; 0 1 , 1 ,

1 Q

P t

v PQ s

PQ

u PQ r

t PQ

PQ λ

λ

10.

10.

10.

10. S.. dadas las rectas 2

2 1 1

: − = y+ = z− x

r ,





−

=

−

−

= +

−

4 3

: 2

z y x

z y

s x . Se pide:

a) Posición relativa de ambas rectas

b) Área de uno de los cuadrados, dos de cuyos lados están sobre r y s

Sol.: a) ( ) ( )

( ^{3, 5, 0}) ^, (^{1, 2, 1}) ^{( , ) 1 , ( , , 2}

/ ) , (

1 , 2 , 1 ,

2 , 1 , 1 / ) ,

( = =







=

−

−

=

− rg u v rg AB u v

v B

v b S

u A

u A r

Luego, las rectas dadas son paralelas

b) El cuadrado tendrá por lados ( )

3 4 30 , 2 , ) 0

, ( ) ,

( − =

∧ =

=

=

v v

v AB s

A d s r d

Luego, ^A=[^d(r,s)]^{2 =10/3}

11.

11.

11.

11. S. dadas las rectas: 1

2

3= = −

≡ x− y z

r y







−

=

−

=

=

≡

λ λ λ z y x

s hallar los puntos que dan la mínima

distancia y determinar la ecuación de la perpendicular común a ambas rectas.

Sol.: P∈r(A,u): P(3+2a, a, 1+a) , Q∈s(B,v): Q(λ, −λ, −λ)

3 / 2 0

; 6 / 7

0 ⇒ =− ⊥ ⇒ ⋅ = ⇒ =

=

⋅

⊥^u ⇒ ^{PQ u a PQ v PQ v} λ

PQ

Repaso GEOMETRÍA II Página 4 de 4 Luego, ^P(^{2/3, −7/6, −1/6}) ^{, Q}(^{2/3, −2/3, −2/3})

r⁽P^,w^{) /} w^||PQ ^: r^:(x^, y^, z) (= ^2/3, −^7/6, −^1/6) (+ ^{0, 1,} −¹)µ 12.

12.

12.

12. S. Considera un cuadrado cuyo centro es el punto C(1, 1, −1) y tiene uno de sus lados en la recta

0 1 1 1

: − = − = z− y

x r

a) Calcula la ecuación del plano en el que se encuentra el cuadrado b) Calcula la longitud del lado del cuadrado.

Sol: a) π ^{pasa por C} y contiene a r: ^r( )^{A,u → π(C,CA,u) → π :2x−2y−z−1=0}

b) ( )

2 2 3 2 9 2

1 , 2 , 2 2

) , (

2 − = =

∧ =

=

=

u u CA r

C d l

13.

13.

13.

13. Calcula las coordenadas del punto simétrico de ^P(^{3, 3, 0}) respecto del plano

0 3 2

:x+ y−z+ = π

Sol.: El punto simétrico de P respecto de π es otro punto P' tal que la recta PP'es perpendicular a π ^y

además ^d(^P,π)=^d(^P',π). Para hallarlo, calcularemos el punto Q proyección ortogonal de P sobre π )

2 , 1 , 1 ( 1 ;

2 3 1

: 3 ,

/ −

= −

= −

→ −

∈

⊥

∩

= x y z Q

r r P r

r

Q π π

Q es el punto medio de P y P’ ^{→ P'}(^{−1, −5, 4})

14.

14.

14.

14. . Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto ^P(^{1, 2, 1}) y corta perpendicularmente a la recta:

1 4 2

3

:2 = +

−

= y− z r x

Sol.: s(P,PQ) / Qes la proyección ortogonal de P sobre r. Para hallar Q, calcularemos el plano π

que pasa por P y es perpendicular a r. π :2x−2y+z+1=0 ^{. Q=r∩}π ⁼(^{2, 1, −3})

Luego,

4 1 1

2 1

: 1

−

= −

−

= −

− y z

s x

15.

15.

15.

15. Dos caras de un cubo están contenidas en cada uno de los planos:

0 9 4 3 : , 0 1 4 3

: x+ z− = π x+ z+ =

α ¿Cuál es el volumen?

Sol.: Los planos son paralelos por lo que la arista del cubo es ^a=^d(α,π). El punto

( ) [ ]

2 4

3

9 1 . 4 ) 1 .(

) 3 , ( ) , ( 1

, 0 ,

1 2 2 =

+ + +

= −

=

→

∈

− α ^d α π ^{d P} π

P

Luego, V =a³ =8(u³)