Sean A, B y C los puntos de la recta

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(1)

Repaso GEOMETRÍA II Página 1 de 4

REPASO GEOMETRÍA I I

MATEMÁTICAS IIMATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS IIMATEMÁTICAS II

1.

1.

1.

1. S. Dados los puntos A(1, 3, 1), B(2, 3, 1), C(1, 3, 1) se pide:

a) Obtener la ecuación del plano π que los contiene

b) Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano π

c) Determinar el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, y C

Sol.: a) π(A,AB,AC):6x y3z6=0

b) 23

46 3 ) 3 ( ) 1 ( 6 ) 6 ,

( 2 2 2 =

+

= + π O d

c) V = 61mod[OA,OB,OC]=2 u3

2.2.

2.2. S. Sean A, B y C los puntos de la recta

3 6 2

12= +6 =

y z

x que están en los planos coordenados

, 0 ,

0 ,

0 = =

= y z

x respectivamente.

a) Determinar razonadamente cuál de los tres puntos se encuentra entre los otros dos

b) Siendo D un punto exterior a la recta, indicar razonadamente cuál de los triángulos DAB, DAC o

DBC tiene un área mayor

Sol.: a) A(0, 30, 30), B(15, 0, 15), C(10, 10, 0) C AC

AB AC

AB= = =

2 ) 3

30 , 20 , 10 ( ,

) 45 , 30 , 15 (

está entre A y B

b) AreaDAB = AreaDAC +AreaDBC

3.

3.

3.

3. S. Halla la distancia del punto P(1, 2, 3) a la recta

1 2

: 6 =

= y z x

r determinando el punto de la recta que dista menos de

P.

Sol.: r(A,u) / A(0, 6, 2),u =(1, 1, 1). El plano que pasa por P y es perpendicular a la recta dada: π(P,u):xy+z2=0. El punto de la recta que dista menos de P es: Q=π r

.Luego, Q(2, 4, 4). Y la distancia: d(P,r)=d(P,Q)= PQ = 6

4.

4.

4.

4. S. Sean la recta y el plano dados por: , :2 3 1 0

2 1

: + + =

=

=

=

z y x t

z

t y

t x

r π

a) Calcula el seno del ángulo que forman la recta y el plano

b) Halla la ecuación de la recta proyección ortogonal de la recta sobre el plano

Sol: a) r(A,u) / A(1, 0, 0) , u =(1, 1, 2) ;n=(2, 3, 1) es el vector normal

de π :

14 21 14

6 3 .

) , ( cos ) ,

( = =

=

=

n u

n u n u r

sen π

b) Sea α el plano que contiene a r y es perpendicular a π . La recta pedida s vendrá dada por la

(2)

Repaso GEOMETRÍA II Página 2 de 4 intersección de los planos α y π

0 1 :

) ,

;

(Au n x+ y+z+ =

α .

=

=

=

= + +

= + +

= +

=

λ λ

λ π

α

5 1 4 0:

1 3

2

0 1

z y x z

y x

z y s x

5.

5.

5.

5. S.: Halla el punto del plano de ecuación xz =3 que está más cerca del punto P(3, 1, 4), así como la distancia entre el punto P y el plano.

Sol : Hallamos la recta que pasa por P y es perpendicular al plano dado. La intersección de ésta recta con

el plano dado nos dará el punto pedido. , (5, 1, 2)

4 1 3

: = =

=

= +

=

π r Q t

z y

t x r

2 2 )

, ( ) ,

(P =d P Q = PQ = d π

6.

6.

6.

6. S. Halla el plano de la familia mx+y+z(m+1)=0 que esté situado a distancia 1 del origen

Sol.: : 2 2 3 0

2 1 1

1 1

) 1 1 (

) ,

( 2 = = + + =

+ +

+

= m x y z

m O m

d π π

7.

7.

7.

7. S. Hallar la ecuación de la proyección ortogonal r' de la recta

2 1 2 2

: 1= = z x y

r sobre el

plano α :x3y+2z+12=0

Sol.: Hallamos la ecuación del plano πque contiene a r y es perpendicular a α : π(A,u,n) 0

8 7 2 8 : 0

2 3 1

2 1

2

2 1 1

: = + =

z y x z

y x

π

π .

La recta pedida vendrá dada por

= +

= +

=

=

t z

t y

t x

r 21

23 21 88

7 9 7 4

' π α

8.

8.

8.

8. S. Se considera la recta

=

+

=

+

0 1

0 1 2

: 3 y x

z y

r x . Se pide:

a) Determinar la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por P(0, 2, 2) y las

coordenadas del punto Q intersección de r y s

b) Hallar la ecuación del plano π que contiene a r y s y la recta t perpendicular a π por el punto P

c) Si T es cualquier punto de t , explica sin hacer ningún cálculo, qué relación hay entre las distancias de P

a r, a s y a π )

Sol.: a) ; ( , )

1 2 1

: 1 z r Au

x y

r

=

=

Sea Q el punto de corte de ambas rectas.

( t t t)

Q1 , , 2 . Se tiene que s(P,PQ) ;PQr PQu =0 t=1

(3)

Repaso GEOMETRÍA II Página 3 de 4

Luego, ( )

+

= +

=

= λ

λ 2

2 0 :

; 1 , 1 , 0

z y x s Q

b) 1

2 1

2 :2

) , ( , 0 2

: ) , ,

(

=

=

=

+ x y z

n P t z

y x PQ u

π P siendo n el asociado a π

c) Evidentemente d(T,s)=d(T,π)=d(T,P). Por otra parte, como tr se tendrá que [d(T,r)] [2 = d(T,s)] [2 + d(P,Q)] [2 = d(T,s)]2 +2

9.

9.

9.

9. S. dadas las rectas

=

+

= z x

y a r x 1 ( 2)

: y

=

= +

2 2

0 : 1

a z ax

z

s y . Se pide:

a) Averiguar su posición relativa, según los valores de a

b) Tomando a =0 , determinar puntos Pr y Qs tales que la distancia entre P y A sea mínima Sol.: a) Consideramos el sistema formado por las cuatro ecuaciones. Se tiene que [ ]A* =a2 1

Si a1 y a1 :rg(A*)=4 , rg(A)=3 las rectas se cruzan Si a=1 :rg(A*)=3 , rg(A)=2 las rectas son paralelas

Si a=1 :rg(A*)=rg(A)=3 las rectas se cortan b) r(A,u) :(x, y, z) (= 1, 0, 1) (+ 0, 1, 0)λ

(x y z) ( ) ( )t

v B

s( , ) : , , = 0, 1, 2 + 1, 0, 0

( ) ( )

( )



=

=

=

=

= 1, 1, 2

1 , 1 , 1 1

0

1

; 0 1 , 1 ,

1 Q

P t

v PQ s

PQ

u PQ r

t PQ

PQ λ

λ

10.

10.

10.

10. S.. dadas las rectas 2

2 1 1

: = y+ = z x

r ,

=

= +

4 3

: 2

z y x

z y

s x . Se pide:

a) Posición relativa de ambas rectas

b) Área de uno de los cuadrados, dos de cuyos lados están sobre r y s

Sol.: a) ( ) ( )

( 3, 5, 0) , (1, 2, 1) ( , ) 1 , ( , , 2

/ ) , (

1 , 2 , 1 ,

2 , 1 , 1 / ) ,

( = =



=

=

rg u v rg AB u v

v B

v b S

u A

u A r

Luego, las rectas dadas son paralelas

b) El cuadrado tendrá por lados ( )

3 4 30 , 2 , ) 0

, ( ) ,

( =

=

=

=

v v

v AB s

A d s r d

Luego, A=[d(r,s)]2 =10/3

11.

11.

11.

11. S. dadas las rectas: 1

2

3= =

x y z

r y

=

=

=

λ λ λ z y x

s hallar los puntos que dan la mínima

distancia y determinar la ecuación de la perpendicular común a ambas rectas.

Sol.: Pr(A,u): P(3+2a, a, 1+a) , Qs(B,v): Q(λ, λ, λ)

3 / 2 0

; 6 / 7

0 = = =

=

u PQ u a PQ v PQ v λ

PQ

(4)

Repaso GEOMETRÍA II Página 4 de 4 Luego, P(2/3, 7/6, 1/6) , Q(2/3, 2/3, 2/3)

r(P,w) / w||PQ : r:(x, y, z) (= 2/3, 7/6, 1/6) (+ 0, 1, 1)µ 12.

12.

12.

12. S. Considera un cuadrado cuyo centro es el punto C(1, 1, 1) y tiene uno de sus lados en la recta

0 1 1 1

: = = z y

x r

a) Calcula la ecuación del plano en el que se encuentra el cuadrado b) Calcula la longitud del lado del cuadrado.

Sol: a) π pasa por C y contiene a r: r( )A,u π(C,CA,u) π :2x2yz1=0

b) ( )

2 2 3 2 9 2

1 , 2 , 2 2

) , (

2 = =

=

=

=

u u CA r

C d l

13.

13.

13.

13. Calcula las coordenadas del punto simétrico de P(3, 3, 0) respecto del plano

0 3 2

:x+ yz+ = π

Sol.: El punto simétrico de P respecto de π es otro punto P' tal que la recta PP'es perpendicular a π y

además d(P,π)=d(P',π). Para hallarlo, calcularemos el punto Q proyección ortogonal de P sobre π )

2 , 1 , 1 ( 1 ;

2 3 1

: 3 ,

/

=

=

= x y z Q

r r P r

r

Q π π

Q es el punto medio de P y P’ P'(1, 5, 4)

14.

14.

14.

14. . Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1, 2, 1) y corta perpendicularmente a la recta:

1 4 2

3

:2 = +

= y z r x

Sol.: s(P,PQ) / Qes la proyección ortogonal de P sobre r. Para hallar Q, calcularemos el plano π

que pasa por P y es perpendicular a r. π :2x2y+z+1=0 . Q=rπ =(2, 1, 3)

Luego,

4 1 1

2 1

: 1

=

=

y z

s x

15.

15.

15.

15. Dos caras de un cubo están contenidas en cada uno de los planos:

0 9 4 3 : , 0 1 4 3

: x+ z = π x+ z+ =

α ¿Cuál es el volumen?

Sol.: Los planos son paralelos por lo que la arista del cubo es a=d(α,π). El punto

( ) [ ]

2 4

3

9 1 . 4 ) 1 .(

) 3 , ( ) , ( 1

, 0 ,

1 2 2 =

+ + +

=

=

α d α π d P π

P

Luego, V =a3 =8(u3)

Figure

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