Teoria de conjuntos Conceptos y operaciones

(1)

Teoria de conjuntos

Conceptos y operaciones

Jonatan Gom´ ez Perdomo, Ph.D.

[email protected]

Arles Rodr´ıguez, Ph.D.(c)

[email protected]

Camilo Cubides, Ph.D.(c)

[email protected]

Grupo de investigaci´ on en vida artificial – Research Group on Artificial Life – (Alife) Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas e Industrial

Facultad de Ingenier´ıa Universidad Nacional de Colombia

1er semestre de 2014

(2)

Conceptos b´asicos

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(3)

Conceptos b´asicos Conjunto y elemento

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(4)

Definici´ on de conjunto

Un conjunto A es una colecci´ on bien definida de objetos. Se dice que una colecci´ on A est´ a bien definida si existe un predicado Ψ _A (llamado

constructor del conjunto A), que determina de manera exacta los objetos que pertenecen a la colecci´ on.

Ejemplo

La colecci´ on A = {1, 2, 3, 4} es un conjunto, ya que el siguiente predicado determina de manera exacta los objetos que pertenecen a A:

Ψ _A (x ) =

( V , si x = 1, x = 2, x = 3 o x = 4;

F , en otro caso.

(5)

Definici´ on de elemento I

Un objeto x se dice que es un elemento del conjunto A si y s´ olo si Ψ _A (x ) = V . En el caso en que Ψ _A (x ) = F , se dice que el objeto x no es un elemento del conjunto A.

Ejemplo

Para el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, se tiene que 1 es elemento de A

(Ψ _A (1) = V ), y 5 no es elemento de A (Ψ _A (5) = F ).

(6)

Definici´ on de elemento II

Los predicados constructores de conjuntos, permiten definir el siguiente predicado que relaciona elementos con conjuntos

∈(x, A) ⇔ Ψ _A (x )

Este predicado es conocido como el predicado pertenece.

x ∈ A es usado para denotar que ∈(x , A), y x / ∈ A es usado para denotar

¬ ∈(x, A).

(7)

Conceptos b´asicos Especificaci´on de conjuntos

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(8)

Especificaci´ on por extensi´ on y por comprensi´ on

Gracias a las definiciones anteriores, un conjunto se puede especificar de

dos maneras: por extensi´ on y por comprensi´ on.

(9)

Especificaci´ on por extensi´ on I

Si se listan exhaustivamente los elementos que conforman el conjunto o se puede determinar una secuencia que sirve para saber cual es el siguiente elemento de un elemento dado de un conjunto, entonces se dice que se est´ a especificando el conjunto por extensi´ on. Esto se hace mediante la siguiente notaci´ on

A = {x ₁ , x ₂ , . . . , x _n }

donde x _i son los objetos en el conjunto A. De esta manera el predicado asociado al conjunto es,

Ψ _A (x ) =

( V , si x = x i para alg´ un i = 1, 2, . . . , n;

F , en otro caso.

(10)

Especificaci´ on por extensi´ on II

Ejemplos

1

A = {1, 2, 3, 4}

2

B = { ¨, ©, ª, «}

3

C = {a, e, i, o, u}

4

B = {V , F }

5

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

6

P = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}

7

Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

(11)

Especificaci´ on por comprensi´ on I

Si se presenta expl´ıcitamente el predicado que define el conjunto, se dice que se est´ a especificando el conjunto por comprensi´ on. Esto se hace mediante la siguiente notaci´ on:

A = x : Ψ _A (x ) . En esta notaci´ on, el s´ımbolo “:” se lee “tal que”.

Ejemplos

2N = x : (x = 2n) ∧ (n ∈ N)

2N + 1 = x : (x = 2n + 1) ∧ (n ∈ N)

Q = x : (x = p/q) ∧ (p, q ∈ Z) ∧ (q 6= 0)

I = {x : x es un n´ umero irracional}

(12)

Especificaci´ on por comprensi´ on II

Ejemplos (continuaci´ on)

R = {x : x es un n´ umero real}

R ⁺ = x : (x ∈ R) ∧ (x > 0) R ⁻ = x : (x ∈ R) ∧ (x < 0) R ^0,+ = x : (x ∈ R) ∧ (x ≥ 0)

C = x : (x = a + bi) ∧ (a, b ∈ R) ∧ (i = √

−1) (i denota la unidad imaginaria)

A = x : (x ∈ R) ∧ (x ² ≤ 1) B = {x : x es una pinta del poker}

C = {x : x es una vocal del idioma espa˜ nol}

(13)

Conceptos b´asicos El conjunto vac´ıo

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(14)

Conceptos b´asicos El conjunto vac´ıo

El conjunto vac´ıo ∅

El conjunto x : (x 6= x) es llamado conjunto vac´ıo porque no tiene elemento alguno (no existe objeto alguno que sea diferente de si mismo).

El s´ımbolo ∅ es usado para notar al conjunto vac´ıo. Para todo objeto x se tiene que Ψ _∅ (x ) = (x ∈ ∅) = F .

En algunos casos se utilizar´ a la notaci´ on del conjunto sin elementos { } para representar el conjunto vac´ıo.

Es importante tener en cuenta que { } = ∅ 6= {∅}, pues este ´ultimo es el

conjunto que tiene un ´ unico elemento que es el conjunto vac´ıo, por lo

tanto no es un conjunto vac´ıo.

(15)

Conceptos b´asicos Representaci´on mediante diagramas de Venn

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(16)

Representaci´ on mediante diagramas de Venn

Todo conjunto finito no vac´ıo se puede representar mediante los llamados diagramas de Venn, de la siguiente forma

A = {1, 2, 3, 4, 8, ¨, ª, _}

A 1

2 3

4 8

¨ ª

_

Figure : Representaci´ on del conjunto A = {1, 2, 3, 4, 8, ¨, ª, _} mediante

diagramas de Venn.

(17)

Diagramas de Venn para 2 conjuntos

Dados los conjuntos A = {2, 4, 7, 8, ¨, ª, «} y B = {1, 2, 3, 4, ¨, ª, _}, se tiene que el siguiente diagrama se representan todos los posibles casos de contenencia para los conjuntos A y B.

A B

2 4

¨ ª

1 3 _ 7

8 «

(18)

Diagramas de Venn para 3 conjuntos

Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, l, n, s},

B = {4, 5, 6, 7, 8, n, s, u} y C = {0, 1, 5, 8, 9, l, n, u}, se tiene que el siguiente diagrama se representan todos los posibles casos de contenencia para los conjuntos A, B y C .

A B

C

2 3

4 s

7 6

1 l 8 u

5 n

9 0

(19)

Conceptos b´asicos Contenencia e igualdad

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(20)

Inclusi´ on I

Sean A y B dos conjuntos, A esta contenido en B si y s´ olo si todos los elementos del conjunto A est´ an en el conjunto B. La contenencia entre conjuntos es un predicado que se define de la siguiente manera

contenido(A, B) ⇔ (x ∈ A → x ∈ B)

Cuando un conjunto A est´ a contenido en un conjunto B, se dice que A es subconjunto de B y que B es un superconjunto de A.

A ⊆ B es usado para notar el predicado contenido(A, B), y A * B es usado para denotar ¬ contenido(A, B).

∅ ⊆ A y A ⊆ A para todo A conjunto.

(21)

Inclusi´ on II

Ejemplo

Sean A, B y C los siguientes conjuntos: A = {2, 4, 8, ¨, ª},

B = {1, 2, 3, 4, ©, «, _} y C = {0, 2, 4, 6, 8, ¨, ©, ª, «}, entonces A ⊆ C y B * C .

2 4 8

¨ ª 0

6 «

© 1

3 _

A

C B

(22)

Conjunto universal

Un conjunto U se dice un universo para los conjuntos A ₁ , A ₂ , . . . , A _n si y s´ olo si (∀i = 1, 2, . . . , n)(A _i ⊆ U).

Los universos no son ´ unicos, es decir, se pueden construir diferentes universos para una misma familia de conjuntos.

Ejemplo

Dados los conjuntos A = {4, ª, 2, ¨, 8}, B = {0, 2, 4, 6, 8, ¨, ©, ª, «} y

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, ¨, ©, ª, «, _}, se tiene que B es un universo

para A, que C es un universo para A, que C es un universo para B, por lo

tanto C es un universo para A y B.

(23)

Igualdad I

Sean A y B dos conjuntos, A es igual a B si y s´ olo si los elementos del conjunto A son los mismos del conjunto B. La igualdad entre conjuntos se puede definir mediante el siguiente predicado

igual(A, B) ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) A = B es usado para notar el predicado igual(A, B).

(A = B) ⇔ (Ψ _A ⇔ Ψ _B ).

A 6= B es usado para denotar ¬ igual(A, B).

A B es usado para denotar que (A ⊆ B) ∧ (A 6= B), se dice que A es un

subconjunto propio de B o que A est´ a contenido estrictamente en B.

(24)

Igualdad II

Ejemplo

Sean A, B y C los siguientes conjuntos: A = {2, 4, 8, ¨, ª}, B = {4, ª, 2, ¨, 8} y C = {8, _, 2, ª, 4, ¨}, entonces

A ⊆ B B ⊆ A

por lo tanto A = B A ⊆ C

C * A

es decir A 6= C

de donde A C (A es un subconjunto propio de C )

(25)

Construcci´on de conjuntos

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(26)

Construcci´on de conjuntos Uni´on

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(27)

Uni´ on I

Sean A y B dos conjuntos, el conjunto uni´ on de A y B es el formado con los elementos que est´ an en A o est´ an en B. El conjunto uni´ on es ´ unico, se nota A ∪ B y se define formalmente mediante el siguiente predicado

Ψ _A∪B (x ) ⇔ x ∈ (A ∪ B) := (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) Utilizando notaci´ on por comprensi´ on

A ∪ B = x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) .

(28)

Uni´ on II

En la figura 2 se muestra una representaci´ on gr´ afica de la operaci´ on A ∪ B entre conjuntos.

A B

A ∪ B

A B

Figure : Representaci´ on del conjunto A ∪ B mediante diagramas de Venn.

(29)

Uni´ on III

Ejemplo

Sean A = {2, 4, 8, ¨, ª} y B = {1, 2, 3, 4, ¨, ª, _}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 8, ¨, ª, _}.

Propiedades

Sean A, B y C conjuntos.

1

A ∪ B = B ∪ A. (conmutatividad)

2

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ). (asociatividad)

(30)

Uni´ on IV

Ejemplo de uni´ on usando diagramas de Venn

Ejemplo

A = {2, 4, 8, ¨, ª}, B = {1, 2, 3, 4, ¨, ª, _}

A B

1 2 3 4

8 ª _

¨

Figure : Representaci´ on del conjunto A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 8, ¨, ª, _} mediante

diagramas de Venn.

(31)

Construcci´on de conjuntos Intersecci´on

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(32)

Intersecci´ on I

Sean A y B dos conjuntos, el conjunto intersecci´ on de A y B es el formado con los elementos que est´ an en A y est´ an en B. El conjunto intersecci´ on es ´ unico, se nota A ∩ B y se define formalmente mediante el siguiente predicado

Ψ _A∩B (x ) ⇔ x ∈ (A ∩ B) := (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) Utilizando notaci´ on por comprensi´ on

A ∩ B = x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) .

(33)

Intersecci´ on II

En la figura 4 se muestra una representaci´ on gr´ afica de la operaci´ on A ∩ B entre conjuntos.

A B

A ∩ B

A B

Figure : Representaci´ on del conjunto A ∩ B mediante diagramas de Venn.

(34)

Intersecci´ on III

Ejemplo

Sean A = {2, 4, 8, ¨, ª} y B = {1, 2, 3, 4, ¨, ª, _}, entonces A ∩ B = {2, 4, ¨, ª}.

Propiedades

Sean A, B y C conjuntos.

1

A ∩ B = B ∩ A. (conmutatividad)

2

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ). (asociatividad)

(35)

Intersecci´ on IV

Ejemplo de intersecci´ on usando diagramas de Venn

Ejemplo

A = {2, 4, 8, ¨, ª}, B = {1, 2, 3, 4, ¨, ª, _}

A B

2 4

¨ ª

Figure : Representaci´ on del conjunto A ∩ B = {2, 4, ¨, ª} mediante diagramas de

Venn.

(36)

Construcci´on de conjuntos Complemento

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(37)

Complemento I

Sean A y B dos conjuntos, el conjunto complemento de A relativo a B es el conjunto de todos los elementos que est´ an en B y que no est´ an en A. El conjunto complemento relativo es ´ unico, se nota A ^B y se define

formalmente mediante el siguiente predicado Ψ _A

^B

(x ) ⇔ x ∈

A ^B

:= (x ∈ B) ∧ (x / ∈ A) Utilizando notaci´ on por comprensi´ on

A ^B = x : (x ∈ B) ∧ (x / ∈ A) .

(38)

Complemento II

En la figura 6 se muestra una representaci´ on gr´ afica de la operaci´ on A ^B entre conjuntos.

A B

A ^B

A B

Figure : Representaci´ on del conjunto A

^B

mediante diagramas de Venn.

(39)

Complemento III

Ejemplo

Sean A = {2, 4, 8, ¨, ª} y B = {1, 2, 3, 4, ¨, ª, _}, entonces

A ^B = {1, 3, _} y B ^A = {8}.

(40)

Complemento IV

Ejemplo de complemento relativo usando diagramas de Venn I

Ejemplo

A = {2, 4, 8, ¨, ª}, B = {1, 2, 3, 4, ¨, ª, _}

A B

1 3 _

Figure : Representaci´ on del conjunto A

^B

= {1, 3, _} mediante diagramas de Venn.

(41)

Complemento V

Ejemplo de complemento relativo usando diagramas de Venn II

Ejemplo

A = {2, 4, 8, ¨, ª}, B = {1, 2, 3, 4, ¨, ª, _}

A B

8 Figure : Representaci´ on del conjunto B

^A

= {8} mediante diagramas de Venn.

(42)

Complemento VI

Cuando B es un universo para A, el conjunto A ^B es llamado complemento de A y es notado A.

En la figura 9 se muestra una representaci´ on gr´ afica de la operaci´ on A sobre un conjunto.

A

U

A

U

Figure : Representaci´ on del conjunto A mediante diagramas de Venn.

(43)

Complemento V

Ejemplo

Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, ¨, ©, ª, «, _} un universo para A = {2, 4, 8, ¨, ª}, entonces A = {1, 3, 5, 6, 7, 9, 0, ©, «, _}.

Propiedades

Sean A y B conjuntos, U un universo para A y B.

1

A ∪ A = U.

2

A ∩ A = ∅.

3

(A ∩ B) = A ∪ B.

4

(A ∪ B) = A ∩ B.

(44)

Complemento VI

Ejemplo de complemento usando diagramas de Venn

Ejemplo

A

1 3 5 6 7

9 0

©

« _

U

diagramas de Venn.

(45)

Construcci´on de conjuntos Conjunto de partes

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(46)

Construcci´on de conjuntos Conjunto de partes

Conjunto de partes ℘(A)

Sea A un conjunto, el conjunto partes (o potencia o exponencial) de A es el conjunto de todos los subconjuntos de A. El conjunto de partes es ´ unico, se nota ℘ (A) y se define formalmente mediante el siguiente predicado:

Ψ ℘ _(A) (X ) ⇔ X ∈ ℘ (A) := (X ⊆ A) Utilizando notaci´ on por comprensi´ on

℘ (A) = {X : X ⊆ A}.

Ejemplo

Para el conjunto A = {1, 2, 3} se tiene que

℘ _{(A) =} ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} .

(47)

Construcci´on de conjuntos Producto cartesiano

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(48)

Producto cartesiano I

Para todo par de objetos a y b existe un ´ unico objeto c, llamado pareja ordenada de a con b y notado c = (a, b), para el cual:

1

π ₁ (x , y ) =

( V , si x = c ∧ y = a;

F , en otro caso.

2

π 2 (x , y ) =

( V , si x = c ∧ y = b;

F , en otro caso.

Los objetos (a, b) y (b, a) no son iguales cuando a 6= b, ya que,

π 1 (a, b), a = V y π ₁ (b, a), a = F .

(49)

Producto cartesiano II

El conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto de todas las parejas ordenadas, cuya primer componente es un elemento del conjunto A y cuya segunda componente es un elemento del conjunto B. El conjunto producto cartesiano es ´ unico y se nota A × B. El conjunto producto cartesiano puede ser definido mediante el siguiente predicado

Ψ A×B (x , y ) ⇔ (x, y ) ∈ A × B := (x ∈ A) ∧ (y ∈ B) Utilizando notaci´ on por comprensi´ on

A × B = (x, y ) : (x ∈ A) ∧ (y ∈ B) .

(50)

Producto cartesiano III

Ejemplo

( ª, 1), (ª, 2), (ª, 3), («, 1), («, 2), («, 3) .

(51)

Construcci´on de conjuntos Producto cartesiano generalizado

Agenda

1 Conceptos b´ asicos Conjunto y elemento Especificaci´ on de conjuntos

Especificaci´ on por extensi´ on Especificaci´ on por comprensi´ on

El conjunto vac´ıo

Representaci´ on mediante diagramas de Venn Contenencia e igualdad

2 Construcci´ on de conjuntos Uni´ on

Intersecci´ on Complemento Conjunto de partes Producto cartesiano

Producto cartesiano generalizado

(52)

Producto cartesiano generalizado I

Sean A 1 , A 2 , . . . , A n , n conjuntos, el producto cartesiano generalizado de dichos conjuntos esta definido por las n-tuplas ordenadas (a ₁ , a ₂ , . . . , a _n ) con a i ∈ A _i , ∀i = 1, 2, 3, . . . , n.

Utilizando notaci´ on por comprensi´ on

A 1 × A ₂ × · · · × A _n = (a ₁ , a 2 , . . . , a n ) : (a _i ∈ A _i ), ∀i = 1, 2, 3, . . . , n .

(53)

Producto cartesiano generalizado II

Ejemplo

A × B × C = (1, ¨, +), (1, ¨, ∗), (1, ©, +), (1, ©, ∗), (1, ª, +), (1, ª, ∗), (1, «, +), (1, «, ∗), (2, ¨, +), (2, ¨, ∗), (2, ©, +), (2, ©, ∗),

(2, ª, +), (2, ª, ∗), (2, «, +), (2, «, ∗), (3, ¨, +), (3, ¨, ∗),

Teoria de conjuntos Conceptos y operaciones