Cuatro resistencias y un óhmetro

(1)

Cuatro resistencias y un óhmetro

Solución

1) En un primer experimento los valores reales de las resistencias medidas con el óhmetro son:

Ω 995 R

Ω; 275 R

Ω ; 562 R

Ω ; 102

R₁  ₂  ₃  ₄

Estos valores se dan como informativos para el solucionarlo, pero son desconocidos por el alumno.

Las cuatro resistencias en serie medidas con el óhmetro







R R R 1929

R₁ ₂ ₃ ₄

Este valor se le da al alumno

Las lecturas del óhmetro en los terminales AB, BC , CD y DA son

Ω 82 4 R Ω ; 5 23 R

Ω ; 397 R

Ω; 5 9

R_AB _BC _CD  _DA 

Cuando el óhmetro se coloca entre las terminales AB, R1 está en paralelo con la suma de R2+R3+R4=1929-R1

2 1 1 1

1 3 2 1

1 1929R R

1929 R

1929 1 R

1 R R R

1 R

1 95

1

 

 

 

 





 



 







 











2 100 1729 R 1929

Ω ; 2 1829

1729 R 1929

soluciones 2

95 1929 4 1929 R 1929

0 95 1929 R

1929 R

1 1

2 1

1 2

1

Cuando el óhmetro se coloca entre las terminales BC, R2 está en paralelo con la suma de R1+R3+R4=1929-R2

Ω 2 559

811 R 1929

Ω; 2 1370

811 R 1929

0 397 1929 R

929 1

R²₂  ₂     ₂    ₂   

Comparando con los valores anteriores

1829+1370> 1929 ; 1829+559> 1929

Al ser la suma de las dos resistencias mayor que las cuatro en serie no es correcta la solución 1829  La solución correcta R

1

= 100 

1370+100<1929 ¸ 559+100< 1929

Por ahora no podemos decidir cuál de las dos soluciones de R

2

es la correcta, puede ser 1370  o 559  , ya que la suma de ambas es menor que la resistencia de las cuatro en serie..

Cuando el óhmetro se coloca entre las terminales CD, R3 está en paralelo con la suma de R1+R2+R4=1929-R3

(2)



 





 







 274

2 1381 R 1929

; 2 1655

1381 R 1929

; 0 235 1929 1929R

R²₃ ₃ ₃ ₃

Comparando con los valores anteriores

1655+1370>1929 ; 1655+599>1863 . La solución 1655 no es correcta ; es correcta R

₃

=274

Ahora comprobamos el valor correcto de R

₂

a partir de R

₁

=100  y R

3

=274  1370+100+274< 1929 ; 559+100+274< 1929

Por el momento no podemos deducir cuál es la solución de R

2

., ya que las dos soluciones de R2 suman menos que 1929.

Cuando el óhmetro se coloca entre las terminales DA, R4 está en paralelo con la suma de R1+R2+R3=1929-R4

2 44 1929 2

482 1929 4 1929 R 1929

; 0 482 1929 1929R

R

2 4

4 2

4

 





 









Las dos soluciones son 987  y 943 

Observe que si la lectura del óhmetro hubiese sido 483 , una diferencia de solamente un 0,2% entonces nos hubiese salido un número imaginario. La diferencia es mucho menor que el error del óhmetro

2

5987 1929

2

483 1929 4 1929 R 1929

; 0 483 1929 1929R

R

2 4

4 2

4



 





 









. Tanto si salen soluciones reales como imaginarias debemos comprobar con las otras medidas.

Veamos con las otras medidas, sabemos que R

₁

= 100  , R

3

=274  , R

2

es 1370  o 559 y no sabemos el valor de R

4

La resistencia R

_BD

= 474  . Si nos fijamos en el circuito R

₁

= 100  y R

₄

están serie y también están en serie R

₂

y R

₃

= 274 y ambos conjuntos en paralelo

2

4 274 R

1 R

100 1 474

1

 

 

(1)

La resistencia R

_CA

= 434  . Si nos fijamos en el circuito R

1

= 100  y R

2

están serie y también están en serie R

3

=274  y R

4

y ambos conjuntos en paralelo

4

2 274 R

1 R

100 1 434

1

 

 

(2)

En lugar de intentar resolver el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2) vamos a sustituir en (1) los dos posibles valores de R

₂

., que son 1370  y 559 .













 





 

 

 



566 R

666 R

100

474 1644

1170 1644

1 474

1 R 100

1 1370

274 1 R

100 1 474

1

4 4

(3)









 





 

 

 



1000 R

1100 R

100

474 833

359 833

1 474

1 R

100 1 559

274 1 R

100 1 474

1

4 4

La primera hipótesis da como valores R

1

= 100  , R

2

=1370  , R

3

=274  y R

4

=566 

   

   

Esta solución no es válida

La segunda hipótesis da como valores R

₁

= 100  , R

₂

=559  , R

₃

=274  y R

₄

=1000 



Aunque la suma es ligeramente mayor entra dentro de los errores del aparato

Los valores son R

₁

= 100  , R

₂

=559  , R

₃

=274  y R

₄

=1000 

Podemos hacer una comprobación en la ecuación (2) sustituyendo R

4

= 1000  y calculando R

2

.











 





 

 

 



558 R

658 R

100

434 1274

840 1274

1 434

1 R

100 1 1000

274 1 R

100 1 434

1

2 2

Veamos ahora los errores comparándolos con las medidas directas

Para R

1

100 2% 102

100 102  

Para R

2

100 0,5% 562

559 562  

Para R

3

100 0,4% 273

274 273  

Para R

2

100 0,5% 995

1000

995  

2) En un segundo experimento los valores nominales de las resistencias son

Ω 2 R Ω ; 5 R Ω ; 10 R Ω; 1,0

R₁  ₂  ₃  ₄

Los valores reales de las resistencias anteriores medidas con el óhmetro

Ω 1,5 R Ω ; 5,2 R

Ω ; 10.6 R

Ω; 1,0

R₁  ₂  ₃  ₄

Estos valores se dan a título informativo pero deben ser desconocidos por el alumno cuando realice el experimento.

La suma de las cuatro resistencias en serie medidas con el óhmetro

(4)







R R R 18,3

R ₂ ₃ ₄

Este dato debe suministrársele al alumno.

Óhmetro colocado entre los terminales A y B R

_AB

=1,0 

Óhmetro colocado entre los terminales B y C R

BC

= 4,4 

Óhmetro colocado entre los terminales C y D R

_CD

=3,9 



Óhmetro colocado entre los terminales D y A R

DA

=1,4 

 

Planteamiento de las ecuaciones

Terminales A y B

   

4 3 2 1

4 3 1 2

AB 4

3 2 1

4 3 2 1 4 3 2 1

AB R R R R

R R R R R

R R R R

R R R R R R R

1 R

1



 

 



 



 



Según el dato suministrado R

₁

 R

₂

 R

₃

 R

₄

 18,3 ; R

₂

 R

₃

 R

₄

 18,3  R

₁

 

Ω 2 1,05

16,2 R 18,3

Ω ; 2 17,3

16,2 R 18,3

2

18,3 4 18,3 R 18,3

0 18,3 R

18,3 R

18,3 1 R 18,3 R R

1 1

2 1

1 2

1 1

1 AB

 



 









 











 



Terminales B y C

Por analogía con el resultado anterior    

18,3 4,4 R 18,3 R R R R R

R R R

R R ² ²

4 3 2 1

BC   



 

Ω 2 7,4

3,58 R 18,3

Ω ; 2 10,9

3,58 R 18,3

2

18,3 4,4 4 18,3 R 18,3

0 4,4 18,3 R

18,3 R

2 2

2

 



 





 





 











Comparamos estos resultados con los anteriores

17,3+10,9> 18,3 ; 17,3+7,4>18,3 la solución R

₁

=17,3 no es correcta, luego La correcta es R

1

= 1,05 

1,05 +10,9< 18,3 ; 1,05+7,4< 18,3

Por ahora no podemos decidir cuál de las dos soluciones de R

₂

es la correcta.

Terminales C y D

(5)

   

Ω 2 5,7

7,0 R 18,3

Ω; 2 12,7

7,0 R 18,3

2

18,3 3,9 4 18,3 R 18,3

0 3,9 18,3 18,3R

R 18,3 3,9

R 18,3 R R R R R

R R R R R

3 3

2 3

3 2

3 3

3 4 3 2 1

4 2 1 3 CD

 



 



 





 













 

 



 

Comparando con los valores anteriores

10,9+12,7>18,3 7,4+12,7> 18,3 La solución R

₃

=12,7 es incorrecta.

La correcta es R

3

=5,7 

  

Todavía no podemos decidir qué solución es la correcta para R

2

.

Terminales D y A

   

Ω 6 , 2 1

15,2 R 18,3

Ω; 2 16,8

15,2 R 18,3

2

18,3 1,4 4 18,3 R 18,3

0 1,4 18,3 18,3R

R 18,3 1,4

R 18,3 R R R R R

R R R R R

3 3

2 3

4 2

4 4

4

4 3 2 1

3 2 1 4 DA

 



 



 





 













 

 



 

Comparando con los valores anteriores

1,05+10,9+5,7+16,8=34,5>18,3 1,05+10,9+5,7+1,6= 19,3>18,3 1,05+ 7,4+5,7+16,8=30,9 > 18,3 1,05+7,4+5,7+1,6=15,8 <18,3

Del resultado anterior se observa que si R

2

=10,9  la diferencia en % del valor dado es

% 5 , 5 3 100

, 18

3 , 18 3 ,

19   

Si R

2

=7,4  la diferencia en % respecto del valor dado es:

% 7 , 13 3 100

, 18

3 , 18 8 ,

15   

A la vista de estas diferencias parece más probable que el resultado sea

Ω 1,6 R

Ω ; 5,7 R

Ω ; 1,0,9 Ω R

1,1

R₁  ₂  ₃  ₄ 

Utilizamos las otras medidas para ver qué resultado se confirma Óhmetro colocado en las terminales B y D. R

BD

=1,9 



En este caso as resistencias R

2

y R

3

están en serie y también las resistencias R

1

y R

4 ,

a su vez estos conjuntos están en paralelo

(6)

Ω 2,7 2,2

13,1 2,7 R´ 13,1

1,6 1,1

1 5,7

7,4 1 R´

1

Ω 2,7 2,3

16,6 2,7 R´ 16,6

1,6 1,1

1 5,7

10,9 1 R´

1

 

 

 

 



 

 

 

 



Según este resultado no es posible confirmar el valor de R

2

. Öhmetro colocado en las terminales C y A R

CA

= 4,4 

En este caso as resistencias R

1

y R

2

están en serie y también las resistencias R

3

y R

4 ,

a su vez estos conjuntos están en paralelo

Ω 9 , 7,3 3 8,5

7,3 5 , R´ 8 1,6

5,7 1 7,4

1,1 1 R´

1

Ω 3 4,5

, 7 12

7,3 R´ 12

1,6 5,7

1 10,9

1,1 1 R´

1

 

 

 

 



 



 

 

 



A la vista de este resultado y el anterior el resultado final es:

Ω 1,6 R

Ω ; 5,7 R

Ω ; 10,9 Ω R

1,05

R₁  ₂  ₃  ₄ 

Veamos ahora los errores comparándolos con las medidas directas

Para R

₁

100 5% 0

, 1

05 , 1 0 ,

1   

Para R

₂

100 2,8% 6

, 10

9 , 10 6 ,

10   

Para R

3

100 7,5% 3

, 5

7 , 5 3 ,

5   

Para R

2

100 6,6% 5

, 1

6 , 1 5 ,

1   

De cara a plantear el experimento a los alumnos parece mejor hacerlo con resistencias parecidas a las del experimento 1. También es aconsejable que todas las medidas se hagan en la misma escala del óhmetro.