República Bolivariana de Venezuela La Universidad del Zulia
Facultad de Ingeniería Ciclo Básico
Departamento de Física Asignatura: Física II
LA LEY DE GAUSS
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
Del Capítulo 3 del Libro “Interacción Eléctrica” del Profesor Douglas Figueroa Volumen 5 – Serie: FÍSICA Para Ciencias e Ingeniería
En este capítulo se desarrollan aspectos relacionados con flujo del campo eléctrico, la ley de Gauss, aplicaciones de la ley de Gauss y conductores en equilibrio electrostático .
En este trabajo encontrarán Los Principios Fundamentales del Tema “La Ley de Gauss”, que representa parte del Capítulo 3 del Libro “Interacción Eléctrica”, de la Serie: FÍSICA Para Ciencias e Ingeniería, Volumen 5, del Profesor de la Universidad Simón Bolívar, Dr. Douglas Figueroa. Esta serie está dirigida a estudiantes de los cursos introductorios de Física Universitaria.
El Profesor Figueroa presenta en cada uno de sus libros, tres secciones:
Principios Fundamentales, Problemas Resueltos y Verifica tu Comprensión.
Con la sección de Principios Fundamentales, el autor presenta la teoría, que es expuesta en forma lógica, clara y concisa, tratando de destacar los conceptos básicos y las leyes generales, para permitir una rápida revisión.
Estos Principios Fundamentales se presenta bajo este formato digital, con la intención de captar la atención del estudiantado que está inmerso en el mundo de las TIC's, y que puede tomar este trabajo como herramienta de estudio para su curso de Física II. Cada diapositiva cuenta con animación para que cada estudiante lleve la secuencia en la que debe leer el contenido.
INTRODUCCIÓN
LA LEY DE GAUSS
En principio, mediante la ley de Coulomb podemos calcular el campo eléctrico generado por cualquier distribución de cargas en reposo, sin embargo, en muchas situaciones el cálculo podría resultar muy tedioso y las integrales tan complicadas que se requiere el uso de computadoras para evaluarlas numéricamente.
Existen configuraciones de cargas que presentan altas simetrías, tales como un cascarón esférico o una línea infinita, para las cuales se puede calcular el campo eléctrico con extraordinaria facilidad usando un recurso alternativo más ingenioso, conocido como la ley de Gauss.
En realidad, la ley de Gauss es una consecuencia de la ley de Coulomb, ya que se basa en el hecho de que la fuerza electrostática entre cargas puntuales depende del cuadrado de la distancia.
1
LA LEY DE GAUSS
La ley de Gauss relaciona el flujo del campo eléctrico sobre cualquier superficie cerrada con la suma algebraica de las cargas incluidas dentro de dicha superficie.
Aunque es muy pequeño el número de situaciones que se pueden abordar directamente mediante la ley de Gauss, esta ley es más fundamental que la ley de Coulomb ya que permite profundizar sobre la naturaleza de los campos eléctricos y comprender problemas más complicados como ciertas propiedades del campo eléctrico en conductores, y cómo se distribuyen las cargas en estos materiales.
2
FLUJO DE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
El flujo de un campo eléctrico uniforme a través de una superficie plana se define como el producto de la componente de normal a dicha superficie, multiplicada por su área:
En términos del producto escalar, el flujo es , donde el vector área tiene módulo igual al área de la superficie y dirección normal a dicha superficie.
El flujo del campo eléctrico es una medida del número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie.
La unidad de SI del flujo del campo eléctrico es
3
cos
E E A E A
E
A
E
E
C m N
2A
FLUJO DE UN CAMPO NO UNIFORME
En general, el campo eléctrico puede variar de un punto a otro en una superficie.
El diferencial de flujo sobre un elemento de área es:
El flujo eléctrico total sobre una superficie, S, será la suma (integral) sobre todos los elementos de superficie:
En este caso, se puede considerar que la superficie está dividida en un gran número de elementos tan pequeños que, sobre estos se puede despreciar la variación del campo eléctrico.
4
A
d d E E d A
S
E E d A
El flujo sobre un elemento de superficie puede ser positivo, negativo o cero.
Si el flujo es saliente, se considera positivo y si es entrante, se considera negativo.
El flujo total sobre una superficie cerrada podría ser nulo, como se ilustra en la figura anterior.
En este caso el número de líneas de campo que entran a la superficie es igual al número de líneas que salen.
FLUJO DE UN CAMPO NO UNIFORME 5
Si θ < /2 , es positivo
Si θ = /2 , es nulo
Si θ > /2 , es negativo
FLUJO EN ESFERA CENTRADA EN UNA CARGA
Como , se obtiene:
Es decir, el flujo que atraviesa la superficie esférica resulta ser la carga encerrada por dicha superficie dividida por ε
0y el resultado no depende del radio r de la esfera.
Consideremos el campo eléctrico generado por una carga puntual Q, el cual sabemos que es radial y vale E = kQ/r
2.
Calculemos el flujo de a través de una esfera imaginaria de radio r y concéntrica con Q.
Si es un vector unitario radial, el elemento de área se representa por y el flujo es:
6
9 2 2
0
4 9 10
1
C m N
2 2 12
0
8 , 85 10
C m N
0
4
0 Q Q
E
r dA
r r k Q A
d E
esfera
E
2ˆ ˆ
4
01
k
E rˆ
dA r ˆ
2 0
2
4
Ek r Q dA k r Q
LA LEY DE GAUSS
Observe que, aunque el campo total en cada punto de la superficie gaussiana es debido a todas las cargas, tanto las internas como las externas, el flujo eléctrico neto a través de esa superficie depende sólo de las cargas internas.
Se puede generalizar el resultado anterior a cualquier superficie, y mostrar que el flujo sobre una superficie cerrada que rodea a una carga es proporcional al valor de ésta pero no depende de la forma de la superficie ni de la posición de la carga. La ley de Gauss establece que:
El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie hipotética cerrada es igual a la carga neta encerrada por esta superficie dividida por ε
0En la figura se muestran tres superficies cerradas, SA,SB, SC, que rodean distintas cantidades de carga y el flujo neto a través de cada una de ellas estará determinado por la carga neta (suma algebraica) de las cargas que están encerradas.
7
0
A Q d E
S
E
PRUEBA DE LA LEY DE GAUSS
Sea una carga puntual Q rodeada por una superficie cerrada de forma arbitraria. El elemento de área indicado, , forma un ángulo :
El flujo de a través de este elemento de área es:
La cantidad (ΔA cos θ / r
2) es justamente el ángulo sólido ΔΩ subtendido en la carga Q por el elemento de área ΔA, que es el mismo ángulo sólido subtendido por el elemento de área de una superficie esférica de cualquier radio:
8
n A
E
ˆ ˆ
n ˆ A
E
n A
r r Q
k
2ˆ ˆ
2
cos r
Q A
k
2
cos r Q A
k
k Q
PRUEBA DE LA LEY DE GAUSS
Que es la ley de Gauss. El resultado es independiente de la forma de la superficie cerrada, así como de la posición de la carga dentro de la superficie.
El flujo total en toda la superficie cerrada será la suma de los flujos ΔΦ, es decir, kQ veces el ángulo sólido total subtendido por la superficie cerrada en Q, que es 4 esterorradianes
9
n dA
S E
ˆ
k Q S d
0
4
k Q Q
Identifique la simetría espacial de la distribución de carga y la del campo que ésta genera.
Supongamos que la distribución de cargas está dada y se desea calcular el campo eléctrico en un punto dado. Para facilitar el cálculo se procede de la siguiente manera:
COMO CALCULAR CON LA LEY DE GAUSS 10
1 2 3
4 Finalmente, evalúe la carga neta encerrada por la superficie completa y aplique la ley de Gauss.
Elija cuidadosamente una superficie imaginaria que pase por el punto dado y además, sea apropiada a la simetría. Ésta se denomina superficie gaussiana.
Divida la superficie en pedazos (planos, cilindros,…) de modo que en cada integral, el vector esté orientado para que sea posible una de estas dos condiciones:
(carga continua)
(carga discreta)
E
E
0 :
entonces ,
Si
a) E d A E d A
entonces ,
y //
Si
b) E d A E Cte
EA A
d
E
V
Q
neta dV
Ni
Q
i 1Q
netaSIMETRÍA ESFÉRICA
11
Una distribución de carga tiene simetría esférica si depende únicamente de la distancia a un punto dado. El campo es radial y la superficie gaussiana apropiada es una esfera de radio r, concéntrica con la distribución.
La superficie es perpendicular al campo y como éste es de módulo constante en todos los puntos de la esfera, el flujo es:
La carga neta encerrada puede ser calculada para cada distribución de carga esférica específica y esto permite determinar el campo eléctrico en cada caso particular.
Cascarón esférico: Para calcular el campo dentro y fuera de un cascarón esférico de radio R y carga uniforme Q, las superficies gaussianas son esferas concéntricas:
En el interior (r < R)
En el exterior (r > R)
E
E
Area E 4 r
2
E
E
4 0
0
2
E r E
Q
enc
r
2k Q E
Q
Q
enc
SIMETRÍA CILÍNDRICA
12
Una distribución de carga tiene simetría cilíndrica si depende de la distancia a una línea recta. Para calcular el campo a una distancia radial r, la superficie gaussiana apropiada es un cilindro de largo L y radio r.
En las dos tapas planas del cilindro el flujo es cero, por ser el vector tangente a las mismas. En la parte cilíndrica el campo es perpendicular y de módulo constante, el flujo es:
La carga neta encerrada por este cilindro imaginario depende de la situación particular.
Línea de carga: Para calcular el campo fuera de una recta de carga muy larga, con densidad lineal λ(C/m), escogemos un cilindro gaussiano de radio r y largo finito, L. La carga neta encerrada es Q
enc= λL y aplcando la ley de Gauss, se obtiene:
E
Area E r L
E
E
2
0
2
r L L
E
E r
2
0
SIMETRÍA PLANA
13
Hoja infinita de carga: Para calcular el campo eléctrico a una distancia x de un plano infinito no conductor con carga uniforme por unidad de área σ(C/m
2), elegimos como superficie gaussiana una cajita cilíndrica con sus tapas planas paralelas y a igual distancia x del plano. En los laterales de la caja, por ser el vector tangente a la superficie, el flujo es cero. En las tapas planas a cada lado, por simetría, los campos son de sentidos opuestos y de igual módulo. El flujo neto es dos veces el valor del flujo en cada tapa:
Para una distribución de carga con simetría plana el campo eléctrico resulta uniforme a una distancia fija de un plano dado.
Siendo A el área de cada tapa. Igualando el flujo con la carga neta encerrada, Q
enc= σA, y dividida por ε
0, se obtiene el campo eléctrico:
E
A
E
E
2
0
2
A A
E
2
0
E
LA LEY DE GAUSS Y LOS CONDUCTORES
14
Los materiales conductores tales como los metales contienen partículas cargadas (electrones) que no están unidos a ningún átomo y pueden moverse con entera libertad dentro del material. A partir de la ley de Gauss, se puede inferir información interesante sobre las cargas y campos asociados a un conductor cuando está en equilibrio electrostático.
1) En equilibrio electrostático, en cualquier punto del interior de un conductor.
Demostración: Si éste no fuera el caso, las cargas libres se acelerarían bajo la acción del campo eléctrico, violando así la suposición de que estaban en equilibrio. Si colocamos un conductor en un campo , originado por cargas externas, las cargas libres del conductor se distribuirán en su superficie de tal manera que cuando se alcanza el equilibrio, el campo interno propio , que ellas generan anula al campo externo dando un campo resultante nulo dentro del conductor.
0 E
Eint
Eext
LA LEY DE GAUSS Y LOS CONDUCTORES
15
2) Cualquier carga neta en un conductor aislado debe residir enteramente sobre su superficie.
Demostración: Consideremos una superficie gaussiana arbitraria que esté en el interior del conductor, y tan cerca de la superficie como queramos. Como en equilibrio el campo es nulo en todos los puntos de esta superficie gaussiana, el flujo neto a través de dicha superficie también debe ser nulo.
La ley de Gauss implica que el volumen definido por dicha superficie no debe contener ninguna carga neta. Por consiguiente, si existe algún exceso de carga en el conductor, éste debe residir enteramente en su superficie
Una situación interesante se presenta cuando el conductor tiene una cavidad interna. Suponga que colocamos una carga puntual +Q dentro de la cavidad. Si rodeamos la cavidad con una superficie gaussiana cerca de sus paredes pero adentro del cuerpo conductor, el flujo será cero en esa superficie, por ser E=0 en el interior.
De acuerdo con la ley de Gauss la carga neta encerrada por la superficie debe ser cero. Esto implica que debe haber una carga inducida –Q en la superficie de la cavidad. Como el conductor es neutro, su superficie externa debe adquirir una carga igual y opuesta, +Q.
LA LEY DE GAUSS Y LOS CONDUCTORES
16
3) En la superficie de un conductor, es perpendicular a dicha superficie.
4) El campo en la superficie de un conductor tiene un valor σ/ε0, donde σ es la densidad de carga local.
Para hallar el módulo del campo eléctrico, se selecciona un pequeño cilindro gaussiano que tenga una tapa plana afuera y la otra tapa adentro del conductor. No hay flujo en la pared cilíndrica, por ser el vector tangente a ella, ni tampoco dentro del conductor donde el campo es nulo.
Demostración: El campo justo en la superficie del conductor debe ser perpendicular a dicha superficie, ya que si hubiese una componente tangencial de , ésta provocaría un movimiento de las cargas libres en la superficie, lo cual contradice la suposición de equilibrio electrostático. Las líneas de campo eléctrico siempre intersecan la superficie de un conductor a un ángulo recto.
El flujo neto que sale de la caja es: Φ=EA, siendo A el área de la tapa plana. Aplicando la ley de Gauss
:
De modo que el campo eléctrico justo en la superficie del conductor es perpendicular a ésta y tiene un valor
:
Observe que el campo en la superficie del conductor, (σ/ε0) es justamente el doble del campo producido por una hoja infinita de carga, (σ/2ε0).
E
E
E E
0 A A
E
0
E
DISCONTINUIDAD DE E n
Ya hemos visto que el campo eléctrico correspondiente a un plano infinito con densidad de carga σ pasa de tener un valor E = - σ/2ε
0en un lado del plano a un valor E = + σ/2ε
0al otro lado, es decir, es discontinuo en una cantidad ΔE = σ/ε
0. Similarmente para una superficie metálica portadora de una densidad de carga σ, el campo eléctrico es cero dentro del metal y vale σ/ε
0afuera.
17
Este es un resultado general en la superficie portadora de una densidad de carga σ, es decir, la componente normal de es discontinua en el valor σ/ε
0.
Sin embargo, esto no sucede en la superficie de una distribución volumétrica de carga, donde el valor de si es continuo.
En una superficie con densidad de carga σ la componente normal de es discontinuo en el valor:
E
E
E
0 1
2
nn
E
E
Profesor Titular en el Departamento de Física de la Universidad Simón Bolívar.
Ha publicado más de 30 trabajos en revistas internacionales arbitradas en las áreas de Transporte Iónico, RMN y Relajación Dielétrica en Sólidos.
Fue profesor e investigador visitante en la U.S. Naval Academy, Annapolis, MD. Coordina el programa de Demostraciones de Física en la USB. Ha sido miembro del Comité Nacional de la Olimpiada Venezolana de Física (CENAMEC) y delegado en Olimpiadas Iberoaméricas de Física.
Galardonado con las siguientes distinciones: Premio Simón Rodríguez de la Asociación de Profesores de la USB a la Excelencia a la Docencia (1992), Premio Anual de la USB a la Labor Docente (1997), Premio anual de la USB al Mejor Libro de Texto (1997), Premio USB – Procter &
Gamble a la Excelencia Docente (1997), Premio Anual a la Destacada Labor Docente, USB (1999).
Fuente: INTERACCIÓN ELÉCTRICA. PRINCIPIOS, PREGUNTAS Y PROBLEMAS
