Determine la distancia del punto a la recta con ecuaci´on L : −x + 1 2 = 3y + 2 3 = z − 3 (4 puntos) 4

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INSTITUTO TECNOL ´OGICO DE COSTA RICA 18 de junio de 2007 ESCUELA DE MATEM ´ATICA Total: 35 puntos C ´ALCULO Y ´ALGEBRA LINEAL Tiempo: 2 h. 10 m.

TERCER EXAMEN PARCIAL (Ex. de reposicion)

1. Determine las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por el punto (2, 3, −1) y que adem´as pasa por el punto de intersecci´on de la recta:

L1 : −x + 1

2 = y − 1

2 = z + 3

con el plano 2x − y + 3z = 1. (4 puntos)

2. Determine la distancia entre el plano π1 : 2x − y + 3z = 2 y el

plano π2 : 4x − 2y + 6z = 7. (4 puntos)

3. Determine la distancia del punto (1, −2, 3) a la recta con ecuaci´on L : −x + 1

2 = 3y + 2

3 = z − 3

(4 puntos) 4. Determine la ecuaci´on del plano que cumple con:

(a) contiene al punto de intersecci´on de las rectas L1 y L2 donde L1 : −x + 3 = y − 7

5 = z + 2

L2 =

x = 2 − t y = 3 + 2t z = −1 + t

(b) es perpendicular a la recta que contiene a los puntos (1, −1, 2) y (−3, 5, 2).

(5 puntos)

(2)

5. Considere los puntos P = (1, −2, 3), Q = (2, 1, 2) y R = (1, −1, 5) (a) Determine el ´area del tri´angulo cuyos v´ertices son P , Q, R.

(2 puntos) (b) Determine la ecuaci´on del plano que contiene a P , Q y R.

(2 puntos) (c) Determine la ecuaci´on de la recta que contiene a P y R.

(2 puntos) 6. Dado el vector u = (2, 1, 2) de IR3, encuentre un vector w de IR3,

que cumpla:

(a) P roywu = ³32, 1, −32´ (b) El ´angulo entre u y w es π3

(c) u · w = 2||u|| (5 puntos)

7. Sea p(x) = x3 + 2x2 + 4x − 3 un vector del espacio vectorial P3. Escriba al vector p(x) como combinaci´on lineal de los vectores u = x3 − 2x + 1, v = x3 + x2 + x − 1, w = x2 + 3x − 2.

(4 puntos) 8. Determine si el conjunto de vectores

{(1, 1, −2), (2, 3, −1), (0, 1, −3), (−1, −2, −1)}

generan o no al espacio vectorial IR3.

(3 puntos)

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