Raíces Se entiende por raíz de un número a aquel que elevado al índice de la raíz, da como resultado la cantidad sub –

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“Excelencia en Libertad, autonomía en el saber”

Departamento de Matemática Profesor: Patricio Arévalo Sánchez

1

Raíces

Se entiende por raíz de un número a aquel que elevado al índice de la raíz, da como resultado la cantidad sub – radical.

a: cantidad sub – radical o radical

b

n

a  n: índice de la raíz

b

ⁿ

= a

*Observación: Cuando una raíz no tiene ningún número en su índice, se da por hecho que su índice es 2, es decir es una raíz cuadrada.

Ejemplos: 1) ³ 27 = - 3 porque (- 3)³ = - 27 2) ⁵ 32 = - 2 porque (- 2)⁵ = - 32 3) 10.000 = 100 porque 100² = 10.000 4) ³ 0,125 = - 0,5 porque (- 0,5)³ = - 0,125

5) 15

4 225

16  porque

2

15 4 



 



 =

22516

Propiedades de las raíces

1) ⁿ

m

n m

a

a 

Potencia de exponente fraccionario

2) ⁿ

a 

ⁿ

b 

ⁿ

c 

ⁿ

abc

Multiplicación de raíces de igual índice (Si se aplica a la inversa es la propiedad de descomposición de una raíz)

3)^{n n n n}

b b a

a b

a :  : 

División de raíces de igual índice (Si se aplica a la inversa, también se descompone la raíz en una fracción o división)

4) ^{m n p}

a 

^mnp

a

Raíz de una raíz

5)

a d b d c d

ⁿ



ⁿ



ⁿ

   (a b c) d

ⁿ Suma de raíces (Deben tener radicales e índices iguales)

6)

a 

ⁿ

b 

ⁿ

a

ⁿ

b

Introducción de cantidades a la raíz

Si la raíz está expresada como:

n

a

c

, c es el coeficiente de la raíz

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2 Ejemplos:

1) Expresar las siguientes raíces como potencias

a) ^0,16

a

^0,125 = ^0,16 125 , 0

a

= ⁶ 1 18

a

= ⁶

:1 8 1

a

= ⁶

1 8 1

a

= ⁸

6

a

= ⁴

3

a

b) ^x1

a

^x22x1 = ¹ 1

2 2





 x

x x

a

=

 

1 1²



 x x

a

=

a

^x1

2) Reducir la cantidad sub – radical

a) ⁵

32 m

¹⁰

n

⁶ = ⁵

32

⁵

m

¹⁰⁵

n

⁵

 n

= ^{5 5 55}

10

2 m n n

=

2 m

²

n

⁵

n

b) ³

16 ( a  b )

¹² = ³

16

³

( a  b )

¹² = ³

8  2

³

( a  b )

¹²

= ³

12 3

3

8 2 (

ab

)

=

2

³

2 ( a  b )

⁴

c) ₄

 

2 10

4x

b a

= _{4 2}

4 10

4 ) (

x b a 

= 4 2

4 10

) 2 (

) (

x b a 

=

4 2 2 5

) 2 (

) (

x b a

=

2 1

5

) 2 (

) (

x b a

= x

b a

2 ) (

 ⁵

=

x

b a

2 ) ( 

⁵

=

3) Realizar las siguientes operaciones:

a)

3 2  2 8  3 48

=

3 2  2 4  2  3 16  3

=

3 2  2  2 2  3  4 3

=

3 2



4 2



12 3

=

7 2  12 3

b) ³ 545³ 2³16 = ³

27



2



5

³

2

³

8



2

= ³

27

³

2



5

³

2

³

8

³

2

=

=

3

³

2



5

³

2



2

³

2

= 0³

2

= 0

c)

21

³

61



11

³

8

=

21 

³

61  11  2

₌

21 

³

61  9

=

21 

³

61  3

=

21

³

64

=

21 4

=

25

= 5

Debe aplicar la propiedad de potencias de exponente fraccionario

Debe aplicar la propiedad de descomposición de una raíz

Debe aplicar descomposición de una raíz y suma de raíces

Debe calcular las raíces ordenadamente

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3 4) Expresa como una sola raíz

a) ^{5 3}

a

⁴ ₌ ^532

a

⁴ = ³⁰

a

⁴ = ¹⁵

a

²

b) ³ (ab)⁵ a²3a²b3ab²b³ = ³

( a  b )

⁵

( a  b )

³

= ³

( a  b )

¹⁰

( a  b )

³ = ⁶

( a  b )

¹³

5) Realiza las siguientes multiplicaciones:

a)

5  7  5  7

=

( 5  7 )( 5  7 )

₌

25  7

=

18

=

3 2

b)

2 3 ( 7 5  5 3 )

=

2 3  7 5  2 3  5 3

=

2  7 3  5  2  5 3

² =

3 10 15

14  

₌

30  14 15

c)

( 2  3 )( 2  2 3 )

=

2  2  2  2 3  3  2  3  2 3

=

2

2

2 2 3 6 2 3

2    

=

2  2 6  6  2  3

=

2  6  6

=

 4  6

Multiplicación y división de raíces con distinto índice

Para multiplicar raíces con distinto índice, se debe calcular el mínimo común múltiplo entre los índices de las raíces y luego amplificar los índices y radicales como potencias, quedando igualados los índices de las raíces y así poder realizar la multiplicación o división.

Ejemplos:

1) ³

4  3

₌ ^32

4

²



^23

3

³ = ⁶

16 

⁶

27

= ⁶

16  27

= ⁶

432

2)

3 2 ab  4

⁴

8 a

³ =

3

⁴

( 2 ab )

²

 4

⁴

8 a

³ =

3  4 

⁴

4 a

²

b

²⁴

8 a

³

=

12

⁴

4 a

²

b

²

 8 a

³ =

12

⁴

32 a

⁵

b

²

3) ³ 2: 2 = ^322² :^232³= ⁶ 2² :⁶ 2³ = ⁶ ₃²

22 = ⁶ 2^1 = ⁶ 1 2 4) 9x:³ 3x² = ^23(9x)³ :^32(3x²)² = ^{6 3 6 4 6} ₄³

9 9 729

:

729 x

x x

x  = ⁶ 81

x

Debe aplicar la propiedad raíz de una raíz e

introducción de cantidades en una raíz

Debe aplicar multiplicación de raíces

Suma por diferencia

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4 Ejercicios

1) Expresar las siguientes raíces como potencias:

a) ^0,2

m

⁴ b) ^{9 14 5 6}

2 2



5

 x  

x x x

c) ^m1

( x  1 )

^m1 _d) ⁵ 5 10 15



b

x

a

2) Reducir la cantidad sub–radical a) ⁶ ₃¹⁰

27 ) 4 (

x

x b) ⁴

81 m

⁸

n

⁶ c)

) 7 )(

21 4

(

) 3 )(

9 (

2 2











x x

x

x

x d) ^{3 3 0,6}

2

125 ,

0 h k

3) Realizar las siguientes operaciones

a)

2 72



9 18



4 32



2 80

b) 1252 484 322 98 c) ³

250  4

³

24  3

³

128  3

³

81

d) ⁵ 30³ 2 46 100

4) Expresar como una sola raíz

a) 2 2 2 b)

2 m m m

c)

5 2 2

3 9

2 ) (

b ab a

b a





 d)

4 3 2

6 2

35 12

49





 x x

x

5. Resuelva los siguientes ejercicios, reduciendo al máximo cada expresión

a)

2 2 4

9 5 27 , 0

9 3 1







 





 b)

4 2

3 3

5 5

a a a a

m m m

m   c)

 



^{2 2}



²

8 2 2

3 2

y x

y xy x y x







 ^ d)

 

40 12 20

120 10 84

24 1

2 64 1

128 2

25 , 0

 



 







 

6. Resuelva:

a) ³ p5³ p2³ p b) 4 23 123 756 8 c)



^{a bb a}



^{: ab}

d) 3a 2a 6 e) 26a: 2a f)



^{23 3}



² g) 2^x3 : 2^x 7. Exprese las siguientes raíces con un índice común:

a. ³ a y a b. ^a 9 y ^b5 c. ^2a3n, ^a23m y ^a mn 8. Exprese en forma de una sola raíz los siguientes términos.

a. ³ 2 b. ^{5 4} 3 2 c. ⁶ 3 2^{3 4} 4

9. Calcular

a. ³27³125⁴81 b.

5 3

16 32 64 36 25

  

 c. 3 64 2³  ⁵32 4 4  d.

3 5

416 32 27

16 25

  

 3. Expresar en cada caso las potencias como raíces y las raíces como potencias.

a) ⁵

17

³  b)

2

23

5  c) ³

13

⁴  d)

7

132 

4. Racionalizar:

a) 

24

12 b)

8 22

14

 = c) 14

22  d) 12

26 14 =