Técnica de integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias Unidad 2

(1)

Técnica de integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias

Gil Sandro Gómez 11/12/2012

Unidad 2

(2)

Contenido

Introducción ... 2

2.0 Integración por Partes. ... 3

2.1 Método Tabular ... 5

2.2 Integrales Trigonométricas ... 6

2.3 Método de Sustitución Trigonométrica ... 9

2.4 Método de Fracciones Parciales ... 12

2.5 Funciones Racionales de Seno y Coseno ... 15

2.6 Formas indeterminadas y Regla de L´Hôpital ... 17

2.8 Teorema del valor medio de Cauchy ... 17

2.9 Teorema. Regla de L’Hôpital ... 18

2.10 Integrales Impropias ... 21

Bibliografía ... 27

(3)

Introducción

Hemos llegado a la unidad 2 de nuestro curso de Cálculo II, la misma es la parte central de la asig natura, porque nos abre la puerta para entender los demás temas.

En esta unidad vamos a ver los métodos o técnicas de integración.

Entre los métodos que estudiaremos están: integración por partes, sustitución trigonométrica, integrales trigonométricas, fracciones parciales, funciones racionales de seno y coseno. En adición veremos las formas indetermina das, que son resultados que obtenemos cuando evaluamos un límite, pero no nos dic en si este existe o no, luego analizaremos las integrales impropias.

Es importante recordar que en esta unidad vamos a desarrollar lo que le llaman pensamiento divergente, que consiste en encontrar la solución de un problema rompiendo las reglas existentes.

No hay que temer, es momento de aprender

.

(4)

2.0 Integración por Partes.

La integración por partes surge del producto de una función trascendente y una algebraica, una inversa trigonométrica y una algébrica, una trigonométrica y una algebraica, una trascendente y una trigonométrica, una inversa trigonométrica sola y una logarítmica sola.

Teorema 19. Integración por partes.

Sean

u y v

funciones de

x

y tienen derivadas continuas, entonces,

udv  uv  vdu  c

 

Demostración:

~ (1)

exp (1) :

( ) ~ (2)

(2) :

( ) - ~ (3)

(3) :

- ~ (4)

. . Sea uv

Derivamos la resión d uv udv vdu

Despejando de udv d uv vdu

Integrando tenemos que

udv duv vdu c

Q E D

 



 

  

Nota: Cuando estamos frente a una integral por partes, es conveniente seleccionar como

dv

la parte más complicada, pero de más fácil integración y como

u

el resto. Luego iniciamos el proceso de integración cuantas veces sea necesario.

Regla nemotécnica:

1. Logarítmica, inversa, algebraica, trigonométrica y exponencial : LIATE.

2. Irracionales, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas: I L P E T.

Ejemplos. Resuelva las siguientes integrales:

(5)

2

2 2

2

2 2

2

1. :

~ ( ) :

2 int :

2 2

2 4

x

x x

x

x x

x

xe dx Hacemos u x Derivamos a u du dx

dv e dx b Integramos a b

dv e dx v e

Aplicando el métdo de egración tenemos que

xe e

xe dx uv vdu c dx

xe e

xe dx c



  

    

  



 

  



2. : cos

~ ( ) ( ) :

x

x x

e senxdx

Hacemos u senx Derivamos a u

du xdx

dv e dx b Integramos a b

dv e dx v e



  



 

int :

cos ~ ( )

x x x

Aplicando el métdo de egración tenemos que e senxdx  e senx  e xdx c

 

que la integral de la derecha es por parte, aplicamos el métdo de nuevo.

cos cos cos ~ ( )

x x x x x

Dado

e xdx  e x   e senxdx  e x  e senxdx d

  

cos

x x

x

u x du senx

dv e dx dv e dv v e

   

  



 

(6)

se puede obsevar la integral original se repite, porque es cíclica, por tanto sustituímos a (d) en (c)

Como

x x x

cos

x

e senxdx  e senx e  x  e senxdx c 

 

x x x x

cos

e senxdx  e senxdx  e senx e  x c 

 

cos 2

x x

x

e senx e x

e senxdx    c



2.1 Método Tabular

El método tabular hace que las integrales por partes sean bastantes sencillas, en especial en los casos que se tienen que aplicar varias veces.

Esta versión particular fue desarrollada por Dan Rosen en la Universidad Hofstra.

Procedimiento:

Para calcular

 fgdx

, construimos una tabla, en la que obtenemos las funciones en la columna “D” por diferenciar repe tidamente la función

f

, y las en la columna “I” por integrar repetidamente la función

g

. Los signos van alternándose.

2

( )

Signos D I

f g

Df I g

D f







 



²

( )

... ... ...

ⁿ

( )

ⁿ

I g

D f I g

 

Se continúa este proceso hasta que:

 La f unc ión a la izq u ier da se convier t a en ce ro (en c as o que sea un polinomio.

(7)

 E l p rodu cto de las func iones se a un mú lt ip lo c onsta nte de l producto de las funciones en el primer reglón.

Este método funciona bien par a las integrales del tipo:

cos , ,

n n n ax

x axdx x senaxdx x e dx

  

Ejemplo. Resuelva la integral dada utilizando el método tabular.

3 3 2

3

2

3 6 6

sus int - 3

x x x x x

x

x e dx x e x e xe e C

Signos u y sus derivadas dv y egrales

x e

x

    





6 - 6

x

e

x e

e



 0 e

^x

2.2 Integrales Trigonométricas

En el campo de la Física, Ingeniería y la Química nos encontramos con aplicaciones de integrales, cuyas funciones son trigonométricas.

Las más usuales son de los tipos:

cos sec tan

m n m n

sen x xdx y x xdx

 

Integrales que contienen potencias de senos y cosenos

1. Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor seno y pasar los factores restantes a cosenos. Entonces, desarrollar e integrar.

   

2 1 2

2 2

cos cos cos

cos 1 cos cos

m n k n k n

k n k n

sen x xdx sen x xdx sen x xsenxdx

sen x xsenxdx x xsenxdx







  

  

 

2. Si la potencia del coseno es impar y positiva, conservar un factor coseno y pasar los factores restantes a senos. Entonces, desarrollar e integrar.

(8)

   

2 1 2

2 2

cos cos cos cos

cos cos 1 s cos

m n m k m k

k m m k

sen x xdx sen x xdx sen x x xdx

x xsen xdx sen x en x xdx







  

  

 

3. Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usar repetidamente las identidades.

2

1 cos 2

2

1 cos 2

cos

2 2

x x

sen x   y x  

para convertir el integrando a potencias impares del coseno. Luego proceda como en el caso 2.

Ejemplo 4. Calcule el integral dado .

5 3

5 2 5 2 5 7

6 7

5 7 5 7

cos

Sacamos un factor coseno y lo otro lo convertimos en seno:

cos cos (1 s ) cos ( cos cos )

cos cos

6 7

: sen x xdx

sen x xdx sen x en x xdx sen x x sen x x dx u u

sen x xdx sen x xdx u du u du C

Hacemos

   

     



  

   

6 7

cos

sen x sen x C u senx du xdx

  

  

Ejemplo 5. Halle el integral dado

2 2

cos ~ (1)

:

1 cos 2 1 cos 2

~ (2), cos ~ (3)

2 2

sen x xdx

Aplicamos la identidad del ángulo duplo

x x

sen x  x 



2

(2) (3) (1) : 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1

(1 cos 2 ) ~ (4)

2 2 4 4

Sustituyendo y en tenemos que

x x x

dx dx x dx

  

     

  

  

  

(9)

2

1 4

1 cos4 1 cos4 1

2 2 4 4

1 1 1 1

4 8 8 8 32

cos4 1

2 4

cos4 1

2 4

4 8 32

:

1 cos 4

cos ~ (5)

2 . (5) en (4):

1 (1 ) (1 ) (1 )

4 ( ) cos 4 cos

x x

x

x x sen x

Utilizamos la identidad del ángulo duplo otra vez x x

Sust

dx dx dx

dx dx xdx zdz



 

    

     



 

  

   

4

4 4

:

^dz

C Hacemos z x dz dx

De a hí que dx

  



Integrales que contienen potencias de secante y tangente Caso 1. Si la potencia de la secante es par y positi va, conservar un factor secante cuadrado y convertir los factores restantes en tangente. Entonces desarrollar e integrar.

2 2 1 2 2 1 2

sec

^k

x tan

ⁿ

xdx  (sec ) x

^k^

tan

ⁿ

x sec xdx  (1 tan  x )

^k^

tan

ⁿ

x sec xdx

  

Caso 2. Si la potencia de la secante es impar y positiva, conservar un factor secante-tangente y convertir los factores restantes en secante. Entonces desarrollar e integrar.

2 1 1 2 1 2

sec

^m

x tan

^k^

xdx



sec

^m^

x (tan )

^k

x sec tan x dx



sec

^m^

x (sec x



1) sec tan

^k

x xdx

  

Caso 3. Si no hay factores secantes y la potencia de la tangente es par y positiva, convertir un factor tangente cuadrado a secante cuadrado. Luego desarrollar y repetir si es necesario .

2 2 2 2

tan

ⁿ

xdx  tan

ⁿ^

x (tan x dx )  tan

ⁿ^

x (sec x  1) dx

  

Caso 4. Si la integral es de la forma

 sec

^m

xdx

donde m es impar y positiva, usar la integración por partes.

Caso 5. Si ninguna de las cuatro guías aplica, intentar convertir el integrando en senos y cosenos.

Ejemplo 6. Resuelva el siguiente integral.

2 4 2 2 2 2 2 2

tan x sec xdx  tan x sec x sec xdx  tan x (1 tan  x )sec xdx

  

2 2 4 2 2 2 4 2

(tan x sec x  tan x sec x dx )  tan x sec xdx  tan x sec xdx ~ ( ) a

  

(10)

2

:

tan ~ ( ) ( ) ( ) : sec

Hacemos

u x

b Sustituyendo b en a

du xdx



3 5 3 5

2 4

tan tan

3 5 3 5

u u x x

u du  u du     C   C

 

3 5

2 4

tan tan

tan sec

3 5

x x

x xdx    C



Ejemplo 7. Calcule el integral.

3 3 2 2 2 2

4 2 4 2

tan sec tan sec sec tan (sec 1) sec sec tan

(sec sec tan sec sec tan ) sec sec tan sec tan sec ~ ( ) :

sec ~ ( ) ( ) sec tan

x xdx x x x xdx x x x xdx

x x x x x dx x x xdx x x xdx a

Hacemos

u x

b Sustituyendo b en du x xdx

  

   



  

5 3 5 3

4 3

( ) : sec sec

5 3 5 3

a

u u x x

u du



u du

   

C

 

C

 

Integrales que contienen los productos seno -coseno de ángulos distintos.

Las integrales que contienen los productos de ángulos diferentes ocurren en muchas aplicaciones. En tales casos utilizar las identidades de sumas y productos.

1 2 1 2 1 2

(cos[ ] cos[ ] )

cos ( [ ] s [ ] )

cos cos (cos[ ] cos[ ] )

senmxsennx m n x m n x

senmx nx sen m n x en m n x

mx nx m n x m n x

   

   

Ejemplo 7. Encuentre la solución del siguiente integral

2.3 Método de Sustitución Trigonométrica

Introducción.

En algunas ocasiones nos vemos precisado a calcular el área de una circunferencia, una elipse, así como de otras figuras ge ométricas en las cuales nos encontramos con integrales que tienen una de las siguientes formas:

(11)

2 2 2 2

2 2

, , dx , .

a x dx a x dx entre otras

a x

 

   

En cada caso,

a  0.

Para tener éxito en este tipo de integrales, es necesario tener un buen manejo de las definiciones de las funciones trigonométricas, las identidades trigonométricas y del teorema de Pitágoras.

Para una mayor comprensión del tema, haremos dos ejemplos que nos ayudarán en la asimilación de la técnica.

Ejemplo 8. Encuentre la solución de los siguientes integrales:

3

1.

2

9 x dx

 x



Cuando vamos a determinar la solución de un integral, el primer paso que debemos de dar es ver si es posible encontrar su solución usando una de las fórmulas básicas o si podemos realizar aplicar una identidad que nos permite resolver con suma facilidad. En este caso tenemos el integral de un cociente, pero no es posible efectuar la división, y si hacemos un

u

el denominador y lo derivamos no nos produce el numerador. Esto nos lleva a tener que aplicar la técnica de sustitución trigonométrica.

Para esto nos auxiliamos del teorema de Pitágoras, el cual nos indica que el radical

9  x

² es un cateto, la hipotenusa es 3 y el otro cateto es



Como soporte de nuestro ejercicio dibujamos un triángulo rectángulo.

Hacemos:

 

3 ~ 2

3 x x sen

sen     

Ahora diferenciamos a (2) y tenemos que:

 

3cos ~ 3 dx  

Procedemos a sustituir las expresiones (2) y (3) en (1).

(12)

 

   

3 2 2

2 2 2

3 3cos 27 cos cos

27 9 9 9 1

9 3

sen d sen d sen d

sen sen

sen

        

 

 ^ ^ ^ 

   

2 2 2

2 2

27 cos cos cos

9 9

3 1 cos cos

sen d sen d sen d

sen

        

 ^  ^ 

   

2

1 cos 2 9 9

9 9 cos 2

2 2 2

sen d    ^  d   d     d

   

9 9 9 9  

2 cos ~ 4

2   4 sen    C 2   2 sen    C

Usando las identidades trigonométricas, sustituimos a

 ,

seno y coseno en la expresión (4).

9

2

, , cos

3 3 3

x x x

arcsen sen

      ^

3 2

2

9 9

2 3 2

9 x x x x

dx arcsen C

x

   

  2.

2

4 dx

 x



Analicemos el caso 2.

Observamos que tenemos el integral de un cociente, pero no podemos aplicar la regla básica para el integral de un cociente, porque si hacemos

u   1 x

² y derivamos no nos dá el numerador.

Así que es necesario utilizar la técnica de sustitución trigonométrica.

Para este cas o la f unción trig onométrica más sencilla q ue podemos ut ilizar es la ta ng ente.

 

tan 2 tan ~ 3

2 x x

    

, derivamos la expr esión (3) y obten emos q ue:

(13)

Proced emos a r ea lizar la s sust ituc ion e s corresp ond ie ntes en la e xpres ión (2):

 

2 2 2 2

2sec 2sec 2 sec 1 sec

4 4 tan 4 1 tan 2 sec

4 2 tan

d d d d

d C

         

  

 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^{ }

     

De la e xpre sión (3) despejamo s a



^:

arctan

2   x

y la so luc ió n es:

2

1 arctan

4 2 2

dx x

x   C

 

2.4 Método de Fracciones Parciales

Función racional: es una función que puede expresarse como el cociente de dos polinomios. Es decir,

( ) ( )

( ) R x P x



Q x

Donde P x y Q x( ) ( ) son polinomios.

El método de fracciones parciales es una técnica algebraica que descompone R x( ) en una suma de términos:

( ) ₁ ₂

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ^k

R x P x p x F x F x F x

Q x     

donde p x( ) es un polinomio y

F x

_i

( )

es una expresión que puede integrarse con facilidad.

Descomposición de N(x)/D(x) en fracciones simples.

1. Dividir en caso impropio: Si N(x)/D(x) es una fracción impropia (es decir, si el grado de numerador es mayor o igual al grado del denominador), dividir el denominador para obtener

1( ) ( ) ( )

( ) ( )

N x N x p x

D x   D x

Donde el grado de

N x

₁

( )

es menor que el grado de D(x). Entonces se aplican los pasos 2, 3 y 4 a la expresión racional ¹( )

( ) N x

D x ^.

2. Factorizar el denominador: Factorizar completamente el denominador en fracciones de los tipos

( px  q ) (

^m

y ax

2

 bx c  )

ⁿ

 

(14)

3. Factores lineales: Para cada factor lineal (pxq)^m , la descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de

m

fracciones.

1 2

2

...

( ) ( ) ( )

m m

A

A A

px q



px q

 

px q

  

4. Factores cuadráticos: Para cada factor cuadrático (ax²bx c )ⁿ, la descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de

n

fracciones.

1 1 2 2

2 2 2

...

2

( ) ( ) ( )

n n

n

B x C

B x C B x C

ax bx c ax bx c ax bx c



    

     

Factores lineales no repetidos

Ejemplo 9. Encuentre la solución del siguiente integral



 

 ₂

²

⁵ ₁

Dado que no se puede resolver por una fórmula básica, tenemos que aplicar la técnica de fracciones simples.

x dx

x x

  

 

 

 

 

2

Ahora procedemos a factorizar el denominador:

2 - 1 (2 - 1)( 1)

5 5

(2 - 1)( 1)

2 1

x x x x

x x

dx dx

x x

       

 

Re el integral:

5 ~ ( )

(2 - 1)( 1) 2 1 1

escribimos

x dx A B dx b

x x x x



(b) por (2 - 1)( 1):

Multiplicamos x x

    

5 ( 1) (2 1)

5 2

x A x B x

x Ax A Bx B

la teoría de los polinomios tenemos que:

A+2B=-1 A-B=5 Aplicando

La solución del sistema es: A=3 y B=-2 Sustituyendo los valores de A y B en (b):

(15)

     

 _2x-1 ³ ^dx  _x ²



₁ ^dx ³ ₂ ^{ln 2} ^x ^{1 2ln} ^x ¹ ^C

Ejemplo 10. Factores lineales repetidos Encuentre la solución del integral indicado

 

 

   



³² ²

2 2

3 4

4 4

Pr a factorizar el denominador:

x(x 4 4) ( 2)

x x

x x xdx ocedemos

x x x

 

 

     

    



³² ²



²

que:

3 4

~ (2)

( 2

4 4 ( 2)

Tenemos

x x A B C

dx dx

x x

x x x x

 ² la expresión (2) por ( 2) :

Multiplicamos x x

      

       

2 2

2 2 2

3 4 ( 2) ( 2)

3 4 ( 4 4) 2

3 4 4 4 ) 2

x A x Bx Cx x

x x A x x Bx Cx Cx

x x Ax xA A Bx Cx Cx

 

   

  1

4 2 3

4 4

A C

A B C

A

solución del sistema es: A=-1, B=3 y C=2 La

         

    

 



²

 

²



Sustituyendo a A, B y C por sus valores en (2) tenemos que:

1 3 2 3 ( 2) 2

( 2 2

( 2)

dx dx

dx x dx

x x x x x

 

     



 



_x³^x² ₄³_x^x² ₄⁴_x^dx ^ln ^x _x³₂ ^2ln^x ² ^C

Ejemplo 11. Factores cuadráticos no repetidos Resuelva el siguiente integral

3

4 2

4 2 2 2

3

2 2 2 2

2 2

3 2

14

24

3 2

Primero factorizamos el denominador:

3 2 ( 1)( 1)

24 ~ ( )

( 1)( 1) ( 1) ( 2)

la expresión (a) por ( 1)( 1) :

24 ( )(

x

x dx

x x

x x x x

x dx Ax B Cx D dx a

x x x x

Multiplicamos x x

x Ax B x



 

    

 

      

     

 

  



 

2

3 3 2 3 2

14

2) ( )( 1)

24 2 2

x

Cx D x

x Ax Ax Bx B Cx Cx Dx D

   

        

(16)

2 2

2 2 2 2

14 0

2 24

2 0

solución del sistema es: A=10, B=0, C=4 y D=0 Sustituyendo a A, B, C y D por sus valores en (a)

10 4 5 2 2 2 5ln 1 2ln 2

1 2 1 2

A C B D A C B D La

x dx x dx x dx x dx x x C

x x x x

  

  

  

  

       

   

   

Ejemplo 12. Factores cuadráticos repetidos Evalúe el siguiente integral

 

   

  

  

  

  

     

  

 

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2 ( 4 4)

4 4

el denominador es un polinomio que no tiene raíces reales, entonces tenemos:

( 4 4) ( ) ~ ( )

4 4 4

x dx x x dx

x x

Como

x x dx Ax B Cx D dx a

x x x



^



      

       

2 2

2 3 2

Multiplicamos por 4 la expresión (a):

4 4 ( )( 4) ~ ( )

la expresión (b):

4 4 4 4

x

x x Ax B x Cx D b

Desarrollamos

x x Ax Bx Ax B Cx D

la teoría de los polinomios:

A=0 B=1 4A+C=4 4B+D=4 Aplicando

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que:

A=0, B=1, C=4 y D=0

Sust. a A, B, C y D por sus valores en (a) tenemos que:

 

 

   

         

     

     

    

  

 

2 2 2 1

2 2 2

2 2 2 2

1 4 1arctan 2 2 ( 4) 1arctan 2( 4)

2 2 2 2

4 4

1 4 1arctan 2

2 2

4 4 4

x x x

dx dx x x dx x C

x x

dx dx C

x x x

2.5 Funciones Racionales de Seno y Coseno

Sustitución para funciones racionales de seno y coseno

Para integrales que contienen funciones racionales de seno y

(17)

tan

2

~ ( ) 1 cos

senx

x

z a

 x 



hace que

2

2 2 2

1 2 2

,

1 1 1

cos ^z senx ^z y dx ^dz

z z z

x ^  

  



Demostración:

Como ² ₂

1 cos cos ( )

^x

 ^ 2 ^x

2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

cos :

2 2

cos 2 cos 1 1

sec 1 tan

2 2 1 1

1 1 1 1

cos 1 1

( ) 1

( ) ( )

x

x x

Despejando el x tenemos que x

z z

z z z

x z

z

   



  

   

  

 



 

Aplicando la propiedad del seno doble:

   

2 2

2 cos ~ ( )

. ( ) cos

cos

x x

senx sen b

Multiplicando la ec b por



   

       

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 cos 2 1

cos 2 tan

cos cos sec

x x x

x x

x x x

sen sen

senx   

   

2

2 2

2 tan

~ ( )

tan 1

( ) ( ) : 2

1

x

c

Sustituyendo a en c senx z

z

 

De la ecuación (a) tenemos:

(18)

2

tan ~ ( ) ( ) : 2

1 x ar z d

Derivando d dx dz

z



 

Ejemplo 13. Calcule la siguiente integral

2 2

2

2 2

1 1

2 1 2 2

1 1

2 1 1 2 1

dz dz

z z

z z z

z z

dx dz

senx z z

 

 

 

  

   

   

2

2 2

2 ( 1) ~ ( )

2 1 ( 1)

dz dz z dz a

z z z

  



  

  

1 ~ ( ), :

~ ( )

Hacemos u z b entonces tenemos que du dz c

 



1

2 1

( ) ( ) ( ) :

2 2

2 2 2

1 1

Sustituyendo b y c en a

u du u C u C C C

u z







  



      

 



2 2

1 tan( ) 1

^x

1 tan( )

^x

dx C C

senx

    

  



2.6 Formas indeterminadas y Regla de L´Hôpital

Las formas 0 0 y



son llamadas formas indeterminadas porque no garantizan que un límite existe, ni indica lo que el límite es, si existe.

2.8 Teorema del valor medio de Cauchy

Sean f y g funciones derivables en ( , ) a b y continuas

a b, 

. Si

'( )0

g x

para todo

x

( , ) a b , entonces existe un número

c( , )a b

tal que

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) f b f a f c g b g a g c

 



(19)

2.9 Teorema. Regla de L’Hôpital

Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto

( , )a b que contiene a

c

, excepto posiblemente el propio

c

.

Si el límite de

( ) ( ) f x

g x ^cuando x tiende a c produce la forma indeterminada 0 0 ^, entonces, ( ) '( )

lim lim

( ) '( )

x c x c

f x f x

g x g x







Supuesto que el límite de la derecha existe (o es infinito). Este resultado también aplica si el límite de

( )

( ) f x

g x ^cuando x tiende a c produce cualquiera de las formas indeterminadas   

, , o



   

Las formas indeterminadas más comunes son:

0 0

0

,0 , , ,0 ,1 , , , 0  

^{ }

  

^



 

Ejemplo 14. Calcule el límite siguiente:

0 0

0

2 2 2 2 0

0 0 0 0

Podemos observar que la sustitución directa nos lleva a la forma indeterminada 0 , 0 esto nos permite aplicar la Regla de L'H pital:

Derivamos el numerador y deno

ô

lim

^x ^x

x

e e e e

xsenx sen

 



    

  

0 0

0

minador de forma separada

2 1 1 0

lim lim

cos 0 cos 0 0 0 0

Como persiste la indeterminación, tenemos que utilizar el método de nuevo

lim cos cos

x x x x

x x

x

e e e e e e

xsenx x x senx sen

e e e e

xsenx x x

  

 

 



        

 

  

  

1 1 1 0 sen 0 cos 0 cos 0 1 1

  

   

Ejemplo 15. Halle el límite siguiente:





 ¹   ¹  ⁰

lim

^x

( )

x

sustitución directa nos lleva a una forma indeterminada, pero no nos permite La

aplicar el teorema de L'Hôpital, por lo que debemos realizar los ajustes necesarios

(20)



para expresar el límite como 0 :

0 o



y= lim

1^x

~ (1)

Sea

x



 



logaritmo en (1):

lny= lim ln ~ (2)

x

Aplicamos x x

    





podemos utilizar el teorema de L'Hôpital

1 1 1

lny= lim lim 0

1 ln 0

x x

Ahora

x x

y





1 

lny 0

el criterio de funciones inversas tenemos que:

e 1

lim

^x

1

x

Por e y

Entonces x

Ejemplo 16. Determine el límite dado

   



 ¹   ¹   0

lim 1 1 0 0 1

c directo nos dá una forma indeterminada, pero ésta no permite aplicar

x

x x

El álculo



el método, debemos llevarlo a una de las formas o . 0

0  

  ¹

y=lim 10 ^x ~ ( )

Sea x x a

 

  ¹

0

logaritmo en (a):

lny=lim ln 1

^x

~ ( )

x

Aplicamos

x b

 

     

0

propiedades de los logaritmos en (b):

1 1

lny=lim ln 1 ln(1 0) 0 0

x

Utilizando las x x



  

0

ln(1 ) ln1 0 ahí lim

0 0

x

De x

x

usamos el método:

Ahora

(21)

    

 

0

1 1 1

ln lim 1

1 1 0 1

y

x



ln y 1

  

lny 1

definición de función inversa tenemos que:

e Por

e y e

 

  ¹ 

lim 10 ^x

Entonces x x e

Ejemplo 17. Encuentre el límite indicado:



  

  

 

1

lim 1

1 ln

x

x x



          

   

 

1

1 1 1 1 1

lim^x 1 ln 1 1 ln1 0 0

x

x x

 

   

     

    

 

1 1

Re la expresión para que nos de una de las formas que nos permite usar la regla de L'Hôpital:

1 ln ( 1) ln1 (1 1) 0

lim lim

1 ln ( 1)ln (1 1)ln1 0

x x

escribimos

x x x x

x x x x

  



 

 

  

 

     

   

2 2

1 1 1

2 2

1

aplicamos la regla:

1 2 1 1 2

lim ln lim lim

1 1 ln

( 1)ln ln

1 2 1 2(1) 1 0

lim 1 ln 1 1 1ln1 0

x x x

x

Ahora

x x

x x x x x x

x x x x

x x x

x x

x x x

 

     

   

 

1 1

el método de nuevo:

4 1 4 1 4(1) 1 3

lim lim

2 ln 2 ln1 2

1 ln

x x

Utilizamos

x x

x x x

x

(22)

2.10 Integrales Impropias

Definición. Sea ^b

( )

a

f x dx



, donde el intervalo de integración es infinito

( a o b es

 

)

, o la función f : ( , )a b  no es acotada, se denomina integral impropia.

Definición de integrales impropias con lίmites de integración infinitos.

 

 

1. int , ,

( ) lim ( )

2. int - , ,

b

a b a

Si f es continua en el ervalo a entonces f x dx f x dx

Si f es continua en el ervalo b entonces











 

^b

( ) lim

^b

( )

a a

f x dx f x dx







 

 

3. int - , ,

( )

^c

( ) ( )

c

Si f es continua en el ervalo entonces f x dx f x dx f x dx

 

 

 

 

  

donde c es un número real cualquiera.

En los primeros dos casos, la integral impropia converge si el l ímite existe, en caso contrario, la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impropia a la izquierda diverge si cualquiera de las integrales impropias a la derecha divergen.

Integrales impropias con discontinuidades infinitas

Definición de integrales impropias con disc ontinuidades infinitas.

 

1. int ,

inf ,

^b

( ) lim

^c

( )

a c b a

Si f es continua en el ervalo a b y tiene una discontinuidad inita en b entonces

f x dx

_

f x dx

 

 

 

2. int ,

inf ,

Si f es continua en el ervalo a b y tiene una discontinuidad inita en a entonces

( ) lim ( )

b b

f x dx 

_

f x dx

 

(23)

   

3. int , , lg ,

inf ,

^b

( )

^c

( )

^b

( )

a a c

Si f es continua en el ervalo a b excepto para a ún c en a b en que f tiene una discontinuidad inita entonces

f x dx  f x dx  f x dx

  

En los primeros dos casos, la integral impropia converge si el límite existe, de otra forma, la integral impropia diverge. E n el tercer caso, la integral impropia en la izquierda diverge si algu na de las integrales impropias de la derecha diverge.

Teorema. Un tipo especial de integral impropia.

1 1 1 1 dx _p _diverge ^p ^{si p} _si 1

x

  



  

 

Después de haber realizado un recorrido en la parte conce ptual, nos abocaremos hacer algunos ejemplos para verificar los conceptos aprendidos.

Ejemplo 18. Determine si el integral dado es pertenece a las integrales impropias. Si la respuesta es afirmativa establezca si converge.

2 2

ln x dx x





De acuerdo a la definición de integral impropia, el integral dado es impropio, porque el límite superior es infinito.

Pasemos pues, a encontrar la solución del integral.

2

2 2

2 2 2

ln ln

lim

^b ^b

ln

b

x x

dx dx x xdx

x x

 







  

El cálculo del integral lo hacemos aplicando el método de integr al por partes que habíamos estudiado previamente.

Sea

u  ln x

y

dv  x

^²

,

tenemos que:

(24)

du dx

 x

^y

 dv   x dx

^²

   v x

^¹

Por comodidad trabajaremos el integral como si fuera indefinido y luego hacemos uso de los límites de integración.

1 1 1 1 1 1 2

2

ln x ln dx ln ln

x x x x x x x dx x x x dx

x x

      

        

   

1 1

2

ln x ln

dx x x x

x

 

  



no colocamos la constante de integración, porque esto lo hicimos con el objetivo de sustituir el resultado para la evaluación.

Ahora vamos a evaluar el resultado ob tenido para saber si el integral converge.



¹ ¹



2 2

2 2 2 2

ln 1

lim lim ln lim

b b b

dx dx x

x x x

x x x x

  

  

 

          

 

Evaluamos el resultado obtenido para determinar si la integral converge

2 2

ln ln 1 ln 2 1 ln 1 ln 2 1 ln 2 1

lim lim 0

2 2 2 2 2 2

b

b b

x b

x dx b b

 

       

                             



Como podemos observar, en el primer término del resultado hay una forma indeterminada, por tal motivo tenemos que calcular de nuevo el límite usando la regla de L’Hôpital. Les recordamos que sólo hay que calcular el término que está indeterminado.

ln 1 1

lim lim 0,

b b

b

b b

 

     



sumamos este resultado con el anterior para tener el resultado definitivo.

2 2

ln ln 2 1 ln 2 1

0 2 2 2 2

x x



    



Como el límite de la derecha del integral existe, decimos que el integral converge.

(25)

Ejemplo 19. Determine si el integral siguiente converge o diverge.

2

16 x dx

x









El integral dado podemos realizarlo usando sustitución o sustitución trigonométrica, pero por asunto práctico es mej or hacerlo por sustitución.

0

2 2 0 2

16 16 16

x x x

dx dx dx

x x x

 









  

  

0

2 0 2

lim lim

16 16

a b

x x

dx dx

x x



  

 

 

 

Hemos divido el integral en dos partes, desde menos infinito hasta cero y desde cero hasta infinito. Tenemos que resolver ambos integrales, pero como son iguales buscamos la solución de uno y luego evaluamos en cada límite de integración.



²



¹²

2

16

16 x dx x x dx

x

 





  

12

12 2

1 1

1 16

2 2

2 u

^

du  u  u   x



Sea

u  16  x

²

 du  2 xdx ,

de ahí que

2 du  xdx

0

2 2

0

lim 16 lim 16

a

x

b

x















Para facilitar el cálculo evaluaremos la primera parte y después de la segunda.

 

⁰

   

0 2 2 2 2 2

lim 16 lim 16 lim 16 0 16 lim 4 16

a a a a a a

x x dx x a a



  



 



   



 

Calculamos el límite de la expresión resultante



²

 ^{ }

² ² ²

lim 4 16 4 16 4 16 4 4 4 ~ ( )

a



                   

Evaluación de la segunda parte

   

2 2 2 2 2

2

0 0

lim lim 16 lim 16 16 0 lim 16 4

16

b b

b b b b

x dx x b b



x 



 



   



 

 