Números Reales 1

Números Reales

1^◦Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y Tecnología

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2015/16

Índice

1 Repaso de Números Introducción Clasificación Representación

Conjuntos en la recta real

2 Radicales

3 Operaciones con Radicales

4 Racionalización

5 Logaritmos Introducción

Definición Propiedades

6 Problemas Propuestos

7 ¡No me cuentes historias!

¿Por qué se llaman logaritmos?

John Napier y Jobst Bürgi

8 Complementos

¿Por qué no se puede dividir entre cero?

9 Bibliografía

10 Créditos

Repaso de Números

Ir a Índice

1| Repaso de

números

Repaso de Números Introducción

Introducción

Los antiguos griegos pensaban que cualquier magnitud se podía expresar mediante números naturalesy sus razones, es decir, mediante lo que hoy llamamos números racionales. Pero pronto tropezaron con lo que llamaron los inconmensurables, que nosotros llamamos números irracionalesen contraposición a los racionales. Si queremos calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos iguales a 1 llegamos al número√

2, que no se puede expresar como una razón (cociente) de números naturales.

Dar una demostración de que√

2 es irracional

Repaso de Números Introducción

Introducción

Los antiguos griegos pensaban que cualquier magnitud se podía expresar mediante números naturalesy sus razones, es decir, mediante lo que hoy llamamos números racionales. Pero pronto tropezaron con lo que llamaron los inconmensurables, que nosotros llamamos números irracionalesen contraposición a los racionales. Si queremos calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos iguales a 1 llegamos al número√

2, que no se puede expresar como una razón (cociente) de números naturales.

Dar una demostración de que√

2 es irracional

a?

b= 1

c= 1

Teorema de Pitágoras

a²= b²+ c² a²= 1²+ 1²

a=√ 2

Repaso de Números Introducción

Introducción

Los antiguos griegos pensaban que cualquier magnitud se podía expresar mediante números naturalesy sus razones, es decir, mediante lo que hoy llamamos números racionales. Pero pronto tropezaron con lo que llamaron los inconmensurables, que nosotros llamamos números irracionalesen contraposición a los racionales. Si queremos calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos iguales a 1 llegamos al número√

2, que no se puede expresar como una razón (cociente) de números naturales.

Dar una demostración de que√

2 es irracional

a?

b= 1

c= 1

Teorema de Pitágoras

a²= b²+ c² a²= 1²+ 1²

a=√ 2

Fueron necesario siglos para entender y estructurar todos los números (naturales, enteros,

Repaso de Números Clasificación

Clasificación de los Números

Números Reales R

Repaso de Números Clasificación

Clasificación de los Números

Números Reales R

Números Naturales N

Son los números de contar.

Repaso de Números Clasificación

Clasificación de los Números

Números Reales R

Números Naturales N

Son los números de contar.

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Son los números de contar.

Repaso de Números Clasificación

Clasificación de los Números

Números Reales R

Números Naturales N

Son los números de contar.

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Son los números de contar.

Números Enteros Z

En el conjunto N, la ecuación x + a = b no tiene solución si a > b.

Repaso de Números Clasificación

Clasificación de los Números

Números Reales R

Números Naturales N

Son los números de contar.

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Son los números de contar.

Números Enteros Z

En el conjunto N, la ecuación x + a = b no tiene solución si a > b.

−1, −2, −3, −4, −5, −6, ...

0

Repaso de Números Clasificación

Clasificación de los Números

Números Reales R

Números Naturales N

Son los números de contar.

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Son los números de contar.

Números Enteros Z

En el conjunto N, la ecuación x + a = b no tiene solución si a > b.

−1, −2, −3, −4, −5, −6, ...

0

Números Naturales N

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Repaso de Números Clasificación

Clasificación de los Números

Números Reales R

Números Naturales N

Son los números de contar.

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Son los números de contar.

Números Enteros Z

En el conjunto N, la ecuación x + a = b no tiene solución si a > b.

−1, −2, −3, −4, −5, −6, ...

0

Números Naturales N

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Números Racionales Q

En el conjunto Z, la ecuación ax = b, cona 6= 0, sólo tiene solución si a es divisor de b.

Repaso de Números Clasificación

Clasificación de los Números

Números Reales R

Números Naturales N

Son los números de contar.

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Son los números de contar.

Números Enteros Z

En el conjunto N, la ecuación x + a = b no tiene solución si a > b.

−1, −2, −3, −4, −5, −6, ...

0

Números Naturales N

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Números Racionales Q

En el conjunto Z, la ecuación ax = b, cona 6= 0, sólo tiene solución si a es divisor de b.

1

5, −⁷3, ⁴₉, −³⁰³37, ...

2, 75, 1, Û3, 2, 7 Ù45, −3, 6Û4 ...

Repaso de Números Clasificación

Clasificación de los Números

Números Reales R

Números Naturales N

Son los números de contar.

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Son los números de contar.

Números Enteros Z

En el conjunto N, la ecuación x + a = b no tiene solución si a > b.

−1, −2, −3, −4, −5, −6, ...

0

Números Naturales N

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Números Racionales Q

En el conjunto Z, la ecuación ax = b, cona 6= 0, sólo tiene solución si a es divisor de b.

1

5, −⁷3, ⁴₉, −³⁰³37, ...

2, 75, 1, Û3, 2, 7 Ù45, −3, 6Û4 ...

Números Enteros Z

−1, −2, −3, −4, −5, −6, ...

0

Números Naturales N

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Repaso de Números Clasificación

Clasificación de los Números

Números Reales R

Números Naturales N

Son los números de contar.

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Son los números de contar.

Números Enteros Z

En el conjunto N, la ecuación x + a = b no tiene solución si a > b.

−1, −2, −3, −4, −5, −6, ...

0

Números Naturales N

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Números Racionales Q

En el conjunto Z, la ecuación ax = b, cona 6= 0, sólo tiene solución si a es divisor de b.

1

5, −⁷3, ⁴₉, −³⁰³37, ...

2, 75, 1, Û3, 2, 7 Ù45, −3, 6Û4 ...

Números Enteros Z

−1, −2, −3, −4, −5, −6, ...

0

Números Naturales N

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Números Irracionales I

π = 3, 14159..., e = 2, 71828...

√3,√ 7, −√

2, −√ 12, ...

1, 202002000..., 7, 45271054...

En el conjunto Q, la ecuación x²= b sólo tiene solución si b es cuadrado perfecto.

Repaso de Números Clasificación

Clasificación de los Números

Números Reales R

Números Naturales N

Son los números de contar.

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Son los números de contar.

Números Enteros Z

En el conjunto N, la ecuación x + a = b no tiene solución si a > b.

−1, −2, −3, −4, −5, −6, ...

0

Números Naturales N

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Números Racionales Q

En el conjunto Z, la ecuación ax = b, cona 6= 0, sólo tiene solución si a es divisor de b.

1

5, −⁷3, ⁴₉, −³⁰³37, ...

2, 75, 1, Û3, 2, 7 Ù45, −3, 6Û4 ...

Números Enteros Z

−1, −2, −3, −4, −5, −6, ...

0

Números Naturales N

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Números Irracionales I

π = 3, 14159..., e = 2, 71828...

√3,√ 7, −√

2, −√ 12, ...

1, 202002000..., 7, 45271054...

En el conjunto Q, la ecuación x²= b sólo tiene solución si b es cuadrado perfecto.

Números Reales R

Números Irracionales I

π = 3, 14159..., e = 2, 71828...

√3,√ 7, −√

2, −√ 12, ...

1, 202002000..., 7, 45271054...

Repaso de Números Representación

Recta real

La recta numérica donde se representan los números reales se llamarecta real. Los números reales llenan por completo la recta. Se da un origen (donde situamos al cero) y una unidad, y cada número real se corresponde con un punto de la recta y cada punto de la recta con un número.

Repaso de Números Representación

Recta real

La recta numérica donde se representan los números reales se llamarecta real. Los números reales llenan por completo la recta. Se da un origen (donde situamos al cero) y una unidad, y cada número real se corresponde con un punto de la recta y cada punto de la recta con un número.

0 1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

Repaso de Números Representación

Recta real

La recta numérica donde se representan los números reales se llamarecta real. Los números reales llenan por completo la recta. Se da un origen (donde situamos al cero) y una unidad, y cada número real se corresponde con un punto de la recta y cada punto de la recta con un número.

0 1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

En el dibujo anterior tenemos representados los números enteros. Veamos como se representan gráficamente los racionales y algunos números irracionales en la recta real:

Repaso de Números Representación

Recta real

La recta numérica donde se representan los números reales se llamarecta real. Los números reales llenan por completo la recta. Se da un origen (donde situamos al cero) y una unidad, y cada número real se corresponde con un punto de la recta y cada punto de la recta con un número.

0 1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

En el dibujo anterior tenemos representados los números enteros. Veamos como se representan gráficamente los racionales y algunos números irracionales en la recta real:

Números Racionales, Q

a

b con a < b: Ejemplo 3 4

b

0 ³₄ 1 2

Repaso de Números Representación

Recta real

La recta numérica donde se representan los números reales se llamarecta real. Los números reales llenan por completo la recta. Se da un origen (donde situamos al cero) y una unidad, y cada número real se corresponde con un punto de la recta y cada punto de la recta con un número.

0 1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

En el dibujo anterior tenemos representados los números enteros. Veamos como se representan gráficamente los racionales y algunos números irracionales en la recta real:

Números Racionales, Q

a

b con a < b: Ejemplo 3 4

b

0 ³₄ 1 2

a

b con a > b: Ejemplo 7 4 = 1 +3

4

b

Repaso de Números Representación

Recta real

La recta numérica donde se representan los números reales se llamarecta real. Los números reales llenan por completo la recta. Se da un origen (donde situamos al cero) y una unidad, y cada número real se corresponde con un punto de la recta y cada punto de la recta con un número.

0 1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

En el dibujo anterior tenemos representados los números enteros. Veamos como se representan gráficamente los racionales y algunos números irracionales en la recta real:

Números Racionales, Q

a

b con a < b: Ejemplo 3 4

b

0 ³₄ 1 2

a

b con a > b: Ejemplo 7 4 = 1 +3

4

b

Números Irracionales, I

b Irracionales de la forma√n: Ejemplo√ 5

√ 5 = 1

p ₂^{2+ 1}

2

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

S. abierta, (−∞, b): {x|x < b}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

S. abierta, (−∞, b): {x|x < b}

S. cerrada, (−∞, b]: {x|x ≤ b}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

S. abierta, (−∞, b): {x|x < b}

S. cerrada, (−∞, b]: {x|x ≤ b}

Entorno, E (a, r ) = (a − r, a + r)

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

S. abierta, (−∞, b): {x|x < b}

S. cerrada, (−∞, b]: {x|x ≤ b}

Entorno, E (a, r ) = (a − r, a + r) E. reducido, E^∗(a, r ) = E (a, r ) − {a}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

S. abierta, (−∞, b): {x|x < b}

S. cerrada, (−∞, b]: {x|x ≤ b}

Entorno, E (a, r ) = (a − r, a + r) E. reducido, E^∗(a, r ) = E (a, r ) − {a}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

S. abierta, (−∞, b): {x|x < b}

S. cerrada, (−∞, b]: {x|x ≤ b}

Entorno, E (a, r ) = (a − r, a + r) E. reducido, E^∗(a, r ) = E (a, r ) − {a}

Veamos un ejemplo: representar los siguientes conjuntos de números:

Números mayores que π.

Números menores o iguales que −2 Números mayores que −2 y menores que 1.

Números mayores que e y menores o iguales que 5 Números mayores o iguales que e.

Números menores o iguales que√ 2.

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

S. abierta, (−∞, b): {x|x < b}

S. cerrada, (−∞, b]: {x|x ≤ b}

Entorno, E (a, r ) = (a − r, a + r) E. reducido, E^∗(a, r ) = E (a, r ) − {a}

Veamos un ejemplo: representar los siguientes conjuntos de números:

Números mayores que π.

Números menores o iguales que −2 Números mayores que −2 y menores que 1.

Números mayores que e y menores o iguales que 5 Números mayores o iguales que e.

Números menores o iguales que√ 2.

(π, ∞): {x|π < x}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

S. abierta, (−∞, b): {x|x < b}

S. cerrada, (−∞, b]: {x|x ≤ b}

Entorno, E (a, r ) = (a − r, a + r) E. reducido, E^∗(a, r ) = E (a, r ) − {a}

Veamos un ejemplo: representar los siguientes conjuntos de números:

Números mayores que π.

Números menores o iguales que −2 Números mayores que −2 y menores que 1.

Números mayores que e y menores o iguales que 5 Números mayores o iguales que e.

Números menores o iguales que√ 2.

(π, ∞): {x|π < x}

(−∞, −2]: {x|x ≤ −2}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

S. abierta, (−∞, b): {x|x < b}

S. cerrada, (−∞, b]: {x|x ≤ b}

Entorno, E (a, r ) = (a − r, a + r) E. reducido, E^∗(a, r ) = E (a, r ) − {a}

Veamos un ejemplo: representar los siguientes conjuntos de números:

Números mayores que π.

Números menores o iguales que −2 Números mayores que −2 y menores que 1.

Números mayores que e y menores o iguales que 5 Números mayores o iguales que e.

Números menores o iguales que√ 2.

(π, ∞): {x|π < x}

(−∞, −2]: {x|x ≤ −2}

(−2, 1): {x| − 2 < x < 1}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

S. abierta, (−∞, b): {x|x < b}

S. cerrada, (−∞, b]: {x|x ≤ b}

Entorno, E (a, r ) = (a − r, a + r) E. reducido, E^∗(a, r ) = E (a, r ) − {a}

Veamos un ejemplo: representar los siguientes conjuntos de números:

Números mayores que π.

Números menores o iguales que −2 Números mayores que −2 y menores que 1.

Números mayores que e y menores o iguales que 5 Números mayores o iguales que e.

Números menores o iguales que√ 2.

(π, ∞): {x|π < x}

(−∞, −2]: {x|x ≤ −2}

(−2, 1): {x| − 2 < x < 1}

(e, 5]: {x|e < x ≤ 5}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

S. abierta, (−∞, b): {x|x < b}

S. cerrada, (−∞, b]: {x|x ≤ b}

Entorno, E (a, r ) = (a − r, a + r) E. reducido, E^∗(a, r ) = E (a, r ) − {a}

Veamos un ejemplo: representar los siguientes conjuntos de números:

Números mayores que π.

Números menores o iguales que −2 Números mayores que −2 y menores que 1.

Números mayores que e y menores o iguales que 5 Números mayores o iguales que e.

Números menores o iguales que√ 2.

(π, ∞): {x|π < x}

(−∞, −2]: {x|x ≤ −2}

(−2, 1): {x| − 2 < x < 1}

(e, 5]: {x|e < x ≤ 5}

[e, ∞): {x|e ≤ x}

Repaso de Números Conjuntos en la recta real

Intervalo

Unintervaloes un conjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según se incluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden serabiertosycerrados.Veamos algunos tipos y su expresión matemática:

Intervalo abierto, (a, b): {x|a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b]: {x|a ≤ x ≤ b}

I. semiabierto, (a, b]: {x|a < x ≤ b}

I. semicerrado, [a, b): {x|a ≤ x < b}

Semirrecta abierta, (a, ∞): {x|a < x}

S. cerrada, [a, ∞): {x|a ≤ x}

S. abierta, (−∞, b): {x|x < b}

S. cerrada, (−∞, b]: {x|x ≤ b}

Entorno, E (a, r ) = (a − r, a + r) E. reducido, E^∗(a, r ) = E (a, r ) − {a}

Veamos un ejemplo: representar los siguientes conjuntos de números:

Números mayores que π.

Números menores o iguales que −2 Números mayores que −2 y menores que 1.

Números mayores que e y menores o iguales que 5 Números mayores o iguales que e.

Números menores o iguales que√ 2.

(π, ∞): {x|π < x}

(−∞, −2]: {x|x ≤ −2}

(−2, 1): {x| − 2 < x < 1}

(e, 5]: {x|e < x ≤ 5}

[e, ∞): {x|e ≤ x}

(−∞,√

2]: {x|x ≤√ 2}

Radicales

Ir a Índice

2| Radi ales

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Índice

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Índice

Radicando

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Índice

Radicando

Raíz

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Índice

Radicando

Raíz

Además se cumple que si:

a> 0 y n impar ⇒ 1 raíz

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Índice

Radicando

Raíz

Además se cumple que si:

a> 0 y n impar ⇒ 1 raíz Ejemplo: √³

27 = 3

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Índice

Radicando

Raíz

Además se cumple que si:

a> 0 y n impar ⇒ 1 raíz Ejemplo: √³

27 = 3

a> 0 y n par ⇒ 2 raíces: positiva y negativa

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Índice

Radicando

Raíz

Además se cumple que si:

a> 0 y n impar ⇒ 1 raíz Ejemplo: √³

27 = 3

a> 0 y n par ⇒ 2 raíces: positiva y negativa Ejemplo: √⁴

16 = ±2

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Índice

Radicando

Raíz

Además se cumple que si:

a> 0 y n impar ⇒ 1 raíz Ejemplo: √³

27 = 3

a> 0 y n par ⇒ 2 raíces: positiva y negativa Ejemplo: √⁴

16 = ±2

a= 0 y n par o impar ⇒ 1 raíz:cero

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Índice

Radicando

Raíz

Además se cumple que si:

a> 0 y n impar ⇒ 1 raíz Ejemplo: √³

27 = 3

a> 0 y n par ⇒ 2 raíces: positiva y negativa Ejemplo: √⁴

16 = ±2

a= 0 y n par o impar ⇒ 1 raíz:cero a< 0 y n par ⇒ no tiene raíces

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Índice

Radicando

Raíz

Además se cumple que si:

a> 0 y n impar ⇒ 1 raíz Ejemplo: √³

27 = 3

a> 0 y n par ⇒ 2 raíces: positiva y negativa Ejemplo: √⁴

16 = ±2

a= 0 y n par o impar ⇒ 1 raíz:cero a< 0 y n par ⇒ no tiene raíces

Ejemplo: √

−4 = no tiene

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Índice

Radicando

Raíz

Además se cumple que si:

a> 0 y n impar ⇒ 1 raíz Ejemplo: √³

27 = 3

a> 0 y n par ⇒ 2 raíces: positiva y negativa Ejemplo: √⁴

16 = ±2

a= 0 y n par o impar ⇒ 1 raíz:cero a< 0 y n par ⇒ no tiene raíces

Ejemplo: √

−4 = no tiene

a< 0 y n impar ⇒ 1 raíz negativa

Radicales

Definición

Se llamaraíz enésimade a, oradical de índice nde a, a todo número b que verifica que bⁿ= a, y se denota por√ⁿ

a= b

√

a = b

Índice

Radicando

Raíz

Además se cumple que si:

a> 0 y n impar ⇒ 1 raíz Ejemplo: √³

27 = 3

a> 0 y n par ⇒ 2 raíces: positiva y negativa Ejemplo: √⁴

16 = ±2

a= 0 y n par o impar ⇒ 1 raíz:cero a< 0 y n par ⇒ no tiene raíces

Ejemplo: √

−4 = no tiene

a< 0 y n impar ⇒ 1 raíz negativa Ejemplo: √³

−27 = −3

Radicales

Potencias de exponente fraccionario

Unapotencia de exponente fraccionarioa^mn es un radical de índice n y radicando a^m; es decir, podemos escribir a^mn =√ⁿ

a^m.

Radicales

Potencias de exponente fraccionario

Unapotencia de exponente fraccionarioa^mn es un radical de índice n y radicando a^m; es decir, podemos escribir a^mn =√ⁿ

a^m. Ejemplo: √³

7⁵= 7⁵³

Radicales

Potencias de exponente fraccionario

Unapotencia de exponente fraccionarioa^mn es un radical de índice n y radicando a^m; es decir, podemos escribir a^mn =√ⁿ

a^m. Ejemplo: √³

7⁵= 7⁵³

Recordar que dos fracciones, ^m_n y ^p_q, son equivalentes cuando m · q = n · p. Esto nos permite dar la siguiente definición de radicales equivalentes

Radicales

Potencias de exponente fraccionario

Unapotencia de exponente fraccionarioa^mn es un radical de índice n y radicando a^m; es decir, podemos escribir a^mn =√ⁿ

a^m. Ejemplo: √³

7⁵= 7⁵³

Recordar que dos fracciones, ^m_n y ^p_q, son equivalentes cuando m · q = n · p. Esto nos permite dar la siguiente definición de radicales equivalentes

Dos radicales se dice que sonequivalentescuando al expresarlos como potencias de exponentes fraccionarios, sus bases son iguales y las fracciones de sus exponentes son equivalentes.

Radicales

Potencias de exponente fraccionario

Unapotencia de exponente fraccionarioa^mn es un radical de índice n y radicando a^m; es decir, podemos escribir a^mn =√ⁿ

a^m. Ejemplo: √³

7⁵= 7⁵³

Recordar que dos fracciones, ^m_n y ^p_q, son equivalentes cuando m · q = n · p. Esto nos permite dar la siguiente definición de radicales equivalentes

Dos radicales se dice que sonequivalentescuando al expresarlos como potencias de exponentes fraccionarios, sus bases son iguales y las fracciones de sus exponentes son equivalentes.

Ejemplo: √³ 5 y √⁶

5²son equivalentes pues √³

5 = 5¹³ y √⁶

5²= 5²⁶ tienen la misma base (5) y además

1 3=2

6

Radicales

Potencias de exponente fraccionario

Unapotencia de exponente fraccionarioa^mn es un radical de índice n y radicando a^m; es decir, podemos escribir a^mn =√ⁿ

a^m. Ejemplo: √³

7⁵= 7⁵³

Recordar que dos fracciones, ^m_n y ^p_q, son equivalentes cuando m · q = n · p. Esto nos permite dar la siguiente definición de radicales equivalentes

Dos radicales se dice que sonequivalentescuando al expresarlos como potencias de exponentes fraccionarios, sus bases son iguales y las fracciones de sus exponentes son equivalentes.

Ejemplo: √³ 5 y √⁶

5²son equivalentes pues √³

5 = 5¹³ y √⁶

5²= 5²⁶ tienen la misma base (5) y además

1 3=2

6

De las propiedades de las potencias y de la conversión de raíces en potencias de exponente fraccionario, se tienen las siguientes propiedades de las raíces

Radicales

Propiedades de las raíces

Producto de radicales de igual índice: √ⁿa√ⁿ b=√ⁿ

ab.

Ejemplo: √³5√³7 =√³

5 · 7 =√³35

Radicales

Propiedades de las raíces

Producto de radicales de igual índice: √ⁿa√ⁿ b=√ⁿ

ab.

Ejemplo: √³5√³7 =√³

5 · 7 =√³35 Cociente de radicales de igual índice:

√na

√n

b= ⁿ

q_a

b.

Ejemplo:

√49

√4

3= ⁴

…9 3=√⁴

3

Radicales

Propiedades de las raíces

Producto de radicales de igual índice: √ⁿa√ⁿ b=√ⁿ

ab.

Ejemplo: √³5√³7 =√³

5 · 7 =√³35 Cociente de radicales de igual índice:

√na

√n

b= ⁿ

q_a

b.

Ejemplo:

√49

√4

3= ⁴

…9 3=√⁴

3 Potencia de un radical: (√ⁿ

a^p)^m=√ⁿ a^p·m Ejemplo: (√³

7²)⁵=√³ 7^2·5=√³

7¹⁰

Radicales

Propiedades de las raíces

Producto de radicales de igual índice: √ⁿa√ⁿ b=√ⁿ

ab.

Ejemplo: √³5√³7 =√³

5 · 7 =√³35 Cociente de radicales de igual índice:

√na

√n

b= ⁿ

q_a

b.

Ejemplo:

√49

√4

3= ⁴

…9 3=√⁴

3 Potencia de un radical: (√ⁿ

a^p)^m=√ⁿ a^p·m Ejemplo: (√³

7²)⁵=√³ 7^2·5=√³

7¹⁰ Radical de un radical: pⁿ _√m

a= ^n·m√a Ejemplo: p³ _√5

7 = ^3·5√ 7 = ¹⁵√

7