F´ısica
Gu´ıa de Materia
Fuerzas entre cargas
M´
odulo Electivo
IV Medio
www.puntajenacional.cl
Nicol´as Melgarejo, Ver´onica Salda˜na Licenciados en Ciencias Exactas, U. de Chile
1.
Cargas en reposo
Decimos que un objeto se encuentra cargado, posee carga o est´a electrizado, cuando presenta un exceso de electrones (negativos) o protones (positivos). A esta carga se le representa generalmente con la letra
Q o q, la cual puede medirse por el n´umero de electrones que el cuerpo pierde o gana con alguno de los procesos de carga (inducci´on, contacto o frotamiento). Este modo de medir cargas es para nada pr´actico debido al gran n´umero de electrones presentes en un objeto cargado. Por este motivo se ha empleado en el Sistema Internacional de medidas la unidad de carga el´ectricaCoulomb[C], en honor a Charles Augustin de Coulomb, la cual equivale a la carga de 6,25·1018 electrones de exceso (si es negativa) o de p´erdida (si es positiva)
1[C] = 6,25·1018 electrones
Es importante recordar que existen otras variaciones de la carga [C] dada por sus potencias de 10, siendo la m´as com´un el milicoulomb (10−3[C]) y elmicrocoulomb (10−6[C]).
2.
Ley de Coulomb
Consideremos dos cuerpos el´ectricamente cargados con cargas Q1 y Q2 respectivamente, separados
una distanciar. Adem´as supongamos que los cuerpos son de tama˜no despreciable respecto de la distancia
r que los separa, de este modo las dimensiones de los objetos son insignificantes y nos podemos referir a ellos como cargas puntuales. En estas condiciones Charles Coulomb realiz´o una serie de experimentos que le llevaron a concluir una ley de atracci´on y repulsi´on de cargas: la fuerza de interacci´on entre dos cargas el´ectricas puntuales es directamente proporcional al producto de dichas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:
F ∝ Q1Q2 r2
La constante de proporcionalidad que relaciona tal fuerza con las cargas en el vac´ıo se llama la constante de Coulomb y es igual a k0 = 9,0·109
h
N·m2 C2
i
, quedando finalmente la Ley de Coulomb para part´ıculas cargadas en el vac´ıo como:
F =k0 Q1Q2
r2 (1)
Cuando el signo de las cargas es igual la fuerza coulombiana es de repulsi´on. La magnitud y direcci´on de la fuerza que Q1 ejerce sobre Q2, F12, es igual a la magnitud y direcci´on de la fuerza que Q2 ejerce
sobre Q1,F21, pero con sentidos opuestos debido a la ley de acci´on y reacci´on.
En el caso que las cargas tengan signos distintos, la fuerza coulombiana es de atracci´on. Al igual que en caso anterior la magnitud y direcci´on de la fuerza que Q1 ejerce sobre Q2,F12, es igual a la magnitud
y direcci´on de la fuerza que Q2 ejerce sobreQ1,F21, pero con sentidos opuestos debido a la ley de acci´on
. Ejemplo
Una carga puntualQ1 = 0,23[µC]es colocada a 3 cent´ımetros de otra carga puntual negativa de magnitud Q2 =−0,6[µC]. ¿Cu´al es el valor de la fuerza el´ectrica F entre las cargas? ¿Qu´e fuerza es mayor? ¿la de Q1 sobreQ2 o la de Q2 sobre Q1?
Soluci´on: Seg´un la Ley de Coulomb tenemos que:
F =k0 Q1Q2
r2
Como sabemos los valores de las cargas y la distancia que las separa reemplazamos en la ecuaci´on, pero transformando todo al sistema MKS:
F = 9,0·109 N ·m2 C2 ·0,23·10 −6[C]· −0,6·10−6[C] (3·10−2[m])2 =−1,38[N]
El signo negativo de la fuerza indica que es de car´acter atractiva. Recordemos que cargas opuestas en signo se atraen y, por el contrario, cargas del mismo signo se repelen. Por otro lado, debido la tercera Ley de Newton de acci´on y reacci´on, las fuerzas que siente cada una de las part´ıculas son de igual magnitud, pero con sentidos contrarios.
Desaf´ıo...
¿Cu´antas veces debe variar la distancia entre dos cargas para que la fuerza el´ectrica entre ellas disminuya a la cuarta parte? Si una de las cargas disminuye a la mitad, ¿c´omo var´ıa la fuerza entre ellas?Respuesta
3.
Campo el´
ectrico
Cuando tenemos una carga Q, ´esta le da al espacio que la rodea una carac-ter´ıstica especial, la que consiste en que si ponemos una carga q en un punto
P1 en torno aQ, ´esta sentir´a una fuerza el´ectrica dada por la Ley de Coulomb,
pero si cambiamos la ubicaci´on de q a un punto P2 distinto de P1, la carga q
sentir´a una fuerza diferente a la anterior. En cada punto del espacio, Q genera una fuerza el´ectrica diferente para la carga q. Para describir este hecho decimos que en cualquier lugar del espacio alrededor de Qexiste un campo el´ectrico pro-ducido por esta carga. Dicho de otra manera, existe un campo el´ectrico en una regi´on del espacio si es que al colocar una carga q en dicha zona se ejerce una fuerza el´ectrica sobre ella.
Note que la presencia de un campo el´ectrico no depende de la existencia de la carga de prueba q, sino que se debe a la presencia de un cuerpo el´ectrico, de manera que hay un campo el´ectrico en los puntos P1 y P2 aun cuando no haya
una carga de prueba en esos sitios. La magnitud del campo el´ectrico E se puede definir como la raz´on entre la fuerza el´ectricaF que sufre una carga de prueba y la carga q de la misma:
E= F
q (2)
Como sabemos que la fuerzaF entre Qy q es la que obedece a la ley de Coulomb, reemplazamos (1) en (2): E = F q =k0 Q·q r2 q E =k0 Q r2 (3)
De este modo obtenemos que la intensidad del campo el´ectrico es directamente proporcional al valor de la carga Q que lo produce e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de un punto a ella. En este caso presentamos la magnitud del campo el´ectrico, pero debe considerarse que ´este es una magnitud vectorial que tiene direcci´on radial para el caso de una carga circular. La unidad de medida del campo el´ectrico es el N
C
. En el caso que exista m´as de una carga que produce un campo el´ectrico se tendr´a que: el campo el´ectrico total debido a un grupo de cargas es igual al vector resultante de la suma de los campos el´ectricos de todas las cargas.
La expresi´on (2) puede ser escrita como:
F =q·E (4)
Por lo tanto, si conocemos la intensidad o magnitud del campo el´ectrico en un punto, con lo anterior es posible calcular la fuerza que experimenta una carga puntual q puesta en ese punto.
3.1. L´ıneas del campo el´ectrico
Una manera conveniente de comprender los patrones de los campos el´ectricos es trazar l´ıneas en la misma direcci´on de dichos campos en diferentes lugares del espacio. A estas l´ıneas se les conoce comol´ıneas del campo el´ectrico y se relacionan con el campo el´ectrico en un punto del espacio seg´un los siguientes criterios:
4 En cada punto, el vector campo el´ectrico tiene la misma direcci´on y sentido que la l´ınea de campo el´ectrico que pasa por ese punto.
4 El n´umero de l´ıneas por unidad de ´area que pasan por una superficie perpendicular a las l´ıneas de campo es proporcional a la magnitud del campo el´ectrico en esa regi´on. Por lo tanto, el campo el´ectrico es m´as intenso en las zonas donde las l´ıneas de campo est´an m´as pr´oximas unas de otras, por el contrario, es peque˜no cuando las l´ıneas de campo el´ectrico est´an separadas.
Las l´ıneas del campo el´ectrico tambi´en pueden ser entendidas como la direcci´on que seguir´ıa una carga puntual positiva al ser puesta en tal campo el´ectrico, de este modo las l´ıneas para una carga puntual negativa y positiva son, en dos dimensiones, como se muestran a continuaci´on:
La representaci´on anterior es s´olo en dos dimensiones, pero se debe considerar que las l´ıneas van en todas direcciones.
Cuando tenemos una distribuci´on de cargas es necesario tomar en cuenta las siguientes reglas:
4 Las l´ıneas de campo el´ectrico parten de cargas positivas y terminan en las cargas negativas, o en el infinito si existe exceso de carga.
4 El n´umero de l´ıneas de campo que partan de la carga positiva o lleguen a la negativa, debe ser proporcional a la magnitud de la carga.
4 Las l´ıneas de campo el´ectrico nunca pueden cruzarse.
Desaf´ıo...
Seg´un la siguiente figura que representa las l´ıneas del campo el´ectrico de un objeto, ¿d´onde el campo el´ectrico es m´as intenso? ¿enP o en Q? Respuesta
4.
Potencial el´
ectrico, tensi´
on o voltaje
Consideremos una carga puntual que genera un campo el´ectrico a su alrededor. Tomemos en cuenta dos puntos distintosAyBdentro de este campo. Si en el puntoAcolocamos una carga de prueba positiva de magnitudq, ´esta sentir´a la fuerza el´ectricaF~ descrita por la ley de Coulomb debida al campo el´ectrico que act´ua sobre ella. Supongamos adem´as que la carga se mueve por acci´on de esta fuerza deA hastaB.
Este desplazamiento debido a la fuerza F~ implica un trabajo que llamaremosWAB, el cual representa
la energ´ıa que entrega F~ a la carga q para moverla de A a B. Se define comopotencial o diferencia de potencial VA−VB o simplemente VAB a la siguiente relaci´on:
VAB =
WAB
q (5)
A lo anterior tambi´en se le llamatensi´on el´ectrica o voltaje. De este modo cuando expresamos que la tensi´on o voltaje entre dos puntos es muy alta, quiere decir que un campo el´ectrico est´a realizando un trabajo considerable para mover las cargas entre dos puntos. Como el trabajo se mide en Joules [J] y la carga en Coulomb [C], diremos que la medida del voltaje, el Volt [V], es igual a:
1V = 1J
C Desaf´ıo...
¿Cu´al es el voltaje necesario para mover 6,25·1018 electrones haciendo un trabajo
de 1[J]? Respuesta
4.1. Tensi´on el´ectrica entre placas paralelas
Consideremos dos placas paralelas con cargas iguales pero de signo contrario, se-paradas una distancia d. Por lo visto anteriormente sabemos que existe un campo el´ectrico entre ellas que va de la placa positiva a la negativa. Si la separaci´on entre las placas es suficientemente peque˜na, el campo el´ectrico entre ellas ser´a uniforme, es decir, el valor del campo el´ectrico ser´a el mismo en todo el espacio entre las placas. El potencial el´ectrico o voltaje entre las placas puede calcularse soltando una carga de prueba inicialmente en reposo desde la placa positivaA, determinando el trabajo que se realiza sobre ella al ser desplazada hasta la placa negativa B usando la expresi´on
(5) para calcular VAB.
En este caso el trabajo mec´anico est´a dado por el producto entre el desplazamiento dy la magnitud de la fuerza el´ectrica F, matem´aticamente es W =F ·d ya que tienen igual direcci´on y sentido. Como
F =q·E, el trabajo lo podemos expresar como WAB =q·E·d. Por lo tanto, el voltaje o potencial entre
las placas A yB ser´a:
VAB =E·d (6)
De este modo s´olo necesitamos saber el voltaje y la separaci´on entre las placas para determinar la magnitud del campo el´ectrico entre un par de placas paralelas.
4.2. Potencial el´ectrico de una carga puntual
Cuando determinamos el voltaje lo hacemos comparando dos puntos, por lo que siempre hemos calcu-lado la diferencia de voltaje entre dos regiones en un campo uniforme, pero no hemos llegado a determinar cu´al es su magnitud en un punto particular, ni cu´al es el valor del voltaje en un campo no uniforme como el que genera una carga puntual. Con m´etodos que se estudian en cursos superiores de f´ısica y matem´atica es posible determinar el valor del voltaje entre dos puntos en un campo no uniforme. Con tales m´etodos, considerando el segundo punto en el infinito, es posible llegar a que el potencial o tensi´on el´ectrica en un punto del espacio est´a dado por:
V =k0 Q
r (7)
donde r es la distancia del punto a la carga Q, k0 es la constante de Coulomb y Q el valor de la carga
puntual.
5.
Condensador de placas paralelas
Si tenemos dos placas paralelas, las cuales conectamos a una fuente de voltaje como una pila, se generar´a un campo el´ectrico entre ellas. Este campo el´ectrico tiene asociado una energ´ıa o tra-bajo como muestra la ecuaci´on (5). Si desconectamos las placas de la fuente de voltaje, ´estas seguir´an cargadas con signos opuestos, por lo tanto, continuar´a habiendo entre ellas un campo el´ectrico que podemos ocupar como energ´ıa. Con este sencillo montaje se ha construido un artefacto que es capaz de albergar carga, voltaje y energ´ıa, el cual se llama condensasor o capacitor.
Un condensador o capacitor es un par de placas paralelas separadas por una distancia peque˜na d
y alg´un material no conductor entre ellas, el cual recibe el nombre de diel´ectrico. Tal diel´ectrico ayuda a aumentar la capacidad de almacenamiento de carga de un capacitor. Si conectamos las placas del condensador a las terminales de una bater´ıa, se transferir´a una cantidad de cargaQque ser´a directamente proporcional al valor del voltajeV suministrado por la pila, es decir:
Q∝V
O lo que es lo mismo:
dondeC es la constante de proporcionalidad llamadacapacitancia o capacidad del condensador e indica cu´anta carga puede almacenar un condensador al mantener el voltaje fijo. La unidad de medida de la capacitancia es elFarad [F] en honor a Michael Farad, la que es igual a coulomb sobre volt:
1F = 1C
V
5.1. Variables de la capacitancia
La capacidad de carga de un condensador no depende s´olo de cu´anta diferencia de voltaje se le suministra a las placas, sino que influyen tambi´en la distancia dde separaci´on de las placas, el ´area de las placas y el diel´ectrico que usamos entre ellas. Si separamos las placas, el campo el´ectrico entre ellas ser´a m´as d´ebil, por lo tanto, habr´a una capacidad de carga menor. Por otro lado, si aumentamos el ´area de las placas habr´a una capacidad de carga mayor. Adem´as mientras mejor aislante sea el diel´ectrico entre las placas, mayor capacidad de carga tendr´a el condensador. Todo esto lo podemos escribir matem´aticamente como:
C= εA
d (9)
donde A es el ´area de una placa, d la separaci´on de las placas y ε = k·ε0, donde k es la constante
diel´ectrica que depende de cada material yε0 la permeabilidad del vac´ıo.
6.
Cargas en movimiento
6.1. Fuerza el´ectrica sobre una carga en movimiento
Supongamos que dentro del campo el´ectrico uniformeE, producido por dos placas paralelas, se intro-duce una carga puntual de magnitudq. Por la ley de Coulomb sabemos que experimentar´a una aceleraci´on debida a la fuerza el´ectrica, las cuales tendr´an direcci´on y sentido igual al campo el´ectrico. ComoF~ =m·~a
yF~ =q·E~ esto implica queq·E =m·a:
a=E· q
m (10)
Por lo tanto, si dejamos una part´ıcula cargada en reposo en alg´un punto dentro del campo el´ectrico, la fuerza el´ectrica de una placa a la otra produce que esta part´ıcula se mueva en l´ınea recta con aceleraci´on de magnitudahacia la placa de carga con signo contrario. Si ahora en vez de dejarla en reposo le damos alguna velocidad inicial en el eje perpendicular al campo, la part´ıcula cargada describir´a par´abolas igual que en un lanzamiento de proyectil, pero ahora con una aceleraci´on que no es la de gravedad, dada por el campo gravitatorio terrestre, sino con una generada por el campo el´ectrico constante y uniforme entre las placas.
En estas circunstancias las ecuaciones de movimiento para un proyectil son v´alidas, pero teniendo la consideraci´on de que la aceleraci´on ahora es la el´ectrica dada por la ecuaci´on (10) de esta gu´ıa.
6.2. Fuerza magn´etica sobre una carga en movimiento
La fuerza magn´eticaF~m que experimenta una carga de magnitud q que va con velocidad~v dentro de
un campo magn´eticoB~ es igual a:
~
Fm=q~v×B~ (11)
La magnitud de la fuerzaF~m es igual a:
Fm=qvBsinθ
donde θ es el ´angulo entre el vector campo magn´etico y la velocidad de la part´ıcula. Por otro lado, la direcci´on y sentido de Fm est´a dado por la regla de la mano derecha, dondeFm siempre es perpendicular
a ~v y B~. De esto se concluye que la fuerza Fm es cero cuando B~ y ~v son paralelos y Fm tiene su valor
m´aximo cuando son perpendiculares.
Como la fuerza magn´etica es perpendicular a la velocidad, ´esta s´olo puede alterar la direcci´on del vector velocidad, pero no puede cambiar la rapidez de la part´ıcula. No obstante, s´ı existe una aceleraci´on en la direcci´on de la fuerza, la cual es como la fuerza centr´ıpeta en un movimiento circular, de hecho una part´ıcula cargada con velocidad en una sola componente experimenta un movimiento circu-lar cuando est´a en presencia de un campo magn´etico uniforme. Basta con que la carga sea de signo contrario ´o los vectores velocidad, fuerza magn´etica o campo magn´etico var´ıen su sentido, para que la part´ıcula cambie su sentido de giro.
Desaf´ıo...
Una part´ıcula de carga q se mueve con velocidad v perpendicular a un campo magn´etico B describe un movimiento circular uniforme. Si cambiamos el signo de la carga y campo ¿Qu´e ocurre con el sentido de giro?Respuesta
6.3. Fuerza magn´etica debida a un conductor el´ectrico
Cuando pasa corriente por un conductor el´ectrico, los electrones libres del metal se desplazan, este flujo de cargas produce un campo magn´etico alrededor del cable conductor. En 1.820 Hans Christian Oersted descubri´o accidentalmente la relaci´on que existe entre la electricidad y el magnetismo, determin´o que
toda corriente el´ectrica produce un campo magn´etico a su alrededor. Este campo magn´etico es m´as intenso a medida que la corriente el´ectrica que circula por el conductor es mayor.
As´ı en un alambre conductor de corriente el´ectrica se generar´an l´ıneas de campo, las cuales ser´an c´ırculos conc´entricos al cable recto cuyos planos son perpendiculares al alambre. La direcci´on del campo magn´etico es tangente a los c´ırculos y apunta en el sentido que indica la Regla de la mano derecha.
Regla de la mano derecha para el magnetismo
Si “tomamos” el conductor por el cual circula corriente con la mano derecha y con el dedo pulgar apuntando en el sentido de la corriente el´ectrica, los otros cuatro dedos se˜nalar´an el sentido del campo magn´etico.
Figura 1: El pulgar debe ir en direcci´on de la corriente y los dedos restantes dar´an la direcci´on circular del campo magn´etico.
Para un conductor infinitamente largo el campo magn´etico producido por la corriente I que circula por ´el, en un punto situado a una distanciad, est´a dado por:
B = µ0I
2πd (12)
donde µ0 es la permeabilidad del vac´ıo con un valor de 4π·10−7
W b
A·m
. Notar que la magnitud del campo magn´etico es directamente proporcional a la intensidad de corriente e inversamente proporcional a la distancia.
Desaf´ıo...
Entre los puntos A y B se dispone de un cable por el cual se transportan cargas negativas. En medio de ´este se ha colocado un objeto que genera un campo magn´ eti-co que apunta hacia dentro de la hoja. ¿Para d´onde se mover´a el cable cuando la corriente circule deAa B?¿Qu´e ocurre cuando se invierte el sentido de la corriente?. Res-puesta
6.4. Fuerza magn´etica entre dos conductores paralelos
Es evidente que al haber dos conductores por los cuales circu-la corriente, cada uno de ellos genera un campo magn´etico a su alrededor capaz de interactuar con el otro conductor a trav´es de una fuerza magn´etica, esto debido a que existen cargas movi´ endo-se a lo largo de cada cable, las que est´an insertas en el campo magn´etico producido por el alambre contrario. La direcci´on de tal fuerza es perpendicular a las direcciones de la corriente y del cam-po magn´etico, la cual est´a dada por la regla de la mano derecha para el producto cruz entre los vectores direcci´on de corriente y campo magn´etico. La magnitud de la fuerza magn´etica Fm entre
dos conductores de largo L que portan corrientesI1 e I2 respectivamente y se encuentran separados por
una distanciades:
Fm =
Lµ0I1I2
2πd (13)
Notar queFm es inversamente proporcional a la distancia de separaci´on de los conductores y
directa-mente proporcional al producto de las corrientes. En el caso que la corriente en ambos conductores tenga el mismo sentido, los cables tender´an a juntarse, mientras que cuando los conductores paralelos llevan corriente en sentidos opuestos, estos se repeler´an.
Desafios resueltos
3 Desaf´ıo I: Como la fuerza el´ectrica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, basta aumentar al doble la distancia entre las cargas para que la fuerza disminuya a la cuarta parte. Si una de las cargas disminuye a la mitad, la fuerza el´ectrica tambi´en lo har´a. Volver
3 Desaf´ıo II: El campo es m´as intenso en P, ya que las l´ıneas de campo est´an m´as cerca unas de otras.
Volver
3 Desaf´ıo III: Es necesario 1[V] para mover 6,25·1018 electrones con 1[J] de energ´ıa. Volver
3 Desaf´ıo IV: Por la ecuaci´on (11) si cambiamos el sentido del campo y el signo de la carga se tiene:
~
Las cantidades escalares se pueden sacar del producto cruz, por lo tanto
~
Fm= (−)(−)q~v×B~ =q~v×B~
La fuerza magn´etica no cambi´o en magnitud, direcci´on y sentido. Adem´as la velocidad no se ha modificado, por lo tanto no hay varicaci´on en el sentido de giro.Volver
3 Desaf´ıo V: Si la corriente va deAaBel cable se curvar´a hacia arriba. Por el contrario, si la corriente circula de B a A el cable se curvar´a hacia abajo. Volver
Bibliograf´ıa
[1 ] F´ısica 4◦ Educaci´on Media, Santillana (2010)
Felipe Moncada Mijic, Pablo Vald´es Arriagada.
[2 ] F´ısica Tomo II,Tercera edici´on, Mc Graw-Hill. M´exico (1992)
Raymond A. Serway.
[3 ] F´ısica General, Tercera edici´on, Harla. M´exico (1981)
Beatr´ız Alvarenga, Antˆonio M´aximo.
[4 ] F´ısica Conceptual,Novena edici´on, Pearson Educaci´on. M´exico (2004)
Paul Hewitt.
[5 ] Manual de preparaci´on PSU ciencias m´odulo optativo, F´ısica, Ediciones Universidad
Cat´olica de Chile, Chile (2004)
