Electromagnetismo Líneas de transmisión 2

Electromagnetismo 2018

Electromagnetismo 2018

Plan de la clase:

Líneas de transmisión 2

1 – Adaptación de impedancias 2 – Carta de Smith 3 – Líneas resonantes

4 – Propagación de transitorios en líneas 5 – Modelo Spice de líneas de transmisión

6 – TDR (Reflectometría en el dominio del tiempo)

Líneas de transmisión 2

1 – Adaptación de impedancias

La adaptación de impedancias entre circuitos permite lograr máxima transferencia de energía. Cuando el circuito incorporar líneas de transmisión, hay dos técnicas básicas de adaptación.

Adaptador de cuarto de onda:

Suponemos línea ideal y carga real. El sistema consiste en colocar un tramo de línea (adaptador) entre la línea y la carga. La condición de adaptación es que la impe-dancia de entrada del conjunto adaptador+ carga sea igual a la impedancia carácterística de la línea original:

Entonces:

Para que se cumpla la igualdad entre estos complejos deben ser iguales por separado las partes real e imaginaria:

3 0 cos( ) sen( ) ( ) cos( ) sen( ) L a a a a a in a a a a a L a a Z L jZ L Z Z L Z Z Z L jZ L           2 0 0

cos( ) sen( ) cos( ) sen( )

a L a a a a a a a a L a a Z Z  L  j Z  L  Z Z  L  j Z Z  L 0 2 0 cos( ) cos( ) sen( ) sen( ) a L a a a a a a a a L a a Z Z L Z Z L Z L Z Z L      

Líneas de transmisión 2

Adaptación de impedancias Adaptador de cuarto de onda:

Si la primera ecuación requiere , que no es el caso. Entonces tomamos :

y de la segunda ecuación obtenemos:

Como la longitud de adaptador más corta se da para: Entonces las ecuaciones que definen el adaptador son:

Aunque trabajamos con una carga real, se puede extender la idea a cargas complejas.

El adaptador de cuarto de onda presenta dos desventajas principales: - Es difícil encontrar líneas comerciales de la impedancia requerida.

- La adaptación sólo vale para la frecuencia de diseño. ₄

cos(_aL_a)  0 0 2 0 cos( ) cos( ) sen( ) sen( ) a L a a a a a a a a L a a Z Z L Z Z L Z L Z Z L       0 L Z  Z





cos( ) 0 2 1 sen( ) 1 2 aLa aLa n aLa           0 a L Z  Z Z 2 a a     2 4 a a a L      0 ; 4 a L a a Z  Z Z L 

Líneas de transmisión 2

Adaptación de impedancias Adaptador de stub:

Este sistema utiliza un trozo de la misma línea en uso, cortocircuitado (stub) para la adaptación. El stub, de longitud L_s, se conecta en paralelo a la línea a una distancia d_s de la carga. La admitancia de entrada del sistema línea+carga es:

y la admitancia de entrada del stub cortocircuitado es: Para adaptación:

igualdad que separamos en la igualdad de partes real e imaginaria: 5



2 2



0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 sen(2 ) cos( ) sen( ) ₂ ( )

cos( ) sen( ) cos ( ) sen ( )

L L s L s s in s s L s s L s j Y Y Y Y d Y d j Y d Y Y d Y Y Y d j Y d Y d Y d                





0cotan s s Y  jY L 0 in s Y Y Y





























0 2 2 2 2 0 2 2 1 2 0 2 2 2 2 0 Re: 1 cos sen sen 2 Im: cotan 0 cos sen L s L s L s s s L s Y Y Y d Y d Y Y d L Y d Y d            

Líneas de transmisión 2

Adaptación de impedancias Adaptador de stub:

Operamos con estas ecuaciones para obtener:

Aunque trabajamos con una carga real, se puede extender la idea a cargas complejas.

El adaptador de stub presenta la desventajas:

- La adaptación sólo vale para la frecuencia de diseño.

- La conexión en paralelo con la línea original es conflictiva por la seguridad y el posible ingreso de interferencias al sistema.

6





























0 2 2 2 2 0 2 2 1 2 0 2 2 2 2 0 Re: 1 cos sen sen 2 Im: cotan 0 cos sen L s L s L s s s L s Y Y Y d Y d Y Y d L Y d Y d            





0 1 1 0 0 tan ; tan 2 2 L s L s L Z Z d Z Z L Z Z           _ _   

Líneas de transmisión 2

2 – Carta de Smith

La carta de Smith es una ayuda gráfica esencial para el proceso de adapta-ción. Aunque fue desarrollada en la década de 1930, es de utilidad actual y se ha incorporado a software de diseño de antenas y sistemas de microondas.

Teoría:

En lo que sigue reemplazamos la coordenada de posición a lo largo de la línea

z por  para no confundir con la impedancia normalizada z().

La impedancia de onda a lo largo de una línea ideal de parámetros Z₀,  conectada a una carga Z_L es:

Si llamamos: impedancia normalizada, y:

al fasor dependiente de la posición que incorpora el coeficiente de reflexión, nos queda una ecuación bilineal compleja:

7 (2 ) 2 2 (2 ) 0 1 1 ( ) 1 1 j j j j L L L j j j j L L L e e e e Z Z e e e e                               0 ( ) ( ) ( ) ( ) z   Z  Z  r   j x  (2 ) ( ) _L j ( ) ( ) w    e   u   jv  1 ( ) 1 w z w    

Líneas de transmisión 2

Carta de Smith Teoría:

La carta de Smith se basa en esta transformación bilineal. Se trata de un gráfico en el plano complejo w.

Como el diagrama completo en el plano w se halla dentro del círculo de radio unitario. Cada punto describe el fasor w(). A medida que nos movemos a lo largo de la línea, cambia el ángulo del fasor pero se mantiene constante su módulo .

Un traslado a lo largo de la línea se representa en el plano w como una circunferencia de radio constante .

Otras líneas de importancia en la carta de Smith son las líneas que representan la resistencia de onda r (parte real de la impedancia de onda normalizada) constante o la reactancia de onda x (parte imaginaria de la impedancia de onda normalizada) constante.

8 0 (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ; ( ) ( ) ( ) 1 _L j z Z Z r j x w z w e u jv w                      1  L  L  L 

Líneas de transmisión 2

Carta de Smith Teoría:

Hallamos las ecuaciones de r y x en el plano w: Racionalizamos el complejo del denominador:

Igualamos parte real e imaginaria por separado:

Podemos mostrar que la forma de las curvas de r constante o x constante son también circunferencias en el plano w.

Con la expresión de r operamos completando cuadrados:

Las líneas de r cte. son circunferencias de radio y centradas en el punto que se halla so-bre el eje real del plano w.

9 0 (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ; ( ) ( ) ( ) 1 _L j z Z Z r j x w z w e u jv w                      2 2 2 2 2 2 (1 )(1 ) 1 2 (1 ) (1 ) u jv u jv u v j v r jx u v u v               2 2 2 2 2 2 1 2 ; (1 ) (1 ) u v v r x u v u v        





2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ) 1 ₁ u v r r u v u v r _r       _  _     _  _{ } 1 1 1 1 w u jv z r jx w u jv           ) 1 /( 1  r



u  r / (1 r) , v  0



Líneas de transmisión 2

Carta de Smith Teoría:

Se ve también que:

• la curva para r = 0 tiene la ecuación y coinci-de con la circunferencia exterior coinci-de la carta,

• la curva para r   tiene la ecuación y coincide con el punto (1,0).

Análogamente, de la ecuación para la reactancia normalizada x obtenemos:

Los centros se hallan sobre un eje vertical que pasa por el punto u = 1 del eje real.

Se ve también que:

• Para x = 0 el radio  y la curva coincide con el eje real.

• Para x   se tiene la ecuación , que nue-vamente coincide con el punto (1,0). 10









2 2 2 1 ; 1 / (1 ) ; : / (1 ) , 0 1 ₁ r u v Radio r Centro u r r v r _r  _  _{      }  _     1 2 2   v u





2 ₂ 1 0 u   v 



 







2 2 ₂ 2 2 2 1 1 1 (1 ) 1 ; : 1 , 1 v x u v x x u v Radio x Centro u v x           





2 ₂ 1 0 u   v 

Líneas de transmisión 2

Carta de Smith

En la Figura se muestra una carta están-ar. Los círculos de r constante muestran el valor sobre el eje real, y los círculos de

x constante muestran el valor sobre el primer círculo exterior. Los círculos de x

constante corresponden a reactancias normalizadas inductivas (positivas) en el semiplano superior y a reactancias nor-malizadas capacitivas (negativas) en el semiplano inferior.

Como la carta está dibujada en el plano

w del fasor coeficiente de reflexión, y su radio es 1, la longitud de cualquier seg-mento entre el centro del círculo y un punto cualquiera da el módulo de  y el ángulo que este segmento forma con el eje real positivo da el ángulo de fase para la posición ζ en ese punto.

Líneas de transmisión 2

Carta de Smith

Variar la posición  a lo largo de la línea implica cambiar el ángulo de fase del complejo (u,v), lo que implica girar alrededor del centro del diagrama a _L constante . Como los ángulos aumentan convencionalmente en el sentido antihorario, y el sentido positivo de la coordena-da  es hacia la carga, un giro antihorario representa un movimiento hacia la carga, y el giro horario un movi-miento hacia el generador .

El círculo exterior del diagrama permite medir estos des-plazamientos, calibrados en longitudes de onda. El cero de desplazamiento se coloca sobre el eje real negativo. Dado que se miden diferencias de longitud (la posición a lo largo de la línea respecto de la posición de la carga) no importa dónde se ponga el cero. De la expresión polar de _L se ve que hacer un giro completo en la carta de Smith involucra un desplazamiento de /2 a lo largo de la línea:

Por eso el círculo externo, que mide desplazamientos en términos de  está graduado de 0 a 0.5, en ambos sentidos de giro. Este círculo también presenta una escala graduada en grados para la medición de ángulos de fase.

12

Líneas de transmisión 2

Carta de Smith

La parte inferior de la carta de Smith incluye varias escalas de distintos parámetros a izquierda y derecha del centro, de manera de maximizar la información. Describimos las escalas más importantes desde arriba hacia abajo:

• Izquierda: [SWR] ROE

• Izquierda: [dBS] ROE (dB)

Como la ROE depende únicamente del módulo de ρ, los círculos de constante son tambíén el lugar geométrico de ROE constante.

• Izquierda: [RTN LOSS] RL (dB) • Izquierda: [RFL COEFF P] • Izquierda: [RFL COEFF E or I] 13



1 _L

 

1 _L



ROE         10 20 log dBS  ROE  

 

10 10 10 log 20 log _L RL  R    2 L R   L 

Líneas de transmisión 2

Carta de Smith

Ejemplo: Una línea de 50  está terminada por una resistencia de 30  en serie con una reactancia capacitiva de 70 . Hallar: a) _L y ROE, b) la impedancia de entrada si la longitud de la línea es L = 0.1 y c) los valores de longitud de línea que llevan a una impedancia de entrada puramente resistiva y los valores de estas impedancias.

La impedancia de carga normalizada a la impedancia característica de la línea es:

a) Para calcular el valor de trazamos el circulo concéntrico con el diagrama que pasa por A y medimos el valor del radio y el ángulo. Obtenemos (el valor calculado es ), . En las escalas inferiores (D) :

b) Para calcular la impedancia de entrada giramos sobre el círculo perimetral desde el radio de A en el sentido horario y llegamos a C, donde tenemos: que corresponde a una impedancia de entrada: .

c) Las longitudes de línea con impedancia de entrada resistivas corresponden a los puntos sobre el eje real de la circunferencia que pasa por A: D (separado de A en 0.16λ) y luego el

B (separado de D en /4). Luego estos puntos se repiten cada /4. En estos puntos las impedancias de entrada son:

14   0 30 70 50 0.6 1.4 L Z Z   j   j  A L  0.69 L   _L  0.685 L  64.5º 0.69 ; 5.5 L ROE    0.1 L   0.21 0.38 in z  j 10.76 19.02 in Z   j  0 0 0.18 9 , 5.4 270 D B Z Z   Z Z  

Líneas de transmisión 2

Carta de Smith

Ejemplo: Usar la carta de Smith para diseñar un adaptador de cuarto de onda entre una línea de Z₀ = 100  y c = 0.87c₀ y una carga Z_L = 150(1+j)  a 20 MHz

La solución consiste en intercalar el adaptador a una distancia z_s de la carga, de manera que la impedancia de entrada Z_in del conjunto línea+carga sea real. El cálculo de esta posición es complicado con las ecuaciones, pero es fácil con la carta de Smith.

La impedancia de carga normalizada vale:

(punto A). Para hallar la posición donde intercalar el adaptador, nos movemos desde A sobre la circunferencia de  constante hacia el generador (en sentido horario) hasta el primer cruce con el eje real (B). Leemos en la escala exterior la longitud del arco que nos da la posición deseada z_s para el adaptador, y del eje real la impedancia (real) Z_in en ese punto, que será la impedancia que hay que adaptar a la línea. En nuestro caso: Finalmente, el adaptador debe tener los parámetros:

15 0 / 1.5 1.5 L L z  Z Z   j 0.307 0.25 0.057 0.057 0.74 3.33 0 333 s in c z m Z Z f            0 183 ; 3.26 4 4 a a in a c Z Z Z L m f       

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3 – Líneas resonantes

Las líneas pueden usarse como circuitos sintonizados. Sea una línea de bajas pérdidas cortocircuitada en el extremo de carga. A la entrada presenta una impedancia:

Pero:

Para bajas pérdidas: y entonces:

si , condición que demostramos a continuación.

La impedancia Z_in es similar a la de un circuito resonante serie RLC, donde la frecuencia de resonancia es donde se anula la parte imaginaria. En nuestro caso, la condición de resonancia es:

16

 

 

 

0

 

 

0 0 0 cos sen ( ) tan cos sen L in L Z d jZ d Z Z d Z jZ d Z d jZ d           

 





tan

 

_{  }

tan





_

tan

 

_{ }

tanh

 

_{ }

tan tan

1 tan tan 1 tan tanh

d j d d j d d j d d j d j d d               _  _    

 

 

tan

 

_{ }

1 tanh tan 1 tan d j d d d d d j d d              

 

 

 

0 0 tan tan 1 tan in d j d Z jZ Z d j d j d d          _  _  (2 1) 2 d n    

 

2 tan 0 2 _n n d d d d n n            

Líneas de transmisión 2

Líneas resonantes

Para una línea de longitud d, las longitudes de onda de resonancia dependen del valor de n. Corresponden a frecuencias de resonancia:

donde c es la velocidad de las ondas en la línea a la frecuencia dada.

Siguiendo la analogía con un circuito serie RLC puede demostrarse que el factor de calidad Q y el ancho de banda f que exhibe la línea cortocircuitada es:

donde _n = 2f_n, y R, G, L y C son los parámetros del modelo circuital de la línea. Como en una línea de bajas pérdidas:

vemos que el Q es alto y el ancho de banda es bajo en una línea resonante.

17

 

0 tan in Z  Z _d  j d _

 

2 tan 0 2 _n n d d d d n n             2 2 n n n c d nc f f n d      1 n n n n n f Q f R G L C             ; n n R  L  C

Líneas de transmisión 2

4 – Propagación de transitorios en líneas

Hasta ahora usamos la representación en el dominio de la frecuencia para anali-zar líneas en estado permanente o estado de régimen.

En lo que sigue estudiamos el comportamiento transitorio, que es de aplicación en el caso de la propagación de pulsos no periódicos por la línea. Esto es útil en muchas aplicaciones digitales y en la modelación de fallas en las líneas. En este caso usamos la representación en el dominio del tiempo.

Transitorios con cargas resistivas:

En t = 0 se conecta la llave. Vamos a describir los valores de tensión y corriente en la entrada y en la salida de la línea.

La onda inicial o de arranque “ve” solamente la serie de R_s y Z₀ ya que, una vez en la línea (z = 0+) la impedancia de la onda es Z₀. Entonces tenemos en el instante inicial: 18









0 0 0 0 0 0 0 (0, 0 ) 0 : 0 : (0, 0 ) s s s s i I V R Z t z v V I Z Z V R Z           _     

Líneas de transmisión 2

4 – Propagación de transitorios en líneas

Después de cerrar el interruptor las ondas i₊ = I₀ y v₊ = V₀ se propagan hacia la carga con la velocidad c. Con esta velocidad, el frente de ondas tarda en llegar a la carga:

La desadaptación de impedancias produce una onda reflejada, de manera que en el instante en que se produce la reflexión parcial la tensión y corriente en el extremo de carga serán la superposición de las ondas incidente y la reflejada:

donde _L es el coeficiente de reflexión sobre la carga:

19 0 D t  c









0 0 0 0 0 ( , ) 1 : : ( , ) 1 D L D D L v t v v V t t z i t i i I                  _     









0 0 0 0 0 0 0 (0, 0 ) 0 : 0 : (0, 0 ) s s s s i I V R Z t z v V I Z Z V R Z           _      0 0 Z Z Z Z L L L _   

Líneas de transmisión 2

Propagación de transitorios en líneas

Las ondas reflejadas v_˗ y i _˗ viajan ahora hacia el generador (las ondas incidentes siguen propagándose desde el generador hacia la carga). En el instante 2t_D las ondas reflejadas llegan al generador, donde la nueva desadaptación de impedan-cias crea una nueva onda “reflejada” progresiva:

donde _S es el coeficiente de reflexión sobre la fuente:

La nueva onda progresiva y viaja hacia la carga, donde llega en 3t_D, instante en el que se genera una nueva onda regresiva.

20

















0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0, 0 ) 0 : 0 : (0, 0 ) ( , ) 1 : : ( , ) 1 s s s s D L D D D L i I V R Z t z v V I Z Z V R Z v t v v V t t z t c i t i i I                    _              _       0 0 Z Z Z Z L L L _   













0 0





00





00 (0, 2 ) 1 1 2 : 0 : (0, 2 ) 1 1 D L s L L s L D D L s L L s L v t v v v V V V t t z i t i i i I I I                                    _             v_ i_

Líneas de transmisión 2

Propagación de transitorios en líneas

El proceso de reflexiones múltiples se puede ver más fácilmente mediante los

diagramas de rebote o diagramas de malla de Bewley:

Salvo en los casos de generador ideal y carga en cortocircuito o circuito abierto, en que se producen oscilaciones permanentes,< 1 y cada término es menor que el precedente y la serie finalmente converge a un valor límite. Vamos a analizar ejemplos de formas de onda que se obtienen cuando se colocan diversas impedancias (resistivas) de carga.

21

















0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0, 0 ) 0 : 0 : (0, 0 ) ( , ) 1 : : ( , ) 1 s s s s D L D D D L i I V R Z t z v V I Z Z V R Z v t v v V t t z t c i t i i I                    _              _      













0 0





00





00 (0, 2 ) 1 1 2 : 0 : (0, 2 ) 1 1 D L s L L s L D D L s L L s L v t v v v V V V t t z i t i i i I I I                                    _            

Líneas de transmisión 2

Propagación de transitorios en líneas

V_s = 10V, R_s = 10 . Z₀ = 50  Z_L   (circuito abierto):

Las gráficas de tensión y corriente en ambos extremos de la línea son:

La tensión y la corriente a la entrada de la línea oscilan tendiendo a los valores finales: que es el estado estacionario (de corriente continua) donde ya no hay ondas viajeras en la línea. La línea es entonces un cortocircuito y la tensión final sobre la carga es la misma que la tensión de entrada (e igual a la tensión de la fuente). La corriente sobre la carga es siempre cero, como debe ser, y la corriente en la entrada tiende a su valor final cero.

22 0 0 0 0 2 1 ; 3 L s L s L s R Z R Z R Z R Z            0 0 0 0 0 0 8.33 ; 0.167 s s Z V V V V I A R Z Z      0 (0, ) ( , ) _s 10 v   v  V  V

Líneas de transmisión 2

Propagación de transitorios en líneas

V_s = 10V, R_s = 10 . Z₀ = 50  Z_L = 0 (cortocircuito):

Las gráficas de tensión y corriente en ambos extremos de la línea son:

En este caso, tensión y corriente tienden monótonamente a sus valores finales.

La tensión a la salida es siempre cero, por el cortocircuito, mientras que a la entrada tien-de a su valor límite nulo tien-de corriente continua. La corriente tientien-de en ambos extremos tien-de la línea a su valor límite de continua que vale:

A tiempo infinito, ya no hay ondas viajeras por la línea y ésta se comporta como un

corto-circuito por el que circula corriente estacionaria. 23

2 1 ; 3 L s       0 0 0 0 0 0 8.33 ; 0.167 s s Z V V V V I A R Z Z      0 (0, ) ( , ) _s / _s 1 i   i  V R  A

Líneas de transmisión 2

Propagación de transitorios en líneas

V_s = 10V, R_s = 10 . Z₀ = 50 

En los siguientes casos graficamos tensión y corriente en ambos extremos de la línea con valores finitos de impedancia de carga.

Z_L = 200  (Z_L > Z₀):

Z_L = 20  (Z_L < Z₀):

• si Z_L < Z₀ la tendencia de tensión y corriente en los extremos de la línea es monótona hacia sus valores finales,

• si Z_L > Z₀ la tendencia de tensión y corriente en los extremos de la línea es oscilante.

Se puede extender este análisis a cargas no resistivas mediante la tranf. de Laplace.

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5 – Modelo Spice de líneas de transmisión

Spice implementa dos modelos de línea de transmisión:

• Un modelo para la línea ideal (T);

• Un modelo para la línea con pérdidas (TLOSSY).

El modelo para la línea ideal –cuyo símbolo Pspice se muestra en la figura– se define por sus parámetros:

Z0: impedancia característica (real) y TD: tiempo de viaje de las ondas entre los extremos de la línea.

El siguiente ejemplo grafica la Z_in vs. frecuencia para una línea de Z₀ = 50 , c = 0.67 c₀ y

ℓ₀ = 3m, conectada a una fuente senoidal Thevenin con V_s = 10 V, Z_s = 50 , y a una carga

Z_L = 150 . El modelo de Spice usa la opción AC para calcular el barrido en frecuencia.

Modelo Spice Cálculo analítico Salida de Spice

25

0 15

D

Líneas de transmisión 2

Modelo Spice de líneas de transmisión

En los siguientes ejemplos graficamos por Spice tensión y corriente en la entrada y salida de las líneas conectadas a una fuente cc. Z₀ = 50 , t_D = 15 ns, R₀ = 8 .

Para simular este ejemplo se usa la opción transitoria (TRAN) de Spice. El escalón se construye con la función PWL. Usamos un tiempo de simulación  100 ns para ver varios rebotes:

26

0

33 ; 1 ; ( ) 12

Líneas de transmisión 2

6 – TDR (Reflectometría en el dominio del tiempo)

El esquema de la figura permite analizar fallas en líneas y propiedades de la carga.

La técnica se basa en enviar un escalón o un pulso desde la entrada de la línea mediante un generador adaptado (para no crear rebotes) y observar la forma de onda en la entrada con un osciloscopio.

Si la carga no está adaptada, habrá rebotes del pulso que se verán a la entrada. Esta técnica se puede usar para:

• conociendo el tipo de línea (c), calcular su longitud,

• conociendo la longitud, calcular los parámetros de la línea,

• conociendo el tipo de línea (Z₀, c), calcular la impedancia de carga. Formas de onda con distintas cargas:

Líneas de transmisión 2

6 – TDR (Reflectometría en el dominio del tiempo)

Formas de onda con distintas cargas:

Estas formas de onda –y otras para discontinuidades más complejas– pueden modelarse mediante Spice.

Entre otras aplicaciones, esta técnica permite detectar fallas en líneas de transmisión muy largas midiendo desde un extremo (o desde un punto conveniente). Se envía un pulso y se observa la forma de onda. Si se registran rebotes es señal de que hay una desadaptación de impedancias, lo que habitualmente señala una falla en la línea. El tiempo de rebote da la posición de la (primera) discontinuidad. La forma de onda da el tipo de desadaptación y permite inferir el tipo de fallas. El análisis de los ejemplos precedentes se puede extender a múltiples puntos de desadaptación.