APUNTES DE LÓGICA Y CONJUNTOS

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APUNTES DE LÓGICA Y CONJUNTOS

Docente: Roque Julio Vargas R.

Departamento de Ciencias Básicas. Unidades Tecnológicas de Santander

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1 CAPITULO 1: LOGICA Y CONJUNTOS

1.1 LOGICA

La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento.

El razonamiento lógico se emplea en matemática para demostrar teoremas (Proposiciones); en Ciencias de la Computación para verificar si son o no correctos los Programas; en las Ciencias Físicas y Naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las Ciencias Sociales y en la Vida Cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Proposición es una expresión con sentido en algún lenguaje que afirma o niega algo y que nos proporciona información.

1.1.1 LA PROPOSICIÓN

Tiene en matemáticas un significado análogo al gramatical, aunque con una diferencia: para que una frase se considere como proposición debe tener sentido. Decir que ella es verdadera o falsa.

Por ejemplo: 2+1=3

La nieve es negra

Paris es la capital de Colombia

Si un triángulo es equilátero, entonces es equiángulo

Las anteriores son proposiciones en el sentido matemático; la primera y cuarta son verdaderas, la segunda y la tercera son falsas.

¿Cómo se llama usted? ¡Que Dios lo bendiga¡

No son proposiciones para la matemática, porque no tiene sentido afirmar que ellas sean verdaderas o falsas

Las proposiciones se denotan con la letras P, Q, R ….etc.. Ejemplo 1:

P: El tablero es blanco

Q: 2 + 3 = 7

R: A ella le gusta la música

Si observa las proposiciones, pueden ser Verdaderas o Falsas, no aceptan ambigüedades. No son proposiciones:

 El interruptor.  ¿Qué hora es?

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Estos enunciados no son proposiciones porque no tienen sentido, no afirman ni niegan. Valor de Verdad: Es una función que define una proposición.

El valor de verdad puede ser Verdadero (V) o Falso (F).

1.1.2 Tablas de Verdad

Una Tabla de Verdad es una forma de resumir el valor de verdad de las proposiciones. Esta se construye de acuerdo al número de proposiciones distintas que se den.

El número de combinaciones posibles de valores de verdad se determina al resolver la expresión.

n: representa el número de proposiciones dadas.

Si hay una sola proposición, n=1, resolvemos 21 = 2. Esto significa que se pueden dar dos posibles valores de verdad y la tabla que resulta es:

Si hay 2 proposiciones distintas P y Q, n=2 entonces resolvemos 22 = 4

Esto significa que se pueden dar cuatro combinaciones de valores de verdad y la tabla que resulta es: P Q V V V F F V F F

Las proposiciones pueden ser simples o compuestas. Son proposiciones simples:

P: El tablero es blanco

Q: 2 + 3 = 7

R: A Claudia le gusta la música

Compuestas cuando que se unen mediante símbolos llamados Conectivos Lógicos u Operadores Lógicos.

Conectivos Lógicos u Operadores Lógicos

Son símbolos que permiten relacionar una o más proposiciones.

Los conectivos son: la negación (“no P”) (~), la conjunción (“y”) (ʌ), disyunción (“o”) (˅),

P V F

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condicional (si P entonces Q) (→) y bicondicional (P si y sólo si Q) (↔).

Negación: ~ P

Dado un enunciado P, se puede formar otro enunciado que se llama negación de P, escribiendo: “es falso que…. “o” o “no….” Antes de la proposición P.

Simbólicamente se representa por:

Ejemplo:

P: El día está nublado ~ P: El día no está nublado

El valor de verdad de la negación depende del valor de verdad de la proposición original. Si p es verdadero, entonces ~ P es falso y viceversa.

La tabla de verdad que resume esto es:

P ~ P

V F

F V

La conjunción: P ˄ Q

Dos proposiciones simples cualesquiera se pueden unir mediante la palabra "y" para formar una proposición compuesta, que se llama Conjunción.

Simbólicamente se expresa por:

Ejemplo:

P: Juan es estudiante

Q: Juan es jugador de fútbol

P ˄ Q: Juan es estudiante y Juan es jugador de fútbol

Para poder analizar cualquier proposición compuesta y establecer su valor de verdad, es usual hacerlo a través de lo que se conoce como Tabla de Verdad, donde se muestran todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones simples que la componen y el respectivo valor de verdad de la proposición compuesta.

La tabla de verdad es:

P Q P ˄ Q V V V V F F F V F F F F ~P P ˄ Q

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Otros ejemplos de proposiciones de conjunción con su respectivo valor de verdad son:  6 es un número par y 6 es un entero positivo. (V)

 Colombia fue la sede de los Juegos Panamericanos de 1971 y Colombia es un país Latinoamericano. (V)

 2 + 5 = 7 y 2*5 = 7 (F)

La Disyunción: P ˅ Q

Dos enunciados cualquiera se pueden combinar mediante la palabra "o" (en el sentido y/o) para formar un nuevo enunciado que se llama disyunción de los dos enunciados previos

Simbólicamente se denota por:

Basta con que una de las proposiciones componentes sea verdadera, para que el valor de verdad de la disyunción sea verdadero.

Ejemplo:

P: Juan es estudiante Q: Margarita es atleta

P ˅ Q: Juan es estudiante o Margarita es atleta La tabla de verdad es:

P Q P ˅ Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Otro ejemplo de proposición disyuntiva con su respectivo valor de verdad  3 es un divisor de 8 o 3 es un número par. (F)

 Belmont es una marca de cigarrillo o Belmont es una marca de talco. (V)

 2 es un número par o 2 es un número primo. (V)

La Condicional: P→Q

Muchos enunciados en matemática son de la forma "Si P entonces Q;". Estos se llaman condicionales y se les denota por:

Para entender los valores de verdad que aparecen en la tabla de verdad del condicional, considérese el siguiente ejemplo:

P ˅ Q

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Ejemplo:

P: Consigo dinero Q: Te llevo al cine Miguel le dice a una amiga:

P Q: Si Consigo dinero entonces te llevo al cine Hay cuatro posibilidades:

 Miguel consigue dinero y lleva al cine a su amiga. En este caso, mantiene su promesa; por lo tanto, la proposición es verdadera.

 Miguel consigue dinero pero no lleva a su amiga al cine. En este caso, rompió su promesa; por lo tanto, la proposición es falsa.

 Miguel no consigue dinero pero a pesar de ello lleva a su amiga al cine (no rompiendo su promesa); por tanto, la proposición es verdadera.

 Miguel no consigue dinero y no lleva a su amiga al cine (no rompió su promesa), luego la proposición es verdadera.

La tabla de verdad es:

P Q P→Q V V V V F F F V V F F V Ejemplo: P: Yo estudio Q: Yo apruebo el curso

P Q: Si yo estudio, entonces yo apruebo el curso.

En este caso, se dice que es suficiente estudiar para aprobar el curso. Sin embargo, no se dice que esta es la única manera; en otras palabras, no se dice que sea necesario.

El hecho de estudiar es condición suficiente para que yo apruebe. El hecho de que yo apruebe es condición necesaria para que yo estudie

 Si Bogotá está en Colombia, entonces 2 + 5 = 8 (F)

 Si Bogotá está en Alemania, entonces 4+ 8 = 6 (V)

 Si Bogotá está en Colombia, entonces París está en Francia (V)  Si París está en Italia, entonces la luna está hecha de nieve. (V)

La bicondicional P↔ Q

Otro enunciado muy usado es el de la forma "P sí y sólo si Q". Los cuales se llaman bicondicionales y se les denota por:

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Ejemplo

P: Hoy voy a ir al cine Q: Hace calor

P Q: Hoy voy a ir al cine, sí y sólo si, hace calor La tabla de verdad es:

P Q P↔ Q V V V V F F F V F F F V 1.2 CONJUNTOS

En el lenguaje cotidiano, decimos un curso de Algebra, un montón de libros de matemática, un cajón de ropa, la ciudad de Bucaramanga, etc., es decir, usamos muchas palabras para expresar una misma idea. Los matemáticos prefieren la palabra Conjunto para expresar lo mismo.

Por lo tanto, podemos definir Conjunto como sigue:

Un conjunto es una colección de objetos que está bien definido y se denotan por letras mayúsculas.

Estas letras pueden ser A, B, C, etc. Algunos ejemplos de conjuntos son:

Ejemplo 1 : A ={Profesores de la UTS año 2011} Ejemplo 2 : B= {a, e, i, o, u}

Ejemplo 3 : C ={números naturales mayores que 2 y menores que 6} ¿...cómo se llaman los objetos de un conjunto?

Cada objeto de un conjunto se llama elemento del conjunto.

Y si el elemento está en el conjunto se dice que pertenece al conjunto en caso contrario se dice no pertenece, esto se simboliza o

Observe que los elementos de un conjunto se escriben entre llaves { }

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LENGUAJE COTIDIANO LENGUAJE SIMBÓLICO

Roque es profesor de la UTS Roque A

Pedro no es profesor de la UTS Pedro A

En matemática, los elementos de un conjunto, se designan por x, y, z, a, b……. etc., es decir, cualquier letra minúscula.

¿Es más fácil interpretar las cosas cuando se presentan en forma gráfica? ... en los conjuntos pasa algo similar, de ahí que es útil el uso de Diagramas de Venn.

Los Diagrama de Venn-Euler nos permiten visualizar en forma sencilla e instructiva los conjuntos y sus relaciones.

Presentan por ejemplo las siguientes formas:

Formas de escribir un conjunto:

1) Por Comprensión: En esta forma se escribe una característica de los elementos Por ejemplo: A= {x/x es un árbol autóctono de Colombia}

2) Por Extensión: Escritura en la cual los elementos se identifican. Por ejemplo: A={Caucho, Matarratón, Algarrobo, Almendro……….} Ejercicios

Sea G el conjunto de números naturales menores que 5: Escriba el conjunto por Comprensión G= {xN/x<5} Escriba el conjunto por Extensión G= {0, 1, 2, 3, 4} Algunos tipos de Conjuntos son:

Conjunto Vacío: este conjunto es aquel que no tiene elementos. Se simboliza por ɸ o { }

Ejemplo 1: Conjunto de canciones rancheras interpretadas por el grupo Binomio de oro Ejemplo 2: {números que pertenezcan al conjunto de los números naturales y que sean negativos}

Conjunto Universo: Es el conjunto que contiene todos los elementos a los cuales pudiéramos hacer referencia en un momento dado, estos pueden ser infinitos o finitos Ejemplo 1: El conjunto de jugadores de un equipo de fútbol es finito

Ejemplo 2: El conjunto de los números Enteros es infinito

Conjuntos Disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común Ejemplo 1: El conjunto de alumnos aprobados en Algebra es un conjunto disjunto con el de los alumnos reprobados

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Ejemplo 2: Sea A= {1, 2, 3} y B= {4, 5, 6}. Los conjuntos A y B no tienen ningún elemento en común.

Conjuntos Numéricos: Son aquellos conjuntos formados por números y que tienen un número infinito de elementos.

El conjunto de los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5,……., etc. que designamos con N El conjunto de los números enteros: etc.,…..-3, -2, -1, -0, 1, 2, 3, 4, …etc. que designamos con Z

El conjunto de los números racionales (quebrados) 2/3, ½, 4/9, 5/1, -4/6 Que designamos con Q

El conjunto de los números reales 24.297, 0.2333…., , y 2 Que designamos con R El conjunto de los números complejos 4+5i, 6+8i Que designamos con C

Ejercicios

 De los conjuntos dados, indique cuál de ellos es o son vacíos: a) A={x  N / 0 < x < 1}

b) B={x  Z / 0 < x < 1} c) C={x  R / 0 < x < 1}

 Determine en qué caso, el par de conjuntos dados es disjunto:

a) A={1, 2, 3} B={5, 9, 0}

b) A={1, 2, 3} B={1, 2, 5}

c) A= {Futbolistas Top Ten Ranking ATP tour} B= {Futbolistas del atlético Bucaramanga}

 Determine a qué conjunto pertenece el número dado. Marque con una “x”

En los conjuntos podemos definir otros conceptos, los cuales nos servirán para resolver más problemas.

Estos son los de Igualdad y Subconjuntos. Dados dos conjuntos cualquiera A y B

Igualdad: Decimos que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, no importa el orden de éstos. La igualdad se representa por A = B

Ejemplo 1:

Sean los conjuntos A={1, 2, 3} B={2, 1, 3} C={x N/ 0<x 3}

N Z Q R C N=Naturales Z= Enteros Q=Racionales R=Reales C=Complejos

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Respuesta

Los conjuntos A y B muestran claramente que ambos tienen los mismos elementos aunque en distinto orden. El conjunto C está escrito por comprensión y dice que los elementos de este conjunto son números naturales menores o iguales a 3, es decir, quienes cumplen esta condición son los números 1, 2, 3. Por lo tanto:

A=B=C Ejemplo 2:

Sean los conjuntos A= {xZ / -2 < x  0} y B = {-1, 0} Por lo tanto, A = B

Subconjunto: Decimos que A es subconjunto de B si cada elemento del conjunto A es también un elemento del conjunto B, es decir, A está contenido en B.

Simbólicamente:

Si un conjunto no es subconjunto de otro se denota por:

Ejemplo 1: El grupo E de Mercadeo es un subconjunto de toda la carrera de Mercadeo. Ejemplo 2: Sea A= {1, 2, 3} y B= {1}, el conjunto B tiene un sólo elemento y éste está en el conjunto A, por lo tanto: B A

Ahora bien, los subconjuntos cumplen ciertas propiedades que conviene saber, ya que nos facilitan la comprensión de los conjuntos y sus problemas.

Propiedades de los subconjuntos:

Estas propiedades se cumplen para cualquier conjunto A

 El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto: {} A

A  B significa " A es un subconjunto de B”

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 Todos los conjuntos son subconjuntos de sí mismo: A A

 Todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto Universo U: A  U

Todas estas propiedades son útiles para un conjunto denominado conjunto de las partes o conjunto potencia.

Se llama Conjunto de las Partes porque está formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado. El número de elementos (o cardinalidad) de él está dado por la solución de la expresión 2n, donde n significa el número de elementos del conjunto original. Su notación es P(A)

Ejemplo:

Sea M= {a, b, c} Determinar su Conjunto Potencia. Respuesta:

El conjunto M tiene 3 elementos, es decir n=3, por lo tanto el conjunto potencia tiene 23= 8 elementos y estos son:

P (M)= {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Observe que los elementos de P (M) se escriben entre llaves { } y algunos de los subconjuntos fueron determinados por las propiedades de los subconjuntos dadas anteriormente.

1.2.1 OPERACIONES CON CONJUNTOS

Los conjuntos nos permiten resolver problemas cotidianos a través de las operaciones que se pueden definir con ellos.

Tomemos dos conjuntos, a los cuales llamaremos A y B

La Unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A o B La unión de A y B se representa simbólicamente por A B

A B= {x / x A ˅ x B}

A continuación, se presentan tres formas gráficas distintas de cómo se pueden relacionar los conjuntos, lo achurado representa la unión de ellos.

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Ejemplo 1:

Sean A= {a, b}, B= {a, c, d} Determine A  B Respuesta

El conjunto A  B = {a, b, c, d} es el conjunto que tiene los elementos de A o B

Nótese que cada elemento se escribe una sola vez aunque se haya repetido más de una, como es el caso de la letra “a” que aparece dos veces.

Ejemplo 2:

Un ejemplo gráfico se presenta a continuación con los conjuntos A, B y C. Se sombreo la unión del conjunto A y C.

AC

La Intersección de los conjuntos A y B se define como el conjunto formado sólo por los elementos que tienen en común A y B.

La intersección se representa por A  B

Simbólicamente, se escribe: A  B = {x / x A ˄ x B}

Gráficamente, lo sombreado representa en cada caso la intersección de A y B.

Ejemplo 1:

Sean A = {a, b}, B = {a, c, d}. El conjunto A B = {a} es el conjunto formado por el elemento que se repite, que en este caso es la letra "a".

Ejemplo 2:

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Se define Complemento de un conjunto de la siguiente forma: sea A un conjunto cualquiera, el complemento de A son todos aquellos elementos que están en el Universo, pero que no están en A

Simbólicamente, se representa por AC o Aʹ AC = {x U / x A}

Gráficamente, AC se representa en lo sombreado

Ejemplo 1:

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A= {xU / x es un número par}. Determine AC Respuesta:

El conjunto A está formado por los números pares que están en el conjunto Universo U dado: A= {2, 4, 6, 8} luego, AC= {1, 3, 5, 7, 9}, es decir, son todos aquellos elementos que están en el Universo y que no están en A.

Ejemplo 2:

En la figura lo sombreado representa AC

... Y por último, podemos definir otro concepto...

La Diferencia entre dos conjuntos A y B, la cual se denota por A-B, es el conjunto formado por todos los elementos que están en A y no están en B.

La Diferencia entre B y A la cual se denota por B-A es el conjunto formado por todos los elementos que están en B y no están en A.

Pero ¡¡ OJO!!

Por ejemplo:

Dados los conjuntos: A= {1, 2, 3} y B= {2, 4, 6}

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La diferencia A-B= {1, 3} La diferencia B-A= {4,6}

Por lo tanto, A-B ≠ B-A {1, 3} ≠ {4,6} Simbólicamente:

A-B= {xA ˄ x

B}

Gráficamente, se representa en lo sombreado:

Ejemplo 1:

Sea A= {a, b}, B= {a, c, d}, Determine A-B y B-A Respuesta

Para determinar la diferencia entre A y B, al conjunto A se le quitan los elementos que tenga de B, lo cual da como resultado la letra “b”, es decir, A-B= {b}

De igual forma se determina el conjunto B-A= {c, d} Ejemplo 2:

En la figura, lo achurado representa A-C

Diferencia Simétrica

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia simétrica, A Δ B, es un conjunto que contiene los elementos de A y los de B, excepto los que son comunes a ambos:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto A Δ B cuyos elementos son todos los elementos de A o B, a excepción de los elementos comunes a ambos:

La definición de la diferencia simétrica puede reducirse fácilmente a las operaciones de unión, intersección y diferencia:

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2 BIBLIOGRAFIA

 Algebra Décima Edición Rees, Sparks, Rees

 Trigonometría Segunda Edición Frank Ayres Jr. y Robert E. Moyer

 Algebra y Trigonometría Segunda Edición Dennis G. Zill y Jacqueline M. Dewar  Algebra de Baldor

 Algebra Superior de Murray

 Algebra y Geometría Analítica UTN

 Matemáticas aplicadas a la Administración y a la economía, Lardner Robín W. editorial Prentice Hall.

 Calculo con Geometría Analítica, Leithold Louis. Cuarta Edición Editorial Harla  Algebra Intermedia ,Gustafson David. Séptima Edición. Editorial Thompson.  Instituto Profesional Virginio Gómez Algebra y Trigonometría, Universidad de

Concepción. INTERNET:  www.vitutor.com  http://matebrunca.com/  http://matematicasrcpbachillerato.blogspot.com/  http://www.matematicasbachiller.com/  http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/  http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_sim  www.lafacu.com  www.mitarea.com  www.cienciamatematica.com GRAFICAS:

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