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f (x; y) = a) Calcula la derivada direccional en el punto (1; 1) y en la dirección del vector! v = (2; 2).

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(1)

Ejercicios de clase

Ejercicio 1. Dada la función

f(x; y) = p xy 1 +x2+y2 1.

a) Calcula la derivada direccional en el punto (1; 1)y en la dirección del vector !v = p2;1 . b) ¿En qué dirección crece la función f lo más rápidamente posible en (1; 1)? Calcula un vector unitario en esta dirección.

Solución:

a) Como la función es diferenciable en el punto(1; 1), podemos aplicar la fórmula propocionada por el Teorema 9.1.30 para calcular la derivada direccional como producto del gradiente de la función en el punto dado y el vector dirección unitario kvvk.

El gradiente de la funciónf es el vector formado por las derivadas parciales primeras:

! rf(x; y) = y+y 3 (1 +x2+y2)32 ; x+x 3 (1 +x2+y2)32 !

En el punto(1; 1)el gradiente toma el valor

! rf(1; 1) = 2 9 p 3;2 9 p 3 El vector es!v = p2;1 por lo tanto, unitario queda

!v k!vk = p 2;1 q p 2 2+ 12 = p 2 p 3; 1 p 3 !

Por lo tanto la derivada direccional es

D!vf(1; 1) =!rf(1; 1) !v k!vk = 2 9 p 3;2 9 p 3 p 2 p 3; 1 p 3 ! = 2 9 2 9 p 2

b) Por el Teorema 9.1.32, el vector que proporciona la dirección de máximo crecimiento de f en(1; 1) es el gradiente def en dicho punto. Es decir,

!w =r!f(1; 1) = 2 9 p 3;2 9 p 3 Calcula un vector unitario en esta dirección:

!w k!wk = 2 9 p 3;29p3 q 2 9 p 3 2+ 29p3 2 = 1 2 p 2;1 2 p 2

Ejercicio 2. Dada la función

f(x; y) =p xy

x2+y2

a) Calcula la derivada direccional en el punto (1;1)y en la dirección del vector!v = (2;2).

b) Calcula la derivada direccional en el punto(0;0) y en la dirección del vector!v = (2;2)si la función considerada es

f(x; y) =

( pxy

x2+y2 (x; y)6= (0;0)

(2)

c) ¿En qué dirección crece la funciónf lo más rápidamente posible en(1;1)? Calcula un vector unitario en esta dirección.

Solución:

a) Como la función es diferenciable en el punto (1;1), podemos aplicar la fórmula propocionada por el Teorema 9.1.30 para calcular la derivada direccional como producto del gradiente de la función en el punto dado y el vector dirección unitario v

kvk.

El gradiente de la funciónf es el vector formado por las derivadas parciales primeras:

! rf(x; y) = y 3 (x2+y2)32 ; x 3 (x2+y2)32 !

En el punto(1;1) el gradiente toma el valor

!

rf(1;1) = 1 2p2;

1 2p2 El vector es!v = (2;2)por lo tanto, unitario queda

!v k!vk = (2;2) p 22+ 22 = p 2 2 ; p 2 2 !

Por lo tanto la derivada direccional es

D!vf(1;1) =!rf(1;1) !v k!vk = 1 2p2; 1 2p2 p 2 2 ; p 2 2 ! =1 2

b) En el punto(0;0) aplicaremos la de…nición de la página 235.

D!vf(0;0) = lim h!0 f 0 +p2 2 h;0 + p 2 2 h f(0;0) h = = lim h!0 p 2 2 h p 2 2 h r p 2 2 h 2 + p 2 2 h 2 0 h = limh!0 1 2 h p h2 = limh!0 1 2 = 1 2

c) Por el Teorema 9.1.32, el vector que proporciona la dirección de máximo crecimiento de f en(1;1)es el gradiente def en dicho punto. Es decir,

!w =r!f(1;1) = 1

2p2; 1 2p2 Calcula un vector unitario en esta dirección:

!w k!wk = 1 2p2; 1 2p2 r 1 2p2 2 + 1 2p2 2 = 1 2 p 2;1 2 p 2

Ejercicio 3. La temperatura en el punto(x; y)de una lámina metálica es

T(x; y) = e y

x2+y2

a) Halla su derivada direccional en el punto (1;0)en la dirección!v =!i !j.

(3)

Solución: a) El gradiente deT es ! r(x; y) = @T @x; @T @y = 2xey (x2+y2)2; ey x2+y2 2y (x2+y2)2 !

En el punto(1;0) toma el valor

!

r(1;0) = ( 2;1) Por lo tanto, la derivada direccional es

D!vT(1;0) =!r(1;0) q(1; 1) 1 + ( 1)2 = ( 2;1) p1 2; 1 p 2 = 3 2 p 2

b) La dirección de máximo crecimiento en el punto(1;0)es

! r(1;0) = ( 2;1) y su valor máximo es ! r(1;0) = q ( 2)2+ 11=p5

Ejercicio 4. La ecuación x3 3xy+ cos2x y = 12 de…ne y(x) como función implícita dex en un entorno del punto(1; 11), en el que se satisfacey(1) = 11.

a) Calcula la recta tangente ay(x)en(1; 11). b) Calcula ddx2y2(1; 11).

1. Solución:

a) La recta tangente en el punto(x0; y0)viene dada por la ecuación

y y(x0) =y0(x0) (x x0) o bien por

y=y(x0) +y0(x0) (x x0) Tenemos que si(x0; y0) = (1; 11)entonces

y(1) = 11

y que por el Teorema 9.5.11., si llamamosF(x; y) =x3 3xy+ cos2x y 12, entonces

dy dx(x) = Fx Fy = @ @x x 3 3xy+ (cos (x))2 y 12 @ @y x3 3xy+ (cos (x)) 2 y 12 = 3x 2 3y sin 2x 3x 1 = = 3x 2 3y sin 2x 3x+ 1 Por lo tanto dy dx(1) = 3 12 3y(1) sin 2 3 1 + 1 = [y(1) = 11] = = 3 + 3 11 sin 2 3 1 + 1 = 9 1 4sin 2 La recta tangente quedará

rt(x) = 11 + 9 1

(4)

b) dy dx(x) = 3x2 3y sin 2x 3x+ 1 d2y dx2(x) = 6x 3dydx 2 cos (2x) (3x+ 1) 3x2 3y sin 2x 3 (3x+ 1)2 = =

6x 33x2 3x+13y sin 2x 2 cos (2x) (3x+ 1) 3x2 3y sin 2x 3 (3x+ 1)2

Ejercicio 5. La ecuaciónx2+yz+z3= 2, de…nez(x; y)como función implícita de(x; y)en un entorno de(1;0), en el que se satisfacez(1;0) = 1.

a) Calcula el plano tangente a z(x; y)en(1;0;1). b) Calcula @x@z y @y@z.

c) Calcula @@y2z2.

Solution: Si de…nimosf(x; y; z) =x2+yz+z3 2 = 0, entonces

!

rf(x; y; z) = 2x; z; y+ 3z2

y en el punto(1;0;1) tenemos

!

rf(1;0;1) = (2;1;3)

el vector normal a la super…cie en ese punto. Por lo tanto el plano tangente es 2 (x 1) + 1 (y 0) + 3 (z 1) = 0 2x+y+ 3z 5 = 0 b) @z @x = @f @x @f @z = 2x y+ 3z2 @z @y = @f @y @f @z = z y+ 3z2 c) @2z @y2 = @z @y y+ 3z2 +z 1 + 6z @z @y (y+ 3z2)2 = @z @y = z y+ 3z2 = = z y+3z2 y+ 3z2 +z 1 + 6z y+3zz2 (y+ 3z2)2 = = z+ 1 y+3z2 yz 3z3 (y+ 3z2)2 = z y+ 3z2 + yz 3z3 (y+ 3z2)3 = 2yz (y+ 3z2)3

Ejercicio 6. Se estudió el movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes. Se obtuvo que la ecuación de su trayectoriaT esy2 = 2x+ 9, siendo 4;5 x 8ey 0, estando situado el Sol en el punto(0;0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El punto P de la trayectoriaT donde el meteorito alcanza la distancia mínima al Sol. b) Distancia mínima del meteorito al Sol.

(5)

Solución: Grá…camente -4 -2 2 4 6 8 1 2 3 4 5

La función distancia del Sol a un punto (x; y)es

d((0;0);(x; y)) =

q

(x 0)2+ (y 0)2=px2+y2 y considernado la distancia al cuadrado para simpli…car cálculos, tenemos

d2((0;0);(x; y)) =x2+y2

siendo(x; y)un punto de la trayectoria del meteorito. Por el método de Lagrange, de…nimos

L(x; y; ) =x2+y2+ y2 2x 9 Derivamos respecto dex; y; e igualamos a cero

@L @x = 2x 2 = 0 @L @y = 2y+ 2y = 0 @L @ = y 2 2x 9 = 0

Resolvemos el sistema y obtenemos tres soluciones x= 1; y= p7; = 1 ; x= 1; y=p7; = 1 ; x= 92; y= 0; = 92 . La primera solución podemos descartarla, pues en el enunciado del problema se especi…ca que y 0. Para averiguar cuál de las dos soluciones nos proporciona la mínima distancia, susti-tuiremos en la función distancia:

d (0;0); 1;p7 = r ( 1)2+ p7 2 = 2p2 = 2:828 4 d (0;0); 9 2;0 = s 9 2 2 + (0)2=9 2 = 4:5

Por lo tanto, la mínima distancia se alcanza en el punto 1;p7 y la distancia es de2p2u. Ejercicio 7. Calcula los máximos y mí¬nimos libres dez=x3+y2 6xy 39x+ 18y+ 20. Solución: First we calculate the …rst partial derivatives

@z

@x = 3x

2 6y 39

@z

(6)

Solving the system

3x2 6y 39 = 0 2y 6x+ 18 = 0 we obtain the solutions

[x= 1; y= 6] [x= 5; y= 6] The Hessian in this case is:

Hz(x; y) = 6x 6 6 2 In the point [x= 1; y= 6]we have a saddle point because

Hz(1; 6) = 6 6

6 2 = 24<0

In the point [x= 5; y= 6]we have that the function reaches a minimum because

Hz(5;6) = 30>0 6

6 2 = 24>0

Ejercicio 8. La función de producción de Cobb-Douglas para un cierto fabricante viene dada por la función

f(x; y) = 100x34y 1 4

siendoxlas unidades de trabajo (150 euros cada unidad) eylas unidades de capital (250 euros cada unidad). Encuentra el máximo nivel permisible de producción, si la cantidad máxima disponible para gastar es de 50000euros, i.e., si150x+ 250y= 50000.

Solución: La función de producción es

f(x; y) = 100x34y 1 4 sujeta a la condición 150x+ 250y= 50000 De…nimos L(x; y; ) = 100x34y14 + (150x+ 250y 50000)

Derivamos respecto dex; y; e igualamos a cero

@L @x = 300 4 x 1 4y 1 4 + 150 = 0 @L @y = 100 4 x 3 4y 3 4 + 250 = 0 @L @ = 150x+ 250y 50000 = 0

De la primera ecuación se tiene que 300 4 x 1 4y14 = 150 = 300 4 150x 1 4y14 = 1 2x 1 4y14

(7)

De la segunda ecuación despejamos también 100 4 x 3 4y 3 4 = 250 = 100 4 250x 3 4y 3 4 = 1 10x 3 4y 3 4

Igualando ambas expresiones

1 2x 1 4y 1 4 = 1 10x 3 4y 3 4 10 2 y 1 4y 3 4 = x 3 4x 1 4 10 2 y = x Sustituyendo en la última ecuación

150 10 2 y+ 250y 50000 = 0 1000y 50 000 = 0 1000y = 50000 y = 50000 1000 = 50 Por lo tantox= 102 50 = 250 y el nivel máximo de producción es de

f(x; y) = 100 25034 50 1

4 = 16719u

Ejercicio 9. Calcula la masa de la super…cie encerrada pory=x2,y=x, cuya densidad es (x; y) = 1+y. Solution: The functions intersect inx= 0andx= 1.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Then the limits of integration are

0 x 1

x2 y x

and the integral is

M = Z Z D (1 +y)dxdy= Z 1 0 Z x x2 (1 +y)dy dx= Z 1 0 y+y 2 2 y=x y=x2 dx= = Z 1 0 x 1 2x 2 1 2x 4 dx= 7 30 u:o:m:

Ejercicio 10. Prueba que el campo de fuerzas

!

(8)

1. es conservativo y calcula, en caso de que sea posible, la función potencial de !F de forma que en el punto A(8;0;0), esta valga cero. Calcula además el trabajo de dos formas diferentes al desplazar el punto de aplicación de !F desdeA(8;0;0)a lo largo de la hélice

x(t) = 8 cos (t)

y(t) = 2 sin (t) t2[0;2 ]

z(t) = t

Solución: Calculamos el rotacional de!F

rot !F = !i !j ! k @ @x @ @y @ @z

y4+yz4 sinz+ 4xy3+xz4 ycosz+ 4xyz3 = = !i @ @y ycosz+ 4xyz 3 @ @z sinz+ 4xy 3+xz4 !j @ @x ycosz+ 4xyz 3 @ @z y 4+yz4 + +!k @ @x sinz+ 4xy 3+xz4 @ @y y 4+yz4 = (0;0;0)

Por lo tanto el campo es conservativo. Calculamos ahora la función potencial.

Ux = y4+yz4 !U =xy4+xyz4

Uy = sinz+ 4xy3+xz4 !U =ysin (z) +xy4+xyz4

Uz = ycosz+ 4xyz3 !U =ysin (z) +xyz4 por lo que la función potencial queda

U(x; y; z) =xy4+xyz4+ysin (z) +C

Queremos que la función potencial valga cero en A(8;0;0)por lo que 0 = U(8;0;0) = 0 +C

C = 0

y la función potencial pedida es

U(x; y; z) =xy4+xyz4+ysin (z)

Aplicando el Teorema 11.7.13. y la nota 11.7.14. vamos a calcular además el trabajo de dos formas diferentes al desplazar el punto de aplicación de!F desdeA(8;0;0)a lo largo de la hélice

x(t) = 8 cos (t)

y(t) = 2 sin (t) t2[0;2 ]

z(t) = t

Por una parte, vamos a utilizar la función potencial para calcular el trabajo, teniendo en cuenta que el punto inicial de la trayectoria esA(8;0;0)y el punto …nal esB(8;0;2 )

T =

I

C

!F!

dr=U(8;0;2 ) U(8;0;0) = 8 04+ 8 0 (2 )4+ 0 sin (2 ) 8 04+ 8 0 04+ 0 sin (0) = 0

Por otra parte, dado que el campo es conservativo y no depende del camino elegido, vamos a tomar el segmento de línea que une el puntoA(8;0;0)con el puntoB(8;0;2 ).

(9)

Este camino será r(t) = (8;0;0) (1 t) + (8;0;2 )t= (8;0;2 t) x(t) = 8 !x0(t) = 0 y(t) = 0 !y0(t) = 0 z(t) = 2 t !z0(t) = 2 t 2 [0;1] Por lo tanto T = I C !F! dr= I C

y4+yz4 dx+ sinz+ 4xy3+xz4 dy+ ycosz+ 4xyz3 dz=

=

Z 1 0

(0 + 0 + (0 + 0) 2 )dt= 0 Ambos resultados coinciden.

Ejercicio 11. Calcula la integral

I C yexy+z2 dx+ (xexy+zcos (yz))dy+ (2xz+ycos (yz))dz a lo largo de la hélice x(t) = 3 cos (t) y(t) = 2 sin (t) z(t) = t cuandot2[0;2 ].

Solución: Calculamos el rotacional de!F

rot !F = !i !j !k @ @x @ @y @ @z yexy+z2 xexy+zcos (yz) 2xz+ycos (yz) = = !i @ @y(2xz+ycos (yz)) @ @z(xe xy+zcos (yz)) !j @ @x(2xz+ycos (yz)) @ @z ye xy+z2 + +!k @ @x(xe xy+zcos (yz)) @ @y ye xy+z2 = (0;0;0)

Por lo tanto el campo es conservativo. Calculamos ahora la función potencial.

Ux = yexy+z2 !U = Z yexy+z2 dx=exy+xz2 Uy = xexy+zcos (yz) !U = Z (xexy+zcos (yz))dy= sin (yz) +exy Uz = 2xz+ycos (yz) !U = Z (2xz+ycos (yz))dz= sin (yz) +xz2

por lo que la función potencial queda

(10)

Aplicando el Teorema 11.7.13. y la nota 11.7.14. vamos a calcular además el trabajo de dos formas diferentes al desplazar el punto de aplicación de!F a lo largo de la hélice

x(t) = 3 cos (t)

y(t) = 2 sin (t)

z(t) = t

cuandot2[0;2 ].

Por una parte, vamos a utilizar la función potencial para calcular el trabajo, teniendo en cuenta que el punto inicial de la trayectoria esA(3;0;0)y el punto …nal esB(3;0;2 )

T = I C !F! dr=U(3;0;2 ) U(3;0;0) = e3 0+ 3 (2 )2+ sin (0 2 ) +C e3 0+ 3 02+ sin (0 0) +C = = C+ 12 2+ 1 (C+ 1) = 12 2

Por otra parte, dado que el campo es conservativo y no depende del camino elegido, vamos a tomar el segmento de línea que une el puntoA(3;0;0)con el puntoB(3;0;2 ).

Este camino será

r(t) = (3;0;0) (1 t) + (3;0;2 )t= (3;0;2 t) x(t) = 3 !x0(t) = 0 y(t) = 0 !y0(t) = 0 z(t) = 2 t !z0(t) = 2 t 2 [0;1] Por lo tanto T = I C ! F!dr= I C yexy+z2 dx+ (xexy+zcos (yz))dy+ (2xz+ycos (yz))dz= = Z 1 0 (0 + 0 + (2 3 2 t+ 0 cos (0 2 t)) 2 )dt= Z 1 0 24 2tdt= 12 2u:o:w

Ambos resultados coinciden.

Ejercicio 12. Calculate the area of the surface 4 z=x2+y2 bounded byz= 0. Solution: We have the surface

z= 4 x2+y2 5 2.5 0 -2.5 -5 5 2.5 0 -2.5 -5 0 -12.5 -25 -37.5 x y z x y z

(11)

therefore

zx = 2x

zy = 2y

and the projection ofS on the planeXOY is a circle of radius2. Then

A0(S) = Z Z D q 1 + ( 2x)2+ ( 2y)2dxdy= = Z Z D p

1 + 4x2+ 4y2dxdy= x= cos y= sin 0 2 0 2 = = Z 2 0 Z 2 0 p 1 + 4 2 d d = Z 2 0 2 p4 2+ 1d = 17 6 p 17 1 6 Ejercicio 13. Calcula la masa de la super…cie x2+y2 z = 1

4 limitada superiormente por el plano

z= 6si su función de densidad es (x; y; z) =z. Solution: We have the surface

z=x2+y2+1 4 5 2.5 0 -2.5 -5 5 2.5 0 -2.5 -5 50 37.5 25 12.5 x y z x y z therefore zx = 2x zy = 2y The intersection withz= 6is

6 = x2+y2+1 4 x2+y2 = 6 1 4 = 23 4

(12)

and the projection ofS on the planeXOY is a circle of radius p23 2 . Then M(S) = Z Z D z q 1 + (2x)2+ (2y)2dxdy= = Z Z D x2+y2+1 4 p

1 + 4x2+ 4y2dxdy= x= cos y= sin 0 p223 0 2 = = Z 2 0 Z 2 0 2+1 4 p 1 + 4 2 d d = Z 2 0 Z 2 0 2+1 4 s 4 1 4 + 2 d ! d = = 2 Z 2 0 Z 2 0 2+1 4 1 4 + 2 1 2 d ! d = 2 Z 2 0 Z 2 0 1 4+ 2 3 2 ! d ! d = 4 Z 2 0 1 4 + 2 3 2 ! d = 4 Z 2 0 1 4 + 2 3 2 ! d = 4 289 160 p 17 1 160 = = 289 40 p 17 1 40 u:o:m:

Referencias

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