Resolución de triángulos rectángulos

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Resolución de triángulos rectángulos  

 

Por Sandra Elvia Pérez Márquez

 

Recuerda que para resolver cualquier problema es conveniente seguir los pasos que aparecen a continuación.

Figura 1. Pasos para resolver un problema.

A continuación se te presentan diferentes problemas a resolver:

El camino de Carlos 

 

Carlos es un Ingeniero civil, al cual le encargaron construir un camino que conecte dos calles, para ello le han pedido que deje libre un edificio antiguo que se encuentra en la esquina, entre las dos calles.

¿Le puedes ayudar a calcular qué longitud debe tener la calle que va a construir?

Carlos cuenta con el siguiente plano: 1.‐ Leer el problema con  detenimiento para saber  qué se pide en él.  2.‐ Realizar un diagrama  donde se especi;iquen  los datos conocidos.  3.‐ Identi;icar si se utilizará  una función trigonométrica  o teorema de Pitágoras.  4.‐ Realizar las  operaciones sin cometer  errores en los cálculos.  5.‐ Veri;icar el resultado  e interpretar la solución. 

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Figura 2. Plano del edificio entre dos calles.

Solución

Como puedes observar, en el plano se forma un triángulo rectángulo, cuyos lados miden 55 m y 38 m. La calle que debe construir es la hipotenusa del triángulo, por lo cual se puede utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el lado faltante.

Así:

Sustituyendo los valores de los lados (catetos del triángulo):

(

) (

)

m h m h m m h m m h 85 . 66 4469 4469 1444 3025 38 55 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = + = + =

Por lo tanto, la calle debe tener como mínimo una longitud de

, pues el

valor obtenido es el de la hipotenusa del triángulo que sustenta al edificio, así

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La casa de Heber 

Figura 3. La casa de Heber.

Heber es primo de Carlos. Fuera de su casa se encuentra un poste telefónico. Carlos le comentó a su primo que no se encuentra bien colocado por lo que decidieron reportarlo con las personas de mantenimiento, las cuales decidieron que era conveniente colocar un cable para asegurarlo. Sin embargo, el cable se encuentra muy cercano a la entrada de su cochera por lo que la máxima distancia a la base del poste que pueden colocar el cable es de 1.3 m y la altura a la que van a sujetar el cable es de 2.10 metros.

¿Cuál será la longitud del cable que se debe utilizar para detener el poste? 

Solución

Como puedes observar, se forma un triángulo rectángulo de lados 1.3 m y 2.1 m y el cable forma la hipotenusa.

Así:

Sustituyendo los valores de los lados (catetos del triángulo):

(

) (

)

m h m h m m h m m h 46 . 2 1 . 6 1 . 6 41 . 4 69 . 1 1 . 2 3 . 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = + = + =

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Ángulos de elevación y depresión 

 

En algunas ocasiones los conceptos de ángulo deelevación y ángulo de depresión son necesarios en la solución de problemas.

a. Ángulo de elevación: es el ángulo comprendido entre una línea horizontal y la línea visual del observador hacia un objeto cuando que se encuentra por arriba de la horizontal.

Figura 4. Ángulo de elevación (de la horizontal a la línea del observador).

Figura 5. Ángulo de depresión (de la horizontal a la línea del observador).

b. Ángulo de depresión: es el ángulo

comprendido entre una línea horizontal y la línea visual del observador hacia un objeto cuando se encuentra por debajo de la horizontal.

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Ejemplo 1

La altura de un edificio 

A Carlos le pidieron hacer una remodelación de la fachada de un edificio que se encuentra cerca de su casa. Para ello necesita determinar la altura del edificio. Utilizando un teodolito, el cual es un aparto de medición para ángulos verticales y horizontales, encuentra que el ángulo de elevación es de 82.87° a nivel del suelo a una distancia de 4.5 m de la base del edificio.

¿Le puedes ayudar a Carlos a determinar la altura del edificio?

 

Figura 6. Ángulo de elevación de 82.87° y distancia de 4.5 m.

Solución

Figura 7. Datos del problema transferidos a un triángulo rectángulo.

Como puedes observar, en la figura 7 se forma un triángulo rectángulo donde se conoce un ángulo y el cateto adyacente al ángulo; lo que se requiere calcular es la altura del edificio, es decir, el cateto opuesto.

La función trigonométrica que involucra el cateto opuesto y el cateto adyacente es la tangente.

Así:

Despejando el cateto opuesto:

(

A

)( )

c

a

o

(6)

Sustituyendo valores:

(

)(

)

(

)(

m

)

m

o

c

m

o

c

97

.

35

5

.

4

9943

.

7

.

5

.

4

87

.

82

tan

.

=

=

=

°

=

Ejemplo 2

 

La distancia del edificio a  la casa de Carlos 

Cuando Carlos subió al techo del edificio, le dio curiosidad saber qué distancia había de su casa al edificio. Como ya había calculado la altura del edificio (35.97m), ahora midió el ángulo de depresión que existía hacia su casa y este fue de 16.26°.

¿Quieres saber cómo Carlos calculó la distancia a su casa? 

 

Figura 8. Edificio de 35.97m de alto y ángulo de depresión de 16.26°.

Solución

En este caso, el triángulo rectángulo que se forma, es el que se muestra en la figura. El ángulo de depresión y el ángulo B son complementarios, es decir, suman 90°. Tomando esto en consideración, el ángulo B se puede calcular como:

° = ° − ° =90 16.26 73.74 B

Ahora conoces el ángulo B y el cateto adyacente, lo que se necesita calcular es la distancia que hay de la casa al edificio, es decir, el cateto adyacente. Así:

Por lo tanto, la altura de del edificio es de 35.97

metros.

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Despejando el cateto opuesto:

(

A

)( )

c

a

o

c

.

=

tan

.

Sustituyendo valores:

(

)(

)

(

)(

m

)

m

o

c

m

o

c

32

.

123

97

.

35

4286

.

3

.

97

.

35

74

.

73

tan

.

=

=

=

°

=

Como puedes darte cuenta, el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas son útiles para la solución de problemas que se te pueden presentar en la vida cotidiana, los cuales se puedan

representar en un esquema como un triángulo rectángulo.

 Bibilografía 

Ayres, F. Jr. & Moyer, R. E. (1991). Trigonometría (2ª. ed., Ruiz Sánchez, M. C. Trad.). México: McGraw-Hill.

Baley, J. & Sarell, G. (2004). Trigonometría (3ª. ed., González Ruiz, Á. C. Trad.). México: McGraw-Hill.

Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill.

Swokowski, E. & Cole J. (2002). Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica

Por lo tanto, la casa de Carlos se encuentra a una distancia

de 123.32 metros.

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