ECUACIONES DIFERENCIALES

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Nombre y Apellidos:

Grupo: 3A

ECUACIONES DIFERENCIALES

Ecuaciones diferenciales ordinarias



Cálculo de la solución general

Para obtener, en caso de que sea posible, la solución general de una ecuación diferencial F(x,y,y',y'',...,yn0,utilizaremos la función de Mathematica:

DSolve[ecuacion, y[x],x] DSolvey'xyxSinx, yx, x



Campo de direcciones

En el caso de la ecuación 4) del ejercicio 1, Mathematica no proporciona la solución general de dicha ecuación diferencial. En tal caso, se puede obtener una información cualitativa de las soluciones construyendo el campo de direcciones de la ecuación diferencial. De modo general:

Para obtener el campo de direcciones de la ecuación diferencial y'=f(x,y), cargaremos el paquete: Graphics`PlotField`

y a continuación escribiremos:

PlotVectorField[{1,f},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]

Graphics`PlotField`

PlotVectorField1, Sinxy, x,1, 1,y,1, 1, AxesTrue;



Cálculo de la solución de un problema de valor inicial/contorno

Para obtener, si es posible, la solución exacta a un problema de valor inicial/contorno escribiremos:

DSolve[{ecuacion,condiciones}, y[x],x]

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valo, utilizaremos la función de Mathematica:

NDSolve[{ecuacion,condiciones},y[x],{x,xmin,xmax}]

Las soluciones así obtenidas se podrán evaluar en puntos del intervalo considerado así como representar gráficamente.

NDSolvey'xyxSinx, y00, yx,x,1, 1



Cálculo de las solución de un problema de valor inicial utilizando la

Transformada de Laplace

Para obtener la solución de un problema de valor inicial utilizando la Transformada de Laplace se tendrán en cuenta las funciones de Mathematica :

LaplaceTransform[expresion,t,s] InverseLaplaceTransform[expresion,s,t]

(supuesto t la variable independiente de la expresión cuya transformada queremos calcular)

Ejercicios

1- Obtener, si es posible, la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1) xy'+y =x4 y3 2) xy23yx2xyx2y'  0 3) y'=



x_x_y_y_4₆ 4) y'+x2yxy2 5)

x

3

y''' +

x

2

_{y'' - 2x y' + 2y =0}

xy'y  x4y3 xy23yx2xyx2y'  0 y'



x



y



4 x



y



6

(3)

y'x2yxy2

x

3_

_y'''

_

_x

2_

_y''

_

₂

_x

_

_y'

_

₂

_

_y

_

₀

2- En el caso de la ecuación 3) se obtiene una forma implícita de la solución. Comprobarlo con Mathematica

3- Obtener el campo de direcciones de la ecuación 4)del ejercicio 1, en el dominio [-0.5,0.5],[0.7,2.5] y'+x2yxy2

4- Obtener, si es posible, la solución exacta de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial: a) xy'+y =x4 y3

y(1)=-1

b

) y'+x2yxy2 y(0)=1 c) y'=



x_x_y_y_4₆ y(0)=2

d)

x

3y'''+

x

2y''-2xy'+2y = 0 y(1)=0, y'(1)=1, y''(1)=1/2 axy'y  x4y3 y1 1

(4)

x3__y'''_ _x2__y''_₂__xy'_₂__y _ ₀ _y__₁___{0, y'}__₁___{1, y''}__₁__₁_₂

En el caso b), Mathematica no proporciona la solución exacta del problema de valor inicial planteado (esta

solución sabemos que existe por el Teorema de Existencia y Unicidad); mientras que en el caso c) se obtiene una forma implícita de la solución.

5- Encontrar una solución aproximada de cada uno de los problemas de valor inicial b) y c) en el intervalo [-0.5,0.5]. Evaluar las soluciones obtenidas en puntos del intervalo y representarlas gráficamente. Por último, representar conjuntamente el campo de direcciones del ejercicio 3 con la solución aproximada obtenida para b)

6- Consideremos el siguiente problema de valor inicial:

y'+2y = q(x) donde q(x) = 1 si 0 x 1 y q(x) = 0 si x > 1 ; y(0) = 0

Puesto que se trata de una ecuación con un término de naturaleza discontinua, se obtendrá la solución exacta siguiendo los pasos siguientes:

a) Resolver el problema de valor inicial: y'+2y=1, y(0)=0 y representar gráficamente su solución y1(x) en el intervalo [0,1]

b) Resolver la ecuación diferencial: y'+2y=0 y representar gráficamente algunas de sus soluciones particulares en el intervalo [1,3]

c) Representar simultáneamente en el intervalo [0,3] la situación hasta el momento obtenida

d) Obtener y representar gráficamente la solución particular y2(x) que conduzca a una solución continua para x0 del problema de valor inicial planteado

e) Construir la solución exacta y_e(x), es decir la función tal que: ye(x)=y1(x) en 0x1 ye(x)=y2(x) en 1x3 y representarla gráficamente en el intervalo [0,3]

7- Determinar una solución aproximada y_a(x) al problema de valor inicial del ejercicio anterior y representarla gráficamente.

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8- Obtener la solución de los siguientes problemas de valor inicial: y''+y=t+(1-t) H(t-1) y(0)=0, y'(0)=1 y''+y=(t-) cost y(0)=0, y'(0)=1 a) Directamente

b) Utilizando la Transformada de Laplace

Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

La obtención de soluciones generales, soluciones particulares (exactas) a problemas de valor inicial y soluciones aproximadas de sistemas de ecuaciones diferenciales se lleva a cabo de manera análoga a lo señalado para ecua-ciones diferenciales



Ejercicios

1- Dado el sistema de ecuaciones diferenciales:

x' =      0 0 1 0 0 0 0 1 8 1 0 0 16 0 0 0      x+      t 0 1 0    

 con la condición inicial x(0) =      1 0 1 2      a) Obtener, si es posible, la solución general del sistema

b) Obtener, si es posible, la solución exacta al problema de valor inicial planteado c) Representar gráficamente la 3ª componente del vector solución

2- ¿ProporcionaMathematica la solución exacta al siguiente problema de valor inicial?

x' =     1 2t 1 0 2 0 1 2t t2    x x(1)=     0 1 1    

3- Puesto que no es posible obtener de forma exacta la solución al problema de valor inicial anterior, obtener la

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