TEMA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD CONCEPTO DE LÍMITE:

Límite de una función en un punto:

El símbolo x →a ( y se lee “x tiende hacia a”) y significa que elegimos valores x muy próximos al valor a, (tan próximos como queramos). Es decir, valores de x, a la derecha o a la izquierda de “a” que se acercan arbitrariamente al punto a.

Consideremos ahora una función y = f(x), si al hacer x →a , los correspondientes valores de f(x) resultan que se van posicionando cada vez más cerca de un número real , que representaremos por la letra L, entonces decimos que la función tiene límite ( = L) cuando x →a . Y se expresa simbólicamente como:

L x f

a

xlim→ ( )=

Ahora bien, elegir valores próximos podemos hacerlo de dos maneras diferentes, desde la derecha o desde la izquierda, surgen dos nuevos conceptos, “los límites laterales”, ya que a un punto nos podemos acercar por dos lados, el derecho y el izquierdo.

De esta forma denotaremos por: * lim f(x)

a

x→ + , al límite lateral derecho, es decir, nos vamos acercando a “x = a” tomando valores mayores que “a”.

* lim f(x)

a

x→ − , al límite lateral izquierdo, es decir, nos vamos acercando a “x = a” tomando valores menores que “a”.

En tal caso diremos que la función tiene límite si tanto el derecho como el izquierdo condicen:

L ) x ( f lim L ) x ( f lim ) x ( f lim a x a x a x→ + = → − = ⇔ → =

En la práctica se utilizará el siguiente enunciado equivalente: Si lim f(x) lim f(x) limf(x)

a x a x a x→ + ≠ → − ⇒∃/ → . Significado gráfico:

Con todos estos resultados y definiciones, la función y = f(x) puede comportarse como sigue, cuando x→a, x→a+ y x→a−.

2/16 En los casos 3, 4 5 6 y 7 diremos que la recta x = a es una asíntota vertical

a b _xlim_→a+f(x) = = − → f(x) lim a x = → f(x) lim a x 1 a b c xlim→a+f(x) = = − → f(x) lim a x = → f(x) lim a x b a = + → f(x) lim a x = − → f(x) lim a x = → f(x) lim a x 2 3 = + → f(x) lim a x = − → f(x) lim a x = → f(x) lim a x a 4 = + → f(x) lim a x = − → f(x) lim a x = → f(x) lim a x a 5 = + → f(x) lim a x = − → f(x) lim a x = → f(x) lim a x a 6 = + → f(x) lim a x = − → f(x) lim a x = ) x ( f lim a 7

Límites en el infinito

OBSERVACIÓN: Se indica por x →∞cuando queremos decir que tomamos valores de x tan grandes como queramos, es decir, puntos de la recta real que se alejan hacia la derecha sin tope. Cuando la situación es hacia la izquierda del eje real se escribe mediante x →−∞.

Si al hacer x →∞, los valores de f(x) de una función tienden al número real L, se dice que la función tiene límite L, para x →∞; y lo escribimos mediante símbolos en la forma: f x L xlim→∞ ( )= . Significado grafico +∞ = +∞ → f(x) lim x 3 4 −∞ = +∞ → f(x) lim x ) x ( f lim x→+∞ no existe L L ) x ( f lim x→+∞ =

En este caso se dice que la recta y = L es una asíntota horizontal de la función y = f(x).

1 2

L

Cuando x→ −∞, la función puede comportarse así:

CALCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES CONOCIDA SU EXPRESIÓN ALGEBRAICA Si x→a

Como normal general, se sustituye el valor de x por el de a en la expresión algebraica correspondiente. Por ejemplo, para determinar el limite cuando x tiende a 2 de la función

5 x

y₌ 3 _{− . Se procede de la siguiente manera:}

3 5 8 5 2 5 x lim 3 3 2

x→ − = − = − = ; y por tanto, el valor del limite es 3.

+∞ = −∞ → f(x) lim x 3 4 −∞ = −∞ → f(x) lim x ) x ( f lim x→−∞ no existe 5 L ) x ( f lim x→−∞ =

En este caso diremos que la recta y = L es una asíntota horizontal de la función y = f(x).

1 2

Ahora bien, eso no siempre es lo mas indicado ya que nos podemos presentar con alguna de estas situaciones:

* Caso 1: la función es “a trozos” y el punto a es de la frontera. En este caso debemos siempre calcular los limites laterales para averiguar si “los trozos de la función pegan bien”

Ejemplo:      > + ≤ + − − = 0 x 1 x 2 3 0 x 1 x 2 x ) x ( f 2        = + = + = + − − = + − − = + − → → → 1 1 0 · 2 3 1 x 2 3 lim 1 1 0 · 2 0 1 x 2 x lim ) x ( f lim 0 x 2 2 0 x 0

x Tanto a la derecha como a la izquierda

del cero, el límite vale lo mismo, por lo que la función tiene límite y vale 1, Es decir: limf(x) 1

0

x→ =

En el caso de que hubieran dado diferente, la función no tendría limite en el punto analizado * Caso 2: Después de sustituir nos da una expresión indeterminada:

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋅ ∞ − ∞ 0 1 0 0 0 0 k 0 0

Alguna de ellas ya se estudió en el curso pasado, vamos a recordar las diferentes técnicas:

INDETERMINACIÓN DEL TIPO 0

0 K ≠

K

Si al calcular el límite de una función obtenemos una indeterminación de este tipo, tendremos que calcular los límites laterales. Siempre nos saldrá o bien ∞ o bien −∞, es por lo que solamente nos interesa el signo del resultado. Para ello tomaremos valores suficientemente próximos al de tendencia de la x, lo sustituimos en la función y nos fijaremos sólo en el signo. Así sabremos si el resultado del límite es ∞ó −∞.

Ejemplos: a) 1 2 1 3 lim 2 2 1 − + − → x x x X 0 4 1 0 4 4 4 6 4 1 1 2 1 · 2 1 2 3 4 1 − = + − →  − + − = 0 K =

Ahora tomamos un valor próximo a ½ por la derecha, por ejemplo 0.51 y sustituimos en la función 495 . 13 02 . 0 2699 . 0 1 51 . 0 · 2 1 51 . 0 · 3 ) 51 . 0 ( 2 − = − = − + −

. Es decir por la derecha el límite

tiende hacia −∞. =−∞ − + − +       → 2 1 1 3 lim 2 2 1 x x x X

Repetimos el proceso pero ahora con un valor próximos por la izquierda

(

)

495 . 11 02 . 0 2299 . 0 1 49 . 0 · 2 1 49 . 0 · 3 49 . 0 2 ₌ − − = − + −

. Es decir por la izquierda el límite

tiende hacia ∞. =∞ − + −       → 2 1 1 3 lim 2 2 1 x x x X .

En resumen, los límites laterales son diferentes y en consecuencia, no existe el límite de la función para x tendiendo al valor ½.

b) 0 4 4 lim ₂ 0 → → _x x

En casos sencillos como este no es necesario sustituir ningún valor concreto, sólo darnos cuenta de que el numerador siempre es positivo, independientemente de que nos acerquemos al 0 por la derecha o por la izquierda y lo mismo sucede con el denominador, siempre es positivo. Es decir, los límites laterales son +∞ en ambos casos, y consecuentemente,

∞ = →0 2 4 lim x x

INDETERMINACIÓN DEL TIPO 0 0

Si al calcular el límite de una función f(x) obtenemos una indeterminación de este tipo, para resolverla tendremos que distinguir dos casos:

a) Si la función f(x) es una función racional (fracción algebraica), entonces la tendencia del límite es una raíz común a ambos polinomios, con lo cual se va a poder simplificar:

1 x 1 x lim ₂3 1 x − − →

Al calcular el límite, es decir, al sustituir por el valor de tendencia: 0 0 1 1 1 1 1 1 lim ₂ 3 1 − → − = − − → _x x x .

Entonces tanto el numerador como el denominador son divisibles entre (x-1) y podremos simplificar. Utilizaremos la regla de Ruffini o cualquier otro método para factorizar los polinomios. Aquí por ejemplo, el numerador lo haremos mediante la regla de Ruffini y para el denominador, nos damos cuenta de que es una igualdad notable:

Entonces x3 −1=(x −1)·(x2 +x +1). El límite quedará pues de la siguiente forma: 2 3 1 1 lim ) 1 )·( 1 ( ) 1 )·( 1 ( lim 1 1 lim 2 1 2 1 2 3 1 + = + + = − + + + − = − − → → → x x x x x x x x x x x x x

b) Si se trata de una función con raíces cuadradas en el numerador o en el denominador: 1 x 1 x 3 lim 0 x→ − −

Al sustituir la x por el valor 0 tendremos: 0 0 1 1 0 1 x 1 x 3 lim 0 x→ − − = − → .

Entonces multiplicaremos tanto el numerador como el denominador por el conjugado, en este caso del denominador

1 x 1 x 3 lim 0 x→ − − =

(

)

(

) (

)

= + − − − + − → _{1 x 1 · 1 x 1} 1 x 1 · x 3 lim 0 x

(

)

1 x 1 1 x 1 · x 3 lim 0 x − − + − → Puesto que en el

denominador tenemos una igualdad notable. Para continuar el ejercicio hay que simplificar, fijémonos en el denominador, hay un 1 que suma y otro que resta y después de hacerlo tendremos una x en el numerador que se podrá simplificar con la del denominador y lo que queda es:

(

)

₆ 1 2 · 3 1 1 x 1 · 3 lim 0 x − = − =− + − →

INDETERMINACIÓN DEL TIPO ∞−∞

    − − − → _{x 1} 1 1 x x 2 lim ₂ 1

x Si cambiamos x por 1 se tiene lo siguiente

0 1 0 2 1 1 1 1 1 2 1 x 1 1 x x 2 lim ₂ 1 x = − − − = −    − − −

→ . En realidad para comprobar que es

exactamente del tipo ∞−∞, tendríamos que hacer un análisis por la derecha y por la izquierda del valor x = 1. En la práctica no se hace nunca para poder ir más rápido y se asume que es de este tipo.

Sumamos las fracciones algebraicas y quedaría en la forma: 1 x 1 x lim 1 x ) 1 x ( x 2 lim 1 x 1 1 x x 2 lim ₂ 1 x 2 x 2 1 x − − =       − + − =     − − − →∞ → →

Al sustituir ahora por x = 1, tenemos una indeterminación del tipo 0

0_{, que resolveremos} descomponiendo en factores y simplificando los resultados.

2 1 1 x 1 lim ) 1 x )·( 1 x ( 1 x lim 1 x 1 x lim 1 x 1 x 2 1 x + − = + = − = − − → → → 1 0 0 -1 1 1 1 1 1 1 1 0

. INDETERMINACION DEL TIPO 0·∞

Como norma general, esta indeterminación se transforma en 0

0 _{sin mas que realizar las} operaciones

(

)

1 x 3 · 1 x lim ₂ 1

x→ − − . Si sustituimos el valor de x por 1, se obtiene:

(

−

)

₁ −₁ =0·∞ 3

· 1

1 ₂

Pero si efectuamos la multiplicación nos queda

1 x ) 1 x ( 3 lim ₂ 1 x − −

→ y ahora es del tipo ₀ 0_{, que} resolveremos descomponiendo el denominador

(

)

(

) (

)

4 3 1 x 3 lim 1 x · 1 x 1 x · 3 lim 1 x ) 1 x ( 3 lim 1 x 1 x 2 1 x − + = + = − = − − → → →

. INDETERMINACIONES DEL TIPO 00 ∞0 1∞

En general, se usan los logaritmos y las derivadas para resolver este tipo de indeterminaciones es por lo que se verán con mas detalle en el tema siguiente.

. Si x→∞

Resulta evidente que no puede sustituirse el valor x=∞en la expresión algebraica puesto que ∞no es un número en concreto, es por lo que tenemos que recurrir a diferentes técnicas relacionadas con el tipo de función a estudiar:

Potencias _{x : Dependerá de si n es par o impar, además si es a infinito positivo o infinito} n

negativo ∞ = ∞ → n xlim x _  ∞ − ∞ + = −∞ → _sinesimpar par es n si x lim n x

Polinomios: Para valores muy grandes (hacia el infinito) o muy pequeños (hacia en menos infinito) la potencia mayor domina a todos los demás sumandos. Así pues, para esos valores, el polinomio es casi igual que n

nx

a (el de mayor grado) Ejemplos: ∞ = ∞ = = + + − ∞ → ∞ → 2x 4x 5x 12 lim 2x 2· lim 3 x 2 3 x −∞ = −∞ = = + + − −∞ → −∞ → 2x 4x 5x 12 lim 2x 2·( ) lim 3 x 2 3 x

−∞ = ∞ − = − = − + − ∞ → ∞ → ₃· 1 x 3 1 lim 5 1 x x 3 1 lim 3 x 2 3 x

. INDETERMINACIÓN DEL TIPO

∞ ∞

Funciones racionales: aplicamos un argumento análogo al del apartado anterior ya que en ambos miembros tenemos polinomios:

Ejemplos: 0 x 5 lim x 5 x 25 lim 1 x 4 x 5 7 x 6 x 25 lim x 3 2 x 3 2 x = = =        + − − + ∞ → ∞ → ∞

→ , porque para valores muy grandes de x, el

resultado de la división será cada vez más pequeño.

3 1 12 4 x 12 x 4 lim 31 x 3 x 12 x 5 x x 4 lim ₃ 3 x 2 3 2 3 x = = =        + + + − −∞ → −∞ → −∞ = ∞ − = − = − =         + + − − ∞ → ∞ → ∞ → _x lim 2x 2· x 2 lim 1 x 4 x x x 2 lim 3 x 2 5 x 2 3 5 x

Funciones irracionales: aunque no se puede hablar propiamente de grado, el procedimiento es bastante similar al de los polinomios. Así, por ejemplo para la función f(x)₌ x6 ₋x3 ₊1_{, el} término de mayor orden (llamamos orden a lo que en los polinomios de llama grado) será _{x ,} 6

que simplificado da x . 3 0 x 3 lim x x 3 lim x x 3 lim 1 x 1 x x 3 lim x 3 2 x 6 2 x 6 2 x ₊ = = = = + − ∞ → ∞ → ∞ → ∞ →

INDETERMINACIÓN DEL TIPO ∞−∞

Funciones racionales: Siempre se podrá efectuar la resta de las fracciones y así la indeterminación se cambiará a otra de otro tipo

      + − − ∞ → _{x 1} x 1 x x lim 2 2

x En primer lugar, vamos a comprobar que este límite es del tipo

señalado. (En la práctica se hace directamente, aunque ahora vamos a hacerlo aquí todo por separado para que se entienda mejor). Calcularemos por separado los límites de cada sumando:

∞ = = = − →∞ →∞ ∞ → _x lim x x lim 1 x x lim x 2 x 2 x ∞ = = = + →∞ →∞ ∞ → _x lim x x lim 1 x x lim x 2 x 2 x

En definitiva, el límite es del tipo ∞−∞. Para resolver la indeterminación haremos la resta de fracciones, simplificaremos y veremos qué se nos queda después.

      + − − ∞ → _{x 1} x 1 x x lim 2 2 x _x 2 x 2 lim 1 x x 2 lim ) 1 x )·( 1 x ( ) 1 x ( x ) 1 x ( x lim ₂ 2 x 2 2 x 2 2 x _ = − = =     + − − − + = ∞ → ∞ → ∞ →

Funciones irracionales: Si se trata de diferencia de funciones con raíces cuadradas multiplicaremos y dividiremos por la expresión conjugada de la función

(

x 1 x 1

)

lim

x→∞ + − − →∞−∞.

Ya que el primer sumando va al infinito y el segundo también.

(

x 1 x 1

)

lim x→∞ + − − _{+ + −} = − − + = − + + − + + − − + = ∞ → ∞ → _{x 1 x 1} ) 1 x ( ) 1 x ( lim 1 x 1 x ) 1 x 1 x )·( 1 x 1 x ( lim x x 0 2 x 1 x 2 lim x→∞ + + = ∞ =

TÉCNICA DE LA “COMPARACIÓN DE INFINITOS”.

Esta técnica es muy útil cuando existan diferencias y cocientes de expresiones en las que queden las indeterminaciones

∞ ∞ ∞ − ∞ y . Propiedad: Si = ±∞ =±∞ +∞ → +∞ → f(x) y lim g(x) lim x

x , cuando f(x) sea un infinito de orden superior

a g(x) se verifica que:

±∞

=













+∞ →

_g

₍

_x

₎

)

x

(

f

lim

x . 0 ) x ( f ) x ( g lim x _=     +∞ → .

(

±

)

=

(

±

)

= ±

(

±∞

)

+∞ → +∞ → f(x) g(x) lim f(x) lim x x

Comparación entre los órdenes de los infinitos de diversas funciones:

* Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Ejemplo :

0

x

5

x

lim

x

5

x

lim

₂ 3 4 x 2 3 4 x→+∞

=

→+∞

=

Ejemplo :

. x lim 1 x 2 2 x 7 x 3 x 5 x lim 32 x x 2 mayor Ordenx x 3 x 2 3 3 +∞ = =             − + − − − +∞ → ↓ = ↓ +∞ →

* Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior. Ejemplo : = −∞ ∞ − ∞ + = ⋅ − +∞ → x x x 1000 1´5 3 lim .

* Cualquier función de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de base x. Ejemplo:

(

− −

)

=

( )

− =− = −∞ =             − − − +∞ +∞ → +∞ → − ↓ +∞ → _{5x x} 2 lim x 2 lim 2 2 x x 3 lim x x x 2 x x x 3 2 5 x 2

* Tanto las funciones exponenciales de base mayor que 1 como las potencias de x, son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.

Ejemplo : =+∞           − + − = ↓ +∞ → x 2x 3 lnx lim 2 3 3 _x x 3 x En resumen:

1.- Las funciones de mayor orden son la exponenciales, luego las polinómicas y por ultimo las logarítmicas.

2.- Entre dos funciones exponenciales de base mayor que 1 tiene mayor orden la que tenga mayor base

3.- Entre dos funciones polinómicas tiene mayor orden la que tenga mayor exponente

4.- Entre dos funciones logarítmicas de base mayor que 1, tiene mayor orden la que tenga menor base

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Definición

Se dice que f(x) es continua en x = a si se verifican estas condiciones:

⇒ _∃f(a) ⇒ _{lim f(x)} a x→ + ∃ , lim f(x) a x→ − ∃ y lim f(x) a x→ + = xlim→a−f(x) = limx→af(x) ⇒ _{f(a) = limf(x)} a x→ .

NOTA: Cuando en las condiciones anteriores aparece el símbolo, ∃, quiere decir que el valor sea finito.

Por lo tanto una función deja de ser continua, es decir será discontinua, si no verifica alguna de las condiciones anteriores. De esta forma aparecen las discontinuidades.

Ejemplo : Analiza la continuidad de







≥

−

<

=

1

x

1

x

2

1

x

x

1

)

x

(

f

en x = 1. 1. f(1) = 2·1 − 1 = 1. 2.

(

)

1 ) x ( f lim 1 x 1 lim ) x ( f lim 1 1 x 2 lim ) x ( f lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x = ⇒     = = = − = → → → → → − − + + 3. Como = ⇒ → f(x) lim ) 1 ( f 1 x f(x) es continua en x = 1.

Clasificación de la discontinuidad (no continuidad)

¿Cuáles son las causas para que una función sea discontinua en un punto, es decir no sea continua en un punto? Que falle una de las dos condiciones antes citadas: no existe límite de la función en a o existe pero no coincide con f(a)

a b ) a ( f ∃/ ) x ( f lim a x→ ∃ a b c ∃f(a) ) x ( f lim a x→ ∃ f(a) ≠ limf(x) a x→ Caso 2 Caso 1

Discontinuidad Evitable

a

a

Discontinuidad de salto infinito

Existe este tipo de discontinuidad cuando alguno de los límites laterales es infinito. Veamos diferentes gráficos en los que están contemplados esta discontinuidad.

a a b a a b c ) x ( f lim ) x ( f lim a x a x→ + ≠ → −

Discontinuidad de 2ª especie ó esencial

Cuando la función no está definida por algún lado de un punto.

Al igual que existen los limites laterales, se puede hablar de continuidad lateral, es decir, por la derecha y por la izquierda. Así, en el dibujo anterior podemos decir que la función es continua por la derecha en x = a, discontinua de salto infinito por la izquierda en x = b y para todos los valores comprendidos entre b y a la función es discontinua esencial

Ejemplo: Estudia la continuidad de







≥

<

=

1

x

x

ln

1

x

e

)

x

(

f

x en x = 1. ⇒_{f(1) = ln 1 = 0.} ⇒

( )

_lim

_f

₍

_x

₎

e

e

lim

)

x

(

f

lim

0

x

ln

lim

)

x

(

f

lim

1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x → → → → →

_⇒

_∃/









=

=

=

=

− − + + ⇒_{Como ∃/} ⇒ → f(x) lim 1

x f(x) es no es continua en x = 1. Existe una discontinuidad de salto.

Aunque, según los resultados anteriores podemos decir que f(x) es continua por la derecha de x = 1, ya que f(1) lim f(x)

1 x→ +

= y por la izquierda es discontinua de salto.

Análisis de la continuidad de una función a trozos

Para analizar la continuidad de una función a trozos debemos tener en cuenta lo requerido en el enunciado, así que:

Si nos piden estudiar la continuidad en un punto, sólo nos limitaremos a estudiar la continuidad en ese punto como hicimos en los ejemplos anteriores.

Si nos piden analizar la continuidad, sin decirnos donde, debemos analizarla en su dominio.

Si nos piden estudiar la continuidad en un intervalo, primero la estudiaremos en su dominio y luego comprobaremos si el intervalo está incluido o no en el dominio.

b

Ejemplo : Estudia la continuidad de     > + ≤ + = 0 x 1 x 0 x 1 e e ) x ( f 2 x x .

Hemos de hacer un estudio en todo el dominio de la función, en primer lugar entonces determinaremos cual es el dominio.

La función esta compuesta por dos trozos:

En el primero es una función racional que seria no continua en aquellos puntos que anulen el denominador, es decir aquellos valore de x tales que son solución de la ecuación ex ₊1₌0_. Ahora bien, para resolverla si pasamos el termino independiente al otro miembro nos queda que ex ₌₋1_{, que es una ecuación sin solución, con lo cual el dominio el todo el intervalo} del primer trozo, es decir

[

0,∞

)

En el segundo, es un polinomio cuyo dominio será entonces todo el intervalo de definición es decir

(

0,∞

)

En resumen, la función tiene por dominio todos los números reales

Para analizar la continuidad de una función a trozos, hemos dicho que hay que tener en cuenta dos tipos de puntos, en primer lugar, los que no pertenecen al dominio (en este caso no hay ninguno con esta característica) y por otro lado los puntos frontera, en este caso x = 0

Para analizar la continuidad tendremos que comprobar si coincide el limite con la función en dicho punto. Precisamente al ser un punto frontera, tenemos que calcular los limites laterales 2 1 1 e e 1 e e lim ₀ 0 x x 0 x→ − + = + = lim x 1 0 1 1 2 0 x→ + + = + = f(0) = ½

Diremos entonces que la función es discontinua en x = 0 de tipo salto finito, y podemos concretar mas diciendo que es continua por la izquierda pero discontinua de salto finito por la derecha.

Ejemplo : Calcula a y b para que sea continua la siguiente función:

     ≥ + < < − − ≤ + = 3 x 4 x 2 3 x 1 b 1 x ax x ) x ( f 2

En primer lugar debemos localizar cual es el dominio exactamente, como quiera que cada uno de los trozos es un polinomio, y además los puntos frontera también están incluidos en la definición, podemos concluir que el dominio es todo el conjunto de números reales ℜ.

Entonces, donde único pudiera ser discontinua la función será precisamente en dichos puntos frontera.

Si analizamos en primer lugar, por ejemplo, la situación para x = -1, se tiene que:

          − = − = − = − + − = + + − − → − → a 1 ) 1 ( f b b lim a 1 ) 1 ( a ) 1 ( ax x lim 1 x 2 2 1 x

Para que sea continua, deberá ser que 1−a =b

Del mismo modo, si analizamos para x = 3, se tiene que:

          = = + = + = + − − → − → 10 ) 3 ( f 10 4 6 4 x 2 lim b b lim 3 x 3 x

Para que sea continua, tiene que ser b = 10.

De lo cual se deduce que 1 – a = 10 luego a = -9. Y la función quedaría:

     ≥ + < < − − ≤ − = 3 x 4 x 2 3 x 1 10 1 x x 9 x ) x ( f 2