CONTROL ANALÓGICO I. MODELADO MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DE CONTROL Unidad II

Texto completo

(1)

MODELADO MATEMÁTICOS DE

SISTEMAS DE CONTROL

Unidad II

(2)

Modelado de sistemas

Con la finalidad de diseñar y analizar el

comportamiento dinámico de un sistema

físico, es necesario obtener modelos

matemáticos cuantitativos de ellos.

(3)

Modelado Cont.

(4)
(5)

La mayoría de los sistemas de interés en

el área de control son de naturaleza

dinámica, la forma general de una

ecuación diferencial lineal de orden n es:

Donde:

u es la entrada del sistema

y es la salida del sistema

1 1 1 1 0 1 1 0

( )

( )

( )

( )

...

( )

..

( )

− − − − − −

+

+ +

=

+

+ +

n n m m n n n n m m m m

d y t

d

y t

d u t

d

u t

a

a

a y t

b

b

b u t

dt

dt

dt

dt

(6)

Representación

Además

a

0,

a

1

,…,a

n

y b

0

, b

1

,…,b

m

son constantes o

funciones del tiempo.

1 1 1

...

0 1

...

0 n n m m n n m m

a y

+

a

y

+ +

a y

=

b u

+

b

u

+ +

b u

(7)

Tipos de sistemas

Para los sistemas físicos , además:

Si los coeficientes son constantes, se trata de

sistemas lineales invariantes en el tiempo

(SLIT), por ejemplo: redes eléctricas, sistemas

de suspensión de automóviles, motores

eléctricos, etc.

Si los coeficientes son variables, se les llama

sistemas variantes en el tiempo (SLVT), como

ejemplo tenemos: aviones, hornos, cohetes,

etc

.

(8)

Ejemplos

Analice cada ecuación diferencial y

determine tipo de sistema al que

pertenece.

(9)

FUNCION DE TRANSFERENCIA

 La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la

transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen igual a cero.

=

L( ) ( )

L( ) ( )

y Y s

u U s

Ec. Diferencial Ec. Algebraica

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

L 1 − L 1 1 0 1 1 0 ... ( ) ( ) ... m m m m n n n n b s b s b Y s n m U s a s a s a − − − − + + + = ≥ + + +

(10)

De hecho, la transformada de Laplace

permite resolver ecuaciones diferenciales

lineales mediante la transformación en

ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita

su estudio.

Una vez que se ha estudiado el

comportamiento de los sistemas dinámicos,

se puede proceder a diseñar y analizar los

sistemas de control de manera simple.

¿Por qué Transformada de

Laplace?

(11)

Ejemplos: Obtención de función

de transferencia

Obtener la función de transferencia de

los siguientes sistemas así como los

polos y ceros de la misma.

(12)

OBTENCIÓN DE F.T DE

SISTEMAS

 Considere un circuito eléctrico RC de la figura 2.3, aplique las leyes de voltajes

de kirchhoff para obtener la ecuación diferencial que rige la dinámica del sistema y a partir de esta determine la función de transferencia del circuito considerando como salida Vo(t) y como entrada Vi(t).

Vi (t) + - R C i(t) Vo(t) + -

Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff

0

( ) ( ) ( ) 0

i

(13)

 Además 0

1

( )

( )

V t

i t dt

C

=

i t( ) C dV t0( ) dt =

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la primera

0 0

( )

( )

( )

=

0

i

dV t

V t

RC

V t

dt

0 0 ( ) ( ) ( ) + = i dV t RC V t V t dt

(14)

Aplicando

0

( )

+

0

( )

=

i

( )

E s

RCsE s

E s

0

( )

1

( )

1

i

E s

E s

=

RCs

+

1

s

RC

= −

Factorizando y reacomodando

Obsérvese que el polo del sistema está localizado en .

(15)

Diagramas de bloques

Esta representación gráfica permite

describir de manera clara el

funcionamiento de un sistema real

(amplificadores, control de motores,

circuitos eléctricos, servomecanismo,

hornos, etc.), debido a que muestra

como se realiza el flujo de señales

dentro del mismo.

(16)

Elementos básicos

Punto de suma: Indica la suma o resta de señales.

Puntos de toma o derivación: Se emplea para indicar que alguna

señal sale  a diferentes lugares. + - + G(s) C(s) R(s) R2(s) R1(s) R3(s) C(s)=R1(s)+ R2(s)-R3(s) Y(s) Y(s) Y(s) Y(s) a) b) c)

(17)

Reglas para reducir diagramas de

bloques

Una regla para simplificar un diagrama de bloques

consiste en desplazar los puntos de toma hacia la

salida y los puntos de suma hacia la entrada e ir

reduciendo los lazos internos de retroalimentación

aplicando las reglas de las tablas siguientes.

En toda simplificación de diagrama de bloques se deben

cumplir las siguientes reglas básicas.

El producto de F.T. a lo largo de un trayecto desde la

entrada hasta la salida (siguiendo el sentido de las

flechas) debe permanecer constante.

El producto de F.T. a lo largo de un lazo también

(18)
(19)
(20)

Ejemplo

( ) ( ) Y s R s Y(s) R(s) + - + - - 1( ) G s G s2( ) G s3( ) 1( ) H s 2( ) H s

Reduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura

y obtenga la función de transferencia

(21)

Usando regla 6

Y(s) R(s) + - + - - 1 1 ( ) G s 1

( )

G s

1

( )

H s

2

( )

G s

G s

3

( )

2

( )

H s

(22)

 Ahora a partir de la regla 9 y 4 obtenemos el sistema mostrado

Y(s) R(s) + - + - - 1 1 ( ) ( ) H s G s 1( ) 2( ) G s G s G s3( ) 2( ) H s 3 1 ( ) G s

De igual forma usando la regla 4 al esquema de la figura obtenemos

Y(s) R(s) + - + - - 1 1 ( ) ( ) H s G s 1( ) 2( ) 3( ) G s G s G s 2 3 ( ) ( ) H s G s

(23)

 Por regla 13 y 2 aplicada a la figura obtenemos Y(s) R(s) + - + - 2 3 ( ) ( ) H s G s 1 2 3 1 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s H s G s G s G s G s   +  

Simplificando vía regla 13 el sistema de la figura llegamos al esquema mostrado Y(s) R(s) + - 1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s G s G s H s G s G s G s H s G s G s H s G s +     +

(24)

Simplificando

Y(s) R(s) 1 2 3 2 3 1 1 2 2 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 1+ ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) G s G s G s G s G s H s G s G s H s G s G s G s

(25)

MATRIZ DE TRANSFERENCIA

1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )             = =                 m r y t u t y t u t y t U t y t u t

( )

( ) ( )

Y s

=

G s U s

Para un sistema MIMO, se tienen r entradas u1, u2,.., ur y m salidas y1, y2,…,ym definidos como

La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con la entrada U(s), o sea

Donde

U(s) vector de entradas de orden r Y(s) vector de salida de orden m

(26)

EJEMPLO DE SISTEMA MIMO

SISTEMA DE SUSPENSION DE UN

AUTOBUS

f(t) x1(t) fv M1 M2 x2(t) K1 K2 Auto Sistema de suspensión Elasticidad de la llanta Masa de la suspensión U(t)

(27)

Modelos matemáticos de sistemas físicos y conceptos de

no linealidades

Durante el proceso de diseño de control

hay que resolver la siguiente disyuntiva.

(28)

Se debe establecer un compromiso

entre la simplicidad y la exactitud en el

resultado del análisis.

(29)

Al plantear un modelo matemático

debemos decidir entre:

Lineal vs No lineal

f f m m x x Kk Kk K depende de x a) b)

(30)

Ventajas de la linealidad

Aplicación del principio de

superposición.

y(t) K y(t) u(t) u(t) K u1(t) K K u2(t) u2(t) u1(t) y1(t) y2(t) y(t)=y1(t)+y2(t)

(31)

Ejemplo de no linealidades

y(t) u(t) u(t) y(t) y(t) u(t) u(t) y(t) a) Saturación b) Saturación de

amplificador c) Zona muerta

(32)

Sistemas con parámetros concentrados

vs distribuidos

f m x K a) b) f m x K mr

(33)

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo vs Sistemas

Lineales Variantes en el Tiempo

SLIT SLVT

f m x K a) b) f m(t) x K

(34)

Clasificación de los sistemas de

control

Incrementa la facilidad de análisis Incremento de realismo

Estocásticos Dinámicos

Estocásticos Determinísticos

Parámetros concentrados Parámetros distribuidos

Lineales No lineales

Coeficientes constantes Coeficientes variables

Continuo Discreto

Primer orden Segundo orden Orden n

Sistemas acoplados

(35)

Modelado de Sistemas de nivel de

líquido

1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

i o o i

dh t

q t

q t

C

dt

h t

R

q t

dh t

q t

h t

C

R

dt

=

=

=

(36)

Sistemas de nível de líquido

1

1

1

1

1

1

Aplicando la transformada de Laplace

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )(

)

( )

( )

i i

dh t

q t

h t

C

R

dt

Qi s

H s

CsH s

R

Qi s

H s Cs

R

H s

R

Q s

Cs

CRs

R

=

=

=

+

=

=

+

+

(37)

Modelado de sistemas eléctricos

 Las leyes básicas que rigen los circuitos eléctricos son las leyes de

corriente y voltaje de kirchhoff. Los elementos de un circuito incluyen resistores, capacitares, inductores, fuentes de voltaje y de corriente. Para obtener la función de transferencia de los circuitos eléctricos es conveniente tratar los elementos pasivos como impedancias complejas.

C + Vc - 0 1 ( ) ( ) t v t i t dt C = i t( ) Cdv t( ) dt = 1 Cs Cs L iL ( ) ( ) di t V t L dt = 0 1 ( ) ( ) t i t v t dt L = Ls 1 Ls R ( ) ( ) v t =Ri t ( ) ( ) v t i t R = R 1 G R =

Componente Voltaje Corriente Impedancia

(38)

EJEMPLO DE MODELADO DE

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Encontrar la función de transferencia

para el circuito mostrado en la figura.

L iL R V+ i(t) - V0(t) + - C Vc + -

Transformando los elementos en impedancias complejas

Ls I(s) Vi+ (s) - V0(s) + - Cs R 1 0 1 ( ) 1 ( ) i V s Cs V s R Ls Cs = + + 0 2 ( ) 1 ( ) = + +1 i V s V s LCs RCs Simplificando

(39)

Sistemas mecánicos

Los sistemas mecánicos son aquellos que están compuestos por

masas que al aplicárseles una fuerza se ponen en movimiento,

dos elementos adicionales como son el resorte y el

amortiguador, son empleados en estos sistemas para

representar los efectos de torsión y la fricción que puede

presentarse.

Algunos ejemplos de estos sistemas son:

Grúas,

Sistemas de suspensión de automóviles,

Servomecanismos

Brazos manipuladores

(40)

Modelado de sistema mecánicos

Sistema de suspensión de un

automóvil

2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) v F ma dx t d x t f t Kx t f m dt dt = − − =

(41)

Modelado cont.

2 2 2 2 2

1

Aplicando la transformada de Laplace a cada término

(considerando condiciones iniciales igual a cero)

=

=

=

+

+

=

+

+

( )

( )

( ) -

( )

-( ) -

( ) -

( )

( )

( )

( )

( )

( )

v v v v

dx t

d x t

f t Kx t f

m

dt

dt

F s KX s f sX s

ms X s

F s

X s ms

f s K

X s

F s

ms

f s K

(42)

Modelado usando impedancias

mecánicas

 En general los sistemas de control contienen componentes tanto

mecánicos como eléctricos. Desde el punto de vista de su modelo

matemático, la descripción de los elementos mecánicos y eléctricos es análoga. ( ) ( ) F s X s f(t) x(t) M Masa w M g = 2 2 ( ) d x f t M dt = 2 Ms f(t) K Resorte x(t) f t( )=Kx t( ) K f(t) x(t) fv Amortiguador ( ) ( ) v dx t f t f dt = v f s Impedancia

Es la propiedad que tiene un elemento para almacenar energía cinética debido a su movimiento de traslación.

Componente Definición Relación

Su análogo es la inductancia

Es un elemento que tiene la propiedad de almacenar energía potencial, su análogo es un capacitor.

Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre una fuerza aplicada y la velocidad.

(43)

 Considera el sistema masa-resorte-fricción mostrado en la figura,

donde K es la constante del resorte, fv la fricción viscosa y M la masa del cuerpo. Obtenga la función de transferencia y .( )( )

X s F s ( ) ( ) V s F s K M f(t) x(t) fv v(t)

Aplicando el concepto de las impedancias mecánicas bajo la siguiente estructura:

(44)

 De aquí, tenemos:

 Para el caso de dos grados de libertad:

1 1 2

1 2

Suma de impedancias mecánicas Suma de impedancias mecánica mutuas conectadas al movimiento de x entre x y x

Suma de impedancias mecánica mutuas Suma de impedancias me entre x y x               −    1 2 ( ) ( ) 1 2 2 Suma de fuerzas aplicadas a x Suma de fuerzas cánicas aplicadas a x conectadas al movimiento de x             =               x s x s

(

2

)

( ) ( ) v F s = X s Ms + +K f s 2

( )

1

( )

v

X s

F s

=

Ms

+

f s

+

K

(45)

Modelado de sistemas mecánicos

rotacionales

 En el caso de los sistemas mecánicos de rotación, los cuerpos

experimentan un movimiento de rotación en lugar de uno de

traslación. Estos sistemas tienen como elementos los mostrados

( ) ( ) T s s θ T( )t θ(t) J Inercia 2 2 ( ) ( ) d t T t J dt θ = 2 Js K T( )t θ(t) Resorte torsional ( ) ( ) T t =Kθ t K ( ) ( ) v d t T t f dt θ = v f s Amortiguador T( )t θ(t) fv Impedancia Componente Definición Relación

Es la propiedad que tiene un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de rotación.

Es un elemento que representa la torsión de una varilla o eje cuando está sometido a un par aplicado.

Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre el par aplicado y la velocidad angular.

(46)

Modelado de sistemas mecánicos

rotacionales

Una de las herramientas básicas que se utilizan para describir

la dinámica de los sistemas mecánicos rotacionales son las

leyes de Newton, la cual establece que: “La suma algebraica

de los momentos o pares aplicados alrededor de un eje fijo es

igual al producto de la inercia por la aceleración angular

alrededor del eje”. Esto puede expresarse mediante la

siguiente ecuación.

Donde

J es la inercia

es la aceleración angular

Pares =

J

α

α

(47)

Ejemplo

 La figura muestra la representación de un motor que está sujeto a una flecha

flexible, la fricción de los cojinetes se representa por medio de una constante. Determinar la función de transferencia

.

T ( )m θ Tm(t) Cojinetes Jm ( ) ( ) m s T s θ

primero se realiza una representación esquemática del mismo, empleando los elementos de la tabla

fv K

Jm T ( )m t θ(t)

(48)

Ejemplo

El análisis del sistema de la figura se

realiza a partir del diagrama de cuerpo

libre.

( )s θ T ( )m s J sm

( )

s ( ) v f sθ s ( ) Kθ s Jm

( )

( )

2

( )

( )

m v m

T

s

K

θ

s

f s

θ

s

=

J s

θ

s

Aplicando suma de pares

(

2

)

( )

( ) m v m J s + f s+ K

θ

s =T s Obteniendo la F.T. ( ) ( ) [ ]

Suma de impedancias mecánicas

Suma de pares aplicados conectadas al movimiento en sθ θ   =     s Se observa que

(49)

Tren de engranes

 Cuando se utilizan sistemas mecánicos rotacionales tales como motores

o generadores, es común que se presente la necesidad de requerir un par diferente al que se genera para aplicarlo a la carga, en esta

situación suelen emplearse los trenes de engranes

.

2 1 1 1 2 2 ( ) ( ) t r N t r N θ θ = = 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) T t t N T t t N θ θ = = N2 N1 T t2( ) 1( ) T t N1 N2 1( )t θ θ2( )t

(50)

Modelado de un Motor de CD

 Para un motor de CD controlado por armadura como el mostrado en la

figura.

(t) θ T(t) Jm Ra La + - + - Va(t) ia eb fv ( )t ω ( )t ω ( )t φ

Considerando los siguientes parámetros para el motor: ia Corriente de armadura (Amp)

Ra Resistencia de armadura (Ω)

eb(t) Fuerza contraelectromotriz (Volts) T(t) Par del motor

θ(t) Desplazamiento del Motor (Rad) Ka Constante del Par (N-m/Amp)

La Inductancia de la armadura (Henrios) Va(t) Voltaje aplicado en la armadura (Volts)

Kb(t) Constante de la fuerza electromotriz (V/rad/seg) Velocidad angular del motor (rad/seg)

Flujo magnético en el entrehierro (Webers) J Inercia del motor (Kg-m2)

(51)

( ) ( ) ( ) a ( ) 0 a a a a b di t V t R i t L e t dt − − − = ( ) ( ) ( ) a ( ) a a a a b di t V t R i t L e t dt = + −

( )

( )

b b

e t

=

K

ω

t

Modelado de la parte eléctrica.

Por ley de voltajes de kirchhoff al circuito de armadura tenemos

Relación eléctrica-mecánica.

La fuerza contraelectromotriz eb(t) se relaciona con la velocidad con la ecuación

( ) t ( ) ( )a

T t = K φ t i t

( )

a a

T = K i t

el par desarrollado por el motor depende de la corriente de armadura y del flujo en el entrehierro.

Si consideramos que el flujo magnético es constante

(52)

2 ( ) ( ) ( ) d t d t T t f J dt dt θ θ = + ( ) ( )t d t dt θ ω = ( ) ( ) ( ) d t T t f t J dt ω ω = +

Modelado de la parte mecánica.

En un motor de CD controlado por armadura el par producido está dado por

Si consideramos la velocidad como salida

entonces

(53)

 Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones

( ) ( ) ( ) ( ) a a a a b a R I s + L sI s +E s =V s ( ) ( ) b b E s = Ks ( ) a a( ) T s = K I s

( )

( )

( )

T s

= Ω

Js

s

+ Ω

f

s

Ia(s) Las+Ra Va(s) 1 - + Eb(s) Ka Ia(s) T(s) T(s) Ω(s) Js+f 1 Eb(s) Ω(s) Kb

(54)

Representación en diagrama de bloques

Ia(s) Va(s) - + Eb(s) La1 s+Ra Kb Ka T(s) Ω(s) Js+f 1 Simplificando

(

)(

)

( )

( )

a a a a a b

K

s

V s

L s

R

Js

f

K K

=

+

+

+

(55)

Función de transferencia de un

servomecanismo

Determinar la función de transferencia de un

(56)

Calculando la impedancia mecánica

equivalente vista en la armadura (eje

fuente).

(57)

De la curva de velocidad-Par,

determinamos las constantes.

(58)

Del modelo del motor de CD

(59)

Para encontrar la FT

como

Entonces

Así

(60)

Referencias

 1.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th Edition, 2004.

 2.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª Edición, 2005.

 3.- Navarro R, Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw Hill, 1ra Edición, 2004.

4.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª Edición, 2003.

 5.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.

 6.- Lewis P. H. & Yang C., Sistemas de Control en Ingeniería,1ra Edición, Prentice Hall, 1999.

 7.- D´azzo J. J., Sistemas Retroalimentados de Control, 4a edición, Paraninfo, 1989.

 8.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático, Séptima Edición, Prentice Hall, 1996.

 9.- Phillips L. Ch., Harbor R. D., Feedback Control Systems, Third Edition, Prentice Hall, 1996.

Figure

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