Multiplicación algebraica

Por:
Sandra
Elvia
Pérez
Márquez




Las
operaciones
algebraicas
como

la
multiplicación
y
división
necesitan
de
algunos
conocimientos
previos,


por
 ejemplo:
 las
 reglas
 de
 los
 signos,
 de
 los
 exponentes,
 por
 lo
 que
 debe
 tenerlas
 presentes.
 Recuerda


algunos
conceptos
importantes,
así
los
métodos
para
realizar
las
operaciones
de
la
multiplicación.













































































Tabla
1.
Consideraciones
para
realizar
una
multiplicación
algebraica.








La
multiplicación
algebraica
se
lleva
a
cabo
en
tres
modalidades:





a)
Monomio
por
monomio.


b)
Monomio
por
polinomio.


c)
Polinomio
por
polinomio.











Para
 efectuar
 la
 multiplicación
 de
 expresiones
 algebraicas,
 debemos
 de
 tener
 en


consideración
el
siguiente
orden.


Primero
 los
 signos,
 luego
 los
 coeficientes
 y
 por
 último
 las
 literales.
 Para
 la
 cual


debemos
recordar:








Reglas
de
los
signos



para
la


MULTIPLICACION





a)
Signos
iguales
el


resultado
es
positivo





(
+
)(
+
)=
+


(
-
)
(
-
)=
+





b)
Signos
diferentes
el


resultado
es
negativo





(
+
)
(
-
)=

-


(
-
)
(
+
)=

-








Multiplicación
de
los


números
con
fracciones





Se
multiplica
numerador
por


numerador

y
denominador



por
denominador.





𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

=

𝑎𝑐

𝑏𝑑







Regla
del
producto
para


los
exponentes





En
el
producto
de
las


potencias
de
la
misma


base,
la
base
se
mantiene
y


los
exponentes
se
suman.





𝑎

!

_{+ 𝑎}

!

_{= 𝑎}

!!!





















a) Multiplicación
de
monomio
por
monomio





Recuerda
que
un
monomio

es
una
expresión
algebraica

que
tiene
solamente
un
término:








Ejemplos:





Operaciones


Multiplicamos


_signos



Multiplicamos


_coeficientes



Multiplicamos


literales


(Reglas
de
los


exponentes)




Resultado


1)


(

2

x

)(

_{− )}

4

x

₌




(

₊

)(

₋

)

₌

₋




(

2

)(

4

)

=

8




(

x

)(

x

)

=

x

2




−

8x

2




2)


(

₃

_x

2

_y

)(

₅

_xy

4

)



₍

₊

₎₍

₊

₎

₌

₊



₍

₃

₎₍

₅

₎

₌

₁₅



₍

_x

2

_y

₎₍

_xy

4

₎

_x

3

_y

5

=




15 y

x

3 5




3)


_











−













y

x

z

y

x

4

5

3

2

2 3







−

=

−

+

)(

)

(




₆

5

12

10

4

5

3

2

=

=



























2 4 2 2 3

_y

_z

x

y

x

z

y

x

=




























_{4 2} 2

6

5

z

y

x

−





























































b)
Multiplicación
de
monomio
por
polinomio





Un
polinomio

es
una
expresión
algebraica
de
dos
o
más
términos

y
para
realizar
la
multiplicación
de


monomio
por
polinomio,
debes
tener
en
consideración
la
propiedad
distributiva.





ad

ac

ab

d

c

b

a

(

+

+

)

=

+

+










Ejemplos:





1)


2

x

(

5

x

2

−

6

x

+

3

)

=







Aplica
la
ley
distributiva
y
multiplicamos
el
monomio
por
cada
término
del
polinomio














Realiza
la
multiplicación
de
los
términos
tomando
en
consideración
signos,
coeficientes
y
literales





x

x

x

x

x

x

(

5

6

3

)

10

12

6

2

2 3 2

+

−

=

+

−













2)


₍

₋

3

_xy

₎

(

4

_x

2

_y

₋

7

_xy

3

₊

3

_y

4

)

₌






Aplica
la
ley
distributiva
y
multiplicamos
el
monomio
por
cada
término
del
polinomio











Realiza
la
multiplicación
de
los
términos
tomando
en
consideración
signos,
coeficientes
y
literales





(

₃

_xy

)

₍

₄

_x

2

_y

₇

_xy

3

₃

_y

4

₎

₁₂

_x

3

_y

2

₂₁

_x

2

_y

4

₉

_xy

5

−

+

−

=

+

−

−










3)




=











₋

₊













₄

3

2

2

3

5

3

_x

_z

y

x







( )

4

3

5

3

2

3

5

2

3

5

4

3

2

2

3

5

3 3 3 3













+













₋













+

























=













₋

₊













y

x

z

y

x

x

y

x

z

x

y

x







y

x

y

z

x

y

x

z

x

y

x

3

20

9

10

6

5

4

3

2

2

3

5

3 4 3 3

+

−

=













₋

₊































c)
Multiplicación
de
polinomio
por
polinomio





En
la
multiplicación
de
polinomio
por
polinomio
cada
uno
de
los
términos
del
primer
polinomio
se
debe


multiplicar

cada
uno
de
los
términos
del
segundo
polinomio.








Ejemplos:





1)


₍

2

x

₊

3

y

₎₍

x

₋

5

y

₎

₌







Se
multiplica
cada
uno
de
los
términos
del
primer
polinomio
por
los
términos
del
segundo
polinomio








(

₂

_x

₃

_y

)(

_x

₅

_y

)

₂

_x

2

₁₀

_xy

₃

_xy

₁₅

_y

2

−

+

−

=

−

+




Se
simplifican
términos
semejantes











(

₂

_x

₃

_y

)(

_x

₅

_y

)

₂

_x

2

₇

_xy

₁₅

_y

2

−

−

=

−

+










(

)




Se
multiplica
cada
uno
de
los
términos
del
primer
polinomio
por
los
términos
del
segundo
polinomio





(

_a

₂

_b

)

(

_a

2

₂

_ab

₄

_b

2

)

_a

3

₂

_a

2

_b

₄

_ab

2

₂

_a

2

_b

₄

_ab

2

₈

_b

3

−

−

−

+

+

=

+

+

−










Se
multiplica
cada
uno
de
los
términos
del
primer
polinomio
por
los
términos
del
segundo
polinomio











(

_a

₂

_b

)

(

_a

2

₂

_ab

₄

_b

2

)

_a

3

₈

_b

3

−

=

+

+

−












En
la
multiplicación
de
polinomios,
puede
darse
el
caso
que
se
multipliquen
2
o
más
polinomios
entre
sí.


Se
recomienda
que
se
realice
la
multiplicación
de
los
dos
primeros
y
el
resultado
se
multiplique
por
el


siguiente
y
así
sucesivamente.








Ejemplo:





(

x

2

−

y

)(

x

2

+

y

)(

x

4

−

5

y

)

=









Multiplica
los
dos
primeros
polinomios








(

x

2

−

y

)(

x

2

+

y

) ( )( ) ( )

=

x

2

x

2

+

x

2

( ) ( )

y

+

−

y

( )

x

2

+

( )( )

−

y

y







(

_x

2

_y

)(

_x

2

_y

)

_x

4

_x

2

_y

_x

2

_y

_y

2

−

−

+

=

+

−

























Se
simplifican
términos
semejantes





(

_x

2

_y

)(

_x

2

_y

)

_x

4

_y

2

−

=

+

−









El
resultado
de
la
multiplicación,
se
multiplica
por
el
tercer
polinomio





(

_x

2

_y

)(

_x

2

_y

)

_x

4

_y

2

−

=

+

−







(

x

4

y

2

)(

x

4

5

y

) ( )( ) ( )

x

4

x

4

x

4

(

5

y

)

(

y

2

)( ) (

x

4

y

2

)

(

5

y

)

−

−

+

−

+

−

+

=

−

−







(

_x

4

_y

2

)(

_x

4

₅

_y

)

_x

8

₅

_x

4

_y

_x

4

_y

2

₅

_y

3

+

−

−

=

−

−






Por
lo
tanto
el
resultado
de
la
multiplicación
de

los
tres
polinomios

es:







(

_x

2

_y

)(

_x

2

_y

)(

_x

4

₅

_y

)

_x

8

₅

_x

4

_y

_x

4

_y

2

₅

_y

3

+

−

−

=

−

+

−













4)
Determina
una
expresión
algebraica
que
represente
el
área
de
la
siguiente
figura:














Recuerda
que
el
área
de
un
rectángulo


es
igual
al
producto
de
su
base
por
la


altura.






(

)(

)

15

16

4

15

6

10

4

5

2

3

2

2 2

+

+

=

+

+

+

=

+

+

=

×

=

x

x

Área

x

x

x

Área

x

x

Área

altura

Base

Área













Por
lo
tanto
la
expresión
algebraica
que
representa
el
área
del
rectángulo
es


4

2

16

15

+

+

x

x

























Figura
1.
Rectángulo
de
lados
 
y











Para
determinar
el
área
sombreada
es


necesario,
calcular
el
área
de
la
figura


más
grande
y
restarle
el
área
de
la
figura


pequeña.








Área total = Área mayor – Área menor










Calcula
las
áreas
por
separado:








Área mayor = (x+3) (3x+5)

Área menor = (2x) (x)







Área mayor = 3x

2

_+5x+9x+15

_{Área menor =2x}

2




Área mayor = 3x

2

+14+15

Área menor =2x

2










Por
lo
tanto
el
Área
sombreada
será:








Área total = Área mayor – Área menor

Área total = (3x

2

_{+14x+15) – (2x}

2

₎

Área total = 3x

2

_{+14x+15 – 2x}

2

Área total = x

2

_+14x+15







La
expresión
algebraica
que
determina
el
área
de
la
región
sombreada
es


2

14

15

+

+

x

x




Figura
2.
Área
sombreada
de
un
 rectángulo.