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TEMA 8. SUCESIONES. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 8. SUCESIONES. PROGRESIONES

ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

1. Introducción.

Las sucesiones surgen de la tendencia del hombre a ordenar los distintos elementos de un mismo tipo, los alumnos en clase, los jugadores de un equipo…

El concepto de sucesión se apoya en la sucesión más importante, la sucesión identidad. Esta sucesión no es otra que “la sucesión de los números Naturales”, que como veremos es una progresión aritmética de diferencia unidad.

Aunque las sucesiones son ordenaciones de cualquier elemento, en este tema nos centraremos en las sucesiones numéricas, donde los elementos a ordenar son números. Por lo general estos números se relacionan entre sí mediante alguna relación de recurrencia y/o por una expresión general que asocia a cada número con la posición ocupada.

Históricamente se considera que la primera sucesión numérica es la sucesión de Fibonacci utilizada por este en el siglo XIII para explicar el crecimiento de las parejas de conejos en la cría de los mismos. Esta sucesión no es sólo importante por razones históricas, sino por ser la sucesión que más explica muchos comportamientos naturales (crecimiento de las hojas de una rama, las pipas de girasol, etc) y por su estrecha relación con el número áureo.

Las sucesiones numéricas más importantes, que veremos en el tema, y que se explican en secundaria, son las denominadas progresiones aritméticas y geométricas.

Las aplicaciones de las sucesiones numéricas son múltiples y merecerán también un apartado propio en el desarrollo del tema.

2. Sucesiones

2.1. Definición y tipo de representaciones.

Definimos matemáticamente una sucesión como una aplicación entre los números Naturales o un subconjunto de estos a otro conjunto A≠ ∅. Esquemáticamente

a: ℕ  A n  a(n)=an

Los términos imagen de la sucesión a(1), a(2), … se suelen representar con subíndices a1,

a2, … y se denominan términos de la sucesión.

A la hora de describir una sucesión existen tres métodos diferentes:

1. Método descriptivo: donde los términos de la sucesión se conocen uno a uno,

escribiéndose en orden desde el primero al último. Este método es el único posible para describir sucesiones no numéricas o numéricas donde no existe ninguna relación entre los diferentes elementos de la sucesión ni con la posición de los mimos. Ejemplo: sucesivos valores aproximados del número π por truncamiento: a={3.1, 3.14, 3.141, 3.1415…}

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2. Método recurrente: se conocen los términos de la sucesión en virtud de conocer

alguno de los términos anteriores. Si sólo necesitamos el término anterior se llaman recurrentes de orden uno, si los dos anteriores de orden dos, así sucesivamente. Además de la relación de recurrencia es necesario conocer los primeros elementos de la sucesión, tantos como orden de la recurrencia (a1 en las

recurrencia de orden 1, a1 y a2 si es de orden dos, etc.). Pongamos un ejemplo:

an=(an-1) 2

y a1=2  an={2, 4, 16, 256…}

3. Método analítico: es la forma más general y más sencilla de conocer la sucesión, el

término queda determinado a partir de saber la posición que ocupa. La expresión que nos relaciona término y posición se llama término general. La ventaja respecto el método anterior es que no tenemos que conocer todos los término anteriores para conocer un término dado, sólo la posición. Por lo general se puede pasar de la expresión recurrente a la general aunque no siempre es posible. En el ejemplo anterior del método recurrente an=(an-1)

2 =((an-2) 2 )2=….=a1 2·(n-1) =22(n-1)

4. Mezcla de analítico y recurrente: este método mezcla los dos anteriores, es decir

el término se calcula a partir de algún término anterior y de la posición que ocupa. Muchas veces se puede obtener el término general. Veamos un ejemplo an=n·an-1

con a1=1. Entonces an={1, 2, 6, 12…}. Término general an=n·an-1=n·(n-1)…·a1=n!

2.2. Suma y producto de sucesiones. El Anillo de sucesiones (S,+,·)

En este apartado nos centraremos en las operaciones de la suma y de la resta de sucesiones, y demostraremos que cumplen las propiedades para que sean con el conjunto de todas las sucesiones un anillo conmutativo. Antes de ver las operaciones definamos SA como el conjunto de todas las sucesiones en el anillo (A,+,·), donde a puede ser ℤ, ℚ, ℝ. Operaciones

• Suma de sucesiones: (an)+(bn)≡ (an+bn) de forma que se define como

(an+bn): ℕ  A

n  an+bn para todo n∈ ℕ siendo an+bn la suma de 2 elementos de A

• Producto de sucesiones: (an)·(bn)≡ (an·bn) de forma que se define como

(an·bn): ℕ  A

n  an·bn para todo n∈ ℕ siendo an·bn producto 2 elementos de A

Propiedades: son triviales las demostraciones al ser suma y producto de elementos de A y ser (A,+,·) un anillo.

- Asociativa: ((an)+(bn))+cn=(an)+((bn)+cn)

- Elemento neutro : 0n={0, 0, 0,…} con 0 elemento neutro de A

- Elemento opuesto: (an)+(-an)=0n con (-an)={-a1,-a2,…} siendo –ai el opuesto de ai

- Conmutativo (an)+(bn)=(bn)+(an)

- Asociativa: ((an)·(bn))+cn=(an)+((bn)+cn)

- Elemento neutro : 1n={1, 1, 1,…} con 1 elemento neutro de A

- Conmutativo (an)·(bn)=(bn)·(an)

• Propiedad distributiva: [(an)+(bn)]·(cn)=(an)·(cn)+(bn)·(Cn)

• (SA,+) Grupo conmutativo • (SA,·) Semigrupo conmutativo (SA,+, ·) Anillo Conmutativo

(3)

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Notación: utilizaremos de aquí en adelante el anillo de sucesiones en ℝ , ( , +,·) que

engloba a los anillos de ℤ  ℚ.

2.3. Crecimiento y decrecimiento de sucesiones

Sea (an)∈ ℝ definamos los siguientes tipos de sucesiones:

- Crecientes: an≤an+1 para todo n∈ℕ. Ejemplo an={5, 5, 7, 7, 9, 9…}

- Estrictamente creciente: an<an+1 para todo n∈ℕ. Ejemplo an={5, 7, 9, 11…}

- Decrecientes: an≥an+1 para todo n∈ℕ. Ejemplo an={9,9, 7, 7, 5, 5…}

- Estrictamente decreciente: an>an+1 para todo n∈ℕ. Ejemplo an={9, 7, 5…}

Puede ocurrir que la sucesión no sea de los casos anteriores, como an={5, 3, 5, 3…}

2.4. Acotación. Sucesiones acotadas.

Decimos que (an)∈ ℝ es una sucesión acotada superiormente si se cumple que existe

M∈ℝ tal que ∀  ∈ ℕ se cumple que an≤M. Este valor M se llama cota superior de (an)

Decimos que (an)∈ ℝ es una sucesión acotada inferiormente si se cumple que existe

m∈ℝ tal que ∀  ∈ ℕ se cumple que an≥m. Este valor m se llama cota inferior de (an)

Decimos que (an)∈ ℝ es una sucesión acotada si se cumple está acotada superior e

inferiormente y por tanto ∀  ∈ ℕ se cumple que existen m,M∈ℝ tal que M≥an≥m.

Proposición: el conjunto de todas las sucesiones acotadas en ℝ, que denotaremos por 

es un subanillo de ( , +,·). Demostración:

Se tiene que cumplir para ser subanillo 4 propiedades:

1. El conjunto ℝ contenido en ℝ: es trivial por definición de ℝ como elementos de ℝ

2. Cerrado en la suma de ℝ es decir ∀ an, bn∈ ℝ entonces (an+bn)∈ ℝ. Veamos que es

cierto: sea ma , Ma , mb y Mb las cotas inferiores y superiores de an y bn entonces se

cumple que ma+mb≤(an)+(bn)≤Ma+Mb y por tanto (an+bn)=an+bn está acotado.

3. Para todo an∈ ℝ entonces su opuesto (-an)∈ ℝ: como an acotado ma≤an≤Ma∀  ∈ ℕ,

por otro lado (-an) cumple la desigualdad -ma≥-an≥-Ma que es la misma pero cambiando

de signo los término y por tanto cambian el sentido de la misma.

4. Cerrado con el producto de ℝ es decir ∀ an, bn∈ ℝ entonces (an·bn)∈ ℝ. Veamos que

es cierto: sea ma , Ma , mb y Mb las cotas inferiores y superiores de an y bn entonces se

cumple que ma≤(an)≤Ma y mb≤(bn)≤Mb y por tanto en valor absoluto se

cumple|an|≤Ka=max{|ma|, |Ma|} y |bn|≤Kb=max{|mb|, |Mb|}. Por lo que se cumple

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2.5. Convergencia de sucesiones. Sucesiones convergentes.

Decimos que una sucesión (an)∈ ℝ converge a un valor L∈ ℝ si cumple: ∀ > 0 ∃∈ ℕ

tal que ∀ ≥   |!"− $| < . Se denota como an L

n→∞ =

lim

Con la definición lo que estamos viendo es que los valores de la aplicación se acercan al valor L todo lo que deseemos. Por muy próximo (diferencia ) que estemos de este valor hay infinitos términos de la sucesión a partir de un valor n0 que están más cercanos a L que .

Ejemplo: (an)= 1 1 + n convergente a 0, es decir 1 0 1 lim lim = + = ∞ → ∞ → an n n

n . Vamos a ver que

cumple la definición de convergente a L=0:

∀ > 0 entonces − <

ε

+1 0 1 n  1 1 +

n <

ε

tomando n>

ε

1 −1se cumple la desigualdad, por lo que el valor n0 es cualquier natural mayor que 1 −1

ε

. Veamos gráficamente con  = 0.15 y

n0=6

Proposición: el límite de una sucesión convergente es único.

Demostración: por reducción a lo absurdo. Supongamos que L y L’ son los límites de la sucesión (an) y L≠L’ y llamemos d a la diferencia d=L-L’≠0. Como L y L’ son límites se cumple:

∀ > 0 ∃′ ∈ ℕ tal que ∀ ≥ ′  |!"− $| <  (1)

∃∈ ℕ tal que ∀ ≥   |!"− $′| <  (2)

Se cumple por (1) que ∀ ≥ ′ an∈(L- , L+ ) y por (2) ∀ ≥  an∈(L’- , L’+ ). Si tomamos

 = */2 entonces an no existe pues pertenecería (L- , L+ )∩ (L’- , L’+ )=∅  Contradicción.

Proposición: toda sucesión convergente está acotada

Demostración: Sea an convergente a L, entonces se cumple ∀ > 0 ∃∈ ℕ tal que

∀ ≥   |!"− $| <  y por tanto an∈(L- , L+ ). Luego k=sup{|a1|,|a2|,…, |ano|,

|L- | , | L+  |} es una cota en valor absoluto de an y por tanto -k≤an≤k, luego an está acotada.

1 2 3 4 5 n0= 6 7 8 9 10

½

¼

L=0

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Propiedades de las sucesiones convergentes:

1. La suma (resta) de sucesiones convergentes n n→∞a

lim =a, y bn b

n→∞ =

lim es otra sucesión convergente y cumple an bn a b

n→∞( ± )= ±

lim

2. El producto de sucesiones convergentes n n→∞a

lim =a, y bn b

n→∞ =

lim es otra sucesión convergente y cumple anbn ab

n ( · ) ·

lim =

∞ →

3. El cociente de sucesiones convergentes n n→∞a

lim =a, y bn b

n→∞ =

lim ≠ 0 es otra sucesión convergente y cumple b a b a n n n =     ∞ → lim

Demostraciones: por motivos de temporalidad se puede hacer sólo una y explicar cómo se hacen las otras dos.

1. Como ambas sucesiones son convergentes se cumple entonces ∀.> 0 ∃.∈ ℕ

tal que ∀ ≥ .  |!"− !| < . y ∀/> 0 ∃/∈ ℕ tal que ∀ ≥ /  |!"− 0| < /.

Veamos ahora la convergencia de an+bn al valor a+b, para esto elegiremos

.  /= /2, entonces se cumple ∀ > 0 ∃= max {., /} ∈ ℕ tal que

∀ ≥   |!"+ 0"− ! − 0| ≤ |!"− !| + |0"− 0| <7/+/7= 

2. Tomamos .=/|8|7 y / =/|97

:| con Ka una cota de |an|. Tenemos entonces ∀ > 0 ∃= max{., /} ∈ ℕ tal que ∀ ≥   |!"· 0"− ! · 0|=

=|!"· 0"+ !"· 0 − !"· 0 − ! · 0|≤|an|·|bn-b|+|b|·|an-a|≤ |Ka|·/|97

:|+|b|

7 /|8|= 

3. Tomamos .=7·|9/;| y / =7·|9/·||;|·|8| con K2 cota superior de |bn|. Con esto

∀ > 0 ∃= max{., /} ∈ ℕ tal que ∀ ≥   <8==−8<=|8||8.=|

|0 · !"− ! · 0"|= .

|8||8=|·|0 · !"− ! · 0"+ !0 − !0|≤

.

|8||9;|(|0 · !"− !0| + |! · 0"− !0|) ≤|8||9.;|(|0| · .+ |!| · /) =|97>;|+|8||9||·7;?|/7+7/= 

Al conjunto de sucesiones convergentes las denotaremos como @

Proposición: el conjunto de todas las sucesiones convergentes con las operaciones de la

suma y del producto, ( @,+,·) es subanillo de las sucesiones.

Demostración: trivial 1) @ ⊂ ( , 2) Cerrado con la suma (an)+(bn) ∈ ℝ@ pues su límite es

a+b, 3) El opuesto por la suma (-an) converge an a n→∞− =−

lim , 4) cerrado con producto (an)·(bn) ∈ ℝ@ pues su límite es a·b

Una sucesión es divergente si se cumple alguna de las siguientes dos condiciones:

1) Diverge a ∞: ∀ > ∃ ∈ > ≥ =∞ ∞ → n n n M para n n se denota a a N n M 0 0 : 0 lim 2) Diverge a −∞: ∀− > ∃ ∈ <− ≥ =−∞ ∞ → n n n M para n n sedenota a a N n M 0 0 : 0 lim

Una sucesión es oscilante si cumple que no es ni convergente ni divergente. Ejemplos: an=n

2

divergente a ∞, bn=-2n divergente a -∞ y (-2) n

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3. Progresiones aritméticas

Una sucesión es una progresión aritmética si cada término es igual al anterior más una constante de valor fijo, que llamaremos diferencia (d).

Descripción de la progresión aritmética:

1) Método recurrente: an=an-1+d conocido a1

2) Término general: an=a1+(n-1)·d

Demostración término general: a partir del recurrente an=an-1+d=an-2+d+d=…=a1+(n-1)·d

Casos: 1) creciente si d>0; 2) decreciente si d<0 ; 3) Sucesión constante si d=0.

Nota: los números naturales (ℕ) es una progresión aritmética con d=1 y a1=0 (o 1 si

consideremos que el menor de los naturales es 1).

Veamos ahora 5 proposiciones de las progresiones aritméticas:

Proposición 1: la diferencia entre el término am y an es igual al producto de la diferencia

por la diferencia de posición de ambos: am-an=(m-n)·d

Demostración: sencilla, no hay más que utilizar el término general y restar ambos términos an=a1+(n-1)·d y am=a1+(m-1)·d, luego am-an= a1+(m-1)·d- (a1+(n-1)·d)=(m-n)·d

Proposición 2: toda progresión aritmética con d≠ 0 no está acotada, superiormente si d>0

o inferiormente si d<0.

Demostración: no tenemos más que fijar un valor K>0 si d>0 y ver como hay infinitos término mayores que K: an=a1+(n-1)·d>K  con n> 1

+

1

d

a

k

. Si d<0 equivalente con K<0

Proposición 3: sean n, m, p, q tal que se cumple n+m=p+q entonces an+am=ap+aq

Demostración: sencilla sumando los términos generales de los 4 términos, an=a1+(n-1)·d,

am=a1+(m-1)·d, ap=a1+(p-1)·d, aq=a1+(q-1)·d: am+an=2·a1+(m+n-2)·d=2·a1+(p+q-2)·d=ap+aq.

Proposición 4: la suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética es igual a

2 ) ·( 1 1 n n i i n a a n a S =

= + =

Demostración: a partir de la propiedad 3 sumamos dos veces Sn y podemos agrupar los

términos en n veces (a1+an).

Sn=a1+a2+…+an-1+an

Sn=an+an-1+…+a2+a1

2·Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n·(a1+an)  2· Sn=n·(a1+an) 

2

)

·(

1 n n

a

a

n

S

=

+

Nota: 2 ) ·( 1 1 n n i i n a a n a S =

= + =

se llama suma aritmética, si n tiende ∞ entonces C = ∞ +

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Proposición 5: la suma de los términos desde am hasta an con m<n vendrá dado por la

expresión: 2 ) )·( 1 ( m n n m i i mn a a n m a S =

= − + + = .

Demostración: se hace de igual forma que la anterior propiedad.

4. Progresión geométrica

Una sucesión es una progresión geométrica si cada término es igual al anterior por una constante, denominada razón (r).

Descripción de la progresión geométrica:

1) Método recurrente: an=an-1·r conocido a1

2) Término general: an=a1·r n-1

Demostración término general: a partir del recurrente an=an-1·r=an-2·r·r=…=a1·r n-1

Casos:

1) Si r>1creciente en valor absoluto . Si a1>0 es creciente y si a1<0 decreciente

2) Si 0<r<1decreciente en valor absoluto. Decreciente si a1>0 y creciente si a1<0.

3) Si r=1 constante

4) Si r<0 cambia de signo cada término. No crece ni decrece. Veamos ahora 5 proposiciones de las progresiones aritméticas:

Proposición 1:el cociente entre los término amy an de una progresión geométrica es

n m n m

r

a

a

=

Demostración: utilizando el término general, dividiendo ambos términos obtenemos el

resultado mn n m n m r r a r a a a − − = = 1 1 1 1 · ·

Proposición 2: sean am, an, ap, aq términos de una progresión geométrica cumpliéndose

que m+n=p+q entonces am·an=ap·aq

Demostración: a partir del término general am·an=a1 2

·rm+n-2=a1 2

·rp+q-2=ap·aq

Proposición 3: Si la razón mayor que 1, r>1, la sucesión no acotada superiormente si a1>0

e inferiormente si a1<0 y por tanto es una sucesión divergente.

Demostración: lo haremos para a1>0 siendo equivalente para el otro caso. Fijamos una K>0

y veamos cómo hay infinitos términos mayores an>K  a1·r n-1

>K con n>1+logr( 1

a K).

Proposición 4: Si 0<|r|<1 la sucesión es convergente a cero.

Demostración: apliquemos la definición de límite y veamos que para cada  > 0 fijado encontramos n0∈ ℕtal que si n>n0 entonces |an-0|=| a1·r

n-1

|< . Despejando n (el logaritmo de |r|<1 decreciente y cambia sentido desigualdad) n>1+ln|r|( /|a1|). Con n0 mayor que

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Proposición 5: el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es

igual a la expresión

(

)

n n n i i n a a a P 1· 1

= = =

Demostración: a partir de la propiedad 3: Pn=a1·a2·…·an-1·an

Pn=an·an-1·…·a2·a1

(Pn) 2

=(a1·an)·(a2·an-1)·…(an·a1)=(a1·an) n 

(

n

)

n n i i n a a a P 1· 1

= = =

Proposición 6: el producto de los términos entre n y m de una progresión geométrica es

igual a la expresión

(

)

) 1 ( 1· + − =

= = n m n m n i i nm a a a P

Demostración: igual que Propiedad 5.

Proposición 7: la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón

r≠ 1 y término a1 viene dada por la expresión:

r r a a a S n n i i n − − = =

= 1 · 1 1

Demostración: restamos Sn con r·Sn que desplaza todos los términos una posición:

Sn= a1+a2+….+an-1+an r·Sn = a2+….+an-1+an+r·an (1-r)Sn=a1 -r·an  despejando r r a a a S n n i i n − − = =

= 1 · 1 1 Nota: r r a a a S n n i i n − − = =

= 1 · 1 1

se llama suma geométrica

Corolario: Si |r|<1 se cumple que la suma infinita (n tendiendo a ∞) es convergente

pues an tiende a cero y por tanto

r a a S i i − = =

∞ = ∞ 1 1 1 .

Proposición 7: la suma de los términos entre an y am de una progresión geométrica de

razón r≠ 1 viene dada por la expresión:

r r a a a S n m m n i i nm − − = =

= 1 ·

Demostración: igual que la propiedad 6. x

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5. Sucesiones recurrentes de orden 2 lineales. Sucesión de Fibonacci.

5.1. Sucesiones recurrentes de orden 2 lineales

En este apartado vamos a tratar las sucesiones recurrente de orden dos lineales, es decir las que su término recurrente es de la forma an=k1·an-1+k2·an-2ˆcon k1 y k2∈∈∈∈ℝ, conocidos a1 y a2.

Se puede demostrar a partir de herramientas algebraicas que estas sucesiones se pueden poner como término general a partir de la combinación lineal de dos términos que dependen de las soluciones de la siguiente ecuación característica r2=k1·r+k2. Pudiendo ser:

1. Dos soluciones reales distintas r1 y r2. Entonces an=D1·(r1) n

+ D2·(r2) n

donde D1 y D2 se

obtienen de resolver el sistema

( )

( )

+

=

+

=

2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1

·

·

)

2

(

·

·

)

1

(

r

r

a

r

r

a

λ

λ

λ

λ

2. Una raíz real doble r1: entonces an= D1·(r1) n + D2·n·(r1) n donde D1 y D2 se obtienen de resolver el sistema

( )

( )

+

=

+

=

2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1

·

·

2

·

)

2

(

·

·

)

1

(

r

r

a

r

r

a

λ

λ

λ

λ

3. Dos raíces complejas conjugadas r1=r·EF y r2= r·GEF con r el módulo y H ángulo de la

solución compleja an=D1·(r) n

·cos(H·n)+ D2·(r) n

·sen(H·n) donde D1 y D2 se obtienen de

resolver el sistema

+

=

+

=

)

2

(

·

·

)

2

·cos(

·

)

2

(

)

(

·

·

)

·cos(

·

)

1

(

2 2 2 1 2 2 1 1

ω

λ

ω

λ

ω

λ

ω

λ

sen

r

r

a

sen

r

r

a

5.2. Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se describió en occidente a principios del siglo XIII por la persona que lleva su nombre, aunque se tiene constancia de su uso por la matemática India por el siglo III. La sucesión de Fibonacci es una sucesión lineal recurrente de orden dos, con la siguiente expresión general: an=an-1+an-2 (es decir con la notación del apartado anterior k1=k2=1) en la

que todo término se calcula a partir de sumar los dos que le preceden, y donde a1=a2=1. Los

primeros términos de la sucesión son {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…}

Fibonacci utilizó esta sucesión para describir el crecimiento de parejas de conejos. Partiendo de una pareja, cuántas parejas de conejos obtendremos después de un número dado de meses sabiendo que cada pareja al mes tiene una nueva pareja de bebés, la cual no tendrá conejos hasta que sea adulta, lo que ocurre a los dos meses de nacer. Curiosamente esta sucesión aparece en la naturaleza en multitud de situaciones como el crecimiento de las ramas, de las pipas de un girasol…

Podemos calcular el término general de la sucesión de Fibonacci lo que nos lleva a relacionarla con el enigmático número áureo,

φ

:

Ecuación característica r2=r+1 cuya soluciones son

    − = = = = ± = φ ϕ φ 1 2 5 1 2 1 r r r . Luego el término general es an=D1·(

φ

) n + D2·(

ϕ

) n

. Resolviendo sistema D1=1/√5, D2=−1/√5 y por tanto

el término general es

5

n n n

a

=

φ

ϕ

.

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6. Aplicaciones de las sucesiones

6.1.Matemáticas

1) Las progresiones geométricas nos permiten obtener la fracción generatriz de los números reales con expresión decimal periódica pura, x=JK.M o mixta, … . " x=JK.… NNO.M . Veremos las periódicas puras pues las mixtas se transforman en puras … . " multiplicando por 10m. Tenemos

(

·10 1 .... ·10

)

1·10 1·10 ...

1 1 + + + + + + = − − −nn a n n a a c c E x 4 4 4 3 4 4 4 2 1

Luego x-E es progresión geométrica: a1=

(

c1·10−1+....+cn·10−n

)

y r=10 -n 

(

)

3 2 1 n n n n n n c c c c E x 9 .... 99 ... 10 · 10 1 10 · .... 10 · 1 1 1 1 = + + − + + = − − − − − . Si despejamos 3 2 1 3 2 1 3 2 1 n n n n n n n n E EP E c c E E c c x 9 .... 99 9 .... 99 ... 10 · 10 · 9 .... 99 9 ... 99 · ... 10 · 1 1 1 1 + + + = + + + − = − = − − con E parte

entera y P parte periódica. Las periódicas mixtas x=

{

m n

EA

EAP

0

..

00

9

....

99 3

2

1

2) Construcción de los números reales a partir de los racionales: la forma más común de

definir los números reales es a partir de las sucesiones de números racionales. Así las sucesiones de ℚ convergentes pueden converger a un número racional o a un número irracional (ejemplo una sucesión definida como las sucesivas aproximaciones del número P).

3) Interpolación equidistante: interpolar n medios diferenciales entre a y b es hallar n

números equidistantes entre estos números de forma que formen junto a y b una progresión aritmética de n+2 términos con a1=a y an+2=b. Para calcular la diferencia y construir así la

progresión sólo tenemos que usar el término general an+2=a1+(n+1)·d  d=(b-a)/(n+1)

4) Matemática financiera: en muchos problemas financieros intervienes las progresiones

geométricas. Son los problemas en los que partimos de una cantidad inicial que de forma periódica aumenta o disminuye conforme a un interés porcentual. De esta forma el dinero que hay cada periodo de tiempo en el que se revalúa el dinero forma una progresión geométrica. La fórmula que nos relaciona el dinero cada mes (o año),Cn, en función de la tasa de interés en

tanto por uno, rI, y de la cantidad de dinero inicial C1 viene dado por la expresión Cn=C1(1+rI) n

, que es el término general de una progresión geométrica con a1=C1 y r =1+ri

6.2. Física.

1) Física cuántica: los valores posibles de cualquier magnitud física desde un punto de vista microscópico toma valores cuantizados, es decir discretos. Estos valores muchas veces siguen patrones de las sucesiones.

Así los posibles valores de la energía de un electrón sometido a un potencial de oscilador armónico V(x)=K·x2/2 sigue los estados de energía E = ·(n+21)

n h

ω

, es decir

son elementos de una sucesión aritmética con a1=

h

ω

/2 y diferencia d=

h

ω

.

Otro ejemplo de sucesión son los estados de energía de los electrones de un átomo,

por ejemplo de hidrógeno: eV

n En = −132.6

(11)

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 11 Las series son también muy utilizadas en mecánica cuántica pues las integrales típicas de mecánica clásica se convierten es sumatorios al haber sólo valores discretos. Por ejemplo el valor esperado de una energía vendrá dada por la serie

∞ = = 0 · n n n P E E

con En los estados de energía) y Pn la probabilidad de cada estado (ambas sucesiones).

2) Óptica: Si se colocan dos láminas planas de vidrio en contacto y se hace que unos rayos luminosos las atraviesen, algunos (dependiendo del ángulo de incidencia) las atravesarán sin reflejarse, pero otros sufrirán una reflexión. El rayo que no sufre reflexión tiene sólo una trayectoria posible de salida; el que sufre una reflexión tiene dos rutas posibles; el que sufre dos reflexiones, tres trayectorias, el que experimenta tres reflexiones, cinco, y así sucesivamente. Tenemos aquí una sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8...

6.3. Ingeniería

Un ejemplo claro de la utilización de las sucesiones en el campo de la ingeniería es en la transmisión de información digital. Si tenemos una función f(t) que deseamos enviar por un medio, por ejemplo un sonido, podemos digitalizarlo (obtener esa función como una suma de funciones sinusoidales fáciles de enviar). Este mecanismo de digitalizar una señal se llama Transformada de Fourier. Los valores de los coeficientes de las funciones circulares son sucesiones numéricas an y bn siendo la función f(t) obtenida a partir de series funcionales.

∞ = ∞ =       +       = 0 0 · · 2 ·cos · · 2 · ) ( n n n n T t n b T t n sen a t f

π

π

6.4.Vida real

No hay que buscar las aplicaciones de las sucesiones en campos tan complejos, muchos problemas cotidianos se pueden resolver con sucesiones numéricas. Las más utilizadas son las progresiones aritméticas y geométricas, veamos tres ejemplos:

1) Factura de teléfono: en una factura de teléfonos donde hay un coste por establecimiento de teléfono (primer término sucesión a1) y un coste por minuto

(diferencia d) el pago sigue una progresión geométrica.

2) Distribución de asientos: en una sala de cine los primeros asientos situados una distancia de la pantalla (primer término sucesión a1) y la separación de asientos es

constante (diferencia d). La distancia de los asientos respecto a la pantalla sigue también una progresión aritmética.

3) Los torneos de tenis (o cualquier deporte): Los torneos de tenis siguen una distribución de partidos con una distribución geométrica. Así las sucesivas rondas el número de partidos y de jugadores disminuye como una progresión geométrica de razón ½. Supongamos un Grand Slam, en las rondas finales hay 128 participantes (primer término de la progresión, a1) en la segunda ronda hay 64, en dieciseisavos 32,

octavos 16, cuartos 8, semifinales son 4 final 2 y el campeón es 1.

7. Contexto con secundaria y Bachillerato.

Las sucesiones, las progresiones geométricas y aritméticas son tratadas en el tercer curso de las ESO.

Referencias

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