y proporcionalidad Se representan en Recta real Aplicaciones QUÉ SABES DE ESTO?

¿QUÉ SABES DE ESTO?

1.

¿Sabes qué es un número irracional?

2.

¿Podrías calcular el 25 % de 2.300

€

?

3.

Cuando decimos que dos magnitudes son proporcionales, ¿qué pretendemos decir?

4.

La masa del Sol es:

1.989.100.000.000.000.000.000.000.000.000 kg

¿Sabes cómo expresarla de una manera más cómoda?

VAMOS A CONOCER…

1 ·

Números reales

y proporcionalidad

1 ·

Números reales

y proporcionalidad

NÚMEROS REALES

Suma y resta Producto y división Potencias y raíces Se representan en Naturales Enteros Racionales Irracionales Tipos Aplicaciones Aplicaciones Operaciones Recta real Porcentajes Proporcionalidad Notación científica Radicales

Con esta unidad comenzamos el curso repasando las propiedades y las operaciones de los números

reales. Estudiaremos brevemente cómo fueron apareciendo los distintos conjuntos de números a lo largo

de la historia de la humanidad y aprenderemos a utilizar algunas aplicaciones de los números racionales y de

las potencias que nos serán también de gran utilidad: los porcentajes, la proporcionalidad, la notación

científica y los radicales.

Es muy importante que manejes adecuadamente estos números ya que constituyen la base sobre la que

se desarrolla el resto de los contenidos del ámbito científico-tecnológico.

1. Los números reales

1.1. Distintos conjuntos de números

Los primeros números que conociste, los más sencillos, son los

núme-ros que utilizamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4… Este conjunto de númenúme-ros

se denomina

números naturales

y se representa como

.

Otro conjunto de números que ya debes conocer es el de los números

negativos. Son números que utilizamos para representar infinidad de

situaciones: temperaturas inferiores a 0 ºC, deudas, disminuciones, etc.,

y se obtienen cuando a un número natural se le resta otro más grande

que él.

El conjunto que forman los números naturales junto con los negativos

se denomina

números enteros

ya que solo nos permiten realizar

divisio-nes exactas. Para representar este conjunto utilizamos la letra

.

Para poder resolver divisiones que no sean exactas necesitamos un

nuevo tipo de números: los

números racionales.

Estos números se

obtie-nen al dividir dos números enteros y también reciben el nombre de

frac-ciones.

Algunos ejemplos de fracciones serían:

, –

,

Observa que las fracciones también pueden ser negativas.

Otra forma de representar los números racionales consiste en utilizar

cifras decimales. Por ejemplo,

se puede escribir 0,4.

Existen distintos tipos de números decimales:

•

Decimales exactos:

sus cifras decimales son finitas, es decir, acaban

en algún momento. Por ejemplo, 4,25 es un número decimal exacto.

•

Decimales periódicos puros:

tienen infinitas cifras decimales que se

repiten de manera regular. Por ejemplo, 12,6363636363… es un

número decimal periódico puro. Su periodo es 63.

•

Decimales periódicos mixtos:

también tienen infinitas cifras

decima-les pero no todas esas cifras se repiten, es decir, algunas cifras

deci-males no forman parte del periodo. Por ejemplo, 5,1788888… es un

número decimal periódico mixto de periodo 8.

Es importante que comprendas que los números racionales contienen

los números enteros ya que cualquier número entero puede escribirse

como el cociente de otros dos números enteros.

Ejemplo: 3 =

Para representar el conjunto se utiliza la letra

.

Por último, para completar todos los números que conoces vamos a

estudiar los

números irracionales.

Se caracterizan porque no pueden

representarse como el cociente de dos números enteros y escritos en

forma decimal tienen infinitas cifras decimales pero no son periódicos.

El más conocido es el número

π

= 3,141592…, aunque hay otros

que también se utilizan frecuentemente, como e

= 2,718281… o

φ

= 1,618033… A este último se le conoce con el nombre de

razón

áurea.

Los números racionales junto con los números irracionales forman el

conjunto de los

números reales.

Este conjunto incluye todos los

núme-ros que has estudiado. Se representa con la letra

.

6

2

2

5

10

2

11

3

2

5

Historia de los números

El origen de los números naturales está en el interés de los primeros seres humanos en contar lo que había a su alrededor: animales, días, etcétera.

El papiro de Rhind, escrito en Egipto en torno al año 1650 a. C., demues-tra que los egipcios utilizaban frac-ciones desde el 2000 a. C.

Los números irracionales fueron des-cubiertos por Hipaso de Metaponto, un matemático griego, discípulo de Pitágoras, que logró demostrar que

2 no se podía escribir como una fracción.

Los números negativos comenzaron a utilizarse en China (siglo Id. C.) y en la India (siglos VIy VII). En Europa, no se emplearon hasta finales del siglo XV.

a_{Papiro de Rhind.}

Y

1.2. Operaciones con números reales

Vamos a repasar brevemente las operaciones básicas con los distintos

tipos de números reales.

Operaciones con números enteros

La

suma

de dos números enteros se resuelve siguiendo las siguientes

reglas:

• Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suma el valor

absoluto de dichos números y se añade al resultado el signo de los

sumandos.

Ejemplo: (+4) + (+7) = +11

(–1) + (–6) = –7

• Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus

valo-res absolutos (el mayor menos el menor) y se añade al valo-resultado el

signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo: (+5) + (–2) = +3

(–10) + (+4) = –6

Para

restar

dos números enteros solo tienes que sumar al primero el

inverso del segundo. Para obtener el inverso de un número entero

sim-plemente debes cambiarle el signo.

Ejemplo: (+4) – (+5) = (+4) + (–5) = –1

(–11) – (–3) = (–11) + (+3)= –8

Para

multiplicar

o

dividir

dos números enteros, basta con que

multipli-ques o dividas el valor absoluto de los números y añadas al resultado el

signo en función de las tablas del margen.

Operaciones con números racionales

Para sumar y restar fracciones debes conseguir que todas las fracciones

tengan el mismo denominador. Para ello buscarás la fracción

equiva-lente a cada una de ellas que tenga como denominador el mínimo

común múltiplo de todos los denominadores.

Observa estos ejemplos:

+

=

+

=

–

=

–

=

=

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador y

deno-minador son el producto de los numeradores y denodeno-minadores de

dichas fracciones respectivamente.

Ejemplo:

· =

=

· 2 =

·

=

=

Para realizar el cociente de dos fracciones debes multiplicar la primera

por la inversa de la segunda. Para obtener la inversa basta con cambiar

el numerador por el denominador, y viceversa.

Ejemplo:

:

=

=

=

10

3

20

6

5 · 4

6 · 1

1

4

5

6

12

5

6 · 2

5 · 1

2

1

6

5

6

5

28

15

7 · 4

3 · 5

4

5

7

3

1

2

5

10

3

10

8

10

3

10

4

5

23

12

15

12

8

12

5

4

2

3

Valor absoluto

El valor absoluto de un número es el valor de dicho número sin tener en cuenta su signo.

Se representa con dos barras verti-cales.

Por ejemplo:

+5= 5

–12= 12

Reglas de los signos

para la división

Positivo : Positivo = Positivo Positivo : Negativo = Negativo Negativo : Positivo = Negativo Negativo : Negativo = Positivo

Reglas de los signos

para la multiplicación

Positivo · Positivo = Positivo Positivo · Negativo = Negativo Negativo · Positivo = Negativo Negativo · Negativo = Positivo

Brahmagupta

Brahmagupta, un matemático hindú del siglo VII, fue el primero en estu-diar las operaciones de los números enteros. Escribió reglas como esta: «El producto de un negativo y un po-sitivo es negativo, de dos negativos, positivo, y de positivos, positivo; el producto de cero y un negativo, y de cero y un positivo, o de dos ceros, es cero».

1. Indica escribiendo SÍ o NO en cada casilla si los siguientes números pertenecen a los distintos conjuntos de nú-meros:

2. Identifica los siguientes números decimales como decimales exactos, decimales periódicos puros, decimales periódicos mixtos o irracionales:

a) 0,3 c) 8,1457124… e) –4,6717171… g) –7,2

b) 12,55555… d) 7,2232323… f) 31,621622162221… h) 4,45454545…

3. Calcula el valor absoluto de los siguientes números enteros:

a) +3 c) 0 e) –1,5

b) –11 d) –25 f) +4,66

4. Resuelve las siguientes sumas y restas de números enteros:

a) (+7) + (+5) f) (+4) – (+2) k) (–5) + (+7) – (–1) b) (+4) + (–3) g) (+5) – (–6) l) (+4) – (+14) + (–3) c) (–7) + (+1) h) (–1) – (+12) m) (+12) – (–1) – (+12) d) (–11) + (–3) i) (–10) – (–4) n) (–4) + (–1) – (–10) e) (–2) + (+10) j) (+6) – (+15) ñ) (–3) + (–17) + (+21) 5. Resuelve: a) 8 – 16 d) –9 – 11 + 5 g) –10 + 11 – 3 b) 5 + 1 – 7 e) 1 – 6 – 12 h) –5 + (–4) – (–1) c) 2 + (–4) – 12 f) –7 + 8 – (–3) i) 1 + (–15) – 20 + (–3)

6. Resuelve los siguientes productos y divisiones de números enteros:

a) (+5) · (–2) c) (+11) · (+3) e) (–24) : (–4) g) 35 : (–7) b) (–5) · (–4) d) (–6) · (+2) f) (–15) : (+3) h) 40 · 5 : (–8)

A C T I V I D A D E S

Naturales (N) Enteros (Z) Racionales (Q) Reales (R)

2,45151515151… –6 π 13 1 3 – 3 4 –0,5 0,333333… 0 12,41411411141111…

Y 7. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de números enteros:

a) 7 – (–3) · (–6) e) 11 – (1 – 9) : (–4) + 5 b) (–4) + (–12) : (+3) f) 12 – [(–3) · 2 –7] + 2 c) –15 · 2 – (–1) · 5 g) [10 + (–2)] : (–4) + 1

d) 8 + (10 – 6) : (–2) h) 3 – (–3) · (–1) + [(–3 + 1) : (–2)]

8. Resuelve las siguientes sumas y restas de números racionales:

a) + e) + +

b) – f) + –

c) +

–

g) +

–

–

d) – 2 h) – –

–

+ 1

9. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de números racionales simplificando el resultado siempre que sea posible:

a) · c) : e)

+

·

–

g)

+

:

+

b) · d) : 3 f)

–

·

–

h) 2 :

10.Resuelve las siguientes operaciones combinadas de números racionales:

a) –

+

· g) – +

–

–

+ 1 b) – + 2 ·

–

h)

3 –

–

: + c) · – : i) – + · – 2 d) · +

–

j)

– 1 +

–

– e)

+

·

+

–

–

:

–

k) 3 –

–

+ 1

:

–

f)

– 1

+

+ l) – ·

+ – 1

+

:

11.Resuelve las siguientes operaciones:

a) 0,5 + 1,33 d) 4,6 · 8,1 g) 12,6 : 3 j) 1,2 + 4 · 3,5 b) 2,45 – 1,02 e) 3,85 · (–1,2) h) 21,48 : 1,2 k) 2,4 : 0,3 + 1,5 c) 10,5 – 23,45 f) (–1,2) · (–2,75) i) 2,56 : 1,6 l) 5,6 – (–1,5) · 3,2 11 2 6 5 3 5 4 7 3 5 4 5 2 3 4 5 1 6 2 5 4 5 3 5 1 2 3 4 1 15 4 3 4 5 1 4 3 2 1 2 7 5 3 2 5 4 1 10 5 6 1 4 2 3 1 2 4 5 2 3 1 5 4 3 7 5 3 2 2 5 2 5 3 2 1 5 1 5 2 7 7 11 4 3 3 2 7 6 1 2 4 9 1 5 3 2 10 3 1 5 1 5 3 4 4 7 3 4 5 6 1 10 2 5 4 3 1 2 3 5 5 6 3 4 1 3 5 8 1 4 5 7 1 4 2 5 5 4 2 3

Para resolver operaciones combina-das en las que aparezcan multiplica-ciones, divisiones, sumas y restas debes recordar la siguiente jerarquía de operaciones:

1. Paréntesis y corchetes. 2. Multiplicaciones y divisiones. 3. Sumas y restas.

2. Potencias de exponente

entero

Comenzamos el repaso de las potencias de exponente entero

recor-dando la definición de potencia:

Potencia de sumas

y restas

La potenciación no es distributiva respecto a la suma, es decir, la potencia de una suma no es la suma de las potencias:

(

a+ b

₎

nan_{+ b}n

Lo mismo sucede con la resta.

Potencias en tu

calculadora

Habitualmente las calculadoras cien-tíficas tienen varias teclas dedicadas al cálculo de potencias y raíces. Por ser las de uso más habitual, muchas calculadoras incluyen teclas para calcular directamente el cua-drado o incluso el cubo de un número.

Además, si tu calculadora es cientí-fica tendrá una tecla dedicada al cálculo de potencias de cualquier exponente.

Una

potencia

es la multiplicación de un número, llamado base, por

sí mismo tantas veces como indique otro número denominado

exponente.

siendo a

la base y n

el exponente.

Como consecuencia de esta definición tenemos que:

• Al elevar cualquier número a cero siempre obtenemos uno:

a

0

_{= 1}

• Al elevar cualquier número a la unidad obtenemos el mismo número:

a

1

_{= a}

Vamos a ver ahora las propiedades más importantes de las potencias

junto con algunos ejemplos:

a

n

_{= a}

_{· a}

_{· a}

_{· ... · a}

n

veces

Propiedades Ejemplos an_{· a}m_{= a}n+m 3 5_{· 3}2_{= 3}7 104_{· 10}–7_{= 10} –3 an_{: a}m_{= a}n–m 5 8_{: 5}6_{= 5}2 –23_{: –2}–5_{= –2}8 anm_{= a}n.m 4 62_{= 4}12 135–3_{= 13}–15 a· bn= an_{· b}n ₁₂7_{= 3 · 4}7_{= 3}7_{· 4}7 n = –3= 5–3 6–3 5 6 an bn a b –n = n –3 = 3 9 4 4 9 a b a b a–n₌ 1 an 8–11₌ 1 811 –9–2₌ 1 –92

Además es importante que recuerdes que cuando la base de una

poten-cia es positiva, el resultado será siempre positivo. Cuando es negativa,

por el contrario, pueden suceder dos cosas:

• Si el exponente es un número par, el resultado es positivo.

• Si el exponente es un número impar, el resultado es negativo.

Y 1.Calcula el valor de las siguientes potencias:

a) 42 _e) 2 i) (–1,6)4 b) 26 _f)

_–

3 j) 4,52 c) (–3)4 _g)

_–

4 k) (–1,2)3 d) (–5)3 _h)

_–

0 l) 0,52

2.Escribe las siguientes potencias con exponente positivo:

a) 5–2 _{c) (–3)}–6 _e)

_–

–8 b) 12–7 _d) –3 f) –4

3.Calcula el valor de las siguientes potencias con exponente negativo.

Para ello tendrás que convertirlas primero en potencias de exponente positivo:

a) 2–3 _{c) (–9)}–2 _e)

_–

–4 b) 3–5 _d) –3 f) –5

4.Resuelve las siguientes operaciones con potencias:

a) 53_{· 5}4 _{e) 3}7_{: 3}4 _{i) 2}8_{· 2}–3 b) (13)7_{· (–13)}2 _{f) (–9)}6_{· (–9)}4 _{j) 7}–6_{· 7}–2 c) 8 : 10 g) 2 : 5 k) 165_{: 16}–8 d)

–

5 :

–

7 h) 3 : l) –2 : -5

5.Resuelve las siguientes operaciones:

a) – c) – 2–2 _{e) + 3 ·} –3 b) 2 – –2 + _d) – · –1 f) 2–3_{+ :} –2 6.Calcula: a) (47₎5 _{c) (–3)}410 _{e) (–4)}35 b)

3

5 d) (6–2₎7 _f)

–4

–1 4 5 2 5 2 3 7 5 5 4 1 3 2 5 2 3 1 4 1 2 4 5 2 5 3 4 1 3 3 2 3 2 11 2 11 2 1 2 1 2 4 7 4 7 2 5 2 5 1 5 7 2 2 3 1 6 4 5 2 5 10 3 2 7 1 6 3 5

A C T I V I D A D E S

3. Notación científica y unidades

de medida

3.1. Notación científica

Como ya pudiste ver en el curso anterior, la notación científica es una

de las principales aplicaciones de las potencias de exponente entero. Se

trata de una forma de escribir números especialmente útil cuando

tra-bajamos con cantidades muy grandes o muy pequeñas.

De forma general, un número está expresado en notación científica si

está escrito de la siguiente forma:

a,bc… · 10

n

donde a

es una cifra del 1 al 9 que va seguida de los decimales

necesa-rios (bc…) y multiplicada por una potencia de base diez y exponente

entero (es decir, n

puede ser positivo o negativo).

Veamos algunos ejemplos:

• La masa de un electrón, que como recordarás es una de las partículas

que componen el átomo, es evidentemente muy pequeña. Si la

expresamos utilizando la notación normal tenemos que:

m

electrón

= 0,00000000000000000000000000167 kg

Usando las propiedades de las potencias de base 10 podemos

expre-sar esta cantidad utilizando la notación científica:

m

electrón

= 1,67 · 0,000000000000000000000000001 kg = 1,67 · 10

–27

kg

• La distancia de la Tierra al Sol es de 150.000.000 km. Utilizando la

notación científica podemos expresarla como 1,5 · 10

8

_km.

3.2. Unidades de medida

Una unidad de medida es un valor de una determinada magnitud que

se establece como patrón. De esta forma, para medir dicha magnitud

comparamos lo que medimos con la unidad de medida y determinamos

cuántas veces la contiene.

Cada unidad de medida tiene un símbolo asociado. Además, para cada

unidad de medida podemos definir múltiplos y submúltiplos que se

obtienen multiplicando la unidad por una potencia de base diez.

En la siguiente tabla tienes los prefijos con los que se nombran los

múl-tiplos más habituales, el símbolo con el que se representan y su valor:

Potencias de base 10

La notación científica se basa en las propiedades de las potencias de base 10 y exponente entero. Observa los valores que obtenemos cuando elevamos a 10 números positivos y negativos: 106_{= 1.000.000} 105_{= 100.000} 104_{= 10.000} 103_{= 1.000} 102_{= 100} 101_{= 10} 100_{= 1} 10–1_{= 0,1} 10–2_{= 0,01} 10–3_{= 0,001} 10–4_{= 0,0001} 10–5_{= 0,00001} 10–6_{= 0,000001}

Notación científica

en tu calculadora

En la mayor parte de las calculado-ras científicas los números escritos en notación científica se emplean usando la tecla EXP.

Por ejemplo, para introducir el número 3,4 · 108_{usaríamos la}

si-guiente combinación de teclas:

3 . 4 EXP 8 Prefijo Símbolo Equivalencia

Múltiplos Submúltiplos Tera T 1012 Giga G 109 Mega M 106 Kilo k 103 Hecto h 102 Deca da 101

Prefijo Símbolo Equivalencia

Deci d 10–1 Centi c 10–2 Mili m 10–3 Micro µ 10–6 Nano n 10–9 Pico p 10–12

Y 1.Expresa las siguientes cantidades en notación científica:

a) 0,0000000005 e) 45.000 i) 450 · 103

b) 12.000.000.000 f) 0,5 j) 0,006 · 10–4

c) 0,002 g) 57,001 k) 12,5 · 10–19

d) 13.400 h) 0,0000007 l) 0,0055 · 1010

2.Realiza los siguientes cambios de unidades:

a) 50 m = cm d) 0,06 km = dam g) 10 pm = mm b) 16 ms = s e) 1,5 Ts = s h) 1.000 μs = ms c) 200 cg = g f) 102,3 mg = Mg i) 50 kg = Tg

3.En el sistema internacional (SI) el espacio se mide en metros (m), el tiempo, en segundos (s) y la masa, en kilogra-mos (kg). Realiza los cambios de unidades necesarios y utiliza la notación científica para expresar las siguientes cantidades de acuerdo con el SI.

a) 5 mm d) 20.000 km g) 200 cm

b) 2,4 μs e) 0,0015 Mg h) 1.300 ms

c) 40 cg f) 77,6 horas i) 20 g

4.La masa del Sol, utilizando la notación científica, es de 1,9891 · 1030_{kg. Si no utilizásemos este tipo de notación}

debería-mos escribir 1.989.100.000.000.000.000.000.000.000.000 kg. ¿Cómo tendríamos que escribir las siguientes cantidades si no utilizásemos la notación científica?

a) El diámetro de la Luna: 3,47 · 106_m

b) La masa de un protón: 1,67 · 10–27_kg

c) El número aproximado de estrellas de la Vía Láctea: 3 · 1011_estrellas

d) La población total de la Tierra: 6,6 · 109_personas

e) El diámetro de un glóbulo rojo: 7 · 10–6_m

f) La frecuencia de un horno microondas: 2,5 · 109_Hz

5.Resuelve las siguientes operaciones según los siguientes ejemplos, expresando el resultado en notación científica: (3,5 · 104_{) · (6 · 10}7_{) = (3,5 · 6) · (10}4_{· 10}7_{) = 21 · 10}11_{= 2,1 · 10}12 (8,4 · 106_{) : (4 · 10}3_{) = (8,4 : 4) · (10}6_{: 10}3_{) = 2,1 · 10}3 a) (5,1 · 106_{) · (2,5 · 10}2₎ b) (1,02 · 109_{) · (1,6 · 10}–4₎ c) (1,235 · 1011_{) : (5 · 10}2₎ d) (9,6 · 10–6_{) : (2,4 · 10}15₎

A C T I V I D A D E S

4. Proporcionalidad

La proporcionalidad es una de las aplicaciones más interesantes y de

mayor uso de los números racionales. Vamos a estudiar ahora las

dife-rentes relaciones de proporcionalidad que pueden existir entre distintas

magnitudes

.

4.1. Proporcionalidad directa

Existen muchos casos de dos magnitudes relacionadas de forma que al

aumentar una, la otra lo hace en la misma proporción. Veamos un

ejem-plo: cuatro amigos que van al cine deben pagar entre todos 28

€

para

adquirir las entradas. Si en lugar de 4 amigos fueran solo la mitad, es decir,

2, deberían pagar solo la mitad (14

€

). Si por el contrario fueran al cine el

triple de personas (12), el precio total de las entradas sería también el

tri-ple (84

€

). Podríamos resumir esta relación con la siguiente tabla:

Este es un ejemplo de dos magnitudes, las personas que van al cine y el

precio total de las entradas, que son

directamente proporcionales.

Como se puede apreciar en la tabla, si dividimos el precio de las

entra-das entre las personas que van al cine obtenemos siempre una misma

cantidad:

=

=

= 7

Se trata, en este caso, del precio de una sola entrada (7

€

por entrada).

En general, diremos que dos magnitudes son directamente

proporcio-nales cuando al multiplicar (o dividir) una de ellas por un cierto número

la otra resulta multiplicada (o dividida) por el mismo número.

Siempre que dividamos dos magnitudes directamente proporcionales

obtendremos un mismo número que denominamos

constante de

pro-porcionalidad.

4.2. Regla de tres simple y proporciones

Otra forma de resolver problemas relacionados con magnitudes

directa-mente proporcionales es la denominada

regla de tres simple.

Se trata de

un procedimiento de cálculo utilizado para determinar el valor de una

de las magnitudes proporcionales cuando conocemos la otra.

Siguiendo con el ejemplo del cine, si sabemos que 4 personas pagan

28

€

, podríamos calcular cuánto pagarían 7 personas mediante una

regla de tres:

4 personas

28

€

7 personas

x

€

Para calcular la incógnita, multiplicamos los números que la «rodean» y

dividimos por la cantidad situada «en frente», es decir:

x

= = 49 €

También podría haberse calculado utilizando una proporción, que es

una igualdad entre fracciones:

=

⇒

x

₌

7 · 28

= 49 €

4

x

7

28

4

7 · 28

4

84

12

14

2

28

4

Personas

Precio de las entradas

4 28 € 2 14 € 12 84 € 4 personas 28 € 7 personas x_€

a_{Proceso para calcular una regla de tres} simple.

Se

Y Pintores Tiempo empleado 6 4 12 2 1 24 6 pintores 4 h 8 pintores xh

a_{Proceso para calcular una regla de tres} simple.

Se

multiplican Divide

4.3. Proporcionalidad inversa

Otra posible relación que podemos encontrar entre dos magnitudes es

la

proporcionalidad inversa.

En este caso la relación entre las dos magnitudes es tal que cuando una

de ellas aumenta un cierto número de veces, la otra disminuye ese

mismo número de veces.

Vamos a considerar, por ejemplo, la relación existente entre el tiempo

empleado en pintar una habitación y el número de pintores dedicados

a esa tarea.

Supongamos que 6 pintores completan el trabajo en 4 horas. Si el

número de pintores se duplica (12 pintores), el tiempo necesario sería

la mitad (2 horas). Si, por el contrario, el número de pintores se reduce

a una sexta parte (1 pintor), el tiempo que emplearía sería seis veces el

original (24 horas).

Veamos una tabla que resume esta relación:

Analizando los valores que adoptan ambas magnitudes en cada

columna, podemos descubrir que en el caso de la proporcionalidad

inversa la cantidad que se mantiene constante en todos los casos es el

producto de dichos valores:

6 · 4 = 12 · 2 = 1 · 24 = 24

Si te fijas, esta cantidad se corresponde en este caso con el tiempo que

emplearía un solo pintor en realizar el trabajo completo.

De manera general podemos establecer que dos magnitudes son

inver-samente proporcionales cuando al multiplicar (o dividir) una de ellas

por un determinado número la otra resulta dividida (o multiplicada) por

ese mismo número.

Siempre que multipliquemos los valores correspondientes de dos

mag-nitudes inversamente proporcionales obtendremos una cantidad fija que

denominamos

constante de proporcionalidad inversa.

4.4. Regla de tres inversa

Para calcular el valor de magnitudes directamente proporcionales

con-tamos con la regla de tres inversa.

Se trata de un procedimiento de cálculo, muy similar a la regla de tres

simple, en el que debemos colocar los valores conocidos y la incógnita

de forma similar. La diferencia está en la forma de calcular esta

incóg-nita. Veamos un ejemplo: sabemos que 6 pintores tardarían 4 horas en

terminar un determinado trabajo. ¿Cuánto tardarían 8 pintores en

reali-zar ese mismo trabajo?

6 pintores

4 horas

8 pintores

x

horas

En este caso multiplicamos los números que están en distinta fila que la

incógnita y dividimos por el que está en su misma fila:

x

= = 3 horas

6 · 4

8

A C T I V I D A D E S

1.Completa las siguientes tablas de magnitudes directamente proporcionales: a)

b)

c)

2.Calcula la constante de proporcionalidad para cada una de las tablas anteriores.

3.En el primer día de una campaña de donación se consiguen 28.000 mL de sangre gracias a la colaboración de 70 personas. Contesta las siguientes preguntas:

a) Si el segundo día colaboran 85 donantes, ¿cuánta sangre se conseguirá reunir? b) Si el tercer día se consiguen 22.000 mL de sangre, ¿cuántas personas han colaborado? c) Representa todos los resultados en una tabla.

d) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué significado tiene?

4.Una empresa de reparto de mercancías entrega cada día 48.000 kg de alimentos utilizando sus 4 camiones.

a) El número de camiones y los kilogramos de comida, ¿son direc-tamente proporcionales?

b) ¿Cuántos kilogramos podrán repartir si se avería uno de los camiones y solo pueden utilizar tres?

c) Si en la empresa deciden comprar dos camiones más, ¿cuántos kilogramos de comida podrían repartir?

d) Si quieren ampliar su capacidad de reparto a 120.000 kg, ¿cuán-tos camiones necesitarán?

e) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué significado tiene?

5.A Javier y a Celia les han regalado dos reproductores de mp3. Celia almacena 240 canciones que ocupan un total de 750 Mb.

a) ¿Cuántas canciones podrá guardar Javier si utiliza los 2 Gb de que dispone su reproductor? b) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación.

c) ¿Qué significado tiene esta constante?

6.Calcula la incógnita en cada una de las siguientes proporciones:

a)

=

d)

=

g)

=

b)

=

e)

=

h)

=

c)

=

f)

=

i)

=

3 x 15 70 x 1 36 9 x 21 5 35 3 72 x 24 20 x 10 3 6 x 8 16 40 15 16 x x 5 28 4 5 x 3 12 Magnitud 1 Magnitud 2 6 30 12 150 9 15 Magnitud 1 Magnitud 2 8 10 2 30 11,2 12,5 Magnitud 1 Magnitud 2 12 6 1,5 60 30 0,5

7.Los siguientes ejemplos pueden ser:

• Relaciones de proporcionalidad directa.

• Relaciones de proporcionalidad inversa.

• Otro tipo de relación no proporcional o ninguna relación. Indica en cada caso de qué se trata y justifica tu respuesta. a) El tiempo que estudias y la nota que obtienes en un examen.

b) El ancho de una estantería y los libros (del mismo tipo) que puedes colocar en ella.

c) La capacidad de un depósito de gasolina y el tiempo que necesitamos para llenarlo utilizando el mismo surtidor.

d) La velocidad a la que circula un automóvil y el tiempo que tarda en recorrer un trayecto determinado. e) Los megabytesde una tarjeta de memoria y las fotos que puedes almacenar en ella.

f) Las personas que montan en un ascensor y la velocidad a la que este asciende. g) Las personas que levantan un objeto y la fuerza que debe hacer cada una de ellas. h) La velocidad a la que se mueve un coche y la cantidad de combustible que consume.

8.Completa los siguientes cuadros de magnitudes inversamente proporcionales: a)

b)

c)

9.Un proyecto de ayuda a países subdesarrollados se ha financiado gracias a la colaboración de 5.000 personas. El promedio de la cantidad que ha aportado cada una de estas personas ha sido de 140 _€.

a) Si hubiesen colaborado 7.500 personas, ¿cuánto dinero tendría que aportar cada una de promedio para desarrollar el mismo proyecto?

b) Si el promedio de la aportación personal para el mismo proyecto fuese de 350 _€, ¿cuántas personas habrían colaborado?

c) Representa todos los resultados en una tabla.

d) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué significado tiene?

10.Varios amigos de Fouad le compran como regalo de cumpleaños una sudadera que cuesta 30 _€.

a) Si quieren participar en el regalo 5 amigos, ¿cuánto pagará cada uno de ellos? b) Y si fuesen 6 amigos, ¿cuánto pagaría cada uno de ellos?

c) ¿Qué tipo de relación existe entre el número de amigos y el dinero que tiene que poner cada uno de ellos?

d) En una situación similar, seis amigos de Cristina le compran un regalo de cum-pleaños poniendo cada una de ellas 4 _€. ¿Cuánto tendrían que poner si ese mismo regalo lo hubiesen comprado entre 8 amigos?

Magnitud 1 Magnitud 2 8 5 10 4 16 20 Magnitud 1 Magnitud 2 12 10 24 30 2,4 2,5 Magnitud 1 Magnitud 2 15 7 3,5 30 0,5 7,5

Recuerda que para que dos mag-nitudes sean proporcionales no solo deben estar relacionadas sino que de-ben variar del mismo modo, es decir, que si una aumenta el doble la otra debe aumentar el doble también.

Recuerda

5. Porcentajes

Es muy habitual oír a nuestro alrededor expresiones como las siguientes:

• Me compré una camisa que estaba rebajada un 15 %.

• La mejor audiencia de la noche del martes fue del 24,5 %.

• Hay que sumarle el 16 % de IVA.

• El riesgo de precipitaciones para el domingo es del 46 %.

Todas estas expresiones tienen algo en común:

los porcentajes.

Vamos

a conocer qué es un porcentaje y cómo se realizan cálculos elementales

con ellos.

5.1. ¿Qué es un porcentaje?

Un porcentaje es una fracción de denominador 100. Como recordarás,

en una fracción, el denominador nos señala las partes en las que

dividi-mos y el numerador las partes que cogedividi-mos. En el caso de un

porcen-taje, el denominador siempre es 100, de manera que cuando hablamos,

por ejemplo, del 25 %, estamos refiriéndonos a

.

Además, hay que entender que con un porcentaje expresamos una

pro-porción. Si decimos que en una clase ha aprobado el 75 % de los alumnos

no estamos diciendo que hay 100 alumnos de los cuales han aprobado

75, sino que esa es la proporción de aprobados: si hubiese 100 alumnos

habrían aprobado 75. Si por ejemplo estamos hablando de una clase de

24 alumnos, habrían aprobado 18 alumnos ya que:

=

5.2. Cálculo de porcentajes

Los porcentajes, al ser fracciones, también pueden expresarse en forma

de número decimal. Para calcularlos bastará entonces con multiplicar la

cantidad total por el número decimal asociado al porcentaje.

Ejemplos: 45 % de 1.200 = 0,45 · 1.200 = 540

50 % de 32 = 0,5 · 32 = 16

3 % de 700 = 0,03 · 700 = 21

De la misma forma, si queremos calcular qué porcentaje supone una

determinada cantidad respecto de un total, bastará con dividir esa

canti-dad entre el total y luego multiplicar por 100.

Ejemplo: 57 alumnos de un total de 380:

= 0,15

⇒

0,15 · 100 = 15 %

5.3. Porcentajes encadenados

Los porcentajes encadenados aparecen cuando calculamos varios

porcentajes de manera sucesiva sobre una misma cantidad. Utilizando

los números decimales estos cálculos son muy sencillos.

Ejemplos: Calcula el 15 % del 40 % de 240: 0,15 · 0,4 · 240 = 14,4

Calcula el 5 % del 20 % de 1.350: 0,05 · 0,2 · 1.350 = 13,5

57

380

18

24

75

100

25

100

Otras formas de calcular

porcentajes

Vamos a ver algunos ejemplos de cómo se calculan porcentajes utili-zando regla de tres o proporciones: • Calcula el 20 % de 760: 20 100 x 760 x = = 152 • Calcula el 15 % de 330: 15 100 x 330 x = 15 . 330= 49,5 100 20 . 760 100

En una fracción el denominador nos indica las partes en las que dividimos la unidad, y el numerador, las que tomamos.

Y

5.4. Aumentos y disminuciones

Otra aplicación muy útil de los porcentajes son los aumentos y

dismi-nuciones porcentuales. Para calcularlos de una manera cómoda

recu-rrimos de nuevo a los números decimales. Observa los siguientes

ejemplos:

• Un ordenador costaba 850

€

y se le aplica una rebaja del 20 %.

¿Cuánto cuesta ahora?

Como se ha rebajado un 20 %, ahora debemos pagar el 80 % del

pre-cio original (100 – 20 = 80). Lo calculamos:

0,8 · 850 = 680

€

es el nuevo precio del ordenador.

• El número de suspensos de una clase, que era 8, se ha incrementado

en un 25 %. ¿Cuántos suspensos hay ahora?

Si se ha incrementado un 25 %, los suspensos ahora son el 125 % de

los que había antes (100 + 25 = 125). Lo calculamos:

1,25 · 8 = 10 suspensos hay ahora.

5.5. Interés simple y compuesto

Cuando depositamos nuestro dinero en un banco, este nos paga a

cam-bio un determinado porcentaje de ese dinero. De la misma forma,

cuando un banco nos presta dinero, debemos pagarle un porcentaje del

dinero que nos ha prestado. A ese porcentaje se le denomina

interés.

Si el interés se calcula siempre respecto a la cantidad original, se

deno-mina

interés simple.

Por ejemplo, si ingreso 1.000

€

en una cuenta

ban-caria con un interés simple del 2 % anual (que se abona cada año), el

cálculo del dinero que me debe pagar el banco se hará siempre

res-pecto a esos 1.000

€

. De esta forma, cada año tendrán que abonarme

el 2 % de 1.000

€

:

0,02 · 1.000 = 20

€

debe pagarnos el banco cada año.

Si, por el contrario, el interés se calcula cada año respecto al dinero que

resulta al ir acumulando los intereses de otros años, se denomina

inte-rés compuesto.

En el caso de los 1.000

€

, si el interés es compuesto, la

situación sería:

•

El primer año:

mi dinero se incrementa un 2 %, es decir, es el 102 %

de lo que tenía. Lo calculamos:

1,02 · 1.000 = 1.020

€

•

Segundo año:

ahora calculamos el interés sobre los 1.020 €

que

hemos acumulado al sumar los intereses del primer año. De esta

forma nuestro dinero será ahora el 102 % de 1.020 €:

1,02 · 1.020 = 1.040,40

€

De esta forma, cada año que pase debemos multiplicar de nuevo por

1,02 para obtener el dinero que vamos acumulando. Si consideramos,

por ejemplo, 10 años, tendríamos que multiplicar los 1.000

€

inicia-les por 1,02 diez veces, o lo que es lo mismo:

1,02

10

_{· 1.000 = 1.218,99}

€

De esta forma podemos calcular directamente el dinero que

tendre-mos al cabo de cualquier número de años.

Interés compuesto

Podemos utilizar la siguiente fór-mula para calcular el interés com-puesto:

Cf= Ci· (1 + r)n

Donde:

Cfes el denominado capital final,

que es el dinero que tendremos transcurrido un determinado número de años.

Cies el capital inicial,es decir, el dinero que inicialmente ingresamos. res el interés que nos abonan cada año escrito en forma decimal. nes el número de años que estamos considerando.

1.Escribe los siguientes porcentajes en forma de fracción con denominador 100 y simplifica dicha fracción siempre que sea posible:

a) 25 % b) 30 % c) 12 % d) 75 %

2.Completa las siguientes expresiones de forma que queden expresadas como fracciones de denominador 100 y por lo tanto como porcentajes.

a)

=

=

_%

c)

=

=

_%

e)

=

=

_%

b)

=

=

%

d)

=

=

%

f)

=

=

%

3.Calcula los siguientes porcentajes:

a) El 10 % de 360 c) El 25 % de 48 e) El 5 % de 845 g) El 1,5 % de 70 b) El 80 % de 170 d) El 2 % de 600 f) El 32 % de 15 h) El 24,7 % de 471

4.Describe las siguientes situaciones utilizando porcentajes:

a) En una clase de 24 alumnos, 6 de ellos han suspendido Educación Física.

b) En una ciudad de 180.000 habitantes, 9.000 personas no reciclan correctamente la basura. c) En un edificio de 60 viviendas, 15 están deshabitadas.

d) En una empresa en la que trabajan 2.600 empleados, 923 tienen menos de 35 años.

e) David ha sido el autor de 12 de los 50 goles que ha marcado su equipo de fútbol esta temporada. f) Alicia ha gastado 26,65 €de los 130 que tenía ahorrados.

5.Daniel tiene 12 de los 20 CD que componen la discografía de su grupo favorito: a) ¿Qué porcentaje suponen los discos que tiene?

b) ¿Qué porcentaje de discos le faltan para completar la discografía de ese grupo?

6.Rubén ha ganado el 75 % de los 12 partidos de ping-pong que ha jugado en un campeonato de su instituto. ¿Cuántos partidos ha perdido?

7.Calcula los siguientes porcentajes encadenados utilizando números decimales:

a) El 20 % del 50 % de 490 c) El 40 % del 2 % de 120 e) El 30 % del 80 % de 3.000 b) El 15 % del 10 % de 1.300 d) El 18 % del 4,5% de 900 f) El 80 % del 30 % de 3.000

8.Calcula el total de alumnos de cada una de las clases de 4.º de ESO de un instituto utilizando los siguientes datos: a) En 4.º A hay 12 chicas que representan el 50 % del total de alumnos.

b) En 4.º B, 21 alumnos aprobaron el último examen de Matemáticas. Son el 75 % del total. c) En 4.º C, 8 alumnos no participan en el viaje de fin de curso al que sí van el 60 % de la clase.

9.En una tienda de informática, el 40 % de los ordenadores que se vendieron el último mes eran portátiles. De estos, el 15 % se ofertaban con una impresora de regalo. Sabiendo que en total se vendieron 250 ordenado-res, ¿cuántas impresoras se regalaron ese mes?

10. Jesús ha conseguido incrementar su nota media en un 15 %. Si su nota media era 6,3, ¿cuál es su nota actual? 100 3 20 100 4 25 100 3 5 100 1 20 100 2 25 100 1 5

A C T I V I D A D E S

Y 11. En un concesionario de coches ofrecen un determinado modelo con una rebaja del

10 %. El precio de ese automóvil es de 17.000 €+ IVA.

a) Calcula primero el precio del coche sin rebaja cuando le sumamos el IVA (16 %). b) Si a ese precio le aplicamos ahora la rebaja del 10 %, ¿cuánto cuesta finalmente el

vehículo?

c) Repite el cálculo pero ahora aplica primero la rebaja y añade a ese precio rebajado el 16 % de IVA. ¿Ha influido el orden en el resultado?

12. Calcula el resultado de los siguientes aumentos y disminuciones:

a) El número de aprobados en Ámbito Científico-Tecnológico, que en la evaluación pasada fue de 8 alumnos, ha disminuido en un 25 %. ¿Cuántos alumnos han apro-bado esta evaluación?

b) En un folleto de publicidad, el precio de un ordenador es de 700 €+ IVA. ¿Cuál es el precio real?

c) Una camisa que cuesta 20 €ahora se encuentra rebajada en un 20 %. ¿Cuál es su precio actual?

d) A Patricia le suben el sueldo un 15 %. Si antes cobraba 1.200 €, ¿cuánto cobra ahora?

13. Fran ha conseguido reducir en un 7 % el tiempo que empleaba en correr 100 m. Sabiendo que antes tardaba 14,6 s:

a) ¿Cuál es su marca actual?

b) ¿En cuántos segundos ha logrado reducir su récord personal?

14. Lidia ingresa 200 €en una cuenta bancaria que le genera un interés simple del 2 %. Completa la siguiente tabla calculando el dinero que tendrá al cabo de los años:

15. Completa ahora la siguiente tabla suponiendo que las condiciones en las que Lidia ingresa su dinero son de un 2 % de interés compuesto:

16. Álvaro decide ingresar 560 €en un fondo de inversión que le proporciona un interés compuesto del 5,5 %. a) ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de un año?

b) ¿Y cuando pasen 5 años?

17. Javier ingresa 200 €en una cuenta con un interés compuesto del 1,5 %. Cuatro años después, ingresa en la misma cuenta 100 €más. Completa la siguiente tabla indicando el dinero que tiene en la cuenta cada año:

Tiempo Dinero

1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 10 años

Tiempo Dinero

1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 10 años

Tiempo Dinero

1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 10 años

IVA: Impuesto sobre el

Valor Añadido

El IVA es un impuesto indirecto que se aplica, salvo algunas excepciones, siempre que se compra algún bien o servicio.

Esto quiere decir que siempre que alguien compra algo o contrata algún servicio, hay que añadirle al precio inicial un determinado porcentaje que en España puede ser: 16 % (es el tipo general), 7 % (la mayoría de los alimentos, hostelería, trans-portes…) o 4 % (alimentos básicos como el pan, la leche, fruta, etc., libros, material escolar…).

6. Radicales

Se denomina

radical de índice

n

de un número a, o

raíz

n

-ésima

de un

número a,

el número que elevado a n

nos da a. De esta forma, diremos

que b

es la raíz n-ésima de a

siempre que b

n

_{= a:}

Veamos varios ejemplos:

2

₉

₌

₉

₌

_{3, ya que}

₊₃

2

_{= 9 y}

_–3

2

_{= 9}

3

_–8

_{= –2, ya que}

_–2

3

_{= –8}

6.1. Producto y división de radicales

A la hora de operar con radicales resultan muy útiles las siguientes

expresiones que nos permiten convertir cualquier radical en una

poten-cia de índice fraccionario:

n

_a

_{= a}

_y

n

_a

m

_{= a}

Ejemplo:

3

₁₁

_·

₁₁

5

_{= 11}

_·

_{11 = 11}

+

= 11

6.2. Extracción de factores de un radical

Utilizando la expresión que convierte los radicales en potencias,

pode-mos simplificar determinadas expresiones extrayendo factores de una

raíz.

Ejemplo:

3

₁₁

5

_{= 11 = 11}

+

_{= 11}

_·

_{11 = 11 ·}

3

₁₁

2

En resumen, cada vez que tengamos n

factores iguales dentro de una

raíz n-ésima, podemos sacar estos factores como uno solo que

multi-plica la raíz. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos:

3

₅

4

_{= 5}

3

₅

₂

3

_{· 5}

_{= 2 ·}

_{2 · 5}

_{= 2}

₁₀

5

₇

9

_{= 7}

5

₇

4 4

₃

10

_{= 3 · 3 ·}

4

₃

2

_{= 9}

4

₃

2

6.3. Suma y resta de radicales

Para sumar y restar radicales seguimos los siguientes pasos:

a) Descomponemos en factores los radicandos.

b) Extraemos los factores que sea posible.

c) Sumamos o restamos solo los radicales que tengan el mismo índice

y el mismo radicando.

Observa los siguientes ejemplos:

•

27

+ 10

12

=

3

3

_{+ 10}

₂

2

_{· 3}

_{= 3}

₃

_{+ 10 · 2}

₃

_{= 3}

₃

_{+ 20}

₃

_{= 23}

₃

•

45

+ 3

20

– 2

63

=

3

2

_{· 5}

_{+ 3}

₂

2

_{· 5}

_{– 2}

₃

2

_{· 7}

₌

= 3

5

+ 3 · 2

5

– 2 · 3

7

= 3

5

+ 6

5

– 6

7

= 9

5

– 6

7

2 3 3 3 2 3 3 3 5 3 17 6 5 2 1 3 5 2 1 3 m n 1 n n

_a

_{= b}

_{siempre que b}

n

_{= a}

a

n

a_{Partes de un radical.}

Posibles resultados…

Siempre que podemos calcular una raíz de índice par, obtenemos dos soluciones, ya que el resultado puede ser positivo o negativo. Por otra parte, las raíces de índice par de números negativos no tienen solu-ción dentro de los números reales ya que no existen números reales que multiplicados por sí mismos un nú-mero par de veces den un resultado negativo.

Esto no sucede con las raíces de índice impar, ya que sí es posible encontrar números reales que eleva-dos a un exponente impar den resul-tados negativos.

ÍNDICE

RADICAL

A C T I V I D A D E S

Y 1.Calcula las siguientes raíces cuadradas:

a)

64 d)

10.000 g)

256 j)

– 64

b)

1.600 e)

121 h)

k)

810.000

c)

f)

–4 i)

–100 l)

2.Calcula las siguientes raíces:

a) 3

_{27 d)} 3

_{–216 g)} 4

_j) 11

_–1 b) 4

_{16 e)} 5

_h) 5

_{–243 k)}

₁ c) 3

_f) 4

_{–81 i)} 8

_{–216 l)} 6

₀

3.Efectúa y simplifica: a) 6 c)

3_{4 e)}

₃₈ b) 3

_{23 d)} 4

5

_{64 f)}

₅

4 4.Efectúa y simplifica: a) 2

5·

7

5

2 c)

4

3

2 e)

2 +

3

2 b)

5

2 d)

2 f)

5–

2

2

5.Resuelve las siguientes operaciones con radicales:

a) 3

₅2_· 11

₅3 _c) 3

·5

2 _{e) 7 ·} 3

₇2 _g)

5

_{6 ·}

₆

4 b) 3

₃5_: 4

₃3 _d) 5

_{2 :} 4

₂3 _f) 4

₁₁7_:

3

₁₁2

5 _h)

3

_{2: 2} 6.Resuelve las siguientes sumas y restas de radicales:

a)

20+

45 c) 5

54– 10

600 e) 10

3– 2

405 + 7

108 b) 2

28–

175 d) 7 3

_{243 + 2} 3

_{72 f) 11}

_{50– 2}

_{18+ 6}

₇₂ 4 5 5 4 2 x 1 5 3 2 3

₄

32 125 8 32 243 625 16 16 81 4 9 1 25

7. La recta real

Podemos representar el conjunto completo de los números reales

mediante una recta que denominamos

recta real.

Operaciones

con intervalos

Existen dos operaciones básicas que podemos realizar entre dos inter-valos:

• Unión de intervalos ():

Está compuesta por todos los nú-meros que forman parte de uno u otro intervalo.

(2, 5] [3,12] = (2, 12] (3, 7) [6, ) = (3, ) • Intersección de intervalos ():

Está formada solo por los núme-ros que pertenecen a ambos in-tervalos simultáneamente. (2, 5] [3, 12] = [3, 5] (–, 3] (2, 9] = (2, 3] unidad (u) 6 8 -1

La recta real se construye en torno al 0, situando los números positivos

a su derecha y los negativos a la izquierda. Cada número real está

representado en esta recta mediante un punto. También podemos

selec-cionar partes de la recta formando los denominados

intervalos

y

semi-rrectas.

7.1. Intervalos

Un

intervalo

es el conjunto de todos los números reales que forman un

segmento de la recta real.

Si los números que limitan dicho segmento están incluidos en el

inter-valo, este se denomina

cerrado.

Para representar un intervalo cerrado

se utilizan dos corchetes. Por ejemplo, el intervalo formado por los

números comprendidos entre 2 y 6, ambos inclusive, sería [2, 6].

Por el contrario, si los extremos del segmento no están incluidos en el

intervalo, este se denomina

abierto.

Los intervalos abiertos se

represen-tan utilizando paréntesis. Por ejemplo, el intervalo formado por todos los

números comprendidos entre el –1 y el 8, ambos sin incluir, sería (–1, 8).

También existe la posibilidad de que el intervalo incluya solo a uno de

los extremos. Se tratará entonces de un intervalo

semiabierto.

Por

ejem-plo, el intervalo (3, 10] es un intervalo semiabierto que incluye a 10

pero no incluye a 3.

7.2. Semirrectas

Las

semirrectas

se forman seleccionando todos los números menores o

mayores que uno dado.

Un extremo de la semirrecta será un número que puede estar o no

incluido en ella. El otro se representa con los símbolos

o –

, que

designamos

infinito

o

menos infinito

y que indican que el intervalo

con-tiene números tan grandes o pequeños como queramos. Veamos

algu-nos ejemplos:

• El intervalo (2,

) incluye todos los números mayores que 2, pero no

el 2.

• El intervalo (

,7] incluye todos los números menores que 7

inclu-yendo el 7.

4. En un ayuntamiento deciden ayudar mediante subvenciones a los jóvenes que quieran comprarse una casa. Para ello ofrecen una serie de ayudas económicas para todas aquellas personas que vivan en esa localidad y que, siendo mayores de edad, no hayan cumplido aún 35 años. Escribe el intervalo de las edades que deben tener los posibles beneficiarios de esas ayudas.

5. Dibuja los siguientes intervalos en la recta real y halla los intervalos que obtenemos al realizar las siguientes operaciones:

a)

(1, 6)

(4, 10)

d)

[2, 6)

(–1, 8]

b)

(–1, 5)

(3, 8]

e)

(–

, 5]

(–7, 14]

c)

[–4, 9)

(–10, 1]

f)

(–3, 11)

(0,

)

A C T I V I D A D E S

1. Escribe los siguientes intervalos y semirrectas utilizando paréntesis y corchetes: a) Todos los números reales comprendidos entre el 2 y el 11, ambos incluidos.

b) Todos los números reales comprendidos entre el –1 y el 5, el primero incluido y el segundo sin incluir. c) Todos los números reales mayores que 7.

d) El intervalo que incluye todos los números reales comprendidos entre el 0 y el 10, sin incluir a ninguno de ellos.

e) Todos los números reales menores o iguales a 18.

f) Todos los números reales comprendidos entre –4 y –3, sin incluir el primero e incluyendo el segundo de ellos. g) Todos los números reales menores que –15.

h) Todos los números reales mayores o iguales a 9.

2. Describe con tus propias palabras qué números están incluidos en los siguientes intervalos: a)

(1, 7)

c)

[–3, 1)

e)

[–8,

)

g)

(–

, 15)

b)

(–

, 6]

d)

, 20

f)

(–2, –1]

h)

,

3. Completa la siguiente tabla indicando si los números de la columna de la izquierda están o no incluidos en cada uno de los intervalos:

9 5 1 5 (–4, 6) [1, 10) (0,

) (–

, –5) [–4, 8] (0, 1] 1 –5 0 6 4 5

5 – 7 2 π

PARA

SABER MÁS

Pero, ¿qué es

pi?

En la escuela

apren-demos que la longitud de la curva más

primitiva y regular que existe, la

circun-ferencia, es la longitud de su diámetro

multiplicado por

pi;

o que la superficie

de un terreno circular contiene

pi

veces

el cuadrado del radio.Y todo esto, ¿qué

significa? Sencillamente, que si trazas

una circunferencia con radio 1 m, el

área limitada mide

pi

m

2

_{. Semejante y}

poco intuitivo número ha sido

cono-cido desde siempre, ya que la

circunfe-rencia interesó y ha sido objeto de

«persecución» a lo largo de los siglos. Y

es que

pi,

para ser tan común, goza de

atributos muy particulares: es

irra-cional

, lo que significa que tiene

infini-tas

cifras decimales no periódicas, o

dicho de otro modo, siempre será un

desconocido; y además es

trascen-dente, es decir, no es la solución de

nin-guna ecuación con fracciones.

Si lo piensas, el valor que se utiliza para

pi

es de 3, seguramente de origen

egip-cio. En el Talmud se sigue considerando

el mismo valor de

pi,

hecho asombroso

si tenemos en cuenta que se escribió a

partir del siglo

III

d.C., por tanto, varios

siglos después de Arquímedes.

Con la llegada de los ordenadores fue

posible calcular un número

anterior-mente inimaginable de cifras de

pi.

William Shanks pasará a la historia

como el más perseverante calculador

de cifras de

pi.

Pasó 20 años

calcu-lando sus primeros 707 decimales.

Pero en 1945, la computadora ENIAC

descubrió que había cometido un

error en el dígito 528 y... en todos los

siguientes. En 1949, ENIAC invirtió

70 horas de procesamiento para

calcular las primeras 2.000 cifras del

número

pi.

El siempre inteligentísimo y brillante

Mr. Spock, de la serie futurista

Star

Trek,

consiguió salvar a la tripulación

de la maldad de una diabólica

compu-tadora. Le ordenó que calculara el

valor de

pi,

y como este es irracional,

la computadora se quedó presa del

proceso y... ellos escaparon.

Arquímedes de Siracusa (287 a.C.)

marca un antes y un después tanto

en la búsqueda de una aproximación

del valor de

pi

como en la

compren-sión del significado de esta

cons-tante. Hacia el 215 a.C. escribió

Sobre la medida del círculo,

en el

que, utilizando la reducción al

absurdo y el método de exhaución de

Eudoxo, llega a calcular, ¡sin

calcula-dora!, una aproximación de un

círculo por un polígono de ¡96 lados!

y obtiene que

pi

está entre

6336/2017 y 29,376/9347, es decir,

entre 3,1412989 y 3,1428265. Pero

la deuda con Arquímedes dista

mucho de estar contraída por su

tra-bajo como «calculista»; su nueva

perspectiva sobre el círculo, la esfera

y el cilindro revolucionaron las

mate-máticas.

En el

Chiu Chang Suan Ching (Nueve

Capítulos sobre el Arte Matemático),

de siglo

II

a.C., se utiliza

pi

con el

gro-sero valor de 3 que permaneció en uso

mucho tiempo en China. Hay que

re-montarse alrededor del 130 d.C. para

encontrar como valor de

pi

la raíz de

10 = 3,1622. A mediados del siglo III,

el astrónomo Wang Fan estimó

pi

como 157/50 = 3,14 exacto, y acotó

que estaba entre 3,141024 y 3,142704,

acotación que, aunque muy buena, es

peor que la de Arquímedes, 500 años

antes.

Lee atentamente la siguiente información sobre el número pi aparecida

en la prensa.

«Ese trascendente pi»

Entra en internet

Para comprender un poco más el nú-mero pi,su historia, anécdotas y curio-sidades, entra en la siguiente página: webs.adam.es/rllorens/pihome.htm Una página sobre la evolución de pi a través del tiempo:

Portalplanetasedna.com.ar/ numero_pi.htm

ACTIVIDADES

1.

Realiza un trabajo de

investiga-ción sobre otros números

irracio-nales: el número

áureo,

la raíz de

2 y el número

e

. Busca

informa-ción que se refiera a la historia, al

uso y a la necesidad de estos

números.

Objetivo:

Conocer las hojas de cálculo y su

utilidad para realizar cálculos

ma-temáticos.

Material:

Un ordenador en el que esté

ins-talada una hoja de cálculo

Las hojas de cálculoson herramientas informáticas que nos permiten realizar, entre otras muchas cosas, operaciones aritméticas, estudios estadísticos y representaciones gráficas.

Las más utilizadas son Excel, incluida en el paquete Office de Microsoft (programa de pago), y Calc, que se incluye en la suiteOpenOffice (de libre distribución). Ambas tie-nen características muy parecidas.

Conceptos básicos:

Los documentos en una hoja de cálculo reciben el nombre de librosya que están for-mados por distintas hojasque nos permiten trabajar de forma ordenada. En cada hoja disponemos de un gran número de celdasen las que podremos escribir números, ope-raciones, funciones, etc.

Las celdas reciben un nombre compuesto de un número (fila) y una letra (columna) de forma que cada celda tiene un número distinto de las demás.

Las opciones de formato nos permiten unir varias celdas, establecer bordes, o no, según nos interese, colorearlas, etc. Además, podemos establecer el tipo de informa-ción que va a contener la celda (números, texto, euros…) para que el programa se adapte a las condiciones de formato.

Ejemplo:

El uso más elemental de una hoja de cálculo consiste en introducir datos en algunas celdas y obtener el resultado de diversas operaciones con esos datos en otras celdas. Observa el siguiente ejemplo en el que hemos empleado una hoja de cálculo para hallar algunos porcentajes:

La hoja de cálculo

ACTIVIDADES

1.

Pregunta en tu centro por los datos de alumnos matriculados en cada curso y utiliza una hoja de cálculo para

calcu-lar qué porcentaje de alumnos estudia en cada nivel educativo. Explora las opciones de formato que te permite tu

programa y presenta correctamente el ejercicio, recuadrando y coloreando las celdas que consideres oportuno.

Y

INVESTIGA

En las celdas de esta columna hemos escrito el número de alumnos que hay en cada curso.

Para calcular el porcentaje de alumnos de 1.º de ESO hemos escrito la siguiente operación en esta celda:

= (B4/B10)*100

Si copiamos el contenido de la celda B10 y lo pegamos en la C10, el programa ajusta automáticamente los cálculos para realizar la misma opera-ción pero con los datos corres-pondientes a esta celda.

En esta celda hemos calculado la suma de las celdas superiores escribiendo: B4 + B5 + B6 + B7 + B8 + B9

Internet

Internet es una enorme red informática compuesta por la conexión de redes

más pequeñas que conectan a millones de ordenadores de todo el mundo. La

utilidad de esta red se basa en los numerosos servicios que en ella

encontra-mos. Su origen se remonta al año 1969, cuando se creó ARPANET al conectar

los ordenadores de tres universidades estadounidenses, pero no fue hasta la

década de 1990 cuando comenzó a convertirse en algo habitual en muchos

hogares.

Recursos en internet

De los numerosos recursos que internet pone a nuestra disposición destacan:

•

World Wide Web (WWW):

es un servicio de información basado en

do-cumentos que incluyen elementos multimedia como imágenes,

animacio-nes, vídeos, etc. Estos documentos utilizan un lenguaje de programación

denominado HTML.

Para acceder a estos documentos el usuario debe utilizar un navegador, que

es un programa que le permitirá acceder a todos los datos y servicios de

in-ternet. Los más habituales son: Microsoft Explorer, Mozilla Firefox,

Netsca-pe Navigator y Safari.

•

Buscadores:

además de un navegador, para poder gestionar la cantidad de

información tan abrumadora que encontramos en internet, resulta casi

im-prescindible la utilización de una aplicación denominada buscador.

Son aplicaciones que buscan y seleccionan páginas web cuyos contenidos

se relacionan con una o varias palabras que introducimos como criterio de

búsqueda. Aunque son muy numerosos, algunos de los más utilizados son

Google, Windows Live y Yahoo.

Estos programas no se instalan en nuestro equipo; se accede a ellos

me-diante internet. Suelen ofrecer numerosas opciones de búsqueda que nos

permiten, por ejemplo, buscar imágenes o vídeos en lugar de páginas

web.

•

Correo electrónico:

también denominado

email,

nos permite enviar y

reci-bir mensajes en los que además de texto podemos incluir imágenes,

soni-dos o cualquier otro tipo de archivo.

Existen dos modalidades:

–

Correo POP:

requiere un programa de gestión de correo para enviar y

recibir mensajes. Los proveedores más habituales son las compañías que

facilitan el acceso a internet (Telefónica, Orange, Jazztel…).

–

Correo web:

se maneja desde una página web y permite acceder a

to-dos tus mensajes desde cualquier ordenador ya que no se descargan en

tu equipo cuando los lees sino que permanecen en el servidor. Esto hace

que este sistema sea más seguro (es más difícil que se instale un virus)

pero algo más lento. Los distribuidores más habituales son Hotmail,

Google y Yahoo.

•

Comunidades y aulas virtuales, foros, blogs y wikis:

son las principales

formas de compartir conocimientos e intereses en internet. Podrás

apren-der algo más sobre ellas en las siguientes unidades didácticas.

AULA DE INTERNET

Mensajería instantánea

Otro de los servicios que nos facilita internet es el de enviar y recibir men-sajes de forma instantánea.

Instalando en nuestro ordenador el programa adecuado podremos in-tercambiar mensajes en tiempo real con nuestros contactos, que son otros usuarios del mismo programa al que hemos permitido comunicar-se con nosotros (agregado). Las aplicaciones de mensajería ins-tantánea nos permiten añadir sonido o imágenes captadas por una cámara web a nuestras conversaciones, ade-más de poder compartir fotos y otros archivos con nuestros contactos. Los servicios de mensajería instan-tánea más habituales son: Windows Live Messenger, Yahoo Messenger, ICQ y Google Talk.

La mensajería instantánea es uno de los servicios más utilizados hoy en día en internet.