UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CURSO
: MECÁNICA DE SÓLIDOS I
PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL
PROBLEMAS RESUELTOS DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
PROBLEMA Nº 1
La torre de la figura tiene 70 m de altura. La tensión en los cables BC, BD y BE tiene una magnitud de 2 kN. Considere la base de la torre como un soporte fijo. ¿Qué valor tienen las reacciones en A?
Resolución
Para resolver problemas de equilibrio de un cuerpo rígido en el espacio, se recomienda seguir el siguiente procedimiento:
1ro.
Hacer el DCL del cuerpo rígido completo. Recuerde que sólo deben graficarse las fuerzas externas que actúan sobre dicho cuerpo rígido.2do. Determinar la expresión vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
rígido analizado.3ro.
A
plicar las ecuaciones de equilibrio para calcular las incógnitas solicitadas. Para ello se recomienda aplicar primero
0
M
con respecto a un eje especifico o con respecto a un punto,y luego
0
F
. z (m) x (m) y (m) B C (-50; 0; 0) A E (40; 0; -40) D (20; 0; 50)DCL de la torre (cuerpo rígido completo)
Las fuerzas externas que actúan sobre la torre son: las tensiones en los cables BC, BD y BE, y
las reacciones en el soporte fijo A (tres componentes de la fuerza de reacción:
R
AXR
AYy
R
AZ
,
,tres componentes de momento de par: MX MY y MZ
, ).
* Asumimos que el punto A está ubicado en el origen de los ejes coordenados.
Expresión vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre la torre
)
;
;
(
Z Y X A A A AR
R
R
R
BC BC BC F F ( )
; donde: FBC 2kN y;
0
)
02325
,
86
70
;
02325
,
86
50
(
BC
FBC (1,1625kN;1,6275kN;0)
BD BD BDF
F
(
)
; donde:F
BD
2
kN
y)
31761
,
88
50
;
31761
,
88
70
;
31761
,
88
20
(
BC
F
BD
(
0
,
4529
kN
;
1
,
5852
kN
;
1
,
1323
kN
)
BE BE BEF
F
(
)
; donde:F
BE
2
kN
y ) 90 40 ; 90 70 ; 90 40 ( BE
F
BE
(
0
,
88889
kN
;
1
,
5556
kN
;
0
,
8889
kN
)
Además, el momento de par que actúa en A se expresa como:
M
(
M
X;
M
Y;
M
Z)
z (m) x (m) y (m) B C (-50; 0; 0) A E (40; 0; -40) D (20; 0; 50)Cálculo de
Z Y
X A A
A R y R
R ; (componentes de la fuerza de reacción en A)
Aplicando las tres ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas, tenemos:
0
F
x RAX 1,1625kN0,4529kN0,8889kN0 RAX 0,1793kN0
F
Y RAY 1,6275kN1,5852kN1,5556kN0 RAY 8,7682kN0
F
Y RAZ 1,1323kN0,8889kN0 RAZ 0,2433kNLuego, la fuerza de reacción en A es
R
A
(
0
,
1793
kN
;
8
,
7682
kN
;
0
,
2433
kN
)
Cálculo de
M
X;
M
Yy
M
Z (componentes de momento de par en A)Aplico primero suma de momentos totales respecto al eje x.
0
M
TotalesEje X 0 BC BD FBE X Eje F X Eje F X Eje X M M M M . . . (1)Aplicando la ecuación del momento de una fuerza, respecto al eje x:
X Eje X Eje F X Eje r F M
; r
= vector posición que va desde el eje x hasta la fuerzaObtenemos: ) 0 ; 0 ; 0 ( FBC X Eje M ; M (7924kN m; 0;0) BD F X Eje ; M ( 62,23kN m; 0;0) BE F X Eje Además:
M
X
(
M
X;
0
;
0
)
Reemplazando en (1) y despejando
M
X obtenemos:M
X
17
,
01
kN
m
Si aplicamos suma de momentos totales respecto al eje y, tenemos:0
M
TotalesEjeY 0 BC BD FBE Y Eje F Y Eje F Y Eje Y M M M M . . . (2)Como las fuerzas de tensión en los cables BC, BD y BE interceptan al eje y, entonces los momentos de estas fuerzas, respecto al eje y, son iguales a cero.
Además:
M
Y
(
0
;
M
Y;
0
)
Luego, al reemplazar en la ecuación (2), tenemos que:
M
Y
0
Para calcular MZ aplicamos suma de momentos totales respecto al eje z. Es decir:
0
M
TotalesEjeZ 0 BC BD FBE Z Eje F Z Eje F Z Eje Z M M M M . . . (2)Aplicando la ecuación del momento de una fuerza, respecto al eje z, obtenemos:
) 34 , 81 ; 0 ; 0 ( kN m M BC F Z Eje ; M (0;0; 31,71kN m) BD F Z Eje ; M (0; 0: 62,23kN m) BE F X Eje Además:
M
Z
(
0
;
0
;
M
Z)
Luego, al reemplazar en la ecuación (2), tenemos que:
M
Z
12
,
64
kN
m
Por lo tanto, el momento de par en A es
M
A
(
17
,
01
kN
m
;
0
;
12
,
64
kN
m
)
PROBLEMA Nº 2
Si la carga tiene un peso de 200
bf
, determine la fuerza de tensión en los cables CD, BD y EF y la fuerza de reacción en la rótula esférica A.Resolución
Las fuerzas externas que actúan sobre la estructura ABGCE son las siguientes: peso de la carga, tensiones en los cables CD, BD y EF, y reacción en la rótula esférica A (la cual se ha descompuesto en sus tres componentes espaciales), tal como se observa en el DCL mostrado a continuación.
DCL de la estructura ABGCE (cuerpo rígido completo)
Expresión vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre la estructura ABGCE
)
200
;
0
;
0
(
bf
w
;(
;
;
)
Z Y X A A A AR
R
R
R
BD BD BDT
T
(
)
;
(
0
;
0
;
1
)
BD
T
BD
(
0
;
0
;
T
BD)
CD CD CD T T ( )
; (0;4/5;3/5) CD
TCD (0;4TCD/5;3TCD/5)
EF EF EFT
T
(
)
;
(
0
;
0
;
1
)
EF
T
EF
(
0
;
0
;
T
EF)
Cálculo de la tensiones BDT
, CD T y EFT
Para calcular las tensiones en los cables BD, CD y EF aplicamos
0
M
, respecto al punto A, porque de esta manera elimino de los cálculos las componentes de la reacción en A. Es decir:0
M
TotalesA 0 w A T A T A T A M M M M EF CD BD . . . (1) Donde: BD AB T A r T M BD ; de la figura dada:
(
4
;
0
;
0
)
ABr
, y se halló que:T
BD
(
0
;
0
;
T
BD)
) 0 ; 4 ; 0 ( BD T A T M BD
CD AC T Ar
T
M
CD ; de la figura dada: (4; 4;0) AC r , y se halló que: TCD (0;4TCD/5;3TCD/5) CD CD CD T A T T T M CD 5 16 ; 5 12 ; 5 12 EF AE T A r T M EF ; de la figura dada:
(
2
;
4
;
0
)
AEr
, y se halló que:T
EF
(
0
;
0
;
T
EF)
) 0 ; 2 ; 4 ( EF EF T A T T M EF
w
r
M
AG w A ; de la figura dada: (4; 2;0) AG r , y según dato:w
(
0
;
0
;
200
bf
)
pie bf M w A ) 0 ; 800 ; 400 (Reemplazando estos momentos en la ecuación (1) y aplicando las tres ecuaciones escalares de equilibrio de momentos, tenemos:
0
M
X 4 400 0 5 12 EF CD T T . . . (2)0
M
Y 2 800 0 5 12 4 TBD TCD TEF . . . (3)0
M
Z 0 5 16 TCD
T
CD
0
Reemplazando TCD 0 en las ecuaciones (2) y (3), se obtiene:
bf
T
BD
150
;T
EF
100
bf
Respuesta:T
BD
(
0
;
0
;
150
bf
)
;
0
CDT
;T
EF
(
0
;
0
;
100
bf
)
Cálculo de RA (reacción en la rótula esférica A)
Para calcular RA
, primero hallo sus componentes aplicando las ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas. Es decir:
0
F
XR
AX
0
0
F
Y 0 5 4 CD A T R Y , se halló que: TCD 00
Y AR
0
F
Z 0 5 3 200 RA TBD TCD TEF Z , se halló:TBD 150bf,TCD 0 yTEF 100bfbf
R
Z A
50
Respuesta:R
A
(
0
;
0
;
50
bf
)
PROBLEMA Nº 3
Una placa rectangular uniforme de 285
bf
se sostiene en la posición mostrada por medio de bisagras puestas en A y B, y mediante el cable DCE que pasa sin fricción por un gancho colocado en C. Si la magnitud de la tensión en ambos lados del cable es la misma, determine:a) La magnitud de la tensión en el cable.
b) Las reacciones en A y B. Suponga que la bisagra en B no ejerce ninguna fuerza de empuje axial. x y z A B C E D 15 in. 23 in. 9 in. 22,5 in. 32 in. 3 in. 3 in.
Resolución
DCL de la placa rectangular
De acuerdo con la figura dada, las coordenadas de los puntos son:
in
A
(
3
;
0
;
0
)
,B
(
29
;
0
;
0
)
in
,C
(
23
;
0
;
15
)
in
,D
(
0
;
22
,
5
;
0
)
in
,E
(
32
;
22
,
5
;
0
)
in
y
F
(
16
;
0
;
7
,
5
)
in
Expresión vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre la placa rectangular
) 0 ; 285 ; 0 ( bf w , ( ; ; ) Z Y X A A A A R R R R , (0; ; ) Z Y B B B R R R CD CD T T ( )
; 5 , 35 ) 15 ; 5 , 22 ; 23 ( CD
)
423
,
0
;
634
,
0
;
649
,
0
(
T
T
T
T
CD
CE CE T T ( )
; 5 , 28 ) 15 ; 5 , 22 ; 9 ( CE
)
526
,
0
:
789
,
0
:
316
,
0
(
T
T
T
T
CE
a)
C
á
lculo de “T” (magnitud de la tensión en el cable DCE)
Para calcular “T” aplico
0
M en el eje AB (eje x) porque de esta manera se anulan las reacciones en A y en B (anulo cinco incógnitas).
0
MTotalesEjex 0 CD TCE x Eje w x Eje T x Eje M M M . . . (1)Aplicando la ecuación del momento de una fuerza, respecto a un eje específico, para las tensiones CD T y CE T y el peso w, se obtiene: x y z A B C E Dato: Por condición: La bisagra en B no ejerce ninguna fuerza de empuje axial. Es decir:
La magnitud de la tensión en ambos lados del cable es la misma.
Además:
Si las bisagras están alineadas en forma apropiada, entonces no generan pares sobre la placa.
) 0 ; 0 ; 51 , 9 ( T M CD T x Eje ; M bf in w x Eje ) 0 ; 0 ; 5 , 2137 ( ; M ( 11,835T ;0;0) CE T x Eje
Reemplazando en (1) y aplicando
MX 0, tenemos:0
835
,
11
5
,
2137
51
,
9
T
T
T
100
,
14
bf
b)C
á
lculo de
A Ry
BR
(reacciones en las bisagras A y B)
Aplicando las tres ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas tenemos:
0
FX RAX 0,649T 0,316T 0 RAX 33,347bf 0
FY
285
bf
R
AY
R
BY
0
,
634
T
0
,
789
T
0
bf
R
R
Y Y B A
142
,
5
. . . (2) 0
FZR
AZ
R
BZ
0
,
423
T
0
,
526
T
0
bf
R
R
Z Z B A
95
,
033
. . . (3) A continuación aplico
0 M en el punto A: 0
MTotalesA 0 B CD TCE A T A w A R A M M M M . . . (4)Aplicando la ecuación del momento de una fuerza, respecto a un punto, para la reacción
B R , las tensiones CD T y CE T y el peso w, se obtiene: ) 26 ; 26 ; 0 ( Y Z B B B R A R R M ; M bf in CD T A ) 6 , 1269 ; 65 , 127 ; 35 , 952 ( ; ; in bf M CE T A ) 2 , 1580 ; 1528 ; 15 , 1185 ( ; M bf in w A ) 3705 ; 0 ; 5 , 2137 (
Reemplazando en la ecuación (4) y aplicando las ecuaciones escalares de equilibrio de momentos, tenemos: 0
MY 26RBZ 127,6515280R
BZ
53
,
85
bf
0
MZ 26RBY 1269,61580,2 37050 RBY 32,89bf Finalmente reemplazamos Y B R en (2) y Z B R en (3) y obtenemos:bf
R
Y A
109
,
61
;R
AZ
41
,
18
bf
Respuesta:bf
R
A
(
33
,
347
;
109
,
61
;
41
,
18
)
;R
B
(
0
;
32
,
89
;
53
,
85
)
bf
PROBLEMA Nº 4
La placa de la figura está soportada por bisagras en A y B y por el cable CE, y está cargada por una fuerza en D. El borde de la placa al cual están unidas las bisagras se encuentra en el plano y-z, y los ejes de las bisagras son paralelos a la línea que pasa por los puntos A y B. Las bisagras no ejercen pares sobre la placa. ¿Qué magnitud tiene la tensión en el cable CE? Si la bisagra en B no ejerce una fuerza sobre la placa en la dirección del eje de la bisagra. ¿Qué valores tienen las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre la placa por las bisagras en A y B?
Resolución
Primero determinamos las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E. Para ello observamos la figura dada y concluimos que:
) 3 ; 1 ; 0 ( , ) 0 ; 0 : 2 ( ; ) 20 cos 2 ; 20 2 ; 2 ( , ) 20 cos 2 ; 20 2 : 0 ( , ) 0 ; 0 ; 0 ( 0 0 0 0 E D sen C sen B A
A continuación hacemos el DCL de la placa y luego aplicamos las ecuaciones de equilibrio.
DCL DE LA PLACA
X X X X X X E.
Expresión vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre la placa
kN
F
(
2
;
6
;
0
)
,(
;
;
)
Z Y X A A A AR
R
R
R
,(
;
;
)
Z Y X B B B BR
R
R
R
CE CE CE T T ( )
;845
,
2
)
121
,
1
;
684
,
1
;
2
(
CE
TCE (0,703TCE;0,592TCE;0,394TCE) Cálculo de la magnitud de la tensión del cable CE
Para calcular la tensión en el cable CE aplico
0
M
respecto al eje AB, porque de esta forma cancelo las fuerzas de reacción en A y en B (las cuales también son incógnitas en este problema). Es decir:0
M
TotalesEjeAB 0 TCE AB Eje F AB Eje M M . . . (1)Aplicando la ecuación del momento de una fuerza, respecto a un eje específico, para la fuerza
F
y la tensión CE T , se obtiene: m kN M F AB Eje ) 580652 , 10 ; 853656 , 3 ; 0 ( ;M
T
CET
CEkN
m
T AB Eje CE
)
29756
,
1
;
4726
,
0
;
0
(
Reemplazando en (1) y aplicando
M
Y
0
, tenemos:0 4726 , 0 853656 , 3 TCE
T
CE
8
,
156
kN
Cálculo de las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre la placa por las bisagras en A y B, si la bisagra en B no ejerce una fuerza sobre la placa en la dirección del eje de la bisagra.
En este caso aplicamos
0
M
respecto al punto B, es decir:0
M
TotalesB 0 A TCE B F B R B M M M . . . (2)Aplicando la ecuación del momento de una fuerza, respecto a un punto, para la fuerza de reacción
A
R
, la fuerza F
y la tensión CE T , se obtiene:)
684
,
0
;
879
,
1
;
879
,
1
684
,
0
(
X X Y Z A A A A A R BR
R
R
R
M
; M kN m CE T B ) 6546 , 9 ; 426 , 6 ; 0 ( m kN M F B ) 368 , 13 ; 758 , 3 ; 274 , 11 (Reemplazando en la ecuación (2) y aplicando las ecuaciones escalares de equilibrio de momentos, se obtiene: 0 274 , 11 879 , 1 684 , 0 R R kN Y A AZ . . . (3)
kN
R
X A
5
,
43
3,5 kN/m 6 m A D 2 m 1 m C B 50 kN.m
Aplicando las ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas, se obtiene:
kN
R
X B
9
,
1624
0 213464 , 3 Z Z B A R R . . . (4) 0 828352 , 4 6 Y Y B A R R . . . (5)Por condición del problema:
F
ENLADIRECCION DELEJEDELABISAGRAEN"B"
0
Para aplicar esta condición se muestra a continuación una vista en el plano y-z:
Resolviendo las ecuaciones (3), (4), (5) y (6), obtenemos:
kN R kN R kN R kN R Z Y Z Y A B B A 6,4686 ; 1,2873 ; 5,2908 ; 1,9257 Las magnitudes de A
R
y BR
, tenemos: 2 2 2 ) 2873 , 1 ( ) 4686 , 6 ( ) 43 , 5 ( A RR
A
8
,
543
kN
2 2 2 ) 9257 , 1 ( ) 2908 , 5 ( ) 1624 , 9 ( B RR
B
10
,
754
kN
PROBLEMA Nº 5
Para la carga aplicada en la viga que se muestra en la figura, determine las reacciones en los apoyos, cuando
w
0
1
,
5
kN
/
m
. 200 200 200 RBY RBZ B A y z Eje de la bisagraAplicando la condición a la figura tenemos que:
Resolución
Primero hallo la función de carga de las fuerzas distribuidas, para ello aplicamos la ecuación de la recta:
y
mx
b
, donde “m” es la pendiente de la recta. Además sabemos qué:y
w
(x). A partir de la figura dada construimos la figura siguiente:Cálculo de
F
Ry
x
(magnitud y ubicación de la fuerza resultante de las fuerzas
distribuidas)
La magnitud de la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas está dada por:
w dx FR (x)F
R
x
dx
9 0)
5
,
3
9
2
(
F
R
22
,
5
kN
La ubicación de la fuerza resultante (distancia respecto al origen de coordenadas) está dada por:
R x
F
dx
w
x
x
( )m
dx
x
x
x
3
,
9
5
,
22
)
5
,
3
9
2
(
9 0
Cálculo de las reacciones en los apoyos
Por segunda condición de equilibrio:
0
TOTALES CM
0
)
6
(
)
1
,
4
(
5
,
22
50
R
BYR
BY
7
,
042
kN
3,5 1,5 0 9 y (kN/m) x (m) Recta Se sabe: Para Para Luego: 9 m 2 m C A 3,9 m B 1 m 4,1 m 50 kN.my x 300 N/m 1200 N/m 6 m Parábola Vértice A B
Por primera condición de equilibrio:
0
F
XR
CX
0
0
F
YR
CY
15
,
458
kN
Respuesta:
)
458
,
15
;
0
(
)
042
,
7
;
0
(
kN
R
kN
R
C B
PROBLEMA Nº 6Para la carga aplicada sobre la viga que se muestra en la figura, determine las fuerzas de reacción en los apoyos A y B.
Resolución
En este tipo de problemas, primero se halla la función de carga “
w
(x)”
que nos permita luegocalcular la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas. Para ello aplicamos la ecuación de la parábola: 2 ) ( 4 )
(yk p xh , donde: h y k son las coordenadas del vértice de la parábola. Reemplazando los datos del problema en la ecuación de la parábola, se obtiene que:
300 25 2
x
y
Esta ecuación de la parábola es nuestra función de carga, es decir:
300
25
2 ) (
w
x
y
xCálculo de
F
R yx
(magnitud y ubicación de la fuerza resultante) La magnitud de la fuerza resultante de fuerzas distribuidas está dada por:
w dx FR (x)F
R
x
dx
6 0 2)
300
25
(
F
R
3600
N
La ubicación de la fuerza resultante (distancia respecto al origen de coordenadas) está dada por:
R x F dx w x x
( ) m F dx x x x R 75 , 3 ) 300 25 ( 6 0 2
Cálculo de las reacciones en los apoyos
Para calcular las fuerzas de reacción en los apoyos, primero se hace el DCL de la viga y luego se aplica las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo rígido.
En este caso, las fuerzas externas que actúan sobre la viga son: la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas y las fuerzas de reacción en los apoyos A y B.
Por segunda condición de equilibrio:
